Campos conservativos. Teorema de Green

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Inicialización

<<Graphics`Arrow`

<<Graphics`Colors`

vector2D[x_: {0, 0}, y_] := Arrow[x, x + y] 
norma[x_] := N[(Sqrt[x . x])]   
\(\(normaliza[x_]\  := 
        If[Simplify[x . x] == 0, x, \ x/norma[x]];\)\ 
\)
tgtunit[func_, 
          t_] = func'[t]/(Sqrt[func'[t] . func'[t]]);
normalunit[func_, t_] := 
      Module[{s}, normaliza[D[tgtunit[func, s], s]] /. s -> t]

\(curvacerradasimple := 
      Module[{graf1, vectgnteunit, vectnormalunit, γ}, γ[t_] = 
          2 {\(-Sin[π\ t]\) + 1\/5\ Cos[4\ π\ t], 
              Cos[π\ t] - 1\/8\ Sin[4  π\ t]}; 

        graf1 = ParametricPlot[γ[t], {t, 0, 2}, 
            PlotStyle -> {Thickness[0.01], Hue[0]}, 
            AxesLabel -> {"x", "y"}, 
            Epilog -> {{Hue[0. ], 
                  Arrow[γ[ .15], γ[ .16], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[ .55], γ[ .56], 
                    HeadLength ->  .07], 
Arrow[γ[ .93], γ[ .94], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[1.35], γ[1.36], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[1.75], γ[1.76], HeadLength ->  .07]}, 
                Text["D", 1.5 { .4,  .4}], 
                Text["γ", 2 { .75,  .6}]}, 
            TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 14}, 
            Ticks -> None, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, 
            DisplayFunction -> 
              Identity]; 
vectgnteunit = 
          Graphics[
		Table[{{Blue, 
                  vector2D[γ[t], tgtunit[γ, t]]}, {Red, 
                  PointSize[ .015], Point[γ[t]]}}, {t, 0. , 2, 
                2/5. }]]; 

        vectnormalunit = 
          Graphics[
		Table[
              If[Det[{tgtunit[γ, t], normalunit[γ, t]}] > 
                  0, {Green, 
                  vector2D[γ[t], normalunit[γ, t]]}, {Green, 
                  vector2D[γ[t], \(-normalunit[γ, t]\)]}], {t, 
                0. , 2, 2/5. }]]; 

        Show[{graf1, vectgnteunit, vectnormalunit}, AspectRatio -> Automatic, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction]]\)

\(dominioconagujeros := 
      Module[{graf1, γ}, 
γ[t_] = 
          2 {\(-Sin[π\ t]\) + 1\/5\ Cos[4\ π\ t], 
              Cos[π\ t] - 1\/8\ Sin[4  π\ t]}; 

        graf1 = ParametricPlot[γ[t], {t, 0, 2}, 
            PlotStyle -> {Thickness[0.01], Hue[0]}, 
            AxesLabel -> {"x", "y"}, 
            Epilog -> {{Hue[0. ], 
                  Arrow[γ[ .15], γ[ .16], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[ .55], γ[ .56], 
                    HeadLength ->  .07], 
Arrow[γ[ .93], γ[ .94], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[1.35], γ[1.36], HeadLength ->  .07], 
                  Arrow[γ[1.75], γ[1.76], HeadLength ->  .07]}, 
                Text["D", 1.5 { .4,  .4}], 
                Text["γ", 2 { .75,  .6}]}, 
            TextStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 14}, 
            Ticks -> None, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, 
            DisplayFunction -> Identity]; 
        Show[{graf1, 
            Graphics[{{Hue[0], Thickness[0.01], Circle[{ .5, \(- .5\)},  .3], 
                  Circle[{\(- .5\),  .5},  .3], Hue[ .2], 
                  Disk[{ .5, \(- .5\)},  .28], 
                  Disk[{\(- .5\),  .5},  .28]}, {Hue[0], 
                  Arrow[Reverse[{\(- .5\),  .5} +  .285 {Cos[ .15] +  .01, 
                            Sin[ .15]}], 
                    Reverse[{\(- .5\),  .5} +  .3 {Cos[ .05] -  .035, 
                            Sin[ .05]}], HeadLength\  -> \  .035], 
                  Arrow[Reverse[{ .5, \(- .5\)} +  .285 {Cos[ .15] +  .01, 
                            Sin[ .15]}], 
                    Reverse[{ .5, \(- .5\)} +  .3 {Cos[ .05] -  .025, 
                            Sin[ .05]}], HeadLength\  -> \  .037]}, 
                Text[\*""(Subscript[γ, 1])"", { .8, \(- .1\)}], 
                Text[\*""(Subscript[γ, 2])"", {\(- .2\),  .9}]}]}, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction]]\)

