Rotacional y divergencia

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Inicialización

<<Graphics`Arrow`

<<Graphics`Colors`

Off[ParametricPlot::ppcom]

ortogonal[x_, y_] := x . (y/y) . y y (* calcula la proyección ortogonal de un vector x sobre un vector y *)
norma[x_] := N[(Sqrt[x . x])]
vector2D[x_: {0, 0}, y_] := Arrow[x, x + y]

\(campovectorial := 
      Module[{F}, F[x_, y_] = {0.5 \((y - 1)\), 0.3 \((x - 0.5)\)}; 

        Show[Graphics[
            Table[{Red, 
                Arrow[{x, y}, {x, y} + F[x, y], \ 
                  HeadScaling\  -> \ Relative, 
                  HeadWidth ->  .3]}, {x, \(-2\), 2,  .25}, {y, \(-2\), 
                2,  .25}]], Axes -> True, 
          ImageSize -> {437, \ 378}]]\)

\(\(\(circulacionelipse\)\(:=\)\(Module[{γ, x, y, proy, flechas, 
          F}, γ[t_] := {1, 0} + {2  Cos[t], Sin[t]}; 

        x[t_] := 1 + 2  Cos[t]; \ 
        y[t_] := Sin[t]; 
F[x_, y_] = {0.5 \((y - 1)\), 
            0.3 \((x - 0.5)\)}; 

        proy[t_] := ortogonal[F[x[t], y[t]], \(γ'\)[t]]; 

        flechas[t_] = {{Blue, vector2D[γ[t], \(γ'\)[t]]}, {Red, 
              vector2D[γ[t], F[x[t], y[t]]]}, {Red, PointSize[ .02], 
              Point[γ[t]]}, {vector2D[γ[t], proy[t]]}}; 

        ParametricPlot[γ[t], {t, 0, 2  π}, 
          PlotStyle -> {Green, Thickness[0.01]}, 
          Epilog -> {flechas[ .15  π], 
              flechas[1.75  π], {Blue, 
                Arrow[γ[1.85], γ[1.86], 
                  HeadLength ->  .04], 
                Arrow[γ[4.85], γ[4.86], 
                  HeadLength ->  .04]}}, 
          PlotRange -> {{\(-1.1\), 3.9}, {\(-1.1\), 1.5}}, \ 
          ImageSize -> {403.5, \ 
              227.938}]
]\)\(															\)\)\)

\(normaliza[x_]\  := \ x/N[norma[x]]; \  (*\ 
      vector\ unitario\ en\ la\ dirección\ del\ vector\ x\ *) 

    tgtunit[func_, 
        t_] = \(func'\)[t]\/\@\(\(func'\)[t] . \(func'\)[t]\);\)
normalunit[func_, t_] := 
      Module[{s}, normaliza[D[tgtunit[func, s], s]] /. s -> t]
normalunitexterior[func_, t_] := 
      Reverse[tgtunit[func, t]*{-1, 1}]

\(\(\(flujoelipse\)\(:=\)\(Module[{proy, flechas, F, γ, x, 
          y}, γ[t_] = {1 + 2  Cos[t], Sin[t]}; 
x[
            t_] = 1 + 2  Cos[t]; \ 
        y[t_] = Sin[t]; 
F[x_, y_] = {0.5 \((y - 1)\), 
            0.3 \((x - 0.5)\)}; 
proy[t_] := 
          ortogonal[F[x[t], y[t]], normalunitexterior[γ, t]]; 

        flechas[t_] = {{Blue, 
              vector2D[γ[t], normalunitexterior[γ, t]]}, {Red, 
              vector2D[γ[t], F[x[t], y[t]]]}, {Red, PointSize[ .02], 
              Point[γ[t]]}, {vector2D[γ[t], proy[t]]}}; 

        ParametricPlot[γ[t], {t, 0, 2  π}, 
          PlotStyle -> {Green, Thickness[0.01]}, 
          Epilog -> {flechas[ .25  π], 
              flechas[1.75  π], {Blue, 
                Arrow[γ[1.85], γ[1.86], HeadLength ->  .04], 
                Arrow[γ[4.85], γ[4.86], HeadLength ->  .04]}}, 
          PlotRange -> {{\(-1.1\), 3.2}, {\(-1.6\), 1.6}}, \ 
          ImageSize -> {404, \ 
              228}]
]\)\(																\)\)\)

Rotacional y divergencia de un campo vectorial

Para dar una interpretación intuitiva del significado físico del rotacional y de la divergencia de un campo vectorial es conveniente considerar en primer lugar campos bidimensionales.

Sea F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j un campo vectorial de clase (C^1), sea γ un camino cerrado simple positivamente orientado y D la región del plano limitada por γ. El teorema de Green afirma que

(∫_γ)F=∫(∫_D)(((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y))d(x, y)                               (1)

Como ya sabes, la integral (∫_γ)F se llama circulación del campo F a lo largo de γ. Para dar una interpretación de dicha integral consideremos que el campo  F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j es el campo de velocidades de un fluido plano, esto es,  F(x, y) es el vector velocidad del fluido en el punto (x, y). Se supone que la velocidad no depende del tiempo sino solamente de las coordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de un fluido estacionario. En cada punto γ(t) del camino γ la velocidad del fluido es F(γ(t)); la proyección ortogonal de dicho vector sobre el vector tangente a γ en el punto γ(t) es el vector ⟨F(γ(t)) | T(t)⟩T(t) donde T(t)=γ ' (t)/ || γ ' (t) || . Este vector tiene el mismo sentido que el vector tangente si el número ⟨F(γ(t)) | γ' (t)⟩ es positivo y distinto sentido cuando dicho número es negativo; en el primer caso la velocidad del fluido en el punto γ(t) va en el mismo sentido que el del recorrido de la curva y en el segundo caso la velocidad del fluido en el punto γ(t) va en sentido opuesto al del recorrido de la curva.

La siguiente gráfica muestra un campo vectorial.

campovectorial;

La siguiente gráfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo anterior en rojo, los vectores tangente en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre los segundos en negro. En uno de los puntos la proyección ortogonal tiene el mismo sentido que el vector tangente y en el otro tiene sentido opuesto.

circulacionelipse;

Puesto que (∫_γ)F=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | γ' (t)⟩dt, si el valor de esta integral es positivo esto nos dice que el fluido circula a lo largo de la curva γ en el mismo sentido que el definido por la orientación de γ y si el valor de esta integral es negativo entonces el fluido circula a lo largo de la curva γ en sentido opuesto al de la orientación de γ. Si el valor de la integral es nulo es porque no hay circulación neta del fluido a lo largo de γ.
Supongamos que (∫_γ)F>0. En tal caso, por la continuidad del campo, se verificará también que (∫_σ) F>0 para todo camino cerrado simple σ positivamente orientado que esté "suficientemente próximo" al camino γ. Deducimos que en este caso se formará en las proximidades de γ un pequeño tubo que el fluido recorrerá en sentido antihorario. 
Consideremos ahora la igualdad (1) y supongamos que en un punto (a, b) se verifica que ((∂Q)/(∂x))(a, b)-((∂P)/(∂y))(a, b)>0. Entonces, por la continuidad de las derivadas parciales, se tendrá que ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y)>0 para todo punto (x, y) en un disco centrado en (a, b) de radio suficientemente pequeño. Si γ es cualquier camino de Jordan contenido en dicho disco, se deduce de dicha igualdad que la circulación del campo a lo largo de dicho camino será en sentido antihorario y concluimos que en el punto (a, b) se formará un pequeño remolino.
Una propiedad, fácil de justificar, de las integrales dobles afirma que si h es una función continua en una región del plano D cerrada y acotada entonces hay algún punto (a, b)∈D para el que se verifica la igualdad ∫(∫_D) h(x, 
                y) d(x, y) = h(a, 
            b) Área(D).
Usando esta propiedad y de la igualdad (1) es fácil probar que

(lim_(ρ -> 0))(1/π)(ρ^2)(∫_(C ((a, b), ρ)))F=((∂Q)/(∂x))(a, b)-((∂P)/(∂y))(a, b)

El número ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y) se llama rotación del campo F en el punto (x, y). Se dice que el campo es irrotacional cuando ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y)=0 para todo punto (x, y) de su dominio de definición.

Como consecuencia también del teorema de Green, sin más que cambiar Q por P y P por -Q, se verifica la igualdad

(∫_γ)P(x, y)dy-Q(x, y)dx=∫(∫_D)(((∂P)/(∂x))(x, y)+((∂Q)/(∂y))(x, y))d(x, y)                               (2)

Pongamos γ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Tenemos que:

(∫_γ)P(x, y)dy-Q(x, y)dx=(∫_a^b)(P(x(t), y(t))y'(t)-Q(x(t), y(t))x'(t))dt  =  (∫_a^b)    ⟨P(x(t), y(t))i + Q(x(t), y(t)) j|  ((y'(t) i-x'(t)j)/(||y'(t) i-x'(t)j||))⟩ ||x'(t) i+y'(t)j||dt=(∫_a^b) ⟨F(γ(t))|n(t)⟩||γ' (t)||dt=(∫_γ)F . n

donde hemos representado por n(t) el vector unitario normal a la curva γ en el punto γ(t) que apuntan hacia el exterior de la misma. Supuesto que la curva está orientada positivamente, n(t) viene dado por:

n(t)=((y'(t) i-x'(t)j)/(||y'(t) i-x'(t)j||))=((y'(t) i-x'(t)j)/(||x'(t) i+y'(t)j||))

La siguiente gráfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo antes considerado en rojo, los vectores normales unitarios exteriores en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre los segundos en negro. En uno de los puntos la proyección ortogonal tiene el mismo sentido que el vector normal exterior y en el otro tiene sentido opuesto.

flujoelipse;

Al igual que la proyección ortogonal del vector campo sobre el vector tangente a la curva mide la circulación del fuido a lo largo de la curva, la proyección ortogonal del vector campo sobre el vector normal exterior a la curva mide el flujo de fluido a través de la curva, por ello, se define el flujo del campo a través del camino γ como la integral (∫_γ)F . n. Si dicha integral es positiva eso significa que sale más fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber manantiales) y si es negativa significa que sale menos fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber sumideros).

Hemos justificado la igualdad

(∫_γ)P(x, y)dy-Q(x, y)dx=(∫_γ)F . n=∫(∫_D)(((∂P)/(∂x))(x, y)+((∂Q)/(∂y))(x, y))\(\(d\)\((x, 
                    y)\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)

A partir de aquí podemos razonar como lo hicimos anteriormente para obtener que

(lim_(ρ -> 0))(1/π)(ρ^2)(∫_(C ((a, b), ρ)))F . n=((∂P)/(∂x))(a, b)+((∂Q)/(∂y))(a, b)

El número ((∂P)/(∂x))(x, y)+((∂Q)/(∂y))(x, y) se llama divergencia del campo F en el punto (x, y). Donde la divergencia es positiva hay manantiales y el fluido diverge hacia otros lados y donde la divergencia es negativa hay sumideros y el fluido converge hacia ellos. Se dice que el campo es incompresible cuando su divergencia es idénticamente nula.

En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto lo que acabamos de afirmar.

F[x_, y_] := {Sin[x], Cos[y]}
Show[
        Graphics[
          Table[{Red, 
              Arrow[{x, y}, {x, y} + F[x, y],  HeadScaling  ->  Relative, 
                HeadWidth ->  .3]}, {x, -5, 5,  .5}, {y, -8, 
              5,  .5}]], Axes -> True, 
        ImageSize -> {437,  378}];
Clear[F]

Observa que hay puntos a los que los vectores de este campo parecen dirigirse (por ejemplo, los puntos (3.1,1.6), (3.1,-4.7) y sus simétricos respecto al eje de ordenadas) y otros en los que el campo parece estar divergiendo (por ejemplo, los puntos (0,1.5), (0,-1.5) , (.5,-4.5)). Si este campo lo interpretamos como el campo de velocidades de un fluido estacionario, las zonas hacia donde se dirigen los vectores son sumideros y las zonas donde los vectores divergen son manantiales. Es decir, el fluido fluye de los manantiales a los sumideros. La divergencia es una medida de la magnitud de un manantial o de un sumidero.

La siguiente gráfica es una representación por curvas de nivel de la divergencia del campo anterior.

ContourPlot[
        Cos[x] - Sin[y], {x, -5, 5}, {y, -8, 5}];

En las zonas más claras la divergencia es positiva (fuentes o manantiales) y en las más oscuras es negativa (sumideros).

