Definiciones históricas del concepto de grupo.

La definición moderna de grupo se suele dar como: Un grupo G es un conjunto, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

  1. Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
  2. Existencia de neutro: existe un elemento e en G tal que ex=x=xe para todo x en G.
  3. Existencia de simétricos: para cada x en G, existe un y en G tal que xy=e=yx.

Observaremos que la definición anterior es redundante (o sea, que sobran algunas afirmaciones) y que tampoco es la mas corta ya que se puede dar con solo dos axiomas. Sin embargo, si son suficientes para definir formalmente y con precisión lo que entendemos actualmente por un grupo. Es importante darse cuenta que esta definición procede del siglo XX y que no se convirtió en standard hasta bien entrado ese siglo. En realidad, durante el siglo anterior, el XIX, la definición de un grupo abstracto era algo colateral y oculto en la teoría de los pocos grupos concretos que se estudiaban y se utilizaban.

Notaremos también, que existieron dos significados del término "grupo abstracto" durante la primera mitad del s. XX . Un significado era el definido o descrito por los axiomas anteriores (que son cuatro, incluyendo a la operación binaria) y otro el de un grupo definido por generadores y relaciones (que en realidad es una especialización de la primera definición). Por ejemplo, Todd usaba el segundo sentido cuando decía que los grupos de Mathieu eran grupos abstractos.

La emergencia del concepto de grupo, disociado de grupos concretos, fue un proceso notablemente lento. Lagrange que estudió las permutaciones en 1770, nunca consideró su producto. Ruffini en 1799, sí consideró su producto y estudió ciertas propiedades de los grupos de permutaciones (los llamaba permutazione), pero solo consideró necesario resaltar la propiedad de clausura de la composición (la operación binaria), manejando la propiedad asociativa de forma implícita (al ser una composición de aplicaciones) y sin destacar la existencia, ni de la identidad, ni de los inversos.

La primera versión de la famosa memoria de Galois sobre Teoría de Resolución de Ecuaciones, que implícitamente utiliza propiedades profundas de los grupos de permutaciones, fue remitida a la Paris Académie des Sciences en 1829. Parece ser que Cauchy convenció a Galois para que retirara su memoria y remitiera una nueva versión para el Gran Premio de la Academia de 1830. Parece ser que no lo hizo y la noche del 29 de mayo de 1832, anterior al duelo que finalmente lo condujo a la muerte, escribió en su memoria. Una de esas notas decía: "Si en uno de estos grupos, uno tiene las sustituciones S y T entonces uno tiene la sustitución ST". Sin embargo, en sus manuscritos no aparece por nigún lado una definición de lo que es un grupo o de las propiedades que debe tener. Podemos entender hoy día porqué su trabajo era tan dificil de entender para sus contemporáneos y en particular para Poisson, miembro de la academia. Su memoria contenía muchos cálculos explícitos en un grupo, concepto que no aparecía definido por ninguna parte. Aunque, Galois con una intuición prodigiosa usaba exténsamente la aritmética de los grupos de permutaciones.

En 1845, una año antes de publicar definitivamente Liouville la memoria perdida de Galois, Cauchy dió una definición: consideraba sustituciones en n símbolos x, y, z, ... y definía sustituciones derivadas como todas aquellas que se pueden obtener como producto de las dadas, en cualquier orden. Al conjunto obtenido (hoy día diríamos al subgrupo engendrado) lo llamó "un sistema conjugado de sustituciones". Durante un tiempo los dos términos, "grupo" y "sistema conjugado de sustituciones", fueron sinónimos.

A partir de 1863, cuando Jordan escribió un comentario al trabajo de Galois donde usaba el término "grupo", empezó a usarse este término y paulatinamente a perderse el de sistema conjugado de sustituciones. En 1870, Jordan publica su famoso texto Traité des substitutions et des équations algebraique. Durante mucho tiempo, el concepto de grupo como subgrupo concreto generado por algunas permutaciones (que obvia sus propiedades) se convierte en la definición standard.

