TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES

Departamento de Análisis Matemático
6 créditos

PRERREQUISITOS

Para seguir esta materia, el alumno debería tener ciertos conocimientos de Análisis Funcional y Teoría de la medida.

OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA ASIGNATURA (DESTREZAS A CONSEGUIR)

Uno de los problemas principales en la Teoría de Operadores es el cálculo del espectro de operadores en espacios de dimensión infinita, especialmente en espacios de Hilbert. En esta asignatura se introducen técnicas para el estudio de este problema que son, por ejemplo, la base o el fundamento matemático de la Física cuántica. Veremos cual es su origen histórico y su relación con problemas físicos concretos.

PROGRAMA DE TEORÍA

  1. ORIGEN HISTÓRICO
    • El problema de la difusión del calor en un medio no homogeneo: problema de Sturm--Liouville.

  2. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT
    • Operadores compactos.
    • Operadores autoadjuntos.
    • Medidas espectrales.
    • Funciones de Borel y operadores autoadjuntos. Teorema espectral.
    • Aplicaciones a la Física cuántica.

  3. PERTURBACIÓN COMPACTA. TEORÍA DE FREDHOLM
    • Operadores integrales.
    • Teoría de Riesz de operadores compactos.
    • Solución del problema de la difusión del calor en un medio no homogeneo.

  4. TEORÍA ESPECTRAL Y ÁLGEBRAS DE BANACH
    • Álgebras de Banach. Ejemplos: álgebras de funciones continuas, álgebras de operadores.
    • Espectro.
    • Teoría de Gelfand.
    • Aplicaciones al Análisis de Fourier.

  5. C*-ÁLGEBRAS Y SISTEMAS DINÁMICOS
    • C*-álgebras conmutativas.
    • C*-álgebras no conmutativas: la construcción de Gelfand--Naimark--Segal.
    • Aplicaciones a los sistemas dinámicos.

BIBLIOGRAFÍA

  • W. Arverson, A short course on Spectral Theory , Graduate Text in Mathematics \textbf{209}, Springer--Verlag (2002).
  • K. Davidson, C*-algebras by example , Fields Inst. Monographs, Amer. Math. Soc. (1996).
  • N. Dunford y J. Schwartz, Linear operators , vol. I, Interscience, New York (1958).
  • R. V. Kadison, Fundamentals of the theory of operator algebras , vol. I, Academic Press (1983).
  • G. K. Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups , Academic Press (1979).
  • C. Rickart, General theory of Banach Algebras , Van Nostrand, Princenton (1960).

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

La evaluación de los conocimientos de los alumnos se realizará mediante trabajos que el alumno realizará durante toda la duración del curso académico. Además habrá un examen final en el que los alumnos que no hayan superado la asignatura podrán recuperarla. En la nota final del alumno también se tendrán en cuenta otras calificaciones que se obtendrán a lo largo del curso a través de diversas pruebas de tipo teórico o práctico. Al margen de este sistema normal de evaluación y de acuerdo con el Reglamento de Régimen Interno del Departamento de Análisis Matemático, los alumnos podrán optar por el sistema de evaluación por tribunal previsto en los Estatutos de la Universidad de Granada.