Tema 11. Fenómenos Ondulatorios

Fenómenos de propagación. Propagación en una, dos y tres dimensiones. Ondas planas.- Ondas longitudinales y transversales.- Velocidad de propagación.- Descripción matemática de un fenómeno ondulatorio. Función de ondas.- Ondas armónicas.- Ecuación de ondas.

11.1 OBJETIVOS

1. Objetivos principales:

2. Asimilación del concepto de fenómeno ondulatorio.

3. Conocimiento de una amplia variedad de fenómenos de propagación

4. Distinción entre pulsos y ondas periódicas

5. Descripción matemática de los fenómenos de propagación (función de ondas y ecuación de ondas).

6. Particularización a las ondas armónicas en 1-D.

7. Asimilación del principio de superposición. Linealidad.

11.2: CONTENIDOS DETALLADOS

1. Fenómenos de propagación.

· Ejemplos y contraejemplos en continuo y discreto

· Identificación del medio de propagación, de la magnitud física representativa y del mecanismo de la propagación.

· Ondas escalares y vectoriales

2. Velocidad de propagación

· Ondas elásticas. Dependencia general de los módulos elásticos

· Ondas de presión en fluidos. El sonido

· Propagación a lo largo de una cuerda tensa

3. Ondas transversales y longitudinales

· Geometría de la propagación.

· Ondas 1 – D y ondas planas

4. Descripción matemática de un fenómeno ondulatorio. La función de ondas.

· Pulsos y ondas. Ejemplos

5. Ondas armónicas en 1 - D.

· Parámetros de la función de ondas

· Doble periodicidad

6. La ecuación de ondas.

· Linealidad. Superposición. Interferencias. Coherencia. Ejemplo

7. Interferencias.

11.3 RELACIÓN DE PROBLEMAS

* * Velocidad de propagación. Función de ondas. Ondas armónicas.

1. Se propaga una onda armónica transversal en un hilo tenso en el sentido (– x), siendo A = 15 mm, k = 5 rad/m, y w = 20 rad/s.

a) a) Hallar la velocidad y la aceleración máximas, la velocidad de propagación de la onda, y la tensión de la cuerda si es m = 0,075 kg/m.

b) b) Si la elongación en t = 0, x = 0,30 m, es y = 0, escribir la función de ondas y(x,t).

c) c) Representar gráficamente y(x) para t = 0.

Sol.: a) v_m = 0,3 m/s, a_m = 6 m/s², v = 4 m/s, T = 1,2 N. b)

* * Velocidad de propagación. Ondas longitudinales y transversales.

2.

a) ¿Con qué fuerza se debe tensar un alambre de 10^-2 cm² de sección para que la velocidad de las ondas transversales sea igual a la de las longitudinales, si su módulo de Young vale 9,1·10¹⁰ N.m^-2?

b) Discutir el resultado; ¿es realizable físicamente?

Sol.: a) 9,1·10⁸ N. b) Excesivamente elevada. No

* Velocidad propagación.

3. Una línea de alta tensión sostiene el cable, de 40 kg, por dos torres separadas 200 m. Desde lo alto de una de las torres se golpea el cable, que permanece tenso, y una onda viaja hasta la otra torre, se refleja, y regresa al punto inicial en 10 s. ¿A qué tensión está sometido el cable?

Sol.: T = 80 kg

* Ondas armónicas. Parámetros.

4. Un sonar emite ondas de 40000 Hz. La velocidad de la onda en el agua es de 1400 m/s.

a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda en el aire y su longitud de onda en el agua y en el aire?

b) Si un acorazado emite verticalmente con su sonar y recibe un eco 0.8 s mas tarde, ¿a qué profundidad está el submarino?

Sol.: a) f_aire = 40000 Hz, λ_agua = 0,035 m, λ_aire = 8,5·10^-3 m. b) h = 560 m

* * 6.Interferencia

5. Las vibraciones de dos focos separados 10 m en 1−D son: , generando ondas de velocidad 1.5 m/s.

a) ¿Cual es la ecuación de movimiento de una partícula situada a 6 m de la primera fuente y a 4,5 m de la segunda?

b) ¿Se cumple la condición de coherencia?

Sol.: a). b) Sí, ya que la relación de fase es constante.

* * Interferencias.

6. Dos amplificadores idénticos están separados por una distancia de 1 m y están conectados al mismo oscilador acústico que opera a una frecuencia de 500 Hz. Hallar los puntos de mínima amplitud a lo largo de la línea que une a los dos amplificadores.

Sol.:

* Velocidad propagación. Sonido.

7. Sea v₀ = 332 m/s la velocidad del sonido en el aire. ¿Qué valor resulta para la velocidad del sonido en el hidrógeno, si su densidad respecto al aire es 0.0693?

Sol.: 1261 m/s

*** Onda armónica.

8. La onda armónica en el hilo que se muestra en la figura tiene una amplitud de 25 mm, una velocidad de 46 m/s, una frecuencia angular de 160 rad/s y se propaga hacia +x.

a) Si el dibujo representa la forma de la onda para t = 1 ms, escribir la función de ondas.

b) Si ahora suponemos que la figura corresponde a t = 0, determinar la velocidad y aceleración de los elementos marcados por letras.

c) Determinar la pendiente del hilo y en esas posiciones.

Sol.: a) b)  c) 

*** Función y ecuación de ondas.

9. Una onda se transmite a lo largo del eje según la función , donde es el tiempo, la posición y la sobrepresión, y todas las unidades están expresadas en el SI.

a) Explique las características del citado fenómeno ondulatorio.

b) Compruebe que la función dada satisface la ecuación de ondas y determine el valor de la velocidad de propagación.

c) En la onda se encuentra con la superficie plana de separación de dos medios, el segundo con una velocidad de propagación doble que la del primer medio. Escriba las funciones de onda correspondientes a las ondas reflejada y transmitida sabiendo que la energía inicial se reparte en ambas al 50% y que no hay disipación.

Sol.: a) Onda escalar, armónica, plana (+x), monocromática de ω = 5 rad/s, de amplitud 0,1 P. v = ω / k = 2,5 m/s. Reflejada: Transmitida:

*** Pulso de ondas.

10.

a) Justificar que es una función de ondas y probar que satisface a la ecuación de ondas. Determinar su velocidad de propagación (x,y en metros, t en segundos).

b) Representarla gráficamente en función de x y de t. ¿Corresponde a una onda sostenida o a un pulso de onda? Explíquese.

c) ¿Pueden calcularse parámetros de esta onda tales como su amplitud, frecuencia o longitud de onda? Si no, definir y calcular algún otro parámetro característico.

Sol.: a) , v = 0,4 m/s. b) Pulso de ondas. A = 10 m. c) No, extensión espacial y temporal: Δx y Δ t para y = A/2 .

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