Campos conservativos

Recuerda que una integral de línea de un campo vectorial depende de DOS funciones: el campo vectorial  F y el camino γ; necesitas conocer dichas funciones para poder calcular la integral. Para ello, todo lo que necesitas es obtener una primitiva, G, de la función g(t)=⟨F(γ(t))|γ ' (t)⟩ y aplicar la regla de Barrow

(∫_γ)F=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | γ' (t)⟩dt=(∫_a^b)g(t)dt=G (b) - G (a)

Observa que la función g depende del camino γ. Puede ocurrir que dos caminos (Subscript[γ, 1]) y (Subscript[γ, 2]) tengan los mismos puntos inicial y final pero las integrales (∫_((Subscript[γ, 1]))) F  y (∫_((Subscript[γ, 2]))) F sean distintas. El siguiente importante resultado nos dice que los campos vectoriales con la propiedad de que sus integrales de línea sobre cualquier camino dependen solamente de los puntos inicial y final del camino son campos de gradiente, y nos muestra cómo calcular una integral de línea de un campo de gradiente.

Teorema 1. Sea F:A->(ℝ^n), donde A es un conjunto abierto en (ℝ^n), un campo vectorial continuo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
a) Para todo camino cerrado γ en A se verifica que (∫_γ)F=0.
b) La integral de línea de F es independiente del camino, es decir, cualesquiera sean los caminos (Subscript[γ, 1]) y (Subscript[γ, 2]) en A con los mismos puntos inicial y final se verifica que (∫_((Subscript[γ, 1]))) F=(∫_((Subscript[γ, 2]))) F .
c) F es un campo de gradiente, es decir, existe un campo escalar f : A -> ℝ con derivadas parciales continuas tal que   F(x)=∇f(x) para todo x ∈ A. 
Si el campo F verifica alguna de estas afirmaciones, en cuyo caso las verifica todas, se dice que es un campo conservativo (en A).

Demostración. Es fácil probar que a) es equivalente a b). No es tan fácil probar que b) implica c) y no lo haremos aquí. Probaremos que c) implica b). Para ello basta tener en cuenta que si γ : [a, 
            b] -> (ℝ^n) es una curva suave en A, entonces, por la regla de la cadena, se tiene que la función G(t) = f(γ(t)) es derivable y

\(TraditionalForm\`G\ ' \((t)\) = \(⟨∇\(f(γ(
                  t))\) | γ\ ' \((t)\)⟩ = ⟨F(γ(
                t)) | γ\ ' \((t)\)⟩\)\)

es decir G(t) = f(γ(t)) es una primitiva de ⟨F(γ(
              t)) | γ ' (t)⟩, luego

(∫_γ)F=(∫_γ)∇f=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | γ' (t)⟩dt=(∫_a^b)⟨∇f(γ (t)) | γ' (t)⟩dt=(∫_a^b)G '(t)dt=G(b)-G(a)=f(γ (b))-f(γ (a))

lo que prueba que la integral de F a lo largo de γ solamente depende de los puntos inicial y final de γ, por tanto cualesquiera sean los caminos (Subscript[γ, 1]) y (Subscript[γ, 2]) en A con los mismos puntos inicial y final se verifica que (∫_((Subscript[γ, 1]))) F=(∫_((Subscript[γ, 2]))) F.

De la demostración anterior debes recordar la igualdad

(∫_γ)∇f.dγ=f(β)-f(α)

válida para cualquier camino γ cuyo punto inicial sea α y cuyo punto final sea β.

En física, cuando un campo vectorial F es conservativo, a la función f tal que F=∇f se le llama función potencial de dicho campo y el número -f (x) se llama energía potencial del punto x. No hay en esto un criterio definido; algunos textos llaman función potencial a la función -f. Cuando F está definido en un dominio (ver definición más adelante) la función potencial, cuando existe, es única salvo una constante aditiva.

