Funciones reales de variable real: Gráficas, límites y continuidad.

Práctica 3 (Específica de la asignatura de Cálculo Matemático en E.U.A.T.)

Introducción

Una vez conocidas las ideas básicas del programa Mathematica podemos centrarnos en los comandos y herramientas más apropiados para el desarrollo de la asignatura de Cálculo Matemático. En esta práctica vamos a presentar las herramientas básicas para estudiar la continuidad de una función. Tales herramientas pueden ser gráficas o analíticas.

En el grupo de herramientas gráficas tenemos los comandos Plot, Plot3D, Show, ParametricPlot, ParametricPlot3D y Options. Con ellos representaremos curvas, superficies y funciones en general.

Como herramienta analítica veremos el comando Limit. Con este comando podremos calcular límites y límites laterales de funciones tantos en puntos reales como en infinito.

Al final, después de los ejercicios y como un apéndice, veremos algunas gráficas predefinidas en Mathematica por medio del comando Graphics.

Antes de empezar dos recordatorios:

1) Como ya se ha comentado en las prácticas anteriores, Mathematica dispone de una ayuda en la que todos estos comandos están perfectamente explicados y puede ser consultada en cualquier momento para aclarar detalles concretos. Para acceder a esta ayuda basta con pulsar el menú Help y después en Help Browser ...

2) Siempre es conveniente hacer una limpieza para poder utilizar símbolos usuales sin temor a posibles errores por definiciones previas.

Clear["Global`*"]

Gráficas

Consideremos una función en una variable y = f (x) con x varíando entre a y b. Para representar la gráfica de esta función usamos la orden 
			Plot[ f[x],{x, a, b}]. 
La función f[x] puede estar definida con anterioridad o dentro mismo de la orden Plot.

Ejemplo 1 (Definiendo primero las funciones)

\(g[x_] := Sin[x]; 
f[x_] := Cos[x]; 
Plot[g[x], {x, 0, 2  Pi}]\)Plot[f[x], {x, 0, 2  Pi}]

Ejemplo 2 (Definiendo las funciones dentro de la orden Plot)

Plot[(x^2 - 
              4)/((x + 1)*(x - 1)*(x - 3)), {x, -3, 
          5}];

Como habrás observado, Mathematica realiza de forma automática la elección de la escala en ambos ejes para que la gráfica se pueda ver lo mejor posible.

Para representar varias funciones a la vez en el mismo dominio, bastará con incluirlas entre llaves y separarlas mediante comas de la siguiente forma 
			Plot[ { f[x], g[x] }, {x, a, b}].

Ejemplo 3

Plot[{g[x], f[x]}, {x, 0, 2  Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

En el ejemplo 3, dentro de la orden Plot, se han añadido una opción para modificar la salida, en concreto, el color de las gráficas mediante el comando RGBColor[*,*,*]. No describiremos aquí todas las posibilidades en cuanto a opciones. Para obetener una lista de todas ellas basta con ejecutar la orden Options[Plot]. Una vez más, recuerda que cada una de las posibilidades se puede buscar posteriormente en la ayuda para una completa descripción.

Options[Plot]

Consideramos ahora una función en dos variables z = f (x,y) con x varíando entre a y b,  e y variando entre c y d. Para pintar su gráfica utilizamos la orden 
			Plot3D[ f[x, y], {x, a, b}, {y, c, d}].
Como en el caso de funciones en una variable, f [x, y] puede estar definida con anterioridad o dentro del comando Plot. Sin embargo, debes tener cuidado con las opciones gráficas en Plot3D pues no son exactamente las mismas que en Plot.

Ejemplo 4: "La silla de montar"

Plot3D[x^2 - y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}];

También podemos representar curvas en el plano dadas por sus ecuaciones paramétricas: x = f(t), y = g(t), donde t el parámetro varía entre los valores a y b. Usamos el comando
			ParametricPlot[ {f[t], g[t]},{t, a, b}].
Las opciones y variaciones de este comando son similares a las del comando Plot.

Ejemplo 5

ParametricPlot[{t*Sin[5*t], t*Cos[5*t]}, {t, 0, 2 Pi}];

Ejemplo 6

Vamos a dibujar tres circunferencias de centro (0,0) y radios 1, 2 y 3 respectivamente. Además vamos a asignarles colores distintos.

ParametricPlot[{{3 Sin[t], 3 Cos[t]}, {2 Sin[t], 
            2 Cos[t]}, {Sin[t], Cos[t]}}, {t, 0, 
          2 Pi}, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, 
        AspectRatio -> 1];

Límite de una función

En esta sección analizaremos los conceptos de límite y continuidad.

Ejemplo 7

Consideremos la función

f[x_] := Sin[x]/x

Esta función está definida en todo ℝ excepto, eventualmente, para x = 0. La dibujamos en torno al punto conflictivo para "ver" lo que ocurre cerca del mismo:

Plot[f[x], {x, -6 Pi, 6  Pi}, 
      PlotRange -> {-0.3, 1.2}]

Mathematica dispone de una orden para calcular los límites laterales de una función en un punto:
			Limit[ función, variable -> punto, Direction -> 1 ]     (Límite por la izquierda)
		         Limit[ función, variable -> punto, Direction-> -1 ]     (Límite por la derecha)
En nuestro caso, los límites laterales cuando x tiende a 0 se determinan como sigue:

Limit[f[x], x -> 0, Direction -> 1]Limit[f[x], x -> 0, Direction -> -1]

La existencia del límite está garantizada cuando los dos límites laterales existen y son iguales, tal como sucede en este ejemplo.

Ejemplo 8

Mathematica reconoce, a través del mismo comando Limit, la mayoría de los límites infinitos.

Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> 1]

Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> -1]

Ejemplo 9

Podemos calcular límites en infinito. Observemos que en estos casos no tiene sentido hablar de los dos límites laterales porque uno de ellos, simplemente, no tiene "sentido de ser".

Limit[Exp[-x], x -> Infinity]

Limit[Exp[-x], x -> -Infinity]

Limit[Log[x], x -> Infinity]

Ejemplo 10 (Cosas que pueden pasar)

Si definimos funciones mediante la orden Which, con la versión 3.0 de Mathematica, la orden Limit no se puede usar .

g[x_] := 
      Which[-Pi <= x <= 0, Sin[x], 0 < x <= Pi, 1 - x, 
        True, (x/2)^2]

Los puntos en los que hay que determinar la existencia de límite son -π, 0  y π. Intentamos usar la orden Limit para calcular los límites laterales en -π.

Limit[g[x], x -> -Pi, Direction -> 1]

Limit[g[x], x -> -Pi, Direction -> -1]

Comprobamos que no obtenemos ningún resultado. ¡Atención: si utilizamos la versión 5.2 (o posteriores) de Mathematica, entonces sí obtenemos resultados! Con las versiones 4.x, 5.0 y 5.1 (si alguna de estas la utilizas) tendrás que comprobar por ti mismo si funciona o no esta manera de proceder.

Para eludir el problema que ha surgido podemos definir cuatro funciones diferentes a partir de las expresiones que aparecen en la definición de g y que están asociadas a la partición \(TraditionalForm\`\((\(-∞\), \(-π\))\) ⋃ \([\(-π\), 0]\) ⋃ \(\((0, π\)\(]\)\) ⋃ \((π, \(+∞\))\)\).

g1[x_] := ((((x/2)))^2)g2[x_] := Sin[x]g3[x_] := 1 - xg4[x_] := ((((x/2)))^2)

En realidad hubiera bastado con definir g1, g2 y g3, ya que g4 tiene la misma expresión que g1. Calculemos con estas funciones auxiliares los límites deseados.

Limit[g1[x], x -> -Pi, Direction -> 1]

Limit[g2[x], x -> -Pi, Direction -> -1]

Los límites laterales en x = -π  existen pero son diferentes, luego en x = -π  hay una discontinuidad de salto. Por cierto, como seguro habrás adivinado, esta forma de actuar para el cálculo de los límites laterales va a funcionar en todas las versiones de Mathematica.

Veamos qué ocurre en los otros dos puntos.

Limit[g2[x], x -> 0, Direction -> 1]Limit[g3[x], x -> 0, Direction -> -1]

Limit[g3[x], x -> Pi, Direction -> 1]Limit[g4[x], x -> Pi, Direction -> -1]

Hemos comprobado que g tambíen tiene discontinuidades de salto en x = 0  y en  x = π.  Podemos ilustrar gráficamente la situación representando por separado las cuatro funciones y representándolas conjuntamente.

graf1 = 
        Plot[g1[x], {x, -2 Pi, -Pi}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}];

graf2 = 
        Plot[g2[x], {x, -Pi, 0}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}];

graf3 = 
        Plot[g3[x], {x, 0, Pi}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}];

graf4 = 
        Plot[g4[x], {x, Pi, 5}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[0.5, 0, 0.5]}];

Show[{graf1, graf2, graf3, graf4}];

También podríamos haber representado directamente la función g.

