PROBLEMA DE CAUCHY PARA LA CUERDA VIBRANTE DE LONGITUD INFINITA

En esta práctica  trataremos algunos aspectos relacionados con el problema de valores iniciales (o problema de Cauchy) para la cuerda vibrante de longitