Superficies. Integrales de superficie

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Inicialización

Off[ParametricPlot3D::ppcom]
Off[ParametricPlot::ppcom]
Off[General::spell1]

<<Graphics`Arrow`

<<Graphics`Colors`

\(\(\(norma[x_] := N[\@\(x . x\)]\  (*\ 
      norma\ euclídea\ del\ vector\ x\ *) 

    \(\(normaliza[x_]\  := If[Simplify[x . x] == 0, x, \ x/norma[x]]; \  (*\ 
      vector\ unitario\ en\ la\ dirección\ del\ vector\ x\ *) 

    normal3D[x_]\  := \ 
      normaliza[
        Which[x[\([1]\)] == 0, {1, 0, 
            0}, \((x[\([2]\)] ≠ 
                0)\) ∨ \((x[\([3]\)] ≠ 0)\), {0, 
            x[\([3]\)], \(-x[\([2]\)]\)}, \((x[\([2]\)] == 0 ∧ 
              x[\([3]\)] == 0)\), {0, 1, 0}]]\)\(
\)
    \)\)\( (*\ 
      un\ vector\ unitario\ ortogonal\ al\ vector\ x\ *) \)\)\)

\(\(arrow3D[x_, y_, color_:  RGBColor[0. , 0. , 0. ], 
          grosor_:  0.007] := 
			{{color, Thickness[grosor], 
            Line[{x, y}]}, 
\ \ \ \ \ {SurfaceColor[
              color], \ \(Polygon[
                  Append[#, 
                    y]] &\)\  /@ \ 
						Partition[\(\((y\ \  - \ 
                        0.18*\((y - x)\) + \ #)\) &\) /@ \((\((0.3*\ 0.18*
                          norma[y - x]*\ 
                          Table[{Cos[2\ k\ Pi/8. ], \ Sin[2\ k\ Pi/8. ]}, {k, 
                              0, 8}])\) . {normal3D[y - x], 
                        normaliza[Cross[normal3D[y - x], y - x]]})\), 2, 
                1]}};\)\)
vector3D[x_List: {0, 0, 0}, y_List, 
        color_:  RGBColor[0. , 0. , 0. ], grosor_:  0.007]:=arrow3D[
        x, x + y, color, grosor]

<<Graphics`Animation`

Superficies en (ℝ^3)

En todo lo que sigue consideraremos funciones de una o varias variables con derivada continua o con derivadas parciales de primer orden continuas respectivamente. Las formas más frecuentes de definir una superficie en (ℝ^3) son las siguientes:
a) La superficie viene dada por la gráfica de una función, es decir, se trata de una superficie de la forma

\(TraditionalForm
      \`S = \({\((x, y, z)\) ∈ 
              \(\(ℝ\^3\) : \ \((x, y)\) ∈ A\), 
            \ z = f(x, y)} = {
            \((x, y, f(x, y))\) ∈ 
              \(\(ℝ\^3\) : \ \((x, y)\) ∈ A\)}
            \)\)

donde  A ⊂  (ℝ^2) y f : A -> ℝ es un campo escalar de dos variables.

b) La superficie está definida implícitamente por una ecuación, es decir, se trata de una superficie de la forma

\(TraditionalForm
      \`S = {\((x, y, z)\) ∈ 
              \(\(ℝ\^3\) : g(x, y, z)\) = 0}\)

donde g es un campo escalar de tres variables.

c) La superficie está definida paramétricamente, es decir, se trata de una superficie de la forma S = γ(A) donde γ es una función de dos variables con valores en (ℝ^3). La función γ transforma un subconjunto A ⊂ (ℝ^(2 ))en una superficie en (ℝ^3). En este caso se acostumbra a interpretar los puntos del conjunto A como parámetros que describen la superficie. Si notamos (s, t) ∈ A un elemento genérico de A, la función γ debe ser de la forma

γ(s, t)=(x(s, t), y(s, t), z(s, t))=x(s, t)i + y(s, t)j+z(s, t)k

y, por tanto \(TraditionalForm
      \`S = \(γ(A) = {\((x(s, t), y(s, t), z(s, t))\), \ \ 
            \((s, t)\) ∈ A}\)\).

Observa que a) es un caso particular de b)  pues la gráfica de una función f es el conjunto de puntos donde se anula la función de tres variables g(x, y, z) = f(x, y) - z, y también es un caso particular de c)  pues la gráfica de una función  f  tiene como ecuaciones paramétricas  γ (x, y) = (x, y, f(x, y)).

Para cada uno de estos casos Mathematica tiene un comando que permite representar la superficie dada:
Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},opciones]  representa la gráfica de la función f en el intervalo [a,b]×[c,d].
ContourPlot3D[g[x,y,z],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}, opciones] representa las superficies de nivel de la función g[x,y,z], es decir las superficies de ecuación implícita g[x,y,z]=c. Por defecto representa la superficie que corresponde al valor c=0. 
ParametricPlot3D[{x[s,t],y[s,t],z[s,t]},{s,a,b},{t,c,d},opciones]  representa la gráfica de la superficie de ecuaciones paramétricas γ(s, t) = (x(s, t), y(s, t), 
          z(s, t)) para  (s, 
          t) ∈ [a, b]×[c, d].

Plot3D[ 
        x y Exp[-(x^2) - (y^2)],  {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
        PlotPoints -> 30, AxesLabel -> {X, Y, Z}];

esfera = 
        ParametricPlot3D[{Cos[ϕ] Sin[θ], 
            Sin[ϕ] Sin[θ], 
            Cos[θ]}, {ϕ, -π, π}, {θ, 
            0, π}];

Controlando los parámetros puedes conseguir representar partes de la superficie.

ParametricPlot3D[{Cos[ϕ] Sin[θ], 
          Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ]}, {ϕ, -π/5, 
          3  π/2}, {θ, π/8, π - π/8}];

Una forma interesante de ver la gráfica de una función es mediante curvas de nivel. Por este método lo que se hace es representar la gráfica de una función en (ℝ^3) proyectando sobre el plano XY las curvas intersección de dicha superficie con planos paralelos al plano XY (curvas de nivel). Las curvas de nivel unen los puntos de la superficie que tienen la misma altura. Estás acostumbrado a ver estas representaciones porque los mapas topográficos representan el relieve del terreno por curvas de nivel. Esta representación permite ver las zonas donde la función varía más rápidamente porque las curvas de nivel están más próximas entre sí. Mathematica dispone de un comando "ContourPlot[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},opciones]" que representa curvas de nivel de la gráfica de la función f[x,y] para una sucesión de valores de altura igualmente espaciados.  Mathematica representa con tonos más luminosos las zonas donde la función toma valores más grandes y con tonos más oscuros las zonas donde la función es más pequeña. Veamos el gráfico de contorno de la primera superficie.

ContourPlot[
        x y Exp[-(x^2) - (y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 
          2}];

Las superficies más sencillas son las cuádricas. Se llaman así las superficies definidas implícitamente como el conjunto de puntos donde se anula una función polinómica de grado dos con tres variables. Las cuádricas son la generalización a (ℝ^3) de las cónicas.