Conservación de la energía en un campo de fuerzas conservativo

a) Supongamos un objeto de masa m que recorre una trayectoria  r:[a, b]->(ℝ^3)de modo que en cada punto r(t) de la trayectoria actúa sobre el móvil una fuerza total F(r(t)). En virtud de la segunda ley de Newton del movimiento, se verificará que la fuerza total F(r(t)) que actúa sobre el móvil en cada punto de la trayectoria está relacionada con la aceleración a(t)=r''(t) por la igualdad F(r(t))=m r''(t). En consecuencia, el trabajo realizado por dicha fuerza es

W=(∫_r)F.dr=(∫_a^b)F(r(t)).r'(t)dt=(∫_a^b)mr''(t).r'(t)dt=(m/2)(∫_a^b)(d/dt)( r'(t).r'(t))dt=(m/2)(||r'(b)((||)^2)-||r'(a)((||)^2))=(1/2)m v(((b))^2)-(1/2)m v(((a))^2)

donde hemos representado con v(t)=||r '(t)|| la rapidez del móvil en el instante t. La cantidad (1/2)m v(((t))^2) se llama energía cinética. Hemos probado así que el trabajo que realiza una fuerza sobre un móvil es igual al incremento que experimeta la energía cinética del mismo debido a la acción de dicha fuerza.

b) Supongamos ahora que un móvil se mueve dentro de un campo de fuerzas conservativo (Subscript[F, c])(x, y, z)=∇f(x, y, z) donde f  es un campo escalar. En estas condiciones se define la energía potencial, P(x, y, z), de un objeto en el punto (x, y, z) por la igualdad P(x, y, z) = -f (x, y, z) y, en consecuencia, (Subscript[F, c])(x, y, z)=-∇P (x, y, z). En esta situación, por lo visto en el teorema 3, se verifica que

(Subscript[W, c])=(∫_r)(Subscript[F, c ]). dr=-(∫_r)∇P . dr=P(r(a))-P(r(b))

Igualdad que expresa que el trabajo realizado por un campo de fuerzas conservativo al mover un objeto a lo largo de un camino es igual a la diferencia de la energía potencial del objeto en los punto inicial y final del camino.

c) Si además de las fuerzas del campo conservativo (Subscript[F, c]) actúa sobre el móvil en cada punto r(t) de su trayectoria una fuerza exterior (Subscript[F, e])(r(t)), entonces la fuerza total que actúa sobre el móvil será F=(Subscript[F, c])+(Subscript[F, e]) y el trabajo realizado por dicha fuerza viene dado por

W=(1/2)m v(((b))^2)-(1/2)m v(((a))^2)=(∫_r)(Subscript[F,  ]). dr=(∫_r)(Subscript[F, c ]). dr+(∫_r)(Subscript[F, e ]). dr=P(r(a))-P(r(b))+(∫_r)(Subscript[F, e ]). dr

de donde se sigue que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores al campo viene dado por

(∫_r)(Subscript[F, e ]). dr=((1/2)m v(((b))^2)+P(r(b)))-((1/2)m v(((a))^2)+P(r(a)))

d) En particular, si sobre el móvil no actúan fuerzas exteriores, (Subscript[F, e])=0, y el móvil se desplaza debido solamente a la acción del campo (Subscript[F, c]) deducimos que

(1/2)m v(((b))^2)+P(r(b))=(1/2)m v(((a))^2)+P(r(a))

Igualdad que expresa que la suma de la energía cinética y de la energía potencial del objeto permanece constante. Este resultado se conoce como ley de conservación de la energía y es válida para campos conservativos.

El campo gravitacional es conservativo

Vimos en la lección anterior que la fuerza de atracción gravitacional ejercida por un objeto de masa M que se encuentra en el origen sobre un objeto de masa unidad (m=1) que se encuentra en un punto (x, y, z) viene dada por

F(x, y, z)=((- M G x)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))i +((- M G y)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))j+((- M G z)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))k

Este campo vectorial está definido en el abierto \(TraditionalForm\`A = ℝ\^3\{\((0, 0, 0)\)}\). Es fácil probar que el campo escalar f : A -> ℝ dado por

f(x, y, z)=((M G )/(Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)]))

es una función potencial para F, esto es, F(x, y, z)=∇f(x, y, z) para todo (x, y, z) ∈ A.

Análogamente se prueba que el campo eléctrico producido por una carga Q es conservativo. La ley de Ampére nos dice que el campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria no es conservativo.

El siguiente resultado, fácil de probar, proporciona condiciones necesarias para que un campo sea conservativo.

