Proyectos Estadísticos.

Table of Contents

• Chapter 1  Introducción
• Chapter 2  Etapas generales en un análisis estadístico de datos
• 2.1  El Problema. Planteamiento e hipótesis
• 2.2  La Información estadística como base de la solución
• 2.3  El proceso de análisis de la información
• 2.4  Fases de una encuesta por muestreo.
• Chapter 3  Conceptos básicos en variables unidimensionales y bidimensionales.
• 3.1  Variables unidimensionales.
• 3.2  Variables bidimensionales.
• 3.3  Regresión y correlación.
• Chapter 4  Muestreo.
• 4.1  Muestreo aleatorio simple.
• Chapter 5  Inferencia estadística.
• 5.1  Estimación puntual.
• 5.2  Contraste de Hipótesis.
• 5.3  Análisis de la varianza.
• Chapter 6  Análisis Multivariante.
• Chapter 7  Análisis Exploratorio y Estadística Computacional.
• Chapter 8  Paquetes informáticos utilizados para el análisis de datos experimentales.
• Chapter 9  Ejemplo práctico.
• 9.1  Descripción del problema
• 9.2  Análisis Univariante
• 9.3  Análisis bivariante: Relación del bajo peso con el resto de variables
• 9.4  Análisis multivariante (y=pesorn)
• 9.5  Conclusiones

Chapter 1  Introducción

Hoy en día, la estadística empieza a tomar en la ciencia el lugar que le corresponde, quiero decir con ello, que se valora mucho más que hace ciertos años, cuando para entonces cualquier persona que conociera una base estadística creía tener conocimento suficiente como para verse capaz de realizar cualquier análisis estadístico, ya que el usuario que no es especialista cree saber usar la estadística simplemente por el hecho de creer saber manejar un programa estadístico, lo que constituye el caldo de cultivo perfecto para cometer barbaridades estadísticas en un análisis de datos. La realización de un análisis de datos es un proceso metódico que comienza con el diseño, preparación y exploración de los datos que serán analizados y después de un proceso de estudio y análisis finaliza con la aplicación de las técnicas adecuadas y la interpretación estadística de los resultados, por lo que necesariamente deberá ser efectuado por un especialista bien formado y nunca por un simple usuario.

La principal dificultad en el uso de la Estadística por parte de un usuario que siendo ajeno a ésta, la emplea, suele ser el lenguaje que utiliza. Como toda Ciencia, la Estadística formula abstracciones de la realidad y por tanto necesita de un lenguaje o términos propios. El dominio del mismo es fundamental para entender la Estadística y para comunicarse con un experto con el fin de obtener los resultados deseados. A efectos prácticos, es lo mismo decir que se ha tomado una muestra de 5 individuos al azar entre 100 estudiantes, que decir que se han sacado 5 bolas al azar de entre las 100 bolas de una urna, pero el segundo planteamiento permite establecer el modelo para otros problemas similares.

La Estadística no es ningún procedimiento milagroso que permita obtener cualquier conclusión que se desee con independencia de los datos disponibles, sino que es un método riguroso de análisis de las observaciones basado en hipótesis fundamentales que no pueden ser violadas. No sólo es importante conocer los métodos estadísticos, sino también sus limitaciones. Un método resulta útil para responder a una determinada cuestión, bajo ciertas hipótesis, y el incumplimiento de alguna de esas hipótesis simplemente invalida el método. Por otra parte, un mismo conjunto de datos es susceptible de ser analizado en varios modos alternativos siendo cada uno de ellos útil para una determinada cuestión planteada, aunque no para otras, teniendo también en cuenta que una misma cuestión puede obtener respuesta a través de varias técnicas, unas mejores que otras dependiendo de la situación, por lo que es necesario conocerlas y saber cuando aplicarlas.

Desgraciadamente están bastante extendidas determinadas afirmaciones y usos estadísticos erróneos que abonan el campo a otras afirmaciones despectivas que sólo reflejan un profundo desconocimiento del método estadístico del que las suscribe. La célebre frase de Disraeli, -Hay tres tipos de mentiras: mentiras, condenadas mentiras y mentiras estadísticas-, son ejemplos de sátiras que reflejan los prejuicios de la sociedad ante esta disciplina motivados por la dificultad de su correcto conocimiento y como consecuencia por el mal uso de la misma. El único modo de descubrir los tratamientos o conclusiones erróneas consiste en estar avezado en el método estadístico.

Lo que vamos a tratar en los siguientes capítulos será una pequeña introducción para realizar un proyecto estadístico, en los que abarcaremos los distintos puntos a tener en cuenta para realizar correctamente un estudio estadístico.

Chapter 2  Etapas generales en un análisis estadístico de datos

En este apartado se pretende la descripción de un procedimiento general para el análisis estadístico de datos, y por tanto, el proceso de actuación será sistemático, empírico, inductivo, crítico y analítico.

Desde un punto de vista general, las etapas del análisis pueden resumirse de la siguiente forma:

• Presencia y planteamiento del problema.
• Exploración del problema.
• Modelización del problema mediante formulación matemática e hipótesis estadísticas.
• Contraste y validación de hipótesis.
• La Solución: Decisión, ejecución y validación.

El problema es el origen de la investigación y no es más que una interrogante sobre la realidad, que en su origen, generalmente es impreciso y abstracto por lo que resulta necesario concretarlo claramente siguiendo un procedimiento sistemático.

Para la precisión del problema se requiere el estudio teórico en profundidad del aspecto en consideración, el cual será completado con un estudio empírico mediante información recogida de la realidad que permita obtener un conocimiento genérico de ella.

Una vez efectuada la labor informativa y de estudio, sobre la base de ésta, se procederá al enunciado preciso del problema y de los objetivos de la investigación.

A continuación, se requiere que sean imaginadas las posibles soluciones o hipótesis más probables para proceder a su verificación. Para ello, será necesario precisar qué variables serán consideradas en la investigación. Qué otras variables pueden influir en los resultados y prever los procedimientos a utilizar y su control y, finalmente, habrá que determinar los datos específicos y la forma de su obtención para recabar la información necesaria sobre las variables en consideración.

Resulta especialmente importante planificar adecuadamente una experiencia para la obtención de datos con la intención de que los resultados que se obtengan ofrezcan respuesta a las cuestiones que deseaban plantearse. Un planteamiento defectuoso o incorrecto puede originar la obtención de datos inservibles que hay que desechar, datos incorrectos que, siendo también desechables, son difíciles de localizar, o simplemente a datos insuficientes con los que no se puede concluir nada o datos excesivos que representan un coste innecesariamente elevado que no ofrecen más información.

Este proceso requiere la elección de la población sobre la que se realizará la investigación y por tanto adoptar la decisión acerca de si se estudiará toda la población o por el contrario una muestra o subconjunto representativo de ésta. Así, la determinación de los datos requiere la construcción de los instrumentos para su recogida y para su validación.

Todo lo anterior estará relacionado con la forma del tratamiento de los datos para un análisis adecuado. Tanto la determinación del problema, la elección de las variables representativas, el planteamiento de las hipótesis, la elección de los datos y el análisis de los mismos son aspectos totalmente interrelacionados entre sí que el investigador no debe nunca considerar de manera independiente ya que todas las etapas del proceso forma parte de una metodología conjunta.

Una vez obtenidas las conclusiones, se comparan con las hipótesis efectuadas y la teoría fundamento de la cuestión investigada. Los resultados serán contrastados y servirán para determinar la solución del problema o bien la iniciación de un nuevo análisis para seguir la búsqueda de ésta.

Es necesario tener presente que aunque el proceso descrito es un método general para la resolución de problemas, no existe un esquema exacto que permita resolver cualquier análisis de datos de manera automática, es decir, donde las etapas para conseguir la solución estén completamente determinadas sin más información que la definición del problema. Existen pautas de actuación, en algunos casos con elevada exactitud, pero no existen acciones automáticas en un proceso de análisis de datos ya que a diferencia de un proceso de producción, no existen dos problemas que no puedan considerarse distintos, en algún aspecto o a lo largo del tiempo, y por tanto no puedan considerarse diferentes. Es por tanto imprescindible la supervisión de un profesional en todo el proceso de solución de cualquier problema.

2.1  El Problema. Planteamiento e hipótesis

La determinación del problema constituye la primera fase de la investigación. Puede resumirse como la respuesta a dos preguntas: qué investigar y qué se pretende encontrar. Comporta la elección del campo de estudio y de las cuestiones que plantee. El problema que deberá investigarse no será vago y genérico sino por el contrario concreto y estar formulado de la manera más concreta posible. Muchos proyectos fracasan por falta de objetivos claramente definidos y precisos.

El proceso que se debe seguir en la determinación del problema suele ser un aspecto de selección de cuestiones de interés basada principalmente en la agudeza intuitiva, en el que no existen reglas fijas ni suelen servir las fórmulas previas.

Aunque todos los aspectos de la resolución de problemas están relacionados entre sí, puede efectuarse una clasificación en función del carácter temporal de la naturaleza de la solución que pretendemos estimar. Por tanto, en lo que sigue, se estructurarán los problemas y técnicas para la resolución en tres grandes grupos: A corto, medio y largo plazo.

Dentro de los primeros grupos, las acciones que se adoptarán frente a los problemas serán determinadas mediante la Estadística y la Investigación Operativa, dependiendo de la naturaleza de la solución. Cuando la solución al problema se plantea a largo plazo intervendrán además las técnicas Prospectivas especialmente ideadas para esa situación.

Una vez determinado explícitamente el problema habrá que prestar especial atención en el inicio del proceso de investigación al planteamiento de las hipótesis, que desde el punto de vista del problema pueden definirse como soluciones probables, previamente seleccionadas y que son propuestas para comprobar su verificación a lo largo de todo el proceso de investigación. Esas hipótesis también dependerán del objetivo temporal de la solución del problema en cada caso y su formulación, generalmente, determinará el futuro de la investigación.

Por tanto, después de haber determinado el problema en cuestión, deberá preguntarse cuál o cuales son las soluciones posibles a dicho problema. Como contestación a esa pregunta se elegirán aquella o aquellas soluciones más verosímiles, es decir, las hipótesis, cuya validez será la que sea comprobada mediante la investigación.

De la definición del problema y el planteamiento de las hipótesis se derivarán las variables que será necesario estudiar en virtud de las cuales será determinada la posible solución del problema.

2.2  La Información estadística como base de la solución

Una vez definido el problema y planteadas las hipótesis para su verificación, el siguiente paso consiste en la búsqueda de información sobre la cual se base la solución del problema. Esa información puede ser de varios tipos aunque aquí se clasificará en dos: teórica, sobre situaciones similares a la presentada o documentación al respecto, etc..., e información proveniente de datos que reflejen la realidad, que será la que se tratará en lo que sigue.

Aunque en algunos procesos para la resolución de problemas a largo plazo como son las técnicas de la Prospectiva, se utilice como información ideas o conceptos provenientes de la opinión personal, éstos también serán considerados como datos. Así pues, la búsqueda de la solución al problema se efectuará básicamente partiendo de la información que suministren los datos sobre la situación o contexto real en que se define el problema.

Antes de describir los tipos de datos y sus particularidades es necesario tener presente que unido al planteamiento de las hipótesis estará el entorno donde el problema obtendrá su solución y por tanto habrá de ser perfectamente descrita la población cuyo estudio ofrecerá la información necesaria para el objetivo que se pretende que es la resolución del problema.

Pueden distinguirse en líneas generales tres tipos de datos que pueden ser manejados. Censos o listados exhaustivos con información de interés sobre cada individuo de una determinada población estadística, muestras formadas por un subconjunto determinado de individuos de una población obtenidas mediante algún procedimiento adecuado y finalmente, experimentos e investigación bajo control Veamos la diferencia entre ellos.

• Un censo será una enumeración exhaustiva de una población en un instante del tiempo con respecto a las características de interés. Puesto que toda la población estará incluida constituyen la base de datos con mayor información posible. El inconveniente principal de éstos es la dificultad de su obtención.
• Una muestra es un subconjunto de la población obtenido de forma que la información suministrada por los datos de dicho conjunto sea lo más representativa posible de toda la población con el mínimo margen de error. Tiene el inconveniente que siempre se comete un pequeño error o diferencia entre la información de la muestra y la que se hubiese obtenido al usar el censo aunque tiene la gran ventaja de hacer posible la obtención de información en la mayoría de los problemas.
• Una experimento o investigación bajo control es una toma de datos de unidades sometidas a un riguroso control científico con el inconveniente de no ser representativos de una población y la ventaja de que toda la información puede ser controlada para ser obtenida sin perturbaciones.

La información que suministra un experimento o investigación bajo control es la más adecuada al estar exenta de perturbaciones indeseables. No obstante no es representativa de ninguna población ni es aleatoria por lo que no pueden derivarse conclusiones respecto a la población motivo del problema.

La situación ideal sería la de un experimento sobre toda la población con lo que se conseguiría la totalidad de la información exenta de perturbaciones. Puesto que prácticamente nunca es posible, el siguiente paso sería el estudio de un censo obtenido directamente y lo más actual posible de la población sobre los aspectos en estudio, lo cual también suele resultar muy difícil y excesivamente costoso. Así pues, lo normal suele ser una alternativa a lo anterior mediante el muestreo estadístico.

Una vez determinado el conjunto de individuos u objetos de los que se obtendrá la información para la resolución del problema, el siguiente paso consiste en determinar la naturaleza de los datos que se obtendrán y que en muchos casos no serán motivo de una elección sino que estarán determinados en virtud de la información que pueda y deba ser recogida.

Puede distinguirse entre los datos de relación entre pares de individuos o de características individuales. Respecto a ambos tipos, se considerarán las variables sobre las que se organizará la información para su análisis estadístico. Las variables se dividirán de acuerdo al tipo de escala de medida; nominal, ordinal, intervalo o razón. Esta división será simultáneamente considerada junto a la distinción clásica entre variables cuantitativas o cualitativas según la naturaleza de sus modalidades, donde dentro de las primeras se distinguirá entre discretas o continuas y de las segundas en dicotómicas o multicategóricas.

Todas las distinciones anteriores no son arbitrarias sino por el contrario, indispensables en un proceso para la resolución de problemas ya que, además de las restricciones naturales de cada técnica estadística, asociado cada tipo de datos existen solo determinadas técnicas estadísticas que podrán ser empleadas.

A partir de este punto, la información se supondrá organizada en variables estadísticas con unas características determinadas por el problema y asociadas a las cuales será necesario elegir la técnica más adecuada para la obtención de la solución al problema.

2.3  El proceso de análisis de la información

Es en esta etapa del proceso de resolución donde se deberá elegir la técnica o conjunto de técnicas estadísticas asociadas a los datos y a los objetivos perseguidos, dentro de una nueva subetapa que pude dividirse a su vez en tres fases secuencialmente organizadas: exploración, depuración y análisis.

La exploración de los datos es la primera fase del análisis en la que intervienen gran variedad de técnicas estadísticas tanto numéricas como gráficas, siendo su objetivo la verificación de los datos y la determinación de las estructuras y patrones que subyacen en éstos si asumir ninguna hipótesis previamente definida y restrictiva de ninguna técnica.

Mediante el análisis gráfico de los datos, relaciones y residuos se observan estructuras que pueden estar escondidas para los procedimientos puramente numéricos, por lo que la información suministrada permitirá corregir las técnicas que serán empleadas para la toma de decisiones y en algunos casos sustituir a éstas.

En definitiva, la exploración es una fase previa a cualquier análisis imprescindible, que permitirá entre otras, la comprensión de la naturaleza de los datos, sus estructuras y la corrección de deficiencias.

La depuración de los datos es la etapa previa al análisis y suele surgir como consecuencia de la detección, en la fase de exploración, de errores en los datos con una solución factible.

Mediante la representación de los datos pueden solventarse algunas deficiencias en los datos que imposibilitan la aplicación de técnicas estadísticas de alto nivel, imprescindibles para la verificación de hipótesis o para la predicción temporal.

Aunque mediante la aplicación de una transformación adecuada pueden solventarse en algunas situaciones problemas de datos anómalos, falta de simetría o heteroscedasticidad en varias variables, es necesario tener presente que una transformación solo podrá ser aplicada cuando la información y conclusiones derivadas de los datos transformados puedan ser extrapoladas a los datos originales.

El análisis propiamente dicho de los datos es la segunda fase y donde intervienen prácticamente todas las técnicas disponibles de la estadística al servicio de obtener la información deseada de los datos previamente explorados.

Dependiendo de la naturaleza de los datos, del problema que se trata de resolver y de las hipótesis formuladas al respecto, se usarán unas técnicas u otras para la resolución del problema. En líneas generales, en función del intervalo temporal donde se espera conseguir la solución, se hablará de técnicas a corto, medio y largo plazo. A corto plazo pueden emplearse todas las técnicas de la Estadística e Investigación Operativa. A medio plazo suelen considerarse algunas técnicas estadísticas en las que interviene una variable temporal como ocurre en los procesos estocásticos y series cronológicas, así como determinadas técnicas de la investigación operativa. Finalmente, a largo plazo, suelen emplearse los procedimientos y técnicas relacionados con la Prospectiva.

No existe ninguna norma general que indique en una situación concreta qué técnica estadística es la adecuada sino que en la mayoría de los casos depende de la experiencia del investigador. No obstante, pueden considerarse algunas directrices que permiten orientar el camino que deberá seguirse para que desde el planteamiento del problema pueda alcanzarse su solución siguiendo los pasos anteriormente indicados.

Por ejemplo, puede hacerse una clasificación de las técnicas estadísticas a corto plazo en virtud del problema que resuelven, teniendo presente que la aplicación de éstas también depende de otros factores como antes fue comentado.

Así, la Estadística Descriptiva y el Análisis Exploratorio de Datos serán empleados fundamentalmente para la fase de descripción y exploración de los datos. Técnicas como la Correlación y Regresión permiten el estudio de relaciones entre variables. Los contrastes de medias o medianas y el Análisis de la Varianza permiten la comparación entre dos o más poblaciones sobre un mismo aspecto, las Tablas de Contingencia permiten el estudio de dependencias entre variables. Las técnicas multivariantes como el Análisis Factorial, el Análisis de Componentes principales o el Análisis de Correlaciones Canónicas permiten la reducción de la dimensionalidad. Otras técnicas multivariantes permiten el estudio de agrupamientos como el Análisis Cluster o Análisis Discriminante. Otros estudian variables a lo largo del tiempo como los Modelos Econométricos, el Análisis de Series Cronológicas.

Además de para las funciones antes descritas, muchos de los modelos anteriores serán útiles en más de una circunstancia y no solo en la situación global en que han sido encasillados. Además, para otros tipos de datos con menos restricciones como los categóricos, existen técnicas alternativas a las anteriores que tratan de desempeñar funciones parecidas.

A todo lo anterior resulta imprescindible unir las técnicas propias de la Investigación Operativa que permiten la solución de determinados problemas siguiendo criterios de optimización de una función objetivo sujeta a restricciones.

En este proyecto se pretende la construcción de un procedimiento general que supervisado por un especialista permita la resolución de un problema mediante el empleo de técnicas como las descritas anteriormente de la forma más precisa posible. Para ello, además de las técnicas a emplear y las diferentes etapas del proceso deberá formar parte muy importante las herramientas para la ejecución y por tanto la intervención de la Estadística Computacional.

La Estadística Computacional es realmente un campo entre dos disciplinas: la Estadística y la Informática, que proporcionan herramientas complementarias cada vez más solicitadas en otras áreas de la Ciencia.

Es importante pero quizá no evidente a primera vista la universalidad de estas herramientas. La Estadística trata sobre cómo acumular información, cómo recabar mejor la información de unos datos, cómo recoger los datos para llegar a un máximo contenido de la información y cómo extraer de los datos las conclusiones para un mayor conocimiento. Muchos conocimientos implican procesar y combinar datos de diversas maneras, tanto numérica como simbólicamente y la Informática trata de cómo se pueden realizar mejor estas computaciones o manipulaciones calculando el costo inherente de procesar la información, estudiando cómo se puede representar con provecho la información o conocimientos y prestando especial atención a los límites de lo que puede ser convenientemente manipulado desde el punto de vista computacional.

2.4  Fases de una encuesta por muestreo.

Al realizar un estudio estadístico, lo primero en lo que debemos pararnos será en el objetivo que pretendemos con este estudio, en cuales son las conclusiones que vamos buscando, que datos y herramientas nos hacen falta para llevar acabo dichos procedimientos, etc.

Por lo tanto en este capítulo se pretende dar una visión general de los distintos aspectos a tener en cuenta en el diseño, tratamiento y validación de una encuesta, (puesto que al realizar el estudio, los datos que tratemos pueden venir dados en una base de datos, o tenemos que ser nosotros mismos los encargados de recogerlos),sin pormenorizar en cada una de las técnicas que pueden aplicarse en el tratamiento de una encuesta entre los que se encuentran:

• Los Procedimientos de Regresión e imputación de datos.
• Los Procedimientos de Análisis Cualitativo en el cruce de las variables de que se compone la encuesta.
• Los Métodos del Análisis Multivariante como el Análisis de correspondencia o el Análisis Factorial.

Sin olvidarnos del uso de la Estadística Descriptiva, el Análisis Exploratorio de Datos, el Análisis Gráfico-Estadístico, etc.

Por tanto, vamos ahora a desarrollar las fases a tener en cuenta en la puesta en práctica de una encuesta, sucuencialmente los pasos a seguir desde la concepción hasta la publicación de los resultados de una encuesta son:

1. Diseño teórico.
   
   En el que se tendrán en cuenta:
• El análisis del problema o definición de los objetivos de la investigación.
• Ambito de la investigación: población estudiada, periodo de tiempo del estudio y zona geográfica en que se desenvuelve, entre otros aspectos.
• Definición de las unidades básicas de las que se obtiene la información: hogares, empresas, personas, etc.
• Características generales del cuestionario: extensión, necesidad de pretest.
• Procedimiento de muestreo: tipo de éste y tamaño de la muestra a considerar.

Por último, también a nivel teórico es conveniente fijar la metodología de recogida, depuración y tratamiento estadístico de la información.

2. Diseño del cuestionario.
   
   En el que se tratarán de implementar las líneas básicas de las que se habla en la fase anterior, con especial atención al tipo y número de preguntas que contendrá, así como a la necesidad de un pretest que contraste la adecuación del mismo a la situación en que se lleva a cabo.
3. Diseño de la muestra.
   
   Puesta en práctica del tipo de muestreo ya decidido. Para ello se formará el marco en que se realizará el muestreo o actualizarlo si se dispone de uno anterior. Se establecerá la jerarquía de las unidades de muestreo, si hay que estratificar la población, así como determinar el tamaño de la muestra y el procedimiento de selección. En esta fase también se evaluará la conveniencia de efectuar diseños más complejos que los previamente establecidos, o por el contrario, en el menor número de casos, simplificar éste, debido entre otros motivos a la homogeneidad de las unidades en estudio.
4. Recogida de la información:
   
   Ésta se podrá efectuar mediante diversos métodos, entre los que encontramos:
• La entrevista clásica, o sobre papel (PAPI).
• Las encuestas por correo.
• Las entrevistas personales asistidas por ordenador (CAPI).
• Las entrevistas telefónicas asistida por ordenador (CATI).
• las auto-entrevistas asistida por ordenador.

5. Depuración de datos.
   
   En la que se pretende por una parte, mejorar la calidad de los datos, (corrigiendo errores, detectando valores anómalos, etc.)y por otra, evaluar la calidad de los datos, con el objeto de asegurar que la toma de éstos o el procedimiento de muestreo ha sedo adecuado.
6. Chequeo y validación de la muestra.
   
   En el que se estudiará el cumplimiento de la encuesta en cuanto a la cobertura, calidad, número de entrevistas obtenidas, etc., así como a implementar acciones que mejoren ésta como la post-estratificación.
7. Análisis estadístico primario.
   
   Por éste entendemos la obtención de tablas del plan de explotación, estadísticas descriptivas de variables simples, regresiones simples, un análisis exploratorio de datos que muestre la necesidad de transformación de variables, etc.
8. Evaluación de errores.
   
   Ya que antes de obtener conclusiones definitivas del análisis primario debemos estudiar la fiabilidad de las estimaciones obtenidas y que factores no determinados han podido afectar a tales estimaciones. Para ello se hará un estudio de los errores muestrales, el efecto del diseño de muestreo, y si es necesario utilizar métodos de remuestreo.
9. Interpretación, presentación y publicación de los resultados.
   
   Uno de los aspectos más importantes es la presentación del informe de resultados junto con las tablas y gráficos obtenidos, donde se puede optar por presentarlas en un apéndice propio.

Una vez realizadas estas fases, la información obtenida en su conjunto debe ser almacenada en bases de datos, para facilitar su posterior reexplotación o tratamiento. Esta acción, que se puede obviar en encuesta de propósito reducido, es ineludible en otro tipo de encuestas específicas como son los paneles (de la investigación sociológica y comercial), y en otras que en su metodología tengan implícitos análisis estadísticos dinámicos.

Chapter 3  Conceptos básicos en variables unidimensionales y bidimensionales.

3.1  Variables unidimensionales.

La descriptiva es un concepto muy importante dentro de la estadística, nos introduce al muestreo y a la inferencia, nos ofrece importantes datos que nos facilitará el conocimiento de la población. Las ciencias empíricas suelen estar limitadas, el conocimiento científico, que se adquiere a partir de ellas, también lo está, ya que las conclusiones deben ser más amplias que la simple observación de los datos.

La idea de muestra viene determinada por dos ideas contradictorias, como son la representatividad (significa que la muestra se parece o debe en cierto modo representar a la población que estamos estudiando) y la variabilidad (indica que una muestra puede ser diferente a otra).

La lógica de la inferencia estadística es difícil, Pearson, estableció un puente entre la estadística descriptiva y la probabilidad. Usó los resúmenes de los datos para extraer inferencias sobre distribuciones básicas, (que trataremos en otro capítulo), y creó el test de Chi-cuadrado de adherencia de ajuste.

Los trabajos de Fisher también aportan una gran cantidad de ideas, inspirado en la teoría de los test de hipótesis, así como creó los cimientos del diseño de experimentos y el análisis de la varianza.

Pues bien, antes de entrar más profundamente en estos temas, trataremos una serie de conceptos importantes a tener en cuenta, para así facilitar la comprensión de este manual.

1. Variables, población y muestra.
• Variable:
  
  Llamamos variable cuantitativa a un fenómeno que pueda ser expresado en términos numéricos, como puede ser el número de habitantes de un país, la altura, el peso, superficies, volúmenes ...
  
  Y llamaremos variable cualitativa al fenómeno que trata todo lo contrario, aquellos datos que no pueden ser expresados numéricamente, como pueden ser el nivel de estudios, el sexo ...
• Población:
  
  Denominamos población a un conjunto de elementos que tienen ciertas características comunes.
  
  Pero hay veces que por algún motivo nos es imposible tomar todo el conjunto de individuos, por ser muy costosa la recogida de estos datos, porque han sido destruidos alguno de los elementos que contiene el conjunto...Por lo que recurrimos a una muestra.
• Muestra:
  
  Una muestra de un conjunto de elementos es un subconjunto de dichos individuos que representarán a toda la población que estamos estudiando.

2. Distribuciones de frecuencias.
• Frecuencias:
  
  Representa el número de veces que se repite una observación de un fenómeno.
• Frecuencias absolutas n_i:
  
  Se llama frecuencia absoluta del nivel i-ésimo de un factor al número de veces que éste se representa para un individuo concreto.
• Frecuencias relativas f_i:
  
  Es el cociente entre el número de veces que aparece un nivel entre el total de los datos a considerar.
  
  § Las frecuencias tanto absolutas como relativas pueden ser también acumuladas, así la frecuencia absoluta acumulada N_i es el número de elementos con un nivel igual o inferior al i-ésimo, siendo la frecuencia relativa acumulada F_i el cociente de la anterior entre el número total de elementos.
  
  § La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al numero total de elementos N. Y la suma de todas las relativas es igual a la unidad.
• Intervalos:
  
  El conjunto de niveles que toma una variable junto con sus frecuencias se le llama distribución de frecuencias, que dependiendo de como se hayan representado los factores podemos distinguir dos tipos:
  
  ® Las que no se agrupan por intervalos, es decir aquellas cuya información viene ligada a la categoría de la variable y a su frecuencia.
  
  ® Las que aparecen con sus valores observados agrupados, quizás por el elevado número de observaciones, obteniendo sus frecuencias para cada intervalo al sumar todas las de su categoría. En este caso, las frecuencias observadas son asignadas por los valores del intervalo considerando que se distribuyen uniformemente o considerar como representativo un único valor denominado marca de clase :

Xi =	Li-1 + Li 2

• 
  donde L_i+1 y L_i son los límites superior e inferior del intervalo i-ésimo.
3. Medidas de posición.
   
   Las medidas de posición permiten situar la distribución con respecto a un origen.
• Media aritmética:
  
  Es la suma de todos los valores de la distribución dividida entre el total de elementos:

x

=

n å i=1

xi ni N

• Mediana:
  
  Al ordenar los datos de menor a mayor definimos las mediana como el valor de la distribución que deja a su izquierda y su derecha el mismo número de elementos, o el valor central cuando el número de elementos es impar, en caso de se par se toma la media aritmética de los dos valores centrales.
• Moda:
  
  Es el valor de la variable que está presente con mayor frecuencia, puede darse el caso de que existan más de una, con lo cual diremos que es plurimodal.

5. Medidas de dispersión:
   
   Las medidas de dispersión se encargan de calcular la representatividad de un promedio, con lo que habrá que calcular las distancias que existen entre los valores observados y el promedio.
• Varianza:
  
  Esta medida nos proporciona el grado de representatibidad de dicho promedio, de modo que si toma valores altos indica una dispersión elevada, con lo cual la media aritmética no será representativa:

S2=

n å i=1

(xi-x)^2 ni N

• Desviación Típica:
  
  Se le llama así a la raíz cuadrada de la varianza, siempre con signo positivo:

S=S²

• Coeficiente de variación de Pearson:
  
  Este coeficiente se define como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética, de modo que a mayor valor del coeficiente menor representatividad de la media, y viceversa.

CV=

S x

3.2  Variables bidimensionales.

Hasta ahora todo lo visto es dado para variables unidimensionales, pero existen casos en los que se consideran simultáneamente dos caracteres de una misma población, en este caso a cada valor observado le corresponde un par de modalidades, estamos entonces ante distribuciones bidimensionales, cada frecuencia corresponde a un par de valores, de cualquier modo sería posible realizar un estudio por separado de ambas, (tales distribuciones son llamadas marginales); sin embargo lo que nos interesa es un estudio simultáneo de ambas características, es decir estudiar su distribución conjunta, para lo cual necesitamos de una tabla de correlación y una tabla de contingencia, y así poder establecer la relación que existe entre ellas.

1. Tablas de correlación.
   
   Supongamos que deseamos estudiar dos variables cuantitativas, X con h niveles e y con k, seleccionando una muestra de tamaño N, de modo que los valores observados para cada variable serían x₁...x_h e y₁...y_k, donde n_ij es la frecuencia absoluta conjunta y n_i. junto con n_.j son las frecuencias marginales:

ni.=

k å j=1

nij

n.j=

h å i=1

nij

h å i=1

ni.

=

k å j=1

n.j

=

h å i=1

k å j=1

nij=N

4. 
   de donde podemos obtener las siguientes frecuencias:
   
   |® Frecuencias relativas conjuntas:

fij=

nij N

5. 
   |® Frecuencias relativas marginales:

fi.=

ni. N

6. 
   |® Frecuencias relativas condicionadas:

fi/j=

ni/j n.j

7. 
   Igual para la variable dependiente Y.
   
   De modo que la media varianza y desviación típica tendrían la siguiente forma:

x

=

h å i=1

xi

ni. N

y

=

k å j=1

yj

n.j N

Sx^2=

h å i=1

xi-x^2

ni. N

Sy^2=

k å j=1

yj-y^2

n.j N

11. S_x=S_x²
12. S_y=S_y²
13. 
    Y donde la covarianza, una medida de gran importancia, puesto que puede tomar valores negativos lo que significará que las variables varían en sentido contrario:

Sxy=

h å i=1

k å j=1

xi-xyj-y

nij N

15. Tablas de contingencia.
    
    Consideramos ahora una población de N individuos sobre la que queremos analizar un factor 1 designado por A₁...A_r y un factor 2 designado por B₁...B_c; donde r y c son las modalidades de ambos factores, n_ij es el número de individuos que presentan A_i y B_j. Esta tabla va a ser una tabla de doble entrada, cuya interpretación es similar a la de correlación, siendo:

ni.=

c å j=1

nij

n.j=

r å i=1

nij

N=

r å i=1

c å j=1

nij

18. 
    A partir de aquí podemos calcular las frecuencias del mismo modo que hemos hecho en la tabla anterior.

Cuando se analizan conjuntamente dos características, un concepto de gran importancia es el de la independencia, (dos variables o factores son independientes cuando no existe relación entre ellas), así que vamos a dar un pequeño esquema de como detectar la no presencia de asociación entre dos caracteres analizados:

• Se construyen la Tabla de Correlación o de Contingencia y se calculan las respectivas distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas.
• Las variables serán independientes si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1. Las frecuencias relativas marginales coinciden con las frecuencias relativas condicionadas:

fi/j=

ni. N

2. " i,j

fj/i=

n.j N

4. La frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales:

nij N

=

ni. N

n.j N

• 
  De estas dos condiciones se extrae una conclusión de gran interés: cuando dos variables son independientes su covarianza es nula.

3.3  Regresión y correlación.

Este apartado lo vamos a dedicar al estudio de la asociación entre caracteres cuantitativos, donde la regresión nos permitirá determinar cuál es la estructura de dependencia que mejor explica el tipo de relación existente entre los dos caracteres y la correlación nos indicará el grado de dicha relación.

Supongamos que existe una variable explicativa X mediante la cual queremos deducir el comportamiento de una variable dependiente y; tenemos una distribución conjunta de frecuencias (x_i;y_j;n_ij); denominamos entonces como regresión de Y sobre X a la función que explica el comportamiento de y para cualquier valor de X, para determinar tal función podemos acudir a dos tipos de regresión:

1. Regresión de tipo I: donde se asigna como valor teórico de Y correspondiente a cada uno de los x_i " i=1...mla media de los valores de Y condicionados a X=x_i.
2. Regresión de tipo II: donde se toma como valor de Y para cada uno de X el deducido de una función ajustada por mínimos cuadrados.

Supongamos que nos encontramos en el caso más sencilla, en el que la función se puede ajustar por medio de una recta, (nos encontramos en el caso lineal):

Y=a+bx

donde a cada x_i le corresponden dos valores de Y, el observado y_j y el teórico y_j^*, de modo que la diferencia entre ambos nos da lugar al residuo e_j:

e_j=y_j-y_j^*

Pues bien, el método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los parámetros desconocidos a y b de forma que los residuos sean mínimos. En nuestro caso tendríamos que minimizar la siguiente expresión:

F=

å i

å j

(yj-a-b xj)^2 nij

derivamos respecto de los parámetros desconocidos:

¶F ¶ a

=

å i

å j

(yj-a-b xj)^2 nij=0

¶F ¶ b

=

å i

å j

(yj-a-b xj)^2 xinij=0

de modo que operando:

a=y-bx

b=

Sxy Sx^2

donde a es el término independiente, y b es la pendiente de la recta o coeficiente de regresión.

Para saber si las variables están o no relacionadas, utilizaremos la varianza residual, que viene descrita por la siguiente expresión:

Sry^2=

å i

å j

(ej-e)^2

nij N

siendo e_j=y_j-y_j^* de modo que si e=0 entonces:

Sry^2=

å i

å j

(yj-yj^*)^2

nij N

de manera que si el valor de la varianza es alto existirá una baja relación entre X e Y.

Esta relación también la podemos medir mediante el coeficiente de correlación general:

R=

1-	Sry^2 Sy^2

en el caso lineal:

Rlineal=r=

Sxy SxSy

.

Esta medida se interpreta del siguiente modo:

• Si r=-1 ambas variables se encuentran perfectamente relacionadas, solo que su dirección es contraria.
• Si r=1 ambas variables están relacionadas y además siguen la misma dirección.
• Si r=0 nos indica que la correlación es nula, con lo cual por mucho que modifiquemos una la otra permanecerá constante.
• Si (-1<r<0;0<r<1) indica la relación que existe entre ambas siendo menor o mayor según se aproxime a ± 1 o a 0.

Y por último nos queda definir el coeficiente de determinación lineal r², que nos indica la bondad de ajuste.

Si este valor es nulo, nos indica que el modelo ajustado es poco útil, si en cambio es igual a 1 nos indicará que el modelo recoge las variaciones de la variable explicada a partir de la explicativa, mientras que si r² se encuentra entre ambos valores nos expresa la bondad de ajuste, que cuanto más se aproxime a 1 mejor será.

Chapter 4  Muestreo.

El propósito de la estadística de encuestas es obtener información acerca de poblaciones, existen dos estrategias para la recopilación de datos, examinar todas las unidades de la población, lo que llamaremos censo, y examinar ciertas unidades (muestra) es decir suponer que los resultados obtenidos son representativos de toda la población.

La decisión óptima entre muestra y censo consiste en minimizar la pérdida total en la que se incluyen, los recursos empleados (tiempo, dinero, recursos, etc.) y el error y la probabilidad de cometerlo.

Llamamos Población al conjunto de unidades del que se desea obtener información, (es posible contar en cada unidad una o varias características denominadas parámetros o características poblacionales), donde una muestra es el conjunto de unidades de la población de la que se obtiene la información.

Los valores que toman las variables que deseamos estudiar se llamarán valores verdaderos, y los que no coinciden con los verdaderos los llamaremos observados. Existen también los valores aproximados denominados estimaciones, que se verán afectados por un error debido al muestreo, (cuanto menor sea mayor será la precisión de los estimadores).

Un problema en los estimadores es elegir aquel que proporcione mayor precisión, de modo que si q es un estimador del parámetro q, una propiedad deseable será que dicho estimador sea insesgado del parámetro desconocido q, esto significa:

E(q)=q

Para medir la precisión del estimador utilizaremos su varianza mediante el error cuadrático medio:

ECM(q)=E(q-q)²

siendo el sesgo: B=E(q)-q

Llamaremos error de muestreo a la raíz cuadrada de la varianza del estimador.

El intervalo de confianza lo podemos obtener a partir de la desigualdad de Chebichef, tal como aparece en la siguiente expresión:

(q ± k ECM(q),)

que es un intervalo de confianza para el parámetro q con un grado de confianza de:

(1 -

1 k^2

) 100%

A continuación vamos a tratar algunos tipos de muestreo como son el muestreo aleatorio simple y el muestreo estratificado, dos tipos muy usuales y que nos proporcionan buenos resultados.

4.1  Muestreo aleatorio simple.

Es un muestreo de poblaciones finitas, cuando la muestra se obtiene unidad a unidad, sin reposición a la población, donde partimos de una población de N unidades de la cual extraemos una muestra de tamaño n, éstas son extraídas sucesiva e independientemente de las unidades con probabilidades iguales a:

1 N-t

; t=0,1,2...,n-1

donde la probabilidad de que una unidad cualquiera u_i pertenezca a la muestra es: n/N.

Los estimadores de los parámetros son X,X y P:

X=Nx

X=x

media

P

=

n å i=1

Ai n

proporción

donde x=å_i=1ⁿ x_i/n.

Las varianzas de los estimadores:

V(X)=N^2(1-f)

S^2 n

V(X)=(1-f)

S^2 n

V(P)=

N-n N-1

PQ n

donde Q=1-P y f=n/N llamada fracción de muestreo, siendo la cuasivarianza poblacional:

S^2=

N å i=1

(xi-X)^2 N-1

con intervalos de confianza:

(Nx± k

Ns n

1-f)

(x± k

s n

1-f)

(P± k

PQ n-1

(1-f)

)

Veamos ahora como determinar el tamaño de la muestra.

Una muestra que sea demasiado grande nos implica un desperdicio de recursos, mientras que una muestra demasiado pequeña disminuye la utilidad de los resultados, por lo que vamos a estudiar un procedimiento en el caso más sencillo de muestreo con probabilidades iguales, distinguiendo casos según el parámetro que interesa estimas, q, con un error máximo admisible, y un coeficiente de confianza p_k

1. Para estimar la media:

n=

n₀

1+

n0 N

2. 
   donde n₀=k²S²/e², k es el coeficiente correspondiente al coeficiente de confianza p_k.
3. Cuando se quiere estimar el total:

n=

n₀

1+

n0 N

4. 
   donde n₀=N²k²S²/e².
5. Y si lo que queremos es la proporción:

n=

n₀

1+

n0 N

6. 
   donde n₀=k²PQ/e².

Chapter 5  Inferencia estadística.

Para introducir este capítulo vamos a empezar hablando un poco de los instrumentos estadísticos más necesario para un buen análisis.

Dentro de la estadística descriptiva, la cual ya hemos tratado antes, es importante tener conocimiento de los histogramas y diagramas de probabilidad, los cuales son concepto básicos que podemos extraer de varios programas estadísticos asistidos por ordenador, como pueden ser STATGRAFICS o SPSS, dos paquetes en los que con solo seleccionar una serie de conceptos nos proporcionan dichos gráficos y muchos más que nos serán de gran utilidad en nuestro análisis.

Es importante también tener conocimiento de algunas distribuciones como son la Binomial, Poisson y Normal, (de las cuales hablaremos en este capitulo), además de aquellas asociadas al muestreo como son la Chi-cuadrado, t-Student y F de Snedecor, también sería interesante conocer la teoría de la estimación (inferencia) así como los Test de hipótesis y el análisis de la varianza junto con el diseño de experimentos.

Pues bien estos son algunos de los temas que vamos a ir tratando a continuación.

Recordemos que existen varios tipos de muestreo, dependiendo de si la población es finita o no, en este libro solo hemos tratado el muestreo aleatorio simple que debe regirse por:

• Las observaciones muestrales tienen la misma distribución de probabilidad que la población que se investiga.
• Las observaciones muestrales son independientes entre sí.

Pues bien la inferencia trata de hacer expresiones, predicciones y generalizaciones sobre la población estadística basándose en la muestra, este proceso puede llevarse a cabo de dos formas:

1. Mediante la estimación de parámetros.
2. Mediante el contraste de hipótesis.

5.1  Estimación puntual.

Supongamos una m.a.s. de tamaño n sobre X={X₁...X_n} llamadas variables muestrales, junto con sus valores observados {x₁...x_n}, tenemos además un estimador sobre un parámetro desconocido, de modo que llamaremos estimación puntual al valor concreto del estimador en una determinada realización.

Para hallar una aproximación a través de la estimación puntual procederemos del siguiente modo:

1. Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n sobre la característica X.
2. Anotamos la realización muestral.
3. Elegimos un estadístico, estimador q.
4. Calculamos la estimación puntual del parámetro poblacional, para lo que debemos sustituir las variables aleatorias por los valores concretos obtenidos en la realización muestral.

Nuestra pregunta ahora será, ¿cuál será el mejor estimador?, para ello vamos a ver las propiedades que dichos estimadores deben cumplir:

1. Si la esperanza del estimador coincide con el valor verdadero del parámetro, se dice entonces que el estimador es insesgado, en caso contrario será sesgado, interesándonos aquel estimador que sea insesgado.
2. La distribución del estimador debe tener una varianza pequeña, es decir nos interesa el estimador de mínima varianza, que coincidirá con la cota de Cramér-Rao.
3. Y además debemos tener en cuenta que a medida que aumente el tamaño de la muestra nuestro estimador debe ir mejorando, lo que llamaremos propiedad de consistencia.

Por lo tanto, nuestro estimador debe ser:insesgado, eficiente absoluto y consistente.

Para construir un buen estimador existen varios métodos: el de los momentos, el de la ji-cuadrado mínima, el de mínimos cuadrados, el método de Bayes,etc. nosotros vamos a destacar los siguientes:

1. Método de máxima verosimilitud : Supongamos que nuestro parámetro poblacional puede tomar valores q₁...q_n y nombramos a x como la realización muestral obtenida, calculamos entonces su probabilidades [P(x/q₁),...P(x/q_n)] de modo que si P[x/q_i] es la máxima probabilidad Þ q_i será el mejor estimador del parámetro.
   
   Estos estimadores cumplen tres condiciones:
• Si existe un estimador eficiente Þ el estimador máximo verosímil es eficiente.
• Bajo condiciones generales el estimador máximo verosímil es consistente.
• Y bajo condiciones generales dicho estimador se distribuye como un anormal de esperanza el parámetro y de varianza la cota de Cramér-Rao.

2. Estimación por intervalos:
   
   Una estimación puntual no nos mide la precisión de la estimación, para lo cual acudimos a la bondad de ajuste y al tamaño muestral, que nos proporciona una menor o mayor confianza en la estimación obtenida, a esta confianza la vamos a denotar por b%.
   
   De modo que tomamos un intervalo de confianza L₁£q£ L₂ donde q es el valor del parámetro desconocido y L₁ y L₂ son funciones de los valores muestrales, por lo tanto tomamos una muestra de la población y sustituimos en dichos intervalos, así obtenemos una confianza del b% de que nuestro parámetro desconocido esté o no en nuestro intervalo, tal que:

P[L₁£q£ L₂]=b

.

Nota: el mejor método para obtener este intervalo de confianza el método de Neyman-Pearson, que lo podemos encontrar en cualquier libro de estadística.

5.2  Contraste de Hipótesis.

Como hemos dicho antes la inferencia se puede llevar a cabo de dos formas, mediante la estimación de parámetros y mediante el contraste de hipótesis, pues dentro de éste podemos distinguir entre contrastes paramétricos y no paramétricos.

1. Contrastes paramétricos:
• Contraste de Neyman-Pearson:
  
  En cualquier contraste de hipótesis podemos distinguir entre la hipótesis nula, que es aquella en la que el proceso está bajo control, es decir cuando por ejemplo medimos una media y decimos que esta puede ser 1.5, mientras que la hipótesis alternativa recoge el resto de valores que puede tomar esta media, siendo evidente que si aceptamos una rechazamos la otra, de modo que si para una muestra determinada, un punto cae dentro de los límites de control se acepta la hipótesis nula, si por el contrario cae fuera se rechaza.

H₀: q=q₀

H₁: q¹q₀

Pero además existen dos tipos de errores: error de tipo I, llamado también falsa alarma, ocurre cuando un punto que se encuentra fuera de las líneas de control en realidad no debería rechazarse, sino que está fuera por puro azar:

a = P(error tipo I)=P(H₁/H₀)

Y denominamos no detectar un cambio al caso contrario, es decir, cuando un punto que queda dentro de los límites de control debería rechazarse, se trata del Error de tipo II:

b = P(error tipo II)=P(H₀/H₁)

La potencia del test se mide mediante: 1-b=P(H₁/H₁). Debemos saber también que existe una relación inversa entre las líneas de control y el tamaño de la muestra de modo que:

n aumenta Þ límites más estrechos Þ aumenta a y disminuye b

n disminuye Þ límites más anchos Þ disminuye a y aumenta b

La regla de conducta para elegir una u otra hipótesis consiste en fijar un subconjunto del espacio muestral que denominamos región crítica,(que puede ser unilateral o bilateral), se toma entonces una m.a.s. de la población y se establece un estadístico, de forma que si el estadística pertenece ala región crítica rechazamos la hipótesis nula, y en caso contrario la aceptamos.

• Contraste razón de verosimilitud:
  
  Llamaremos función de verosimilitud a aquella función que proporciona la verosimilitud de cada uno de los valores que puede tomar el parámetro en la muestra observada y que denotamos por L(X;q).
  
  En este caso para contrastar una hipótesis frente a otra se comienza por calcular la función de verosimilitud para el parámetro q haciendo referencia a la H₀, y el valor máximo de dicha función. De modo que realizamos el cociente entre ambos valores, proporcionándonos la razón de verosimilitud en la muestra X, denotada como l(X), valor que oscila entre 0 y 1.
  
  Posteriormente, una vez que hemos fijado a, determinamos un valor k tal que:

P[l(X)£ k]=a

donde (l(X)£ k) es la mejor región crítica, de la cual conocemos su distribución, por lo que:

si (l(X)£ k) rechazamos H₀.

si (l(X)> k) aceptamos H₀.

3. Contrastes no paramétricos:
   
   Dentro de los contrastes no paramétricos nos encontramos con los de bondad de ajuste y los de independencia.
• Contraste Kolmogorov-Smirnov de bondad de ajuste:
  
  Como alternativa al contraste de la c², en este test también consideramos que la masa total de probabilidad discreta es uniforme entre los N valores muestrales, de forma que la función de distribución empírica de la muestra es:

FN(x)=

Ni N

• 
  donde la N_i son las frecuencias absolutas muestrales acumuladas hasta el valor x.
  
  Pues bien, este test atiende a la mayor de las desviaciones verticales entre F_N(x) y F(x), donde el estadístico:
• D_N=max|F_N(x)-F(x)|
• 
  recibe el nombre de estadístico de Kolmogorov.
  
  Una vez definido el estadístico, fijamos el nivel de significación, buscamos en las tablas de valores críticos tal que:
• P(D_N>D)=a
• 
  Y nos regimos por la siguiente regla de decisión:
  
  si el valor del estadístico D_N es mayor que el del valor crítico D, entonces rechazamos la hipótesis nula; en caso contrario aceptamos.
• Contraste de independencia de la G²:
  
  Se presenta también como una alternativa al contraste c² de independencia. Supongamos que queremos contrastar, fijado un nivel de significación a, la hipótesis nula de independencia entre dos factores A y B, que presentan r y c niveles, se toma entonces una m.a.s. de tamaño N de una población bidimensional, y se clasifican en una tabla de contingencia.
  
  Pasamos a calcular, como antes, la verosimilitud bajo la hipótesis nula y el máximo que toma dicha función, hallamos el cociente entre ambos:

l(X)=

Õ ij

(

Eij nij

)^nij

• 
  donde n_ij son las frecuencias observadas, y E_ij las estimaciones de las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia.
  
  Una vez que se conoce este valor, se demuestra que -2 ln l(X) sigue una ji-cuadrado con (r-1)(c-1) grados de libertad, tal que :

-2 ln l(X)=-2

å ij

nij ln(

Eij nij

)

• 
  Conocida la distribución de nuestro estadístico, procedemos del siguiente modo:
  
  Calculamos el valor crítico C:
• P[c_(r-1)(c-1)²>C]=a
• 
  Si el valor de nuestro estadístico es mayor que el del valor crítico C, entonces rechazamos la hipótesis nula, en caso contrario aceptamos.

Veamos para concluir este capítulo, dos estadísticos importantes en pruebas paramétricas para la comparación de medias, (mediante la prueba t-Student) y para la comparación de varianzas, (con el estadístico F).

• La prueba t:
  
  Esta prueba es capaz de comparar dos medias procedentes de dos muestras estadísticas y discernir si son iguales, esta basada en la distribución del estadístico t-Student, que sigue una distribución normal, cuyo valor va a depender del nivel de significación y de los grados de libertad de la muestra, ofreciéndonos un valor crítico que se corresponde con el valor de la t tabulada y que dividirá la Normal en dos partes.
  
  Este valor crítico se comparará con el experimental, que viene dado por la siguiente expresión:
• Con desviaciones estándar iguales:

t=

(x₁-x₂)

s

(

1 n1

+

1 n2

)

s^2=	(n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2 n1+n2-2

• 
  donde los grados de libertad para la prueba se calculan como: (n₁+n₂-2), siendo los individuales para cada variable: (n₁-1)(n₂-1).
• Con desviaciones diferentes:

t=

(x₁-x₂)

(

s1^2 n1

+

s2^2 n2

)

• 
  De modo que para cumplirse la hipótesis nula deberá cumplirse: t_exp<t_tab.
• La prueba F:
  
  Esta prueba nos permite comparar varianzas de dos muestras, de modo que se debería aplicar antes que la prueba t, con el objeto de saber si las varianzas son iguales o diferentes.
  
  En este caso el estadístico experimental toma el valor:

F=

s1^2 s2^2

• 
  y la F tabulada la buscaremos en la tabla de la F, el del numerador, el del denominador y su correspondiente nivel de confianza. De manera que como antes para aceptar la hipótesis nula debe cumplirse: F_exp<F_tab.

5.3  Análisis de la varianza.

El análisis de la varianza es la primera prueba de significación que trata de comparar más de dos variables, para poder aplicarlo requiere que los datos cumplan algunos supuestos como son:

• Independencia de los datos: sería bastante bueno que el muestreo fuese aleatorio, para de este modo poder asegurar la independencia de los datos, puesto que la dependencia de los datos provoca el no cumplimiento de las siguientes condiciones.
• Normalidad: si los datos son independientes nos permitirá presuponer que la distribución de los datos corresponde a una Normal, esta condición es fundamental para poder aplicar cualquier prueba de significación que este basada en una distribución Normal.
• Homoscedasticidad: La igualdad de varianzas en las muestras es importante para poder aplicar varios test estadísticos.

El diseño experimental es crucial para que los datos experimentales cumplan las premisas descritas anteriormente, este diseño describe las siguientes fases del experimento:

• Identificación de aquellos factores que afecten a los resultados de nuestro experimento, llamados factores conocidos y controlables.
• Minimizar el efecto causado por factores desconocidos o incontrolables.
• Análisis estadístico para separar los efectos de cada factor y así obtener la máxima cantidad de información relevante.

La variable que estamos investigando recibe el nombre de variable respuesta y los factores serán aquellas variables que pueden ser controladas por el investigador y que se presentan a diferentes niveles (o tratamientos). También nos encontramos con variables extrañas no controladas por el experimentador, llamadas perturbaciones.

Para realizar un experimento se aplican a distintas unidades experimentales los diferentes niveles y se observa la variable respuesta, donde el tamaño del experimento será el número de observaciones obtenidas. Para alcanzar este objetivo, practicaremos las siguientes etapas:

1. Diseñar el experimento, para lo cual debemos:
• Planteamiento del problema y objetivos que perseguimos.
• Selección y definición de la variable respuesta.
• Elección de los factores y niveles.
• Determinación del conjunto de las unidades experimentales.
• Determinación de los procedimientos, para asignar a las unidades experimentales sus correspondientes tratamientos.

2. Realizar la experimentación.
3. Analizar los resultados y comprobar las hipótesis establecidas.
4. Comprobar si el diseño de adecua a la situación, realizando las modificaciones oportunas.
5. Obtención de conclusiones.

Uno de los principales objetivos del Diseño Estadístico de Experimentos es reducir la variabilidad cuando se repite el experimento, para lo cual debemos realizar comparaciones lo más homogéneas posibles, esto conduce a la formación de bloques en el diseño, (un bloque es una porción del material que estudiamos que resulta ser más homogénea que el total de dicho material).

Dentro del Diseño de Experimentos podemos encontrar:

• Diseño completamente aleatorizado: (o análisis de la varianza de un factor o de una vía), que se encarga de estudiar el efecto que produce un solo factor sobre la variable respuesta.
• Contraste para comparaciones múltiples: determina qué tratamientos producen mayor efecto, o cuales son más diferentes entre sí.
• Diagnosis o Validación del modelo: muestra transformaciones de los datos para así estabilizar la varianza y corregir la falta de normalidad, siendo los residuos la mejor herramienta para el diagnóstico del modelo.
• Diseños en bloques aleatorizados: aquí nos encontramos con los llamados bloques y la variable control, fuente adicional de variabilidad, en el que los tratamientos son asignados aleatoriamente a las unidades experimentales dentro de cada bloque.
• Diseños en cuadrados latinos y greco-latinos: en los que generalizamos un bloque a más de una variable de control.
• También podemos encontrar métodos no paramétricos para el análisis de la varianza.

El modelo general viene dado por la siguiente expresión:

y_ij=µ+t_i+u_ij

Chapter 6  Análisis Multivariante.

El Análisis multivariante proporciona diversos procedimientos numéricos y gráficos para estudiar datos compuestos por variables que describen un número de individuos, nos permitirá abordar el tratamiento de dichos datos con el suficiente conocimiento para aplicar métodos apropiados a cada tipo de problema, y así obtener una información más relevante y apropiada de los datos de nuestra investigación.

Al igual que con técnicas anteriores, debemos comprobar una serie de premisas que nos verifiquen que los datos utilizados son aptos para este tipo de análisis. Al igual que en métodos univariantes, éste se base en la normalidad multivariante, que se dará si todas nuestras variables de estudio siguen una distribución normal individual, en caso contrario tendremos que realizar una transformación de los datos o recurrir a test no paramétricos, aunque muchos autores aseguran que el problema no está en saber si se cumplen o no estos supuestos pramétricos, sino que lo importante será conocer los efectos que pueden tener sobre los resultados.

Un análisis multivariante consta de tres fases bien diferenciadas:

• Análisis exploratorio de los datos: cuyo objetivo es la comprensión de las variables por separado,.
• Estadística bivariante: que busca la relación entre pares de variables, como la correlación de Pearson, cuya matriz de correlación nos sirve para comprender la relación existente entre dichas variables.
• Elección de la técnica multivariante: que se clasifican del siguiente modo:
• Métodos Predictivos o de Dependencia: Buscan la explicación o predicción de los valores observados a partir de un conjunto de variables.
1. Regresión múltiple.
2. Análisis Múltiple de la Covarianza.
3. Análisis Múltiple de la Varianza.
4. Análisis discriminante.

• Métodos Reductivos o de Independencia: Estudian las interdependencias entre las variables, para así reducir el número de variables necesarias para describir la información.
1. Análisis de Componentes Principales.
2. Análisis Factorial.
3. Correlación Canónica.
4. Análisis Clusters.
5. Análisis de Correspondencias.

Para comprender mejor de que trata este tipo de análisis, podemos acudir al capítulo de Análisis Multivariante que aparece junto con este documento.

Chapter 7  Análisis Exploratorio y Estadística Computacional.

El análisis exploratorio de datos es un conjunto de técnicas que no solo tratan de ordenar, escribir y representar los datos, sino que principalmente se centra en la búsqueda de anomalías de datos y en la tendencia de los datos.

La forma de obtener este objetivo lo hace bajo dos principios, uno el escepticismo "Ser escéptico frente aquellas medidas sin que hallan sido investigadas"; y el otro la apertura "A la hora de explorar los datos no debe irse son una idea preconcebida."

Sobre distribuciones unidimensionales, el análisis exploratorio de datos nos puede informar sobre la forma de su distribución, la presencia de huecos, la presencia de datos anómalos (outliers) alejados de la distribución...

Good (1183) explica que los puntos importantes del análisis exploratorio son:

• La presentación de los datos.
• El reconocimiento del modelo subyacente.
• La formulación de hipótesis.
• La búsqueda de otras hipótesis más explicativas.

Las técnicas gráficas revelan visualmente el comportamiento de los datos y la estructura del conjunto, el análisis exploratorio presta especial atención al análisis de residuos, empleando la transformación de los datos para encontrar una escala adecuada a dicho análisis, haciendo hincapié en la resistencia de algunas estadísticas frente a datos faltantes, y empleando estadísticos robustos frente a la posible alteración de la hipótesis de partida.

Este análisis se caracteriza por utilizar medidas descriptivas resistentes y robustas, realiza una descripción de los datos no solo sobre una única medida sino sobre todo un conjunto, y sobre todo por preferir las representaciones gráficas a los sintetizadores numéricos.

En los últimos 30 años ha habido una revolución en la forma en que los estadísticos piensan acerca del análisis de datos. El origen de esta revolución puede ser convenientemente situada en la publicación en 1977 del monumental trabajo de John Tukey, Exploratory Data Analysis, abreviadamente EDA, cuyos cimientos fueron puestos en una serie de artículos escritos por Tukey, sus colegas y sus estudiantes. La dirección de esta revolución fue puesta de manifiesto de forma clara en 1962, en el artículo de Tukey, The Future of Data Analysis. Los cambios propuestos en dicho trabajo reflejan el hecho de que el análisis de los datos para aprender sobre un problema determinado requiere más, que las herramientas formales de la estadística matemática.

Tukey argumentó que el análisis exploratorio es un paso necesario para la solución de muchos problemas en los que los métodos gráficos juegan un papel decisivo. Datos outliers suelen ser con frecuencia críticos para el desarrollo y comprensión del proceso en estudio. Con frecuencia, algunos problemas típicos incumplen las hipótesis estadísticas básicas sobre las que se fundamentan las técnicas estadísticas clásicas o incluso, el análisis de los datos es en sí mismo un estudio exploratorio de los mismos. Como consecuencia, Tukey expresó el deseo de chequear estas hipótesis y de desarrollar métodos que requiriesen menos hipótesis restrictivas. Métodos de remuestreo y estadísticos robustos y resistentes ilustran este hecho. Por último, Tukey mantiene que muchos problemas requieren soluciones iterativas en lugar de las más convenientes soluciones de un solo paso.

Mientras que el EDA de Tukey se fundamentó en cálculos manuales e incluso en la representación gráfica manual sin regla, su futuro sobre el análisis de datos apunta reiterativamente al ordenador como medio de realizar lo que él recomendó. De hecho, la aplicación actual del análisis de datos sería imposible sin la ayuda del ordenador. Por tanto, la revolución computacional es un componente esencial de la revolución del análisis de datos, de forma que cálculos que requerían un extraordinario esfuerzo y costo en un pasado inminente pueden ahora efectuarse convenientemente sin apenas esfuerzo.

Independientemente de las ideas propuestas por el programa de análisis de datos de Tukey, las facilidades ofrecidas por los ordenadores han influido notablemente en la forma en que se analizan los datos.

Un problema importante es el que se produce cuando se ignoran los datos. Por ejemplo, consideremos los cuatro gráficos de Anscombe (1973). En los cuatro casos se obtienen idénticas rectas de regresión mínimo cuadrática, incluidos el coeficiente de correlación y desviaciones típicas. El análisis de datos que ignore esas gráficas puede llevar a conclusiones totalmente inadecuadas, de lo cual se deduce que el análisis gráfico de los datos es un aspecto tan importante como el numérico.

Para una mayor información podemos consultar la parte de Computacional, en la que se especifica mejor dichos calculos y muchos más.

Chapter 8  Paquetes informáticos utilizados para el análisis de datos experimentales.

El análisis de datos es una disciplina que consiste en la búsqueda sistemática de información y de relaciones a través de conjuntos de datos, pero la gran cantidad de información que es posible generar hoy en día para llevar acabo una análisis hace que el investigador encuentre gran números de datos a partir de los cuales puede adquirir buenas conclusiones, y aunque la estadística aplicada a desarrollado numerosos métodos para realizar el tratamiento de estos datos, a veces nos es casi imposible realizarlos a mano, pero gracias a la implantación de los ordenadores podemos realizar dichos cálculos con gran facilidad.

Por ello en este capitulo vamos a tratar de describir una serie de programas que nos ayudarán a complementar nuestro proyecto.

Microsoft EXCEL: conocida como una hoja de cálculo, que incluye diferentes tipos de funciones tanto matemáticas como trigonométricas, estadísticas básicas, lógicas, financieras... Además existe también un módulo de análisis de datos en el que podemos encontrar distribuciones de probabilidad, análisis de la varianza, regresión, pruebas de significación...

STATGRAPHICS:(Statistical Graphics System by Statical Grafics Corporation. A Plus Ware Product. STSC); es uno de los programas más usados, en el que podemos encontrar:

• Dibujo de funciones y estadística descriptiva:
• Dibujo de funciones (X-Y,X-Y-Z, barras y circulares.)
• Métodos descriptivos (estadística general, histogramas, percentiles.)
• Estimación y prueba (de una, dos o más muestras.)
• Funciones de distribución (ajuste y dibujo de la función, probabilidades y valores críticos.)
• Análisis exploratorio de datos (gráficos Box-Whisker y de ramas.)

• Análisis de Regresión y ANOVA.
• Procedimientos avanzados:
• Análisis categórico de datos.
• Métodos multivariantes.
• Métodos no paramétricos.

• Diseño de experimentos:
• Diseño de superficies de respuesta.
• Diseño de experimentos.

• Estadística multivariante:
• Análisis de Componentes Principales (ACP).
• Análisis del Factor.
• Análisis Cluster.
• Análisis discriminante.
• Módulo de Series Temporales.

SPSS for Microsoft Windows: es uno de los paquetes informáticos más completos existentes en la actualidad, donde podemos encontrar las siguientes herramientas:

• Módulo base:
• Estadística fundamental.
• Frecuencias.
• Tabulaciones cruzadas.
• Pruebas t y no paramétricas.
• ANOVA.
• Regresión lineal, múltiple y correlaciones.

• Módulo de estadística profesional:
• Análisis del Factor.
• Análisis Cluster.
• Análisis Discriminante.
• Métodos de los K vecinos más próximos.
• Normalización multidimensional de datos.

• Módulo de estadística avanzada:
• Regresión de Cox.
• Estimación Kaplan-Meier.
• Regresión logística.
• Análisis log-lineal.
• MANOVA.
• Regresión no lineal y no lineal limitada.

• Módulo de tendencias:
• Estudio de series temporales.

BMDP: que permite la aplicación de las siguientes tecnicas:

• Estadística descriptiva.
• Pruebas de significación.
• Análisis de la Varianza.
• Tablas de frecuencias.
• Regresión.
• Gestión de datos.

Statisca: que nos ofrece:

• Estadística descriptiva.
• Distribuciones.
• Regresión.
• Análisis Multivariante.
• Series temporales.
• Gráficos de control.
• Diseño experimental.

Chapter 9  Ejemplo práctico.

9.1  Descripción del problema

El bajo peso al nacer es una característica de los recién nacidos que, en ocasiones, condiciona el desarrollo, tanto físico como psíquico, de los niños. El peso del recién nacido se cree que está asociado tanto a características biológicas de su madre, como por ejemplo la edad o el peso, como a la raza o ciertos hábitos de vida como puede ser el hábito de fumar. Para estudiar la relación entre el peso del recién nacido y estas características de la madre, se diseñó este estudio donde se midieron el peso de cada uno de los 189 recién nacidos junto con variables de la madre como fueron: raza, edad, peso, hábito de fumar, hipertensión, irritabilidad uterina, número de partos previos y visitas al médico.

Este trabajo consta de tres apartados principales:

• En primer lugar, se describen cada una de las variables del conjunto de todos los niños (análisis univariante).
• Ya que, entre los médicos, es común clasificar a los niños como de bajo peso o peso normal, según éste sea menor o mayor de 2500 grs, en segundo lugar se compara, de modo descriptivo, las características de las madres en el grupo de niños con bajo peso y en el de los niños de peso normal (análisis bivariante).
• Por último, para evaluar la asociación del peso del recién nacido (expresado en grs) y las características de la madre, construiremos un modelo multivariante para ver qué características de ellas están claramente asociadas a dicho peso (análisis multivariante).
• Una vez construido este modelo, estudiaremos los residuales tipificados para cada uno de los niños, con objeto de tratar de identificar los niños "raros" en cuanto a su peso. También se estudiará la influencia ejercida por cada niño en las estimaciones de los coeficientes.

Para llevar a cabo los anteriores análisis, se utilizará: el paquete estadístico SPSS/PC versión 12.0. En el disco adjunto, se encuentran la base de datos original y la misma después de realizar todas las operaciones para llevar a cabo el proyecto.

9.2  Análisis Univariante

Como introducción previa al estudio univariante de las variables que forman parte de la base de datos, realizaremos una transformación de la variable "pesom", ya que la unidad de medida es la libra y, para facilitar su tratamiento, convertiremos las libras en kgs. Una vez realizada esta transformación, tendremos entonces una nueva variable a la que pasaremos a llamar "pesomkg" siendo ésta la que utilizaremos para el estudio.

Para ello llevamos a cabo el siguiente procedimiento:

Transformar |® Calcular |® Variable de destino: pesomkg.

Tipo de etiqueta: Peso de la madre en kilos.

Expresión numérica: pesom / 2

Una vez realizada esta transformación, pasaremos a estudiar las diferentes variables de la base de datos con el siguiente esquema y sus correspondientes procedimientos:

1. Variables cualitativas:
   
   "Bajo", "Raza", "Tabaco", "Hta" y "Iu".
• Tablas de Frecuencias:
  
  Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Frecuencias.
• Diagrama de barras:
  
  Gráficos |® Barras |® Simples.

2. Variables cuantitativas:
• Variables no continuas: "Partprev" y "Visitas"
• Tablas de Frecuencias:
  
  Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Frecuencias.
• Diagrama de barras:
  
  Gráficos |® Barras |® Simples.

• Variables continuas : "Pesomkg", "Edad", "Pesorn".
• Medidas:
  
  Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Explorar.
  
  Aquí viene directamente el diagrama de tallos y hojas y el de cajas.
• Histogramas:
  
  Gráficos |® Histogramas.

1. VARIABLES CUALITATIVAS
   
   Construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras para las variables cualitativas, que son "Bajo", "Raza", "Tabaco", "Hta" y "Iu". A continuación se expone los resultados del estudio univariante de cada una de estas variables. Se adjunta también la lectura de la tabla.
• Bajo peso al nacer:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
>=2500 gr	130	68,8	68,8	68,8
<2500 gr	59	31,2	31,2	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  De los 189 nacimientos, el 68.8% de los niños nacen con un peso mayor o igual a 2500 gramos, mientras que el peso del 31.2% restante es menor que 2500 gramos. El siguiente gráfico Figura: 9.1 muestra un histograma sobre el bajo peso del niño:

o

---

o

o Figure 9.1: Histograma bajo peso al nacer

o

o

---

• Raza de la madre:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
Blanca	96	50,8	50,8	50,8
Negra	26	13,8	13,8	64,6
Otra raza	67	35,4	35,4	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  De las 189 madres, un 50.8% son de raza blanca, un 13.8% son de raza negra y el 35.4% restante pertenecen a otra raza.Figura: 9.2

o

---

o

o Figure 9.2: Histograma raza de la madre

o

o

---

• Si la madre fuma o no:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
No fumadora	115	60,8	60,8	60,8
Fumadora	74	39,2	39,2	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  De las 189 madres, un 39.2% son fumadoras mientras que el 60.8 % restante no fuman. Figura:9.3

o

---

o

o Figure 9.3: Histograma Madre fumadora o no.

o

o

---

• Hipertensión:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
No hipertensa	177	93,7	93,7	93,7
Hipertensa	12	6,3	6,3	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  De las 189 madres entrevistadas, un 93.7% son madres no hipertensas mientras que el 6.3 % restante se clasifican como hipertensas. Figura: 9.4

o

---

o

o Figure 9.4: Histograma Hipertensión.

o

o

---

• Irritabilidad uterina:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
No	161	85,2	85,2	85,2
Si	28	14,8	14,8	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  El 14.8% de las madres presentan irritabilidad uterina frente al 85.2% restante. Figura: 9.5

o

---

o

o Figure 9.5: Histograma Irritabilidad uterina.

o

o

---

3. VARIABLES CUANTITATIVAS NO CONTINUAS.
   
   El propósito es realizar el mismo estudio que en el caso de las variables cualitativas, es decir, construimos la tabla de frecuencias y el diagrama de barras para las dos variables.
• Número de partos previos:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
0	159	84,1	84,1	84,1
1	24	12,7	12,7	96,8
2	5	2,6	2,6	99,5
3	1	0,5	0,5	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  Hay un 84.1% de madres que no han tenido ningún parto previo. El 12.7% han tenido un parto con anterioridad, el 2.6% han tenido 2 partos y por último el 0.5% que han tenido 3 partos previos. Más adelante recodificaremos esta variable en dos categorías, ya que las últimas categorías tienen un peso prácticamente inapreciable. Figura: 9.6

o

---

o

o Figure 9.6: Histograma Nº de partos previos.

o

o

---

• Visitas al médico:

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
0	102	54,0	54,0	54,0
1	46	24,3	24,3	78,3
2	29	15,3	15,3	93,7
3	7	3,7	3,7	97,4
4	4	2,1	2,1	99,5
6	1	0,5	0,5	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  El 54% de las madres no han visitado nunca al médico, el 24.3% han visitado una vez al médico, el 15.3% dos veces, el 3.7% tres veces, el 2.1 % cuatro veces y, por último, el 0.5% han realizado seis visitas a la consulta.Figura: 9.7

o

---

o

o Figure 9.7: Histograma Visitas al médico.

o

o

---

4. 
   A continuación, realizamos una recodificación de las dos variables anteriores ya que ambas presentan cuatro o más categorías, para facilitar el tratamiento de los datos, y seguidamente volvemos a realizar la tabla de frecuencias y el diagrama de barras de dichas variables, una vez recodificadas.
   
   Cabe destacar, consecuentemente, la creación de dos nuevas variables, "Partprevr" y "Visitasr" con el siguiente procedimiento:
• "Partprev" (número de partos previos):
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: partprevr |® cambiar.
  
  Etiqueta: Número de partos previos (recodificada) |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 0 |® Valor nuevo: Valor |® 0 |® Añadir
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 1 |® Añadir
• "Visitas" (visitas al médico):
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: visitasr |® cambiar.
  
  Etiqueta: Visitas (recodificada) |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 0 |® Valor nuevo: Valor |® 0 |® Añadir
  
  Valor antiguo: Valor |® 1 |® Valor nuevo: Valor |® 1 |® Añadir
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 2 |® Añadir

5. VARIABLES CUANTITATIVAS NO CONTINUAS RECODIFICADAS
• Número de partos previos (recodificada):

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
Ningun parto previo	159	84,1	84,1	84,1
Uno o mas partos previos	30	15,9	15,9	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  Los porcentajes cambian a un 84.1% de madres con ningún parto previo y a un 15.9% de madres con uno o más partos previos.
  
  Figura: 9.8

o

---

o

o Figure 9.8: Histograma Partos previos.

o

o

---

• Visistas al médico (recodificada):

Validos	Frecuencia	Porcentaje	% valido	% acumulado
Ninguna visita	102	54,0	54,0	54,0
Una visita	46	24,3	24,3	78,3
2 o mas visitas	41	21,7	21,7	100,0
Total	189	100,0	100,0

• 
  En este caso recodificamos en 3 categorías, madres que no han visitado al médico, en un porcentaje del 54%; madres que han visitado una vez al médico, con un porcentaje del 24.3% y madres que han visitado dos o más veces al médico, en un 21.7%. Figura: 9.9

o

---

o

o Figure 9.9: Histograma Visitas.

o

o

---

7. VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS:
   
   El estudio unidimensional de las variables continuas lo hacemos mediante la descripción de diferentes medidas de posición y su correspondiente histograma de frecuencias.
• Peso de la madre en Kgs:
  
  Datos descriptivos, medidas de posición:

		Estadistico	Error tip.
Media		64,907	1,112
I.C. al 95%	Limite inferior	62,713
	Limite superior	67,101
Media recortada al 5%		63,679
Mediana		60,500
Varianza		233,775
Desv. tip.		15,290
Minimo		40,0
Maximo		125,0
Rango		85,0
Amplitud intercuartil		15,250
Asimetria		1,402	0,177
Curtosis		2,404	0,352

• 
  El peso promedio de las madres es de 64'907 kgs, con un intervalo de confianza al 95% de: (62'713,67'101). El peso de la madre de menos peso es 40 kgs y el de la madre de más peso es 125 kgs, por tanto hay un rango de 85 kgs y la amplitud intercuartílica es 15'25 kgs. Y también podemos observar los valores de la varianza, desviación típica, mediana, media recortada, asimetría y curtosis.Figura: 9.10
  
  Diagrama de tallos y hojas:

4,00	4 . 0224
15,00	4 . 555567777777889
23,00	5 . 00000011111222222233444
33,00	5 . 555555555556666666777777788899999
35,00	6 . 00000000000000000000011111222223444
29,00	6 . 55555555555555666667777777899
9,00	7 . 000011334
13,00	7 . 5555567777799
7,00	8 . 0023444
5,00	8 . 55557
2,00	9 . 12
14,00	Extremes (>=93)

o

---

o

o Figure 9.10: Peso de la madre.

o

o

---

• Edad de la madre:
  
  Datos descriptivos, medidas de posición:

		Estadistico	Error tip.
Media		23,24	0,39
I.C. al 95%	Limite inferior	22,48
	Limite superior	24,00
Media recortada al 5%		23,02
Mediana		23,00
Varianza		28,076
Desv. tip.		5,30
Minimo		14
Maximo		45
Rango		31
Amplitud intercuartil		7,00
Asimetria		0,722	0,177
Curtosis		0,616	0,352

• 
  La edad promedio de las madres es de 23'24 años, con un intervalo de confianza al 95% de: (22'48,24). La edad de la madre más joven es 14 años y el de la madre mayor es 45 años, por tanto hay un rango de 31 años y la amplitud intercuartílica es 7 años. Y también podemos observar los valores de la varianza, desviación típica, mediana, media recortada, asimetría y curtosis.Figura: 9.11
  
  Diagrama de tallos y hojas:

,00	1 .
6,00	1 . 444555
19,00	1 . 6666666777777777777
26,00	1 . 88888888889999999999999999
30,00	2 . 000000000000000000111111111111
26,00	2 . 22222222222223333333333333
28,00	2 . 4444444444444555555555555555
11,00	2 . 66666666777
16,00	2 . 8888888889999999
12,00	3 . 000000011111
9,00	3 . 222222333
3,00	3 . 455
2,00	3 . 66
1,00	Extremes (>=45)

o

---

o

o Figure 9.11: Edad madre.

o

o

---

• Peso del recién nacido en gramos:
  
  Datos descriptivos, medidas de posición:

		Estadistico	Error tip.
Media		2.944,66	53,03
I.C. al 95%	Limite inferior	2.840,05
	Limite superior	3.049,26
Media recortada al 5%		2.957,83
Mediana		2.977,00
Varianza		531.473,684
Desv. tip.		729,02
Minimo		709
Maximo		4.990
Rango		4.281
Amplitud intercuartil		1.069,00
Asimetria		-0,210	0,177
Curtosis		-0,081	0,352

• 
  El peso promedio de los recién nacidos es de 2944'66 grs, con un intervalo de confianza al 95% de: (2840'05,3049'26). El peso del niño de menos peso es 709 grs y el de la madre de más peso es 4990 grs, por tanto hay un rango de 4281 grs y la amplitud intercuartílica es 1069 grs. Y también podemos observar los valores de la varianza, desviación típica, mediana, media recortada, asimetría y curtosis.Figura: 9.12
  
  Diagrama de tallos y hojas:

1,00	Extremes (=<709)
2,00	1 . 01
1,00	1 . 3
3,00	1 . 455
3,00	1 . 777
9,00	1 . 888899999
10,00	2 . 0000011111
16,00	2 . 2222222333333333
18,00	2 . 444444444444445555
14,00	2 . 66666677777777
20,00	2 . 88888888999999999999
18,00	3 . 000000000000111111
19,00	3 . 2222222222233333333
13,00	3 . 4444444445555
19,00	3 . 6666666666667777777
14,00	3 . 88888899999999
6,00	4 . 001111
1,00	4 . 2
1,00	4 . 5
,00	4 .
1,00	4 . 9

o

---

o

o Figure 9.12: Peso niño.

o

o

---

9.3  Análisis bivariante: Relación del bajo peso con el resto de variables

Aquí se pretende ver cómo influyen las distintas características de las madres de los niños para que estos nazcan con peso normal o bajo.

Volvemos a dividir las variables:

1. Variables cualitativas: "Raza", "Tabaco", "Hta" y "Iu".
• Tablas de Contingencia: Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Tablas de Contingencia.
• Diagrama de barras: Gráficos |® Barras |® Agrupadas.

2. Variables cuantitativas:
• Variables no continuas: "Partprevr" y "Visitasr"
• Tablas de Contingencia: Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Tablas de Contingencia.
• Diagrama de barras: Gráficos |® Barras |® Agrupadas.

• Variables continuas : "Pesomkg" y "Edad"
• Datos |® Seleccionar casos |® Si: bajo = 0
• Medidas: Analizar |® Estadísticos Descriptivos |® Explorar.
• Gráficos |® Diagrama de caja |® Simple |® variable en estudio en Variable y Bajo peso al nacer en Eje de categorías.

1. VARIABLES CUALITATIVAS:
• Raza de la madre:
  
  |® Tabla de contingencia:

Peso niño		Blanca	Negra	Otra raza	Total
>=2500 gr	Recuento	73	15	42	130
	% de Bajo peso	56,2%	11,5%	32,3%	100,0%
<2500 gr	Recuento	23	11	25	59
	% de Bajo peso	39,0%	18,6%	42,4%	100,0%
Total	Recuento	96	26	67	189
	% de Bajo peso	50,8%	13,8%	35,4%	100,0%

• 
  Se ve que hay gran influencia de la raza de la madre: si la madre es blanca, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, tanto para madres negras como para madres de otra raza, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños de bajo peso. Figura: 9.13

o

---

o

o Figure 9.13: Diagrama de barras.

o

o

---

• Si la madre fuma o no:
  
  |® Tabla de contingencia:

		No fumadora	Fumadora	Total
>=2500 gr	Recuento	86	44	130
	% de Bajo peso	66,2%	33,8%	100,0%
<2500 grs	Recuento	29	30	59
	% de Bajo peso	49,2%	50,8%	100,0%
Total	Recuento	115	74	189
	% de Bajo peso	60,8%	39,2%	100,0%

• 
  Hay influencia según la madre fume o no: si la madre no fuma, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, si la madre fuma, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños con bajo peso. Figura: 9.14

o

---

o

o Figure 9.14: Diagrama de barras.

o

o

---

• Hipertensión:
  
  |® Tabla de contingencia:

		No hipertensa	Hipertensa	Total
>=2500 gr	Recuento	125	5	130
	% de Bajo peso	96,15384%	3,84615%	100%
<2500 gr	Recuento	52	7	59
	% de Bajo peso	88,13559%	11,8644%	100%
Total	Recuento	177	12	189
	% de Bajo peso	93,65079%	6,349206%	100%

• 
  Se ve que hay influencia dependiendo de que la madre sea hipertensa o no: si la madre no tiene hipertensión, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, si es hipertensa, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños de bajo peso. Figura: 9.15

o

---

o

o Figure 9.15: Diagrama de barras.

o

o

---

• Irritabilidad uterina:
  
  |® Tabla de contingencia:

		No	Sí	Total
>=2500 gr	Recuento	116	14	130
	% de Bajo peso	89,2%	10,8%	100,0%
<2500 gr	Recuento	45	14	59
	% de Bajo peso	76,3%	23,7%	100,0%
Total	Recuento	161	28	189
	% de Bajo peso al nacer	85,2%	14,8%	100,0%

• 
  Hay influencia dependiendo de que la madre tenga irritabilidad uterina o no: si no tiene, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, si tiene, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños con bajo peso. Figura: 9.16

o

---

o

o Figure 9.16: Diagrama de barras.

o

o

---

3. VARIABLES CUANTITATIVAS NO CONTINUAS:
• Número de partos previos (recodificada):
  
  |® Tabla de contingencia:

		Ningún parto	Uno o más partos	Total
>=2500 gr	Recuento	118	12	130
	% de Bajo peso	90,8%	9,2%	100,0%
<2500 gr	Recuento	41	18	59
	% de Bajo peso	69,5%	30,5%	100,0%
Total	Recuento	159	30	189
	% de Bajo peso	84,1%	15,9%	100,0%

• 
  Hay influencia según la madre haya tenido algún parto previo o no: si no lo ha tenido, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, si lo ha tenido, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños de bajo peso. Figura: 9.17

o

---

o

o Figure 9.17: Gráfico de barras.

o

o

---

• Visistas al médico:
  
  |® Tabla de contingencia:

		Ninguna	Una visita	2 o más	Total
>=2500 gr	Recuento	65	35	30	130
	% de Bajo peso	50,0%	26,9%	23,1%	100,0%
<2500 gr	Recuento	37	11	11	59
	% de Bajo peso	62,7%	18,6%	18,6%	100,0%
Total	Recuento	102	46	41	189
	% de Bajo peso	54,0%	24,3%	21,7%	100,0%

• 
  Hay influencia según la madre haya ido al médico o no: si ha ido una o más veces, hay un porcentaje mayor de niños de peso normal que de bajo peso; sin embargo, si no ha ido nunca, el porcentaje de niños de peso normal es menor que el de niños de bajo peso. Figura: 9.18

o

---

o

o Figure 9.18: Gráfico de barras .

o

o

---

5. VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS:
• Peso de la madre en Kgs.:
  
  Figura: 9.19
  
  Resumen descriptivo de los datos respecto al peso de la madre:

		Estadistico	Error tip.
Media		66,650	1,391
I.C. al 95%	Lim.inf.	63,897
	Lim.sup.	69,403
Media recortada al 5%		65,254
Mediana		61,750
Varianza		251,603
Desv. tip.		15,862
Minimo		42,5
Maximo		125,0
Rango		82,5
Ampli. interc.		17,375
Asimetria		1,452	0,212
Curtosis		2,423	0,422

		Estadistico	Error tip.
Media		61,068	1,729
I.C. al 95%	Lim. inf.	57,607
	Lim. sup.	64,528
Media recortada al 5%		60,158
Mediana		60,000
Varianza		176,349
Desv. tip.		13,280
Minimo		40,0
Maximo		100,0
Rango		60,0
Ampl.interc.		13,500
Asimetria		1,119	0,311
Curtosis		1,172	0,613

o

---

o

o Figure 9.19: Diagrama de cajas.

o

o

---

• Edad de la madre:
  
  Figura: 9.20
  
  Resumen descriptivo respecto a la edad de la madre:

		Estadístico	Error típ.
Media		23,66	0,49
I.C. al 95%	Lim. inf.	22,69
	Lim. sup.	24,63
Media recortada al 5%		23,41
Mediana		23,00
Varianza		31,187
Desv. tip.		5,58
Minimo		14
Maximo		45
Rango		31
Ampli. interc.		9,00
Asimetria		0,754	0,212
Curtosis		0,503	0,422

		Estadistico	Error tip.
Media		22,31	0,59
I.C. al 95%	Lim. inf.	21,13
	Lim. sup.	23,48
Media recortada al 5%		22,19
Mediana		22,00
Varianza		20,354
Desv. tip.		4,51
Minimo		14
Maximo		34
Rango		20
Ampl.interc.		6,00
Asimetria		0,300	0,311
Curtosis		-0,162	0,613

o

---

o

o Figure 9.20: Diagrama de cajas.

o

o

---

9.4  Análisis multivariante (y=pesorn)

En principio, el modelo es el siguiente:

E[persom]=b₀+b₁edad+b₂pesomkg+b₃raza+b₄tabaco+

b₅partprevr+b₆hta+b₇iu+b₈visitasr

En primer lugar, hay que mirar las variables cuyo número de categorías sea mayor que 2 y vemos que hay dos: raza y visitasr. Cuando se tiene una variable categórica con k categorías hay que formar k-1 variables dummy. En este caso ambas variables tienen 3 categorías, luego habrá que crear dos variables dummy para cada una de ellas.

• Raza:
  
  Para construir las variables dummy hay que elegir la categoría de referencia que puede ser cualquiera. En este caso hemos elegido la raza blanca porque tiene el número 1. Llamamos raza1 y raza2 a las nuevas variables.

Procedimiento para crearlas:

• raza1:
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: raza1 |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 2 |® Valor nuevo: Valor |® 1
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 0
• raza2:
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: raza2 |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 3 |® Valor nuevo: Valor |® 1
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 0
• Ahora se procede a la regresión:
  
  Analizar |® Regresión |® Lineal
  
  Variable dependiente |® pesorn
  
  Variables independientes |® raza1 y raza2

Resumen del modelo 1.

R	R^2	R^2 corregida	Error típ.
0,225	0,051	0,041	714,09

Nota:Variables predictoras: (Constante), RAZA2, RAZA1.

R²=0.051 lo que significa que el 5.1% de la variabilidad de la variable dependiente viene explicada porque los niños son hijos de madres de distintas razas.

ANOVA(b). Modelo1.

	Suma.cuadrados	gl	Media cuadrática	F	Sig.
Regresion	5.070.607,632	2	2.535.303,816	4,972	0,008
Residual	94.846.445,013	186	509.927,124
Total	99.917.052,646	188

Nota: Variables predictoras: (Constante), RAZA2, RAZA1. Variable dependiente: Peso de recien nacido (grs).

Según la tabla, 99917053 expresa la variabilidad del peso del recién nacido. De dicha cantidad, la variabilidad explicada por las variables independientes es 5070607.6. El resto, que es 94846445, es la variabilidad residual, es decir, lo que queda por explicar. El P-value es 0.008 así que hay diferencia significativa entre el peso de los niños, por lo tanto dicho peso depende, en parte, de la raza de la madre.

Coeficientes. Modelo 1.

	Coef. no estand.		Coef. estand.	t	Sig.
	B	Error típ.	Beta
(Constante)	3.103,740	72,882		42,586	0,000
RAZA1	-384,047	157,874	-0,182	-2,433	0,016
RAZA2	-299,725	113,678	-0,197	-2,637	0,009

Nota: Variable dependiente: Peso de recien nacido (grs).

Para ver si hay diferencia significativa, miramos los P-value y vemos que la hay, tanto para el peso de los niños de madres negras con respecto al peso de los niños de madres blancas, como para el peso de los niños de madres de otra raza con respecto al peso de los niños de madres blancas.

• Visitasr (visitas recodificada):
  
  Para construir las variables dummy hay que elegir la categoría de referencia que puede ser cualquiera. En este caso hemos elegido ninguna visita porque tiene el número 0. Llamamos visitas1 y visitas2 a las nuevas variables.
• Procedimiento para crearlas:
• visitas1:
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: visitas1 |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 1 |® Valor nuevo: Valor |® 1
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 0
• visitas2:
  
  Transformar |® Recodificar |® En distintas variables.
  
  Variable de resultado: visitas2 |® cambiar.
  
  Valores antiguos y nuevos:
  
  Valor antiguo: Valor |® 2 |® Valor nuevo: Valor |® 1
  
  Valor antiguo: Todos los demás valores |® Valor nuevo: Valor |® 0
• Ahora se procede a la regresión:
  
  Analizar |® Regresión |® Lineal
  
  Variable dependiente |® pesorn
  
  Variables independientes |® visitas1 y visitas2

Resumen del modelo 1.

R	R^2	R^2 corregida	Error típ.	t	Sig.
0,128	0,016	0,006	726,94

Nota: Variables predictoras: (Constante), VISITAS2, VISITAS1.

R²=0.016 lo que significa que el 1.6% de la variabilidad de la variable dependiente viene explicada por los distintos números de visitas al médico que han realizado las madres de los niños cuyo peso está en estudio.

ANOVA(b). Modelo 1.

	Suma cuadrados	gl	Media cuadratica	F	Sig.
Regresion	1.627.882,022	2	813.941,011	1,540	0,217
Residual	98.289.170,624	186	528.436,401
Total	99.917.052,646	188

Nota: Variables predictoras: (Constante), VISITAS2, VISITAS1. Variable dependiente: Peso de recien nacido (grs).

Observando esta tabla vemos que 99917053 expresa la variabilidad del peso del recién nacido. De esa cantidad, 1627882.0 es la variabilidad explicada por las variables independientes. El resto, que es 98289171, es lo que queda por explicar, es decir, la variabilidad residual. El P-value es 0.217 así que no hay diferencia significativa entre el peso de los niños, por el hecho de que sus madres hayan ido al médico o no.