Así, la escuela francesa, representada por Galois, Cauchy y Jordan definen grupo en base a la propiedad de clausura (la primera de las cuatro actuales), suficiente para trabajar con subgrupos de permutaciones finitos. No aparecen la asociatividad, existencia del neutro, ni de los inversos, que se tienen garantizados por el contexo. A pesar de esta limitación, Cauchy llegó a escribir sobre este tópico, un total de 25 artículos en tan solo unos pocos meses.

Por otro lado, el británico Cayley escribió un artículo sobre grupos en 1854 y lo publicó de nuevo en 1878. Intentó dar una definición abstracta en términos de símbolos que operan sobre un sistema (x, y, ... ) tal que (x, y, ... ) = (x', y', ... ) donde x', y', ... son cualesquiera funciones de x, y, ... . Cayley continuó definiendo un símbolo identidad 1 que dejaba invariantes a los elementos del sistema. Definía el producto de símbolos como la composición de sus actuaciones sobre los elementos del sistema. Hizo notar la no comutatividad de este producto y que la propiedad asociativa debe satisfacerse. A un conjunto de este tipo lo llamó un grupo. Aunque esto es un intento importante de definición de grupo abstracto no es completamente satisfactorio. En realidad, es un lío. Exigía la asociativa por definición, cuando en realidad la composición de operadores es siempre asociativa. Tampoco está claro cuales operadores (x', y', ... ) donde x', y', ... son funciones de x, y, ... están en el grupo.

Burnside, en su famoso libro titulado The Theory of Groups of Finite Order, publicado en 1897, dió la siguiente definición Sean A, B, C, ... un conjunto de operaciones que pueden realizarse en un mismo objeto o conjunto de objetos. Supone que son distintos en el sentido de que producen distinto efecto en los objetos. Siguiendo a Cayley, requiere clausura, la ley asociativa e inversos. Aunque el libro tiene muchos méritos, sin embargo de nuevo, la definición recibe las mismas críticas que la de Cayley. Si los elementos son operadores, porqué se exige la asociativa (que está siempre garantizada). Mas extraño, es que Burnside no postula la existencia de una identidad y sí la de inversos (que por otro lado la garantiza). Curiosamente, Burnside repite exactamente la misma definición en la reedición de su libro, en 1911.

Finalmente, en la escuela alemana, se dió una definición correcta de grupo. Primero Kronecker, en 1870, en un contexto completamente diferente, considera lo que hoy día se conoce como el grupo de clases de un cuerpo de números algebráicos. Esto le induce a considerar un conjunto finito a', a'', a''', ... tal que de cualquiera pareja de ellos se pueda derivar un tercero, por algún método específico. Exigía las leyes asociativa y la conmutativa y también la cancelativa (que el producto a' a'' sea distinto de a' a''' cuando a'' sea distinto de a'''). Esta correcta definición de los grupos conmutativos finitos parece original de Kronecker y es la primera vez que aparece en la bibliografía.

Posteriormente, Heinrich Weber en 1882, claramente influenciado por Kronecker, dió una definición muy similar quitando la propiedad conmutativa. En notación actual, lo que define Weber como "grupo" es un semigrupo (composición asociativa) finito cancelativo. Aunque la ley asociativa la escribe un poco rara, Weber da una definición correcta de grupo finito. Ya que es fácil de mostrar que la finitud del conjunto en conjunción con la asociativa y la cancelativa implican la existencia de un neutro y la de los inversos. Esto falla, sin embargo para conjuntos infinitos. Ya que existen semigrupos cancelativos infinitos que no son grupos. De todas formas, esta definición correcta es la que aparece en su famoso libro, en dos tomos, Lehrbuch der Algebra publicado en 1895. Además, para el caso infinito, en el mismo libro Weber hace notar la necesidad de postular explícitamente la existencia de inversos. O sea, que también define correctamente el concepto de grupo infinito.

Definiciones modernas de grupo.