Teorema 2. Sea F=((Subscript[F, 1]),(Subscript[F, 2]),...,(Subscript[F, n])):A->(ℝ^n), donde A es un conjunto abierto en (ℝ^n), un campo vectorial de clase (C^1).  Si F es conservativo entonces para todo x=((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n]))∈A y para 1 ≤ i < j ≤ n se verifica que

((∂(Subscript[F, i]))/(∂(Subscript[x, j])))(x)=((∂(Subscript[F, j]))/(∂(Subscript[x, i])))(x)                        (1)

Para el caso de un campo vectorial de dos variables F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) las condiciones (1) anteriores se reducen a

((∂P)/(∂y))(x, y)=((∂Q)/(∂x))(x, y)                       (2)

Para el caso de un campo vectorial de tres variables F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) las condiciones (1) anteriores se reducen a

((∂P)/(∂y))(x, y, z)=((∂Q)/(∂x))(x, y, z)  , ((∂P)/(∂z))(x, y, z)=((∂R)/(∂x))(x, y, z)   ,((∂Q)/(∂z))(x, y, z)=((∂R)/(∂y))(x, y, z)            (3)

Es natural preguntarse si las condiciones necesarias del teorema anterior son también suficientes para que un campo sea conservativo. La respuesta es que, en general, no son suficientes. Por ejemplo, el campo F:\(ℝ\^2\{\((0, 0)\)}\)->ℝ dado por

F(x, y)=(((-y)/((x^2) + (y^2))),(x/((x^2) + (y^2))))                      (4)

satisface las igualdades (2) pues

((∂P)/(∂y))(x, y)=(∂/(∂y))(((-y)/((x^2) + (y^2))))  =(((y^2)-(x^2))/((((x^2) + (y^2)))^2))=(∂/(∂x))((x/((x^2) + (y^2))))   =((∂Q)/(∂x))(x, y)

Sin embargo la integral de dicho campo en la circunferencia unidad vale

(∫_(C ((0, 0), 1)))F=\(∫\_\(-π\)\%π⟨\((\(-sen\)\ t, cos\ t)\) | \((\(-sen\)\ t, \ 
                    cos\ t)\)⟩ dt = \(∫\_\(-π\)\%πdt = 
            2  π ≠ 0\)\)

lo que prueba que el campo no es conservativo.

Por tanto, las condiciones necesarias (1) no son en general suficientes para asegurar que un campo que las cumpla sea conservativo en A. Cuando un campo vectorial verifica las condiciones (1) se dice que es localmente conservativo en el abierto A.

Un conjunto abierto A⊂(ℝ^n) con la propiedad de que dos puntos cualesquiera de A pueden unirse por medio de una curva contenida en A se llama un dominio. Un dominio se llama simplemente conexo cuando todo camino cerrado en el dominio puede deformarse de forma continua sin salirse del dominio hasta convertirlo en un punto del dominio. La formalización matemática de la idea intuitiva de "deformación continua" es complicada y considero innecesario precisarla aquí. Intuitivamente, un dominio simplemente conexo en (ℝ^2) es un dominio que "no tiene agujeros" pero esta idea intuitiva ya no sirve para dimensiones mayores que 2. Si a (ℝ^2) le quitamos un punto (o un conjunto finito de puntos) obtenemos un dominio que no es simplemente conexo; si esto mismo lo hacemos con (ℝ^3) el dominio que obtenemos es simplemente conexo. Un ejemplo de dominio simplemente conexo en (ℝ^2) es una región acotada del plano cuya frontera es una curva cerrada y simple. El siguiente resultado establece condiciones suficientes para que un campo localmente conservativo sea conservativo.

Teorema 3. Sea F=((Subscript[F, 1]),(Subscript[F, 2]),...,(Subscript[F, n])):A->(ℝ^n), donde A es un conjunto abierto en (ℝ^n), un campo vectorial de clase (C^1) que es localmente conservativo en A. Entonces se verifica que F es conservativo en todo dominio simplemente conexo contenido en A.

Un resultado que es equivalente al anterior y muy útil para calcular integrales de línea de campos vectoriales es el siguiente.

Teorema 4. Sea F=((Subscript[F, 1]),(Subscript[F, 2]),...,(Subscript[F, n])):A->(ℝ^n), donde A es un conjunto abierto en (ℝ^n), un campo vectorial de clase (C^1) que es localmente conservativo en A.  Sean (Subscript[γ, 1]) y (Subscript[γ, 2]) dos caminos cerrados en A (o bien dos caminos con los mismos puntos inicial y final) tales que es posible deformar continuamente el camino (Subscript[γ, 1]) en el camino (Subscript[γ, 2]) sin salirse de A (manteniendo fijos los puntos inicial y final), entonces se verifica que

(∫_((Subscript[γ, 1]))) F=(∫_((Subscript[γ, 2]))) F

Aquí puedes ver un ejemplo de deformación continua de una curva cerrada en la circunferencia unidad.

Do[
        ParametricPlot[((Abs[Sin[t] Cos[4  t]] +  .2) (1 - s) + 
                s) {Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
          AspectRatio -> Automatic, 
          PlotRange -> {{-1.1, 1.1}, {-1.3, 1.3}}, 
          PlotStyle -> {Hue[ .6], Thickness[ .008]}], {s, 0, 
          1,  .1}];
SelectionMove[EvaluationNotebook[], All, GeneratedCell];
FrontEndTokenExecute["CellGroup"]
FrontEndTokenExecute["OpenCloseGroup"]

Si consideramos el campo definido por (4), el teorema anterior nos dice que la circulación de dicho campo es la misma para cualquiera de las curvas cerradas que aparecen en la animación anterior, es decir es igual a 2  π en cualquiera de ellas.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

F(x, y)=(((-y)/((x^2) + (y^2))),(x/((x^2) + (y^2))))

Ejercicio 4

F(x, y)=(((2x y)/((((x^2) + (y^2)))^2)),(((y^2)-(x^2))/((((x^2) + (y^2)))^2)))

Teorema de Green

La versión más elemental del teorema de Green relaciona una integral de línea sobre una curva cerrada y simple en (ℝ^2) y una integral doble sobre la región acotada por la curva. Se dice que una curva γ cerrada y simple en (ℝ^2)está orientada positivamente cuando se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. En otras palabras, cuando recorremos la curva γ en el sentido que indica su vector tangente en cada punto, la región interior de γ queda siempre a nuestra izquierda. 
Observa que estamos usando un resultado, conocido como teorema de la curva de Jordan, que afirma que una curva γ en (ℝ^2) cerrada y simple divide al plano en dos regiones disjuntas cuya frontera común es la curva. Una de las regiones está acotada y se llama interior de γ y la otra se llama exterior de γ. Este resultado tan intuitivo es muy difícil de demostrar. Nos apoyamos en él más que nada por comodidad de lenguaje pues para lo que estamos haciendo puede evitarse su uso.
Una definición matemática más precisa de lo que se entiende por "orientación positiva" es la siguiente. Sea γ una curva suave cerrada y simple; llamemos D a la región interior de γ y sea P ∈ γ un punto de γ. La curva γ tiene en P dos vectores normales unitarios que son opuestos entre sí. Sea N un vector normal a γ en P. Se dice que N es la normal interior a γ en P si hay un número δ > 0 tal que P  +  t N ∈ D  y  P  -  t N ∉ D siempre que 0 < t < δ (esta condición expresa que si se avanza un poquito desde P en la dirección de N se entra en D y si se avanza en la dirección opuesta a Nse sale de D). Se dice que γ está orientada positivamente cuando el determinante de la matriz cuya primera fila es el vector tangente unitario a γ en un punto t y cuya segunda fila es el vector normal interior a γ en un punto t es siempre positivo (de hecho, igual a 1), esto es lo mismo que exigir que el giro que lleva el vector tangente unitario al vector normal interior sea siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.

La siguiente gráfica muestra un ejemplo de una curva cerrada simple positivamente orientada. Observa que el giro que lleva el vector tangente (en azul) al vector normal interior (en verde) es siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.

curvacerradasimple;

Teorema de Green.

Sea γ un camino cerrado y simple en (ℝ^2) que está orientado positivamente y sea D la región del plano limitada por γ. Sean P, Q campos escalares con derivadas parciales de primer orden continuas definidos en un abierto que contiene a D. En estas condiciones se verifica que la integral de línea del campo F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j sobre el camino γ es igual a la integral doble de la función ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y)  sobre D. Es decir

(∫_γ)F=(∫_γ)P(x, y)dx+Q(x, y) dy=∫(∫_D)(((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y))d(x, y)

Es frecuente representar con ∂D la curva frontera de D, es decir γ, orientada positivamente.

El teorema de Green permite facilitar el cálculo de algunas integrales de línea (o de integrales dobles) transformándolas en integrales dobles (o en integrales de línea).

Una aplicación del teorema de Green es para calcular áreas. Como el área de la región D viene dada por ∫(∫_D)1d(x, y) podemos transformar esta integral doble en una integral de línea sobre la frontera ∂D sin más que elegir funciones P, Q tales que ((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y) =1. Hay muchas posibilidades pero las más sencillas son P(x, y) = 0,  Q(x, y) = x; P(x, y) = -y,  Q(x, y) = 0; P(x, y) = -y/2, Q(x, y) = x/2 por lo que obtenemos las siguientes expresiones para el área:

Área (D)=∫(∫_D)1d(x, y)=(∫_(∂ D))xdy=-(∫_(∂ D))ydx=(1/2)(∫_(∂ D))x dy - y dx

Observa que puede demostrarse muy fácilmente el teorema 4 para el caso de dos dimensiones usando el teorema de Green.

El teorema de Green también es válido para regiones acotadas por caminos de Jordan en las que se han hecho agujeros, es decir regiones acotadas cuya frontera está formada por varios caminos de Jordan que no tienen puntos comunes siempre que cada camino frontera esté orientado de modo que la región quede siempre a la izquierda cuando se recorre dicho camino. Esto significa que el camino frontera más exterior de todos (aquel en cuyo interior se encuentra contenida la región) debe tener orientación positiva y los restantes caminos frontera (los que forman los agujeros - la región se encuentra en el exterior de los mismos -) deben tener orientación negativa (recorrido en el sentido de las agujas del reloj). En otras palabras, representando por Γ la unión de todas las curvas frontera, debe ocurrir que el determinante de la matriz cuya primera fila es el vector tangente unitario a Γ en un punto t y cuya segunda fila es el vector normal interior a Γ en un punto t es siempre positivo (de hecho, igual a 1).

Teorema de Green para dominios con agujeros. Sea F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j  un campo de clase (C^1) definido en un abierto A ⊂ (ℝ^2). Sean γ,(Subscript[γ, 1]), (Subscript[γ, 2]),..., (Subscript[γ, k]) curvas de Jordan en A disjuntas dos a dos tales que
• (Subscript[γ, 1]), (Subscript[γ, 2]),..., (Subscript[γ, k]) se encuentran en el interior de γ.
• (Subscript[γ, i]) se encuentra en el exterior de (Subscript[γ, j]) para i ≠ j.
• Todas las curvas γ, (Subscript[γ, 1]), (Subscript[γ, 2]),..., (Subscript[γ, k]) están orientadas positivamente (sentido antihorario).
Sea D la región obtenida por la intersección del interior de γ con el exterior de cada una de las curvas (Subscript[γ, 1]), (Subscript[γ, 2]),..., (Subscript[γ, k]). En estas hipótesis se verifica que

(∫_γ)F.dγ-(∑_(j = 1)^k)(∫_(Subscript[γ, j]))F.d(Subscript[γ, j])=∫(∫_D)(((∂Q)/(∂x))(x, y)-((∂P)/(∂y))(x, y))d(x, y)

Observa que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvas tienen orientación antihoraria y por eso, en la igualdad anterior, las integrales sobre las curvas interiores se restan en lugar de sumarse.

En particular, si el campo F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j es conservativo en un abierto que contiene a D, se verifica que

(∫_γ)F.dγ=(∑_(j = 1)^k)(∫_(Subscript[γ, j]))F.d(Subscript[γ, j])

Este resultado permite reducir el cálculo de una integral de línea de un campo conservativo sobre una curva γ que puede ser complicada, al cálculo de una o varias integrales sobre curvas sencillas (por ejemplo, circunferencias).

La siguiente gráfica muestra un ejemplo de un dominio como el que se considera en el enunciado del teorema.

dominioconagujeros;

Naturalmente, la razón de considerar dominios con agujeros es porque se supone que en esos agujeros el campo tiene algún tipo de singularidad. Con frecuencia un agujero está producido por un punto en el que el campo se hace infinito.

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

(Subscript[c, 1])=(1/(Área (D)))∫(∫_D) x d(x, y),    (Subscript[c, 2])=(1/(Área (D)))∫(∫_D) y d(x, y)

\(TextForm
    \`c\_1 = \(1\/\(2  Área \((D)\)\)\) 
        \(∫\_γ\ x\^2\ dy\), \ \ \ 
    c\_2 = \(-\(1\/\(2  Área \((D)\)\)\)\) 
        \(∫\_γ\ \(\(y\ \)\^2\) dx\)\)

Ejercicio 10

F(x, y)=(((-y)/((x^2)+(y^2))),(x/((x^2)+(y^2))))

F(x, y)=(((2x y)/((((x^2)+(y^2)))^2)),(((y^2)-(x^2))/((((x^2)+(y^2)))^2)))