Para representar superficies implícitamente definidas hay que cargar el paquete siguiente que pone a nuestra disposición el comando ContourPlot3D[ ] que es el análogo en tres dimensiones de ContourPlot[ ].

<<Graphics`ContourPlot3D`

\(\(\(\(\(ContourPlot3D[
          2  x^2 + y^2 - z^2 - 
            1, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {x, \(-2\), 
            2}, \ {y, \(-2\), 2}, \ {z, \(-2\), 
            2}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotPoints -> {{5, 7}, {5, 
                7}, {5, 7}}]\) \);\)\( (*\ 
      Hiperboloide\ de\ una\ hoja\ *) \)\)\)

\(\(ContourPlot3D[
        z\^2 + \((2 - \@\(x\^2 + y\^2\))\)\^2 - 
          1, 
	{x, \(-3\), 3}, {y, \(-3\), 3}, {z, \(-1\), 
          1}, 
	
        PlotPoints -> {{5, 7}, {5, 7}, {5, 7}}];\)\)

Ejercicio 1

Plano tangente en un punto de una superficie

Se dice que un vector w ∈ (ℝ^3) es tangente a una superficie S en un punto (a, b, c) ∈ S si se verifica que w es el vector tangente en el punto (a, b, c) a una curva contenida en S y que pasa por dicho punto. Se dice que un vector w ∈ (ℝ^3) es ortogonal a una superficie S en un punto (a, b, c) ∈ S si se verifica que w es ortogonal a todo vector tangente a S en el punto (a, b, c). 
Se verifica que el plano tangente a la superficie en el punto (a, b, c) contiene a todos los vectores tangentes a la superficie en dicho punto. El cálculo del plano tangente depende de cómo venga dada la superficie. Consideremos los tres casos posibles.

1) Supongamos que la superficie viene dada por ecuaciones paramétricas S = γ(A) donde A ⊂ (ℝ^2) y

γ(s, t)=(x(s, t), y(s, t), z(s, t))=x(s, t)i + y(s, t)j+z(s, t)k

Para calcular el plano tangente en un punto γ((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))=(a, b, c) ∈  S, basta darse cuenta de que las curvas α(s) = γ(s, (Subscript[t, 0])) y β(t) = γ((Subscript[s, 0]), t) están contenidas en S y pasan por el punto (a, b, c). Los vectores tangentes a dichas curvas en (a, b, c) vienen dados por

α' ((Subscript[s, 0]))=∂ (γ/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))=(∂ (x/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])),∂ (y/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])),∂ (z/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])))=∂ (x/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))i+∂ (y/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))j+∂ (z/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))k

β ' ((Subscript[t, 0]))=∂ (γ/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))=(∂ (x/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])),∂ (y/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])),∂ (z/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])))=∂ (x/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))i +∂ (y/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])) j +∂ (z/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))k

que son los vectores columna de la matriz jacobiana de γ en ((Subscript[s, 0]), (Subscript[t, 0])). Se supone que dichos vectores son linealmente independientes pues en otro caso el plano tangente a S en (a, b, c) no está definido. El plano tangente a S en (a, b, c) es la traslación a dicho punto del plano vectorial engendrado por estos dos vectores. En consecuencia, el plano tangente tiene las ecuaciones paramétricas siguientes:

(x, y, z)=γ((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))+s∂ (γ/∂) s((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0])) + t ∂ (γ/∂) t((Subscript[s, 0]),(Subscript[t, 0]))                              (s, 
                t ∈ ℝ)

2) Supongamos que la superficie está definida implícitamente por una ecuación, es decir, se trata de una superficie de la forma S = {(x, y, 
                z) ∈ (ℝ^3) : 
                g(x, y, z) = 0} donde g es un campo escalar de tres variables. Para calcular el plano tangente a S en un punto (a, b, c) ∈ S, basta observar que el vector gradiente de g calculado en (a, b, c) es ortogonal a todo vector tangente a S en (a, b, c). Ello es consecuencia de que si α : [a, 
            b] -> (ℝ^3) es una curva contenida en la superficie S que pasa por el punto α((Subscript[t, 0])) = (a, b, c), entonces se tiene que g(α(t)) = 0 para todo t ∈ [a, b], por lo que la derivada de la función compuesta g(α(t)) es idénticamente nula, es decir ⟨∇g(α(
                  t)) | α' (t)⟩ = 0 para todo t ∈ [a, b], en particular, para t = (Subscript[t, 0]) obtenemos que ⟨∇g(a, b, c) | α' ((Subscript[t, 0]))⟩=0. Deducimos que el plano tangente a S en (a, b, c) es el plano que tiene como vector ortogonal ∇g(a, b, c) y que pasa por el punto (a, b, c). Se supone que ∇g(a, b, c) ≠  (0, 0, 0) pues en otro caso, el plano tangente en (a, b, c) no está definido. En consecuencia, el plano tangente es el plano de ecuación cartesiana

⟨∇g(a, b, c) | (x - a, 
            y - b, z - c)⟩ = 0

3) Si la superficie es la gráfica de una función \(TraditionalForm\`S = {\((x, y, 
              f(x, y))\) ∈ \(\(ℝ\^2\) : \ \((x, y)\) ∈ A\)}\) donde  A ⊂  (ℝ^2) y f : A -> ℝ es un campo escalar de dos variables, entonces dicha superficie está definida implítamente por la ecuación g(x, y, z) = f(x, y) - z = 0. Como consecuencia de lo visto en el punto anterior, el plano tangente en un punto (a, b, 
          c) = (a, b, f(a, b)) ∈ S es el plano de ecuación ⟨∇g(a, b, c) | (x - a, 
              y - b, z - f(a, b))⟩ = 0 y, como, ∇g(a, b, c)=(∂ (f/∂) x (a, 
                  b), ∂ (f/∂) y (a, 
                  b), -1) , se sigue que la ecuación del plano tangente es z - 
          c = ∂ (f/∂) x (a, 
              b) (x - a) + ∂ (f/∂) y (a, 
              b) (y - b).
Observa que S tiene como ecuaciones paramétricas γ(x, y) = (x, y, f(x, y)) por lo que los vectores (1, 
        0, ∂ (f/∂) x (a, b)) y (0, 
        1, ∂ (f/∂) y (a, b)) son tangentes a S en el punto (a, b, c).  El vector (∂ (f/∂) x (a, 
            b), ∂ (f/∂) y (a, 
            b), -1) es ortogonal a dichos vectores, como debe ser según lo dicho en el punto anterior.

Las siguientes gráficas ilustran estos conceptos.

γ[θ_, ϕ_] = {Cos[ϕ] Sin[θ], 
          Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ]};
a = N[π/3]; b = -N[π/10];
p = γ[a, b];
v1 = 
        D[γ[θ, ϕ], θ] /. {θ -> a, ϕ -> 
              b};
v2 = 
        D[γ[θ, ϕ], ϕ] /. {θ -> a, ϕ -> 
              b};
curva1 = 
        ParametricPlot3D[γ[a, ϕ], {ϕ, 0, 2  π}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[0], Thickness[ .01], Line[x]};
curva2 = 
        ParametricPlot3D[γ[θ, b], {θ, 0, π}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[ .6], Thickness[ .01], Line[x]};
vctng = 
        Graphics3D[{vector3D[p, v1, Yellow,  .01], 
            vector3D[p, v2, Yellow,  .01]}];
nrml = 
        Graphics3D[{vector3D[p, Cross[v1, v2], Magenta,  .01]}];
plntg = 
        ParametricPlot3D[γ[a, b] + s*v1 + 
            t*v2,  {s, - .5,  .5}, {t, - .5,  .5}, 
          DisplayFunction -> Identity];

Show[esfera, curva1, curva2, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Boxed -> False, 
        Axes -> False];
Print["Gráficas de la esfera \
S=γ([0,2π]×[0,π]) y de las curvas\nθ->\
γ(θ,b) (en azul), ϕ->γ(a,ϕ) (en \
rojo)"];

Show[esfera, curva1, curva2, vctng, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Boxed -> False, 
        Axes -> False];
Print["Gráficas de la esfera \
S=γ([0,2π]×[0,π]);\nde las curvas θ->\
γ(θ,b) (en azul), ϕ->γ(a,ϕ) (en rojo)\ny \
de los vectores tangentes a dichas curvas en su punto de corte"];

Show[esfera, curva1, curva2, plntg, vctng, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Boxed -> False, 
        Axes -> False];
Print["Gráficas de la esfera \
S=γ([0,2π]×[0,π]);\nde las curvas θ->\
γ(θ,b) (en azul), ϕ->γ(a,ϕ) (en rojo);\n\
de los vectores tangentes a dichas curvas en su punto de corte\ny de una \
parte del plano tangente en dicho punto"];

Show[esfera, curva1, curva2, plntg, vctng, nrml, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, Boxed -> False, 
        Axes -> False, 
        ViewPoint -> {0.174,  -2.944,  1.659}];
Print["Gráficas de la esfera \
S=γ([0,2π]×[0,π]);\nde las curvas θ->\
γ(θ,b) (en azul), ϕ->γ(a,ϕ) (en rojo);\n\
de los vectores tangentes a dichas curvas en su punto de corte;\nde una parte \
del plano tangente en dicho punto\ny del vector normal en dicho \
punto"];

Clear[esfera, curva1, curva2, plntg, vctng, nrml]

Si f(x, y, z) es un campo escalar de tres variables, las superficies de ecuación implícita f(x, y, z) = c o, lo que es igual f(x, y, z) - c = 0, donde c es una constante, se llaman superficies de nivel (cuando el campo se interpreta como un potencial se llaman superficies equipotenciales). De lo dicho en 2), se sigue que el vector gradiente ∇f(x, y, z) es ortogonal en todo punto (x, y, z) (en el que ∇f(x, y, z) ≠  0) a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.

Ejercicio 2

Área de una superficie. Integral de superficie de un campo escalar

Consideremos una superficie S = γ(A) donde γ(s, t)=(x(s, t), y(s, t), z(s, t))=x(s, t)i + y(s, t)j+z(s, t)k y A es un subconjunto de (ℝ^2) que, por sencillez, supondremos que es de la forma A = [a, b]×[c, d]. En todo lo que sigue se supone que la parametrización γ es buena en el sentido de que solamente recubre la superficie una sola vez, esto es tanto como exigir que γ sea una función inyectiva aunque puede permitirse que en S haya algunas curvas que se recubran más de una vez por γ.

Consideremos particiones \(TraditionalForm
      \`a = \(\(s\_0 < s\_1 < s\_2 <  ... \) < s\_\(n - 1\) < s\_n = b\)\) y \(TraditionalForm
      \`c = \(\(t\_0 < t\_1 < t\_2 <  ... \) < t\_\(m - 1\) < t\_m = d\)\) de los intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente. Tenemos que

S=γ(A)=γ((⋃_(1≤j≤\(n
1\)≤k≤m))[(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])])=(⋃_(1≤j≤\(n
1\)≤k≤m))γ([(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])])

teniendo en cuenta la propiedad aditiva del área, se sigue que

Área (S)=\(∑\+\(j = 1\)\%n\(∑\+\(k = 1\)\%m Área\)\)(γ([(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])]))(1)

A continuación calcularemos de forma aproximada el área de un pequeño trozo de la superficie. Para ello sean h y k números "muy pequeños" y consideremos el trozo de superficie \(TraditionalForm
      \`S\_0 = γ(\([s\_0, s\_0 + h]\)×\([t\_0, t\_0 + k]\))
          \). Aproximaremos dicha superficie por el paralelogramo con vértice en γ[(Subscript[s, 0]), (Subscript[t, 0])] engendrado por los vectores \(TraditionalForm
      \`v1 = γ[s\_0 + h, t\_0] - γ[s\_0, t\_0]\) y \(TraditionalForm
      \`v2 = γ[s\_0, t\_0 + k] - γ[s\_0, t\_0]\). Sabemos que el área de dicho paralelogramo viene dada por la norma del producto vectorial de v1 por v2. Teniendo en cuenta la definición de derivada parcial, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

v1≃h ∂ (γ/∂) s ((Subscript[s, 0]), 
                    (Subscript[t, 0])),v2≃k ∂ (γ/∂) t ((Subscript[s, 0]), 
                      (Subscript[t, 0]))

por lo que ||v1×v2||≃h k ||∂ (γ/∂) s ((Subscript[s, 0]), 
                    (Subscript[t, 0]))×∂ (γ/∂) t ((Subscript[s, 0]), 
                    (Subscript[t, 0]))||. Observa que lo que estamos haciendo es aproximar el área de (Subscript[S, 0]) por el área de un paralelogramo contenido en el plano tangente a (Subscript[S, 0]) en el punto γ((Subscript[s, 0]), (Subscript[t, 0])). Es decir, para medir el área de (Subscript[S, 0]) lo que hacemos es sustituir (Subscript[S, 0]) por su proyección sobre dicho plano tangente. 
Esto no debe de extrañarte: tú vives sobre la superficie de la tierra que es parecida a una esfera pero te comportas como si vivieras sobre un plano: el plano tangente a la Tierra en tu lugar de residencia. Por ejemplo, para medir el área de una región cuadrada cuyo lado es de 5 kilómetros, no se tiene en cuenta la pequeña curvatura de dicha región y afirmamos que el área es de 25 kilómetros cuadrados; lo que hacemos es aproximar un trozo de la esfera "Tierra" por un trozo de su plano tangente. El error que se comete es muy pequeño. Si pudiéramos tapizar la superficie de la Tierra con teselas de 1 centímetro de lado, bastaría conocer cuántas teselas se necesitan para tener una buena aproximación del área de la superficie total de la Tierra. La siguiente gráfica ilustra estas ideas.

γ[θ_, ϕ_] = {Cos[ϕ] Sin[θ], 
          Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ]};
semiesfera = 
        ParametricPlot3D[{Cos[ϕ] Sin[θ], 
            Sin[ϕ] Sin[θ], Cos[θ], EdgeForm[]}, {θ, 
            0, π/2}, {ϕ, 0, 2  π}, PlotPoints -> {20, 40}, 
          Boxed -> False, Axes -> False, 
          DisplayFunction -> Identity];
so = N[π/5]; to = -N[π/4]; k =  .65; h =  .9*k;
curva1 = 
        ParametricPlot3D[γ[so, ϕ], {ϕ, to, to + k}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[ .6], Thickness[ .007], Line[x]};
curva2 = 
        ParametricPlot3D[γ[θ, to + k], {θ, so, so + h}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[ .6], Thickness[ .007], Line[x]};
curva3 = 
        ParametricPlot3D[γ[so + h, ϕ], {ϕ, to + k, to}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[ .6], Thickness[ .007], Line[x]};
curva4 = 
        ParametricPlot3D[γ[θ, to], {θ, so + h, so}, 
            DisplayFunction -> Identity] /.  
          Line[x_] -> {Hue[ .6], Thickness[ .007], Line[x]};
punto = 
        Graphics3D[{Hue[0], PointSize[ .03], 
            Point[γ[so, to]]}];
vector1 = 
        Graphics3D[{vector3D[γ[so, 
                to],  .5 
                   D[γ[θ, ϕ], θ] /. {θ -> 
                    so, ϕ -> to}, Yellow,  .01]}];
vector2 = 
        Graphics3D[{vector3D[γ[so, 
                to],  .75 
                   D[γ[θ, ϕ], ϕ] /. {θ -> 
                    so, ϕ -> to}, Yellow,  .01]}];
plano = 
        Insert[ParametricPlot3D[γ[so, to] + 
              s*Evaluate[
                  D[γ[θ, ϕ], θ] /. {θ -> 
                        so, ϕ -> to}] + 
              t*Evaluate[
                  D[γ[θ, ϕ], ϕ] /. {θ -> 
                        so, ϕ -> to}], {s, 0,  .5}, {t, 0,  .75}, 
            PlotPoints -> {3, 3}, DisplayFunction -> Identity], 
          EdgeForm[Hue[0]], {1, 1}];
Show[semiesfera, curva1, curva2, curva3, curva4, punto, vector1, 
        vector2, plano,  ImageSize -> {478.125,  408.75}, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction];
Print["Un trozo de una superficie aproximado por un trozo del plano \
tangente"];

Teniendo ahora en cuenta la igualdad (1), deducimos que

Área (S)=\(∑\+\(j = 1\)\%n\(∑\+\(k = 1\)\%m Área\)\)(γ([(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])]))≃(∑_(j = 1)^n)(∑_(k = 1)^m)((Subscript[s, j]) - (Subscript[s, j - 1]))((Subscript[t, k]) - 
                    (Subscript[t, k - 1]))||∂ (γ/∂) 
                              s ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1]))×∂ (γ/∂) 
                              t ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1]))||

En el límite estas sumas convergen a la integral doble ∫(∫_A)||∂ (γ/∂) s (s, 
                        t)×∂ (γ/∂) t (s, 
                        t)||d(s, t). Esto lleva a definir el área de una superficie S dada paramétricamente por

Área (S)=∫(∫_A)||∂ (γ/∂) 
                                s (s, t)×∂ (γ/∂) 
                                t (s, t)||d(s, t)

Si la superficie es la gráfica de una función \(TraditionalForm
      \`S = {\((x, y, f(x, y))\) ∈ 
            \(\(ℝ\^2\) : \ \((x, y)\) ∈ A\)}
          \) donde  A ⊂  (ℝ^2) y f : A -> ℝ es un campo escalar de dos variables, entonces dicha superficie tiene como ecuaciones paramétricas γ(x, y) = (x, y, f(x, y)) por lo que \(TraditionalForm
      \`\(∂\ γ\/∂\ x\) \((x, y)\) = 
        \((1, 0, \(∂\ f\/∂\ x\) \((x, y)\))\)\), \(TraditionalForm
      \`\(∂\ γ\/∂\ y\) \((x, y)\) = 
        \((0, 1, \(∂\ f\/∂\ y\) \((x, y)\))\)\). En este caso tenemos que

Área (S)=∫(∫_A)||∂ (γ/∂) 
                                    x (x, y)×∂ (γ/∂) 
                                    y (x, y)||d(x, y)=\(∫\(∫\_A\@\( 1 + \((\(∂\ f\/∂\ x\) \((x, y)\))\)\^2 + \((\(∂\ f\/∂\ y\) \((x, y)\))\)\^2\)\)\)  d(x, y)

Ejercicio 3

γ(s, 
          t) = ((R  +  r cos t) cos s,  (R  +  
                r cos t) sen s,  r sen t)	donde 0 < r < R.

Integral de superficie de un campo escalar

Supongamos ahora que f es un campo escalar definido en una región del espacio que contiene a la superficie S = γ(A). Para definir la integral de f sobre S, procedemos como antes dividiendo la superficie en pequeños parches (Subscript[S, j, k])=γ([(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])]), evaluamos la función f en un punto de cada parche, por ejemplo en γ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1])), y formamos la suma

(∑_(j = 1)^n)(∑_(k = 1)^m) 
                    f(γ((Subscript[s, j - 1]), 
                      (Subscript[t, k - 1]))) Área(γ([(Subscript[s, j - 1]),(Subscript[s, j])]×[(Subscript[t, k - 1]),(Subscript[t, k])]))≃(∑_(j = 1)^n)(∑_(k = 1)^m)((Subscript[s, j]) - (Subscript[s, j - 1]))((Subscript[t, k]) - 
                    (Subscript[t, k - 1]))f(γ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1])))||∂ (γ/∂) 
                              s ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1]))×∂ (γ/∂) 
                              t ((Subscript[s, j - 1]), (Subscript[t, k - 1]))||

En el límite estas sumas convergen a la integral doble ∫(∫_A) f(γ(s, t))||∂ (γ/∂) s 
                  (s, t)×∂ (γ/∂) t 
                  (s, t)||d(s, t). Definimos, por tanto, la integral del campo escalar f sobre la superficie S como

∫(∫_S) f(x, y, 
                    z) dS=∫(∫_A) f(γ(s, t))||∂ (γ/∂) s (s, 
                        t)×∂ (γ/∂) t (s, 
                        t)||d(s, t)                           (1)

En el caso paricular de que la superficie sea la gráfica de una función \(TraditionalForm
      \`S = {\((x, y, h(x, y))\) ∈ 
            \(\(ℝ\^2\) : \ \((x, y)\) ∈ A\)}
          \) donde  A ⊂  (ℝ^2) y h : A -> ℝ es un campo escalar de dos variables, tenemos que

\(∫\(∫\_S\( f(x, y, 
                  z)\) dS\) = ∫\(∫\_A\( f(
                  x, y, h(x, 
                    y))\) \(\@\(1 + \((\(∂\ h\/∂\ x\) \((x, y)\))\)\^2 + \((\(∂\ h\/∂\ y\) \((x, y)\))\)\^2\)\) d\((x, y)\)\)\)

Te recuerdo que estamos suponiendo que todas las funciones que consideramos son de clase (C^1), es decir que tienen derivadas parciales de primer orden continuas. Las superficies definidas por funciones de clase (C^1)que tienen plano tangente en todo punto se llaman superficies suaves. Con frecuencia es preciso calcular integrales sobre superficies que tienen aristas y no son suaves pero que son "suaves a trozos" esto es, que se obtienen "pegando" varias superficies suaves; por ejemplo, la superficie formada por las caras de un poliedro. En tal caso, la integral sobre una superficie suave a trozos se define como la suma de las integrales sobre cada una de las superficies suaves que la forman.

Naturalmente, el valor de la integral (1) no debe depender de la forma en que representemos la superficie. Efectivamente, esto es así. Veámoslo con un ejemplo.

Calculemos la integral de superficie del campo escalar ((f(x, y, z) = ((y )^2) + z)^2) en la superficie dada por γ(u, v)=u v i+(u + v)j+(u - v)k donde (u^2) + (v^2) ≤ 1. Aquí el conjunto A donde se mueven los parámetros es el disco unidad en el plano A={(u, v): (u^2) + (v^2) ≤ 1}. Por tanto podemos calcular la integral como sigue.

f[{x_, y_, z_}] =  (y^2) + (z^2);
γ[u_, v_] = {u*v,  u + v, 
          u - v};
Integrate[
      Simplify[f[γ[u, v]] 
          Norm[Cross[D[γ[u, v], u], 
              D[γ[u, v], v]]]], {u, -1, 
        1}, {v, -(Sqrt[1 - (u^2)]), (Sqrt[1 - (u^2)])}]

Pero también podemos parametrizar la superficie dada por medio de las coordenadas polares de (u, v) en la forma ϕ(ρ, θ) = {(ρ^2) 
            cos θ sen θ,  ρ(
            cos θ +  
              sen θ),  ρ (cos θ  -  
                sen θ)}. De esta forma complicamos un poco la función que nos da la superficie pero en cambio simplificamos mucho el conjunto donde se mueven los parámetros, pues ahora tenemos que dicho conjunto es B = {(ρ, θ) : 
            0 ≤ ρ ≤ 1,  
          0 ≤ θ ≤ 2  π}. Por tanto podemos calcular la integral pedida en la forma siguiente.

ϕ[ρ_, θ_] = {(ρ^2) 
            Cos[θ] Sin[θ], ρ (Cos[θ] + 
                Sin[θ]), ρ (Cos[θ] - 
                Sin[θ])};
Integrate[
      Simplify[f[ϕ[ρ, θ]]] 
        Norm[Cross[D[ϕ[ρ, θ], ρ], 
            D[ϕ[ρ, θ], θ]]], {ρ, 0, 
        1}, {θ, 0, 2 π}]

Como puedes ver el resultado obtenido es el mismo. La explicación de por qué esto es así radica en en un propiedad muy especial del producto vectorial. Consideremos la situación general. Sea pues, una superficie S dada por γ(s, t) = (x(s, t), y(s, t), 
          z(s, t)) donde (s, t) ∈ 
        A ⊂ (ℝ^2) e introduzcamos parámetros nuevos (u, v) por s = α(u, v),  t = β(u, v) donde (u, v) ∈ B siendo B = {(u, 
              v) : (α(u, v), β(u, v)) ∈ A}. Pongamos ϕ(u, 
          v) = γ(α(u, v), β(u, v)) la nueva parametrización de S. Probaremos que

∫(∫_A) 
                  f(γ(s, 
                    t)) || ∂(γ/∂)s (s, 
                t)×∂(γ/∂)t (s, 
                t) || d(s, t) =∫(∫_B) 
                f(ϕ(u, 
                  v)) || ∂(ϕ/∂)u (u, 
              v)×∂(ϕ/∂)v (u, 
              v) || d(u, 
                v)           (2)

Tenemos que

∫(∫_A) 
                  f(γ(s, 
                    t)) || ∂(γ/∂)s (s, 
                t)×∂(γ/∂)t (s, 
                t) || d(s, t) =\((teorema\ del\ cambio\ de\ variables\ en\ integrales\ \(dobles : \ 
                expresamos\ la\ función\ que\ integramos\ en\ las\ nuevas\ variables\ y\ multiplicamos\ por\ el\ jacobiano\))\)=
∫(∫_B) 
                      f(γ(s, 
                        t)) || ∂(γ/∂)s (s, 
                    t)×∂(γ/∂)t (s, 
                    t) ||  /. {s, 
                  t} -> {α(u, v), β(u, v)}   | 
                  jacobiano(u, v) | d(u, v)=\(∫\(∫\_B 
                      f(ϕ(u, 
                        v))\) || \(∂γ\/∂s\) \((α(u, v), β(u, 
                      v))\)×\(∂γ\/∂t\) \((α(u, v), β(u, v))\) || \)  |jacobiano(u, v)|d(u, v)

La igualdad (2) la obtenemos ahora como consecuencia de la siguiente igualdad

\(TraditionalForm\`\(∂ϕ\/∂u\) \((u, 
          v)\)×\(∂ϕ\/∂v\) \((u, 
          v)\) = \(\(jacobiano(u, 
          v)\) \(∂γ\/∂s\) \((α(u, 
            v), β(u, 
            v))\)\(×\)\(∂γ\/∂t\) \((α(u, v), β(u, v))\)\(\ \ \ \)\)\)

que vamos a probar seguidamente con Mathematica.

Clear[γ, ϕ, α, β]
γ[s_, 
        t_] = {γ1[s, t], γ2[s, t], γ3[s, t]};   
ϕ[u_, 
        v_] = γ[α[u, v], β[u, v]];  
jacobiano[u_, v_] = 
        D[α[u, v], u]*D[β[u, v], v] - 
          D[α[u, v], v]*
            D[β[u, v], u];
Cross[D[ϕ[u, v], u], D[ϕ[u, v], v]] // 
        Simplify;
jacobiano[u, 
              v]*(Cross[D[γ[s, t], s], 
                D[γ[s, t], t]]) /. {s -> α[u, v], 
            t -> β[u, v]} // Simplify;
Simplify[%% == %]

Ejemplos

Centro de masa de una superficie. 
Sea S = γ(A) una superficie y sea ρ : S -> ℝ una función continua que representa la densidad superficial de una lámina cuya forma es la de la superficie S, es decir, ρ(x, y, z) es la densidad de S en el punto (x, y, z) medida en unidades de masa por superficie (por ejemplo, en gr/(cm^2)). La masa total de la superficie viene dada por la integral de superficie de la función ρ sobre S. El centro de masa de S es el punto (a, b, c) definido por

\(TraditionalForm\`a = \(∫\(∫x\ \(ρ(x, y, z)\) dS\)\)\/\(∫\(∫\(ρ(x, y, z)\) dS\)\), \ 
    b = \(∫\(∫y\ \(ρ(x, y, z)\) dS\)\)\/\(∫\(∫\(ρ(x, y, z)\) dS\)\), \ 
    c = \(∫\(∫z\ \(ρ(x, y, z)\) dS\)\)\/\(∫\(∫\(ρ(x, y, z)\) dS\)\)\)

Cuando la densidad es constante el centro de masas se denomina centroide (que es una propiedad geométrica de la superficie).

Fórmula de Pappus para calcular el área de una superficie de revolución. 
Este resultado establece que el área de la superficie de revolución obtenida girando una curva plana simple alrededor de una recta que no la corta situada en su mismo plano es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de la circunferencia que describe el centroide de la misma. 
Vamos a probar la afirmación anterior. Supongamos, por comodidad, que la curva está contenida en el plano XZ y viene dada por α(t) = (x(t), z(t)) donde a ≤ t ≤ b. Suponemos también que z (t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Observa que estas hipótesis no son restrictivas pues el caso general puede reducirse a éste mediante un giro y una traslación que son movimientos del espacio que conservan las áreas. Al girar la curva alrededor del eje X se obtiene una superficie de revolución S que está dada por \(TraditionalForm
      \`γ(s, t) = 
        \((x(t)\ , \ \(z(t)\)\ cos\ s, \ \(z(t)\)\ sen\ s)\)\) para a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 2  π.

Aquí puedes ver un trozo de una cúbica y la superficie de revolución obtenida girándolo alrededor del eje X.

ParametricPlot[{t,  1 + (((t - 1))^3)}, {t, 0, 2}, 
        PlotRange -> {{- .1, 2}, All}, 
        AxesLabel -> {"X", "Z"}];
ParametricPlot3D[{t, ( 1 + (((t - 1))^3)) 
            Cos[s], ( 1 + (((t - 1))^3)) Sin[s]}, {t, 0, 2}, {s, 0, 
          2  π}, AxesLabel -> {"X", "Y", "Z"}, 
        PlotRange -> {{- .1, 2}, {-2.1, 2.1}, {-2.1, 2.1}}, 
        AspectRatio -> Automatic, BoxRatios -> {1.5, 1, 1}, 
        Axes -> False];

γ[s_, t_] = {x[t], z[t] Cos[s], z[t] Sin[s]};
(Sqrt[Cross[D[γ[s, t], s], D[γ[s, t], t]] . Cross[D[γ[s, t], s], D[γ[s, t], t]]]) // Simplify

Deducimos que, el área de la superficie S viene dada por

Área (S)=∫(∫_A)||∂ (γ/∂) 
                                    s (s, t)×∂ (γ/∂) 
                                    t (s, t)||d(s, t)=\(∫\_0\%\(2  π\)\(\([\)\(∫\_a\%b\( z(t)\) \(\@\(x' \((t)\)\^2 + 
                                z' \((t)\)\^2\)\) dt\)\(]\)\) ds = 2  π\)\(∫\_a\%b\( z(
                  t)\) \(\@\(x' \((t)\)\^2 + 
                      z' \((t)\)\^2\)\) \(\(d\)\(t\)\(\ \)\)\)

recordemos que la segunda coordenada del centroide de la curva α viene dada por  \(TraditionalForm\`β = \(\(∫\_\(\(\ \)\(α\)\)\ z ds\)\/\(∫\_\(\(\ \)\(α\)\)ds\) = \(∫\_\(\(\ \)\(α\)\)\ z ds\)\/\(λ(α)\)\)\) donde λ(α) es la longitud de la curva α. Concluimos que Área(S) = 
        2  π β λ(α) y 2  π β es la longitud de la circunferencia que recorre el centroide al girar la curva alrededor del eje X.

El siguiente resultado, aunque no está directamente relacionado con este tema, lo incluyo aquí por complitud.

Fórmula de Pappus para calcular el volumen de un sólido de revolución. El volumen de un sólido de revolución obtenido girando una figura plana alrededor de una recta que no la corta situada en su mismo plano es igual al producto del área de la figura plana por la longitud de la circunferencia que describe el centroide de la misma.

Vamos a probar la afirmación anterior. Supongamos, por comodidad, que la figura plana está contenida en el plano XZ y su frontera es una curva dada por α(t) = (x(t), z(t)) donde a ≤ t ≤ b. Suponemos también que x(t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. Observa que estas hipótesis no son restrictivas pues el caso general puede reducirse a éste mediante un giro y una traslación que son movimientos del espacio que conservan los volúmenes. Al girar la figura plana alrededor del eje Z se obtiene un sólido de revolución R que está limitado por la superficie dada por \(TraditionalForm
      \`γ(s, t) = 
        \((\(x(t)\)\ cos\ s, \ \(z(t)\)\ sen\ s, \ z(t)\ )\)\) para a ≤ t ≤ b, 0 ≤ s ≤ 2  π.

Aquí puedes ver una figura plana F coloreada de amarillo y el sólido de revolución Ω obtenido girándola alrededor del eje Z.

figura = 
        ParametricPlot[{ .25 + (Sqrt[1 - (t^2)]), 
              t*ArcCos[t] (π - ArcCos[t])/4}, {t, -1, 1}, 
            AxesOrigin -> {0, 0}, 
            PlotRange -> {{- .1, 1.3}, {- .33,  .33}}, 
            AspectRatio -> Automatic, AxesLabel -> {"X", "Z"}, 
            Ticks -> None, PlotStyle -> Thickness[ .007], 
            DisplayFunction -> Identity] /. 
          Line[x_] -> {Line[x], {Yellow, Polygon[x]}};
Show[figura, Graphics[Line[{{- .1, 0}, {1.3, 0}}]], 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction];
ParametricPlot3D[{( .25 + (Sqrt[1 - (t^2)])) 
            Cos[s], ( .25 + (Sqrt[1 - (t^2)])) Sin[s], 
          t*ArcCos[t] (π - ArcCos[t])/4}, {t, -1, 1}, {s, 0, 
          2  π}, Axes -> False];

El volumen de Ω viene dado por ∫∫(∫_Ω)1d(x, y, z). Haciendo un  cambio de variables a coordenadas cilíndricas, tenemos que

Volumen(Ω) = 
                ∫∫(∫_Ω)d(x, y, z)=∫∫(∫_B) ρ 
                  d(ρ, θ, z)  donde

\(TraditionalForm
    \`B = \({\((ρ, θ, z)\) : 
            \((ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ, \ z)\) 
              ∈ \ Ω} = {
          \((ρ, θ, z)\) : \ \((ρ, z)\) ∈ F, \ 
          0 ≤ θ ≤ 2  π}\)\)

En consecuencia, usando el teorema de Fubini, tenemos que

Volumen(Ω) = 
              ∫∫(∫_Ω)d(x, y, z)=∫∫(∫_B) ρ 
                  d(ρ, θ, z)=(∫_0^(2  π))[∫(∫_F)ρ d(ρ, z)]dθ=2π∫(∫_F)ρ d(ρ, z)=2π α∫(∫_F)d(ρ, z)= 2  π α Área 
                  (F)

donde α es la abscisa del centroide de F.

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Integral de superficie de un campo vectorial

Consideremos una superficie S = γ(A) donde γ(s, t)=(x(s, t), y(s, t), z(s, t))=x(s, t)i + y(s, t)j+z(s, t)k y A es un subconjunto de (ℝ^2). Sea F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k un campo vectorial de tres variables definido en un abierto de (ℝ^3)que contiene a la superficie S. Recuerda que para definir la integral de F sobre una curva lo que se hacía era considerar un campo de vectores sobre la curva, a saber, el campo vectorial que a cada punto de la curva hace corresponder el vector tangente unitario en dicho punto. Ahora necesitamos hacer algo parecido. Necesitamos definir un campo vectorial de tres variables sobre la superficie S. Puesto que en un punto de una superficie hay muchos vectores tangentes pero hay solamente dos vectores normales unitarios opuestos entre sí, parece natural elegir uno de dichos vectores en cada punto de la superficie y de esta forma obtenemos un campo vectorial que podremos multiplicar escalarmente por F lo que nos va a llevar a la integral que queremos definir.

Nos vemos así llevados a la necesidad de elegir en cada punto de una superficie uno de los dos vectores unitarios normales a la superficie en dicho punto. Representaremos por n(x, y, z) un vector normal unitario a S en el punto (x, y, z) ∈ S. El otro vector normal unitario será -n(x, y, z). Diremos que la superficie S es orientable cuando es posible definir un campo vectorial continuo sobre S que a cada punto de S asigne uno de los vectores unitarios normales en dicho punto. Cuando dicho campo vectorial existe se llama una orientación de S. Es claro que una superficie orientable tiene dos posibles orientaciones.
Las superficies orientables tienen "dos caras" porque, intuitivamente, lo que hace una orientación es definir en cada punto de la superficie una dirección "hacia arriba" que es aquella dirección en la que apunta el vector normal y la dirección opuesta define una dirección "hacia abajo". Por tanto podemos distinguir una cara de S "hacia arriba" y otra cara de S "hacia abajo". La mayoría de las superficies usuales son orientables pero hay algunas superficies que no lo son y suelen llamarse "superficies de una sola cara". La más conocida es la llamada "banda de Moebius". Aquí la tienes.

moebius[r_, θ_] = {2 Cos[θ] +  r Cos[θ/2], 
          2  Sin[θ] +  r Cos[θ/2], 
          r Sin[θ/2]}; 
bandamoebius = 
        ParametricPlot3D[{2 Cos[θ] +  r Cos[θ/2], 
            2  Sin[θ] +  r Cos[θ/2], r Sin[θ/2], 
            EdgeForm[Hue[0], 
              AbsoluteThickness[1.5]]}, {r, - .5,  .5}, {θ, 0, 
            2  π}, PlotPoints -> {3, 40}, 
          ViewPoint -> {3.223,  -0.335,  0.975}, Boxed -> False, 
          Axes -> False];

moebnormal[r_, θ_] = 
        Module[{u, v}, 
          Cross[D[moebius[u, v], u], D[moebius[u, v], v]]/
              norma[Cross[D[moebius[u, v], u], D[moebius[u, v], v]]] /. {u -> 
                r, v -> θ}];

vectoresnormales = 
        Graphics3D[
          Table[vector3D[moebius[0. , θ], moebnormal[0. , θ], 
              Yellow,  .01], {θ, 0, 2  π, 
              N[2  π]/20}]];
fig = Show[bandamoebius, vectoresnormales];

SpinShow[fig]
SelectionMove[EvaluationNotebook[], All, GeneratedCell];
FrontEndTokenExecute["CellGroup"]
FrontEndTokenExecute["OpenCloseGroup"]

La aplicación que hemos definido no es continua sobre la superficie: hay puntos muy próximos en la superficie cuyos vectores normales asociados están muy alejados, de hecho su distancia es casi igual a 2. Podemos comprobarlo.

Table[{moebius[0. , θ], 
            moebius[0. , θ - 2  π +  .01], 
            norma[moebius[0. , θ] - 
                moebius[0. , θ - 2  π +  .01]], 
            moebnormal[0. , θ], moebnormal[0. , θ - 2  π], 
            norma[moebnormal[0. , θ] - 
                moebnormal[0. , θ - 2  π]]}, {θ, 
            2  π -  .01, 2  π,  .01/5}] // Chop // 
      TableForm

Se dice que la superficie S = γ(A) es simple cuando la función γ es inyectiva en A. Observa que la banda de Moebius no es una superficie simple.

moebius[r, 0] == moebius[-r, 2  π]

Las siguientes gráficas ayudan a comprender lo que pasa.

p1 = 
        ParametricPlot3D[{2 Cos[θ] +  r Cos[θ/2], 
            2  Sin[θ] +  r Cos[θ/2], r Sin[θ/2], 
            EdgeForm[Hue[0], AbsoluteThickness[1.5]]}, {r, 
            0,  .5}, {θ, 0, 2  π}, PlotPoints -> {3, 40}, 
          ViewPoint -> {3.223,  -0.335,  0.975}, Boxed -> False, 
          Axes -> False];
Print["Mitad de una banda de Moebius para \
0≤r≤.5"];
p2 = 
        ParametricPlot3D[{2 Cos[θ] +  r Cos[θ/2], 
            2  Sin[θ] +  r Cos[θ/2], r Sin[θ/2], 
            EdgeForm[Hue[ .65], AbsoluteThickness[1.5]]}, {r, - .5, 
            0}, {θ, 0, 2  π}, PlotPoints -> {3, 40}, 
          ViewPoint -> {3.223,  -0.335,  0.975}, Boxed -> False, 
          Axes -> False];
Print["Mitad de una banda de Moebius para -.5≤r\
≤0"];
Show[p1, p2];
Print["Banda de Moebius completa para \
-.5≤r≤.5\nObserva cómo las curvas fronteras de \
las dos mitades anteriores coinciden."];

Supuesto que S es una superficie suave y simple, se verifica que la función definida para todo (x, y, z) ∈ S por

n(x, y, z)=((∂ (γ/∂) s (s, 
                        t)×∂ (γ/∂) t (s, 
                        t))/(||∂ (γ/∂) s (s, 
                          t)×∂ (γ/∂) t (s, 
                          t)||))dondeγ(s, t) = (x, y, z) ∈ S                         (2)

es continua sobre S por lo que la superficie S es orientable. La orientación definida por (2) se dice que está inducida por la parametrización γ. En particular, si  la superficie es la gráfica de una función \(TraditionalForm
      \`S = {\((x, y, h(x, y))\) ∈ 
            \(\(ℝ\^2\) : \ \((x, y)\) ∈ A\)}
          \) donde  A ⊂  (ℝ^2) y h : A -> ℝ es un campo escalar de dos variables, entonces dicha superficie tiene como ecuaciones paramétricas γ(x, y) = (x, y, h(x, y)) (y es simple y suave) por lo que \(TraditionalForm
      \`\(∂\ γ\/∂\ x\) \((x, y)\) = 
        \((1, 0, \(∂\ h\/∂\ x\) \((x, y)\))\)\), \(TraditionalForm
      \`\(∂\ γ\/∂\ y\) \((x, y)\) = 
        \((0, 1, \(∂\ h\/∂\ y\) \((x, y)\))\)\). En este caso tenemos que

n(x, y, h(x, y))=((∂ (γ/∂) 
                                x (x, y)×∂ (γ/∂) 
                                y (x, y))/(||∂ (γ/∂) 
                                  x (x, y)×∂ (γ/∂) 
                                  y (x, y)||))=((-∂ (h/∂) x(x, y)i -∂ (h/∂) y(x, y)j + k)/(Sqrt[(((∂ (h/∂) x (x, 
                          y)))^2)+ (((∂ 
                              (h/∂) y (x, 
                          y)))^2)+1  ]))           (3)

Cuando la superficie está definida implícitamente por una ecuación, es decir, se trata de una superficie de la forma S = {(x, y, 
                z) ∈ (ℝ^3) : 
                g(x, y, z) = 0} donde g es un campo escalar de tres variables cuyo gradiente no se anula nunca en S. Entonces una orientación en S viene dada por

n(x, y, z)=((∇g(x, y, z))/(||∇g(x, y, z)||))

La integral de un campo vectorial F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k sobre una superficie S que suponemos simple y suave, se define por

∫(∫_S)F.dS=∫(∫_S)F(γ(s, t)).n(γ(s, t))dS

donde n(γ(s, t)) viene dado por la igualdad (2) en el caso de que S=γ(A) o por la igualdad (3) en el caso de que S sea la gráfica de una función h. Es decir, la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie S es igual a la integral de superficie del campo escalar F(γ(s, t)).n(γ(s, t)) sobre S. Teniendo en cuenta la definición de integral de superficie de un campo escalar,  cuando S = γ(A) tenemos que

∫(∫_S)F.dS=∫(∫_A)F(γ(s, t)).(∂ (γ/∂) 
                                  s (s, t)×∂ (γ/∂) 
                                  t (s, t))d(s, t)

y cuando S es la gráfica de una función h tenemos que

∫(∫_S)F.dS=∫(∫_A)F(x, y, h(x, y)).(-∂(h/∂) x(x, 
                            y)i-∂(h/∂) y(x, y)j+k)d(x, y)=∫(∫_A)(-P(x, y, 
                        h(x, y)) ∂ (h/∂) x (x, 
                      y) - Q(x, y, 
                      h(x, y)) ∂ (h/∂) y (x, 
                      y) + R(x, y, h(x, y))) d(x, 
                  y)

En física suele llamarse a la integral ∫(∫_S) F.dS flujo de F a través de S.

Con frecuencia es preciso calcular integrales sobre superficies que tienen aristas y no son suaves ni orientables en el sentido que acabamos de definir pero que son "suaves y orientables a trozos" esto es, que se obtienen "pegando" varias superficies suaves y orientables; por ejemplo, la superficie formada por las caras de un poliedro. En tal caso, la integral de un campo vectorial sobre una superficie suave y orientable a trozos se define como la suma de las integrales sobre cada una de las superficies suaves y orientables que la forman.

Para una superficie cerrada, esto es una superficie que es la frontera de un dominio acotado en (ℝ^3), se conviene que la orientación positiva es aquella en la que los vectores normales apuntan siempre hacia el exterior de la superficie. Si una superficie cerrada viene dada por una parametrización, puede ocurrir que la orientación inducida por dicha parametrización no sea la orientación positiva. Cuando esto ocurre basta intercambiar las variables para que la orientación inducida sea la orientación positiva.

Ejemplos

Flujo de un campo vectorial a través de una superficie 
Consideremos que el campo  v es el campo de velocidades de un fluido que se mueve en una región del espacio, esto es,  v(x, y, z) es el vector velocidad, por ejemplo en m/s, del fluido en el punto (x, y, z). Suponemos, por comodidad, que la velocidad no depende del tiempo sino solamente de las coordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de un fluido estacionario (en el caso general en que la velocidad también depende del tiempo, las consideraciones que siguen permanecen válidas en cada instante t). Consideremos una superficie S orientada por un campo de vectores normales unitarios n(x, y, z). Suponemos que dicha superficie no impide el paso del fluido el cual puede fluir libremente a través de ella. Queremos calcular el volumen total de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo, es decir, el flujo (volumétrico) del fluido a través de S. Es evidente que dicho flujo depende de la "posición de la superficie" respecto al campo de velocidades del fluido, el flujo será máximo cuando el campo sea normal a la superficie y será nulo cuando el campo sea tangente a la superficie. Es por ello por lo que precisamos tener una orientación en la superficie pues de esta forma podemos precisar la "posición de S" respecto al campo de velocidades.
Consideremos el caso más simple en que la superficie S es un paralelogramo plano engendrado por los vectores a y b y el campo de velocidades, v , es constante. En este caso tan sencillo, el flujo a través de S es igual al volumen (con signo) del paralelepípedo engendrado por los vectores a, b, v que sabemos es igual al producto mixto v . (a×b); pues el fluido que en un instante dado se encuentra en el paralelogramo, al cabo de un segundo se encontrará en otro paralelogramo trasladado del primero mediante el vector v. Recuerda que a×b es un vector normal a S cuya norma es igual al área de S. Supuesto que usamos el metro como unidad de longitudes, el número v . (a×b) se expresa en metros cúbicos por segundo. El signo de dicho número indica si el flujo es saliente (signo positivo cuando el vector v y el vector a×b forman un ángulo agudo, esto es "apuntan en la misma dirección") o entrante (signo negativo cuando el vector v y el vector a×b forman un ángulo mayor de 90 grados, esto es "apuntan en direcciones opuestas").   
Volviendo al caso general, el vector v(x, y, z) puede descomponerse en cada punto (x, y, z) de la superficie S como suma de dos vectores ortogonales de los cuales uno de ellos está en el plano tangente a S en el punto considerado y el otro se obtiene como la proyección ortogonal del vector sobre el vector normal unitario n(x, y, z), es decir, es el vector (v(x, y, z).n(x, y, z)) n(x, y, z). La componente tangente a S no atraviesa dicha superficie (lo que hace es establecer una circulación del fluido sobre la misma) y su contribución al flujo es nula. Por ello, para calcular el flujo solamente se considera la componente del campo v(x, y, z) que es normal a la superficie, esto es, el vector  (v(x, y, z).n(x, y, z)) n(x, y, z). Ya puedes suponer lo que sigue: dividimos la superficie en pequeños parches y aproximamos el área de cada parche como lo hemos hecho al definir la integral de superficie y en cada uno de esos parches aproximamos el flujo por el volumen de un paralelepípedo engendrado por los vectores tangentes a la superficie en un punto del parche y el vector  (v(x, y, z).n(x, y, z)) n(x, y, z)calculado en ese punto; hacemos la correspondiente suma y obtenemos una aproximación del flujo a través de S. Estas aproximaciones convergen a la integral de sperficie del campo  v(x, y, z) sobre S. Por tanto, el flujo a través de S viene dado por ∫(∫_S)v.dS.
Las consideraciones anteriores también sirven para justificar que el flujo de masa a través de S viene dado por ∫(∫_S)ρ v.dS donde ρ(x, y, z) es la función de densidad del fluido.
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie tiene gran importancia en el estudio de campos eléctricos y campos magnéticos. Si E es un campo eléctrico, la integral de superficie ∫(∫_S)E.dS se llama flujo eléctrico de E a través de S. La ley de Gauss establece que la carga eléctrica neta que hay en el interior de una superficie cerrada viene dada por Q=(Subscript[ϵ, 0])∫(∫_S)E.dS.

Ejercicio 6