Plot[g[x], {x, -2 Pi, 2  Pi}];

La diferencia entre las dos representaciones es que en la segunda aparecen segmentos verticales que no pertenecen en realidad a la gráfica de la función.

Continuidad de una función

Veamos un par de ejemplos de aplicación de lo visto en la sección anterior.

Ejemplo 11

Estudiemos la continuidad de la función
		f(x)=arctg(x) ,     si    x <   0,
f(x)=(sen^2)(2  x),    si    0 <=  x < 1,
f(x) = (Sqrt[(x^2) + 3]),    si    x >=  1.

Es claro que sólo es necesario estudiar la continuidad en los puntos conflictivos, esto es, en  x=0  y  x=1.

Sabemos que una función  f  es continua en un punto x=(Subscript[x, 0]) si y sólo si 
	1)  f  está definida en x=(Subscript[x, 0]), 
	2) existen los dos límites laterales en x=(Subscript[x, 0]), 
	3) los límites laterales son iguales a  f((Subscript[x, 0])).

Antes de todo definimos cada uno de los trozos por separado (para tomar límites laterales).

\(f1[x_] := ArcTan[x]; 
f2[x_] := \((Sin[2  x])\)^2; 

    f3[x_] := Sqrt[x^2 + 3]; \)

Y la función completa con el comando Which, por si podemos utilizar en algún momento esta forma de definir funciones (o nuestra versión de Mathematica es compatible con ella para el cálculo de límites laterales).

f[x_] := 
        Which[x < 0, f1[x], 0 <=  x < 1, f2[x], True, f3[x]];

Estudio en x=0. Calculamos los límites laterales, a la izquierda usando f1 y a la derecha usando f2.

Limit[f1[x], x -> 0, Direction -> -1]

Limit[f2[x], x -> 0, Direction -> 1]

Los límites laterales en x=0 coinciden. Calculamos  f(0) (usando f2).

f2[0]

Por tanto la función f es continua en x=0.

Estudio en x=1. Calculamos los límites laterales, a la izquierda usando f2 y a la derecha usando f3.

Limit[f2[x], x -> 1, Direction ->  -1]

Limit[f3[x], x -> 1, Direction -> 1]

Aunque el seno de un número siempre está entre -1 y 1, expresamos el límite por la izquierda numéricamente para que no quepa duda.

N[Limit[f2[x], x -> 1, Direction ->  -1]]

Por tanto, como los límites laterales en x=1 no coinciden,  f no es continua en x=1.

Concluimos que f es continua en todos los números reales salvo en x=1. Veamos gráficamente esto hecho dibujando la función completa en el intervalo [-2,3].

Plot[f[x], {x, -2, 3}]

O bien dibujando trozo a trozo y utilizando el comando Show.

\(graf1 = Plot[f1[x], {x, \(-2\), 0}]; 
graf2 = Plot[f2[x], {x, 0, 1}]; 
    
graf3 = Plot[f3[x], {x, 1, 3}]; \)

Show[graf1, graf2, graf3]

Ejemplo 12

Estudiemos la continuidad de la función  f  definida por

		f(x)=((x + a)/(1 + (e^(1/x)))),    si    x < 0,
f(0) = 1                                   f(x) = (Sqrt[b + (x^2)]),    si    x > 0, 

donde a ϵ ℝ y b > 0.

Es claro que sólo es necesario estudiar la continuidad en x=0.

*) La función  f  está definida en x=0 y su valor es igual a 1.

*) Definimos  f  de modo que sus límites laterales puedan ser calculados (sin problemas) con Mathematica.

\(Clear[a, b, f1, f2]; 
f1[x_] := \(x + a\)\/\(1 + Exp[1\/x]\)\)f2[x_] := Sqrt[b + x^2]

Como

Limit[f1[x], x -> 0, Direction -> 1]Limit[f2[x], x -> 0, Direction -> -1]

entonces los límites laterales existen. Además coinciden si y sólo si a = (Sqrt[b]). Así, la función tiene límite si y sólo si a = (Sqrt[b]). Por tanto, la función es continua si y sólo si a = (Sqrt[b]) = f(0) = 1. En definitiva, la función es continua si y sólo si  a = b = 1.

Representemos gráficamente la función cuando se cumple la condición que asegura la continuidad.

f[x_] := 
      Which[x <= 0, ((x + 1)/(1 + Exp[(1/x)])), x > 0, Sqrt[1 + x^2]]Plot[f[x], {x, -4, 2}];

Ejercicios

1.- Dibuja la curva  ((e^(3  x)) + log(5  π x) - 3  x)/((x^3) + 
                cos(x))  en el intervalo [0, 1].

2.- Considera las funciones  f(x)  =  (Sqrt[x ]) y g(x) = 1 - (x^2). Halla las funciones compuestas  fog  y  gof  y represéntalas en el intervalo [-2, 2]. ¿Puedes interpretar el mensaje de error que te indica en ambas gráficas? Ajusta el intervalo de representación de forma apropiada.

3.- Dibuja la siguiente curva en paramétricas: x = cos(5t) , y = sen(3t) con t en el intervalo [0, 2π].

4.- Calcula los límites de las funciones definidas por las siguientes expresiones en los valores que se indican.
      a)  (x^2-4)/(x-2) ,  si  x -> 2,
      b)  ((t+h) 2-2 t)/h ,  si  h -> 0,
      
      c)  ((x^128)/(e^x)),  si  x -> ∞,
      
      d)  ((x^128)/(e^x)),  si  x -> -∞ .

5.- Estudia la continuidad de la función  x log(|x|)  en  x = 0.

6.- Indica si la función f es continua en todos los número reales.
      f(x)=(e^(2 x)) - (e^4)           si   x<= 2 ,
f(x)=log((x^2)  - 3)    si   2<x<=4 , 
f(x)=((2  x  + 1)/((x^3) + 5  (x^2) + 1))        si   x>4 .

7.- Realiza el ejercicio II.13 de la relación de problemas del Tema 2 (Funciones reales de variable real).

8.- Dibuja, usando la orden Do, las gráficas de las funciones  sen(x+i (π/10))  en el intervalo [0, 2π], moviendo el contador  i  desde 0 hasta 20 de 2 en 2 unidades.

Apéndice: Gráficas predefinidas en Mathematica

Las gráficas de ciertas curvas y figuras geométricas conocidas (líneas, círculos, rectángulos, puntos, poligonales,etc) se pueden obtener fácilmente usando el comando Graphics para generarlas y el comando Show para verlas. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 13

Una recta que pasa por los puntos (1,1) y (2,3).

\(linea1 = Graphics[Line[{{1, 1}, {2, 3}}]]; 
Show[linea1]; \)

Ejemplo 14

Una circunferencia de centro (0,0) y radio 3.

\(Circunferencia = Graphics[Circle[{0, 0}, 3]]; 
Show[Circunferencia]\)

Como puedes observar, hemos obtenido una circunferencia bastante achatada. Eso se soluciona introduciendo el comando AspectRatio->1 dentro de Show.

Show[Circunferencia, AspectRatio -> 1]

Ejemplo 15

Un círculo se dibuja usando la orden Disk. ¡Cuidado con las traducciones: circunferencia es Circle y círculo es Disk! Pintemos el círculo de centro (0,0) y radio 3.

\(Circulo = Graphics[\ Disk[{0, 0}, 3]\ ]; 

    Show[Circulo, AspectRatio -> \ 1]\)

Cambiemos el color del círculo utilizando el comando RGBColor[*,*,*].

\(Circulo = Graphics[{RGBColor[0.1, 0.1, 0.5], Disk[{0, 0}, 3]}]; 

    Show[Circulo, AspectRatio -> \ 1]\)

Ejemplo 16

Un rectángulo de vértices opuestos (x,y), (z, w) se define con el comando Rectangle. En este ejemplo vamos a superponer un par de rectángulos.

\(a = Graphics[{RGBColor[0.5, 0, 0.5], Rectangle[{0, 0}, {7, 3}]}]; 

    b = Graphics[{RGBColor[0, 0.5, 0], Rectangle[{0, 0.8}, {7, 2.2}]}]; 

    Show[a, b]\)