3.8 Conservación de la energía y momento

Cuando dos o más partículas colisionan, intercambian sus energías y momentos, e incluso alguna de ellas puede desaparecer o transformarse en una o varias partículas distintas, o bien se pueden producir partículas adicionales. En estas reacciones se debe conservar la energía y el momento total del sistema.

Recordemos que la energía relativista de una partícula con velocidad v y masa m es

$$E= \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (22)

Se puede obtener una expresión más similar si suponemos que $v\ll c$ o bien $v/c \ll 1$. Entonces podemos tomar los primeros términos en el desarrollo de Taylor

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 -\frac{x}{2} + \cdots$$ (23)

y por tanto, para $x=-v^2/c^2$, se tiene

$$E \simeq mc^2\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right) = mc^2 +\frac12 mv^2 = mc^2 +T$$ (24)

donde

$$T=\frac12 mv^2 = \frac{p^2}{2m}$$ (25)

es la energía cinética clásica. La energía relativista de una partícula es, pues, la suma de su energía cinñetica y de su energía en reposo $E_0=mc^2$.

La relación (25) para la energía cinética es sólo válida para velocidades pequeñas. Es natural definir la energía cinética relativista como

$$T= E -mc^2 = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2$$ (26)

en donde hemos usado la relación energía-momento

$$E^2 = (pc)^2+(mc^2)^2$$ (27)

Una forma directa de saber si estamos en condiciones relativistas es comparando las cantidades $pc$ ó $T$ con $mc^2$:

• $pc,T \ll mc^2 \Longrightarrow$ partícula no relativista; se pueden emplear las expresiones clásicas.

• $pc,T \sim mc^2 \Longrightarrow$ partícula relativista; deben usarse las expresiones relativistas.

• $pc,T \gg mc^2 \Longrightarrow$ partícula ultra-relativista; se puede despreciar la energía en reposo $E\simeq pc$ (igual que los fotones)