Veamos un ejemplo más.

F[x_, y_] := {x Cos[y], -Sin[y]}
Show[
        Graphics[
          Table[{Red, 
              Arrow[{x, y}, {x, y} + F[x, y],  HeadScaling  ->  Relative, 
                HeadWidth ->  .3]}, {x, -5, 5,  .5}, {y, -5, 
              5,  .5}]], Axes -> True, 
        ImageSize -> {437,  378}];
Clear[F]

En esta gráfica no hay puntos a los que desde todas las direcciones converjan o diverjan los vectores del campo. Aparentemente no hay fuentes ni sumideros. De hecho este campo tiene divergencia nula.

D[x Cos[y], x] + D[-Sin[y], y]

A continuación nos proponemos generalizar los conceptos anteriores. No hay dificultad ninguna en extender el concepto de divergencia para campos vectoriales de n variables.

Definición. Sea F:A->(ℝ^n)  un campo vectorial con derivadas parciales de primer orden definido en un abierto A ⊂ (ℝ^n). Sea F(x)=((Subscript[F, 1])(x), (Subscript[F, 2])(x),  ... , (Subscript[F, n])(x)). Se llama divergencia de F en un punto x=((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n]))∈A y se nota div F(x) al número

divF(x)=((∂(Subscript[F, 1]))/(∂(Subscript[x, 1])))(x)+((∂(Subscript[F, 2]))/(∂(Subscript[x, 2])))(x)+...+((∂(Subscript[F, n]))/(∂(Subscript[x, n])))(x)

Observa que la diveregcncia de un campo vectorial es un campo escalar. Suele usarse una notación simbólica para representar la divergencia. Para ello se define el operador nabla, ∇, como

\(TraditionalForm\`∇\(\(=\)\((∂\/∂x\_1, ∂\/∂x\_2,  ... , ∂\/∂x\_n)\)\)\)

Este operador cuando actúa sobre un campo escalar, f, produce su gradiente:

∇f(x)=\((∂\/∂x\_1, ∂\/∂x\_2,  ... , ∂\/∂x\_n)\)f(x)=(((∂f)/(∂(Subscript[x, 1])))(x),((∂f)/(∂(Subscript[x, 2])))(x),...,((∂f)/(∂(Subscript[x, n])))(x))

La divergencia de un campo vectorial F en un punto x puede escribirse como el producto escalar simbólico del vector ∇ por el vector F(x).

divF(x)=∇. F(x)=\((∂\/∂x\_1, ∂\/∂x\_2,  ... , ∂\/∂x\_n)\) . ((Subscript[F, 1])(x),(Subscript[F, 2])(x),...,(Subscript[F, n])(x))=((∂(Subscript[F, 1]))/(∂(Subscript[x, 1])))(x)+((∂(Subscript[F, 2]))/(∂(Subscript[x, 2])))(x)+...+((∂(Subscript[F, n]))/(∂(Subscript[x, n])))(x)

Comprobaremos más adelante que la divergencia de un campo en (ℝ^3) tiene un significado físico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.

Es conveniente enunciar ahora, para refercncia posterior, un resultado obtenido anteriormente como consecuencia del teorema de Green.

Teorema de la divergencia para campos en (ℝ^2)

Sea γ un camino cerrado simple positivamente orientado y D la región del plano limitada por γ. Sea  F: A->(ℝ^2) un campo vectorial de clase (C^1)definido en un abierto que contiene a D. Notemos por n el vector normal unitario exterior a γ. Entonces se verifica que

(∫_γ)F. n=∫(∫_D)div F(x, 
                  y)d(x, y)

Nota. Este resultado puede generalizarse, al igual que el teorema de Green, para dominios con agujeros.