Procedemos ahora al análisis multivariante:

Analizar Regresión Lineal. Variable Dependiente pesorn.

Variable independiente edad, pesom kg, raza1, raza2, fuma, partprevr, hta, iu, visitas1, visitas2.

Resumen del modelo 1.

R	R^2	R^2corregida	Error típ.	F	Sig.
0,506	0,256	0,215	646,05	1,540	0,217

Nota: Variables predictoras: (Constante), VISITAS2, Irritabilidad uterina, RAZA1, Si la madre fuma o no, Hipertensión, Edad de la madre, Número de partos previos (recodificada), VISITAS1, Peso de la madre en kilos, RAZA2.

R²=0.256 lo que significa que el conjunto de todas las variables independientes explican aproximadamente la cuarta parte de la variable del peso de los niños.

ANOVA para el modelo 1.

	Suma de cuadrados	gl	Media cuadratica	F	Sig.
Regresion	25.622.586,439	10	2.562.258,644	6,139	0,000
Residual	74.294.466,206	178	417.384,642
Total	99.917.052,646	188

Nota:Variables predictoras: (Constante), VISITAS2, Irritabilidad uterina, RAZA1, Si la madre fuma o no, Hipertensión, Edad de la madre, Número de partos previos (recodificada), VISITAS1, Peso de la madre en kilos, RAZA2.

Variable dependiente: Peso de recién nacido (grs).

Según esta tabla, 99917053 expresa la variabilidad del peso del recién nacido. De esta cantidad, 25622586 es la variabilidad explicada por las variables independientes. El resto, la variabilidad residual que es 74294466, es lo que queda por explicar. R²=0.256, no es más que el cociente entre la variabilidad explicada en relación con la variabilidad total.

La siguiente columna muestra los grados de libertad:

• 10 es el número de variables independientes que intervienen.
• 188 es el números de casos en estudio menos una unidad.
• 178 es la diferencia de los dos valores anteriores.

En la siguiente aparecen las medias cuadráticas que son los cocientes entre las variabilidades explicadas y residuales y sus respectivos grados de libertad. La F es el cociente resultado de la división de las dos medias cuadráticas anteriores.

El hecho de que el P-value sea 0.000 no significa, de ninguna manera, que el error sea 0, sino que es menor de una milésima. Ya que el error es pequeño, podemos afirmar que el conjunto de las variables independientes está asociado significativamente con el peso del recién nacido.

Coeficientes del modelo 1.

	Coef.no estandar.		Coef. estandar.	t	Sig.
	B	Error típ.	Beta
(Constante)	2.880,303	312,951		9,204	0,000
Edad madre	-3,035	9,597	-0,022	-0,316	0,752
Peso madre	8,733	3,451	0,183	2,531	0,012
RAZA1	-469,312	149,480	-0,222	-3,140	0,002
RAZA2	-322,476	117,088	-0,212	-2,754	0,006
Si fuma o no	-305,008	109,604	-0,205	-2,783	0,006
partos previos (rec.)	-229,053	137,902	-0,115	-1,661	0,098
Hipertensión	-592,320	201,167	-0,199	-2,944	0,004
Irri. uterina	-481,705	137,220	-0,235	-3,510	0,001
VISITAS1	103,367	122,988	0,061	0,840	0,402
VISITAS2	-62,245	123,177	-0,035	-0,505	0,614

Nota:Variable dependiente: Peso de recien nacido (grs).

Como sabemos, las variables que influyen significativamente son las que tienen la significación menor de 0.05 así que hemos de fijarnos en el P-value más grande, quitarlo y volver a hacer el análisis. Hay que quitar la edad de la madre ya que su P-value=0.752.

Por lo que realizando el mismo procedimiento que antes, obtenemos R²=0.256, es decir, prácticamente igual que en la situación anterior.

Nota: se invita al lector a ir realizando el ejercicio en su propio ordenador para que de ese modo compruebe los resultados, logrando así una mejor comprensión.

Según esta tabla, 99917053 expresa la variabilidad del peso del recién nacido. De esta cantidad, 25580836 es la variabilidad explicada por las variables independientes. El resto, la variabilidad residual que es 74336217, es lo que queda por explicar.

La siguiente columna nos muestra los siguientes grados de libertad:

• 9 es el número de variables independientes que intervienen.
• 188 es el números de casos en estudio menos una unidad.
• 179 es la diferencia de los dos valores anteriores.

En la siguiente apareceran, como antes, las medias cuadráticas que son los cocientes entre las variabilidades explicadas y residuales y sus respectivos grados de libertad. La F es el cociente resultado de la división de las dos medias cuadráticas anteriores.

	Coef. no estandar.		Coef. estand.	t	Sig.
	B	Error típ.	Beta
(Constante)	2.822,541	253,495		11,135	0,000
Peso madre	8,522	3,377	0,179	2,524	0,012
RAZA1	-459,504	145,860	-0,218	-3,150	0,002
RAZA2	-318,001	115,938	-0,209	-2,743	0,007
Si fuma o no	-302,583	109,060	-0,203	-2,774	0,006
partos previos (recod)	-235,295	136,139	-0,118	-1,728	0,086
Hipertensión	-589,497	200,463	-0,198	-2,941	0,004
Irri. uterina	-479,011	136,611	-0,234	-3,506	0,001
VISITAS1	97,349	121,201	0,057	0,803	0,423
VISITAS2	-67,271	121,841	-0,038	-0,552	0,582

Nota:: Variable dependiente: peso del recien nacido.

Sigue habiendo P-value demasiado grandes. Vemos que el mayor ahora es el de visitas2, así que la quitamos junto con visitas1, ya que al ser variables dummy deben ir a la par.

Al eliminar como venimos haciendo estas variables, obtenemos un R²=0.250, así que ahora sí que es realmente la cuarta parte la que es explicada, ademas, si observamos la tabla podremos comprobar que apenas hay cambio con respecto a antes.

Según esta tabla, 99917053 expresa la variabilidad del peso del recién nacido. De dicha cantidad, 25014083 es la variabilidad explicada por las variables independientes. El resto, la variabilidad residual que es 74902970, es lo que queda por explicar.

La siguiente columna muestra los grados de libertad:

• 7 es el número de variables independientes que intervienen.
• 188 es el números de casos en estudio menos una unidad.
• 181 es la diferencia de los dos valores anteriores.

En la siguiente aparecen las medias cuadráticas que son los cocientes entre las variabilidades explicadas y residuales y sus respectivos grados de libertad.Y donde La F es el cociente resultado de la división de las dos medias cuadráticas anteriores.

Y al observar la tabla de coeficientes que hemos obtenido, nos daremos cuenta de que aun existen varibles con un valor superior al que buscamos, de modo que seguiremos eliminando variables, (realizando los mismos pasos que al principio), hasta que todos los p-valores sean significativos.

(La siguiente a eliminar seria la variable que representa a los partos previos de las madres.)

La última tabla de coeficientes obtenida:

	Coef. no estandar.		Coef. estandar.	t	Sig.
	B	Error típ.	Beta
(Constante)	3.388,770	88,269		38,391	0,000
RAZA1	-475,808	145,578	-0,225	-3,268	0,001
RAZA2	-349,998	112,342	-0,230	-3,115	0,002
Si fuma o no	-354,900	103,426	-0,238	-3,431	0,001
Hipertensión	-585,112	199,610	-0,196	-2,931	0,004
Irri. uterina	-524,439	134,652	-0,256	-3,895	0,000
PESOCENT	8,479	3,350	0,178	2,531	0,012

Modelo definitivo:

Ya se puede interpretar el b₀ =3388,77 que es lo que vale el peso, por término medio, de un niño recién nacido, cuando la madre es blanca, no fuma, no es hipertensa, no tiene irritabilidad uterina y pesa 65 kgs.

• 475.808 es la diferencia de peso promedio entre un recién nacido de madre negra respecto a madre blanca, a igualdad de las demás variables.
• 349.998 es la diferencia de peso promedio entre un recién nacido de madre de otra raza respecto a madre blanca, a igualdad de las demás variables.
• 354.900 es la diferencia de peso promedio entre un recién nacido de madre que fuma respecto a madre que no fuma, a igualdad de las demás variables.
• 585.112 es la diferencia de peso promedio entre un recién nacido de madre hipertensa respecto a madre no hipertensa.
• 524.439 es la diferencia de peso promedio entre un recién nacido de madre con irritabilidad uterina respecto a una madre sin irritabilidad uterina.
• 8.479 es el aumento en gramos del peso del recién nacido por cada kilogramo de aumento de la madre.

Si queremos ver los posibles desajustes del modelo ajustado hemos de estudiar los residuales.

Para obtener sus correspondientes variables realizamos el siguiente procedimiento (estando en analizar à regresión à lineal y con las variables definitivas introducidas, es decir, después de haber obtenido el modelo ajustado):

Dentro de Guardar... elegimos:

• Valores pronosticados |® No tipificados
• Residuos |® No tipificados y tipificados
• Distancias |® De Cook

Obtenemos las siguientes variables:

• pre.1: valores pronosticados no tipificados
• res.1: residuales no tipificados
• zre.1: residuales tipificados

Normalidad de los residuales tipificados:

Para saber si hay normalidad, vamos a obtener un gráfico aclaratorio mediante:

Gráficos ® Q-Q ® meter la variable zre.1

---

Figure 9.21: Q-Q.

---

Este gráfico muestra que hay normalidad puesto que dicha forma es la que debe salir para indicar que la distribución de los residuales es normal. Figura: 9.21

Ordenamos el fichero (Datos: Ordenar casos) por la variable zre-1, es decir, los residuales tipificados para ver los outliers (observaciones extremas o raras) que son los menores que -1'96 y mayores que 1'96 (lo contenido entre dichos valores será, lógicamente, el 95% de los casos, =0'05).

Hecho esto, se identifican los niños cuyo código de identificación (id) corresponda a los residuales anteriores; así los niños 10, 16, 4 y 36, cuyos residuales tipificados son menores que -1'96, indican que estos niños tienen un peso raramente inferior al que cabría esperar según las características de sus madres. Asimismo, los niños con id 188 y 226, cuyos residuales son mayores que 1'96, indican que tienen un peso raramente superior al esperado según las características de sus madres.

La distancia de Cook mide la influencia de cada niño sobre las estimaciones de los coeficientes, de tal forma que si sacamos un punto influyente del fichero de datos, las estimaciones de los coeficientes del modelo pueden variar sensiblemente.

Vamos a ordenar el fichero según la variable correspondiente a las distancia de Cook (coo-1).

El niño cuyo id=10 es el más influyente porque su distancia es la mayor. Pero realmente aún no sabemos si influye de manera importante o no; para averiguarlo:

Datos |® Seleccionar casos |® Si se satisface la condición: id 10 (aquí en la calculadora del SPSS el significa distinto).

Analizar |® Regresión |® Lineal (quitamos todo lo marcado antes).

Resumen del modelo 1.

R	R^2	R^2 corregida	Error típ.
0,498	0,248	0,223	632,13

Nota:Variables predictoras: (Constante), PESOCENT, Si la madre fuma o no, Irritabilidad uterina, RAZA1, Hipertensión, RAZA2.

ANOVA:

	Suma de cuadrados	gl	Media cuadratica	F	Sig.
Regresion	23.870.616,152	6	3.978.436,025	9,956	0,000
Residual	72.326.300,502	181	399.592,820
Total	96.196.916,654	187

Nota:Variables predictoras: (Constante), PESOCENT, Si la madre fuma o no, Irritabilidad uterina, RAZA1, Hipertensión, RAZA2. Variable dependiente: Peso de recién nacido (grs).

Tabla de coeficientes:

	Coef. no estand.		Coef. estand.	t	Sig.
	B	Error típ.	Beta
(Constante)	3.415,536	86,858		39,323	0,000
RAZA1	-500,242	142,724	-0,241	-3,505	0,001
RAZA2	-384,355	110,556	-0,257	-3,477	0,001
Si fuma o no	-386,067	101,766	-0,264	-3,794	0,000
Hipertensión	-582,474	195,379	-0,199	-2,981	0,003
Irri. uterina	-449,454	134,153	-0,220	-3,350	0,001
PESOCENT	8,562	3,279	0,183	2,611	0,010

Nota:Variable dependiente: Peso de recien nacido (grs).

9.5  Conclusiones

Después del análisis realizado podemos concluir que, de las variables proporcionadas en el fichero original, tan sólo tienen efecto independiente sobre el peso del recién nacido la raza de la madre, si fuma o no, la hipertensión, la irritabilidad uterina y el peso de la madre.

La interpretación de las estimaciones de los coeficientes se hizo anteriormente; en cuanto al análisis de los residuales, podemos decir que siguen una distribución normal como implica el modelo de regresión lineal; hay algunos niños (outliers) con pesos "raros", tanto por exceso como por defecto, en relación a las características de sus respectivas madres.

Por último, no se ha detectado ningún punto que ejerza una influencia importante en la estimación de los coeficientes.

Ya que el coeficiente de determinación del modelo elegido es de 0'24, significa que no podemos explicarnos más de las tres cuartas partes, 0'76, de la variabilidad de los pesos de los recién nacidos.

Esto implica que hay variables que podrían ayudarnos a explicarnos mejor el peso de los niños pero que no nos han sido proporcionadas.

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