En el caso particular de que el campo F sea el campo de gradiente de un campo escalar f, F=∇ f, la igualdad anterior nos dice que

(∫_γ)∇f. n=∫(∫_D)div (∇f)(x, 
                  y)d(x, y)=∫(∫_D)((((∂^2)f)/(∂(x^2)))(x, y)+(((∂^2)f)/(∂(y^2)))(x, y))d(x, y)

Como n es el vector unitario normal exterior a γ, en cada punto (x, y) de γ el producto escalar ∇f(x, y). n(x, y) es la derivada del campo escalar f en el punto (x, y) en la dirección del vector unitario normal exterior a γ en dicho punto y suele usarse la notación ∇f(x, y). n(x, y)=∂(f/∂)n (x, y), con ello obtenemos la igualdad

(∫_γ)((∂f)/(∂n))=∫(∫_D)((((∂^2)f)/(∂(x^2)))(x, y)+(((∂^2)f)/(∂(y^2)))(x, y))d(x, y)

La generalización del concepto de rotación de un campo bidimensional vamos a hacerla para campos vectoriales en el espacio. Para ello nos vamos a guiar por un resultado que conocemos de la lección anterior que afirma que una condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial de dos variables F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j de clase (C^1)definido en un abierto A ⊂ (ℝ^2)sea localmente conservativo es que para todo (x, y) ∈ A se verifique la igualdad ((∂P)/(∂y))(x, y)=((∂Q)/(∂x))(x, y) o, lo que es igual, ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y)=0 ; esto es, con la terminología introducida más arriba, que el campo sea irrotacional. 
El resultado análogo para un campo de tres variables F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k establece las condiciones

((∂R)/(∂y))(x, y, z)-((∂Q)/(∂z))(x, y, z) = ((∂P)/(∂z))(x, y, z)-((∂R)/(∂x))(x, y, z)   =((∂Q)/(∂x))(x, y, z)-((∂P)/(∂y))(x, y, z) =0

Estas ideas llevan a la siguiente definición.

Rotacional de un campo vectorial

Sea F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k un campo vectorial con derivadas parciales de primer orden definido en un abierto A ⊂ (ℝ^3). Se define el rotacional de F en un punto (x, y, z) ∈ A como el vector

rot F(x, y, z)=(((∂R)/(∂y))(x, y, z)-((∂Q)/(∂z))(x, y, z))i+( ((∂P)/(∂z))(x, y, z)-((∂R)/(∂x))(x, y, z) )j + (((∂Q)/(∂x))(x, y, z)-((∂P)/(∂y))(x, y, z) )  k

Se dice que un campo es irrotacional cuando su rotacional es idénticamente nulo.

Para recordar esta definición se acostumbra a representar simbolicamente el rotacional por medio del operador nabla en tres dimensiones

∇=\((∂\/∂x, ∂\/∂y, ∂\/∂z)\)=(∂/∂)xi +(∂/∂)yj +(∂/∂)zk

con ello podemos escribir el rotacional como el siguiente producto vectorial simbólico

rot F(x, y, z)=∇×F(x, y, z)=determinante (({{i, j, k}, {(∂/∂)x, (∂/∂)y, (∂/∂)z}, {P, Q, R}}))=(((∂R)/(∂y))(x, y, z)-((∂Q)/(∂z))(x, y, z))i+( ((∂P)/(∂z))(x, y, z)-((∂R)/(∂x))(x, y, z) )j + (((∂Q)/(∂x))(x, y, z)-((∂P)/(∂y))(x, y, z) )  k

Podemos también definir el rotacional de un campo de dos variables, F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j, por el convenio de asociar a dicho campo el campo de tres variables  (Subscript[F, 3])(x, y, z)=P(x, y)i+Q(x, y)j y definir rot F(x, y)=rot (Subscript[F, 3])(x, y, z). Con ello, se obtiene fácilmente que  rot F(x, y)= (((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y) )  k. Observa que el teorema de Green puede escribirse en la forma:

(∫_γ)F=∫(∫_D)rot F(x, y).kd(x, 
                    y)

Comprobaremos más adelante que el rotacional de un campo en (ℝ^3) tiene un significado físico que generaliza lo visto para el caso de campos bidimensionales.

De la definición dada se sigue que una condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial de tres variables de clase (C^1) sea localmente conservativo es que sea irrotacional. En consecuencia, el campo de gradiente de un campo escalar de clase (C^2) es irrotacional, lo que suele expresarse en la forma rot (∇f) = 0.  También se comprueba con facilidad que div (rot F)=0.

Los ejercicios de esta lección son los propuestos en el libro de James Stewart Cálculo Multivariable 4ª Ed. en la sección 16.5 (página 1081) números: 1-8, 12, 19, 23-29, 30, 31, 33, 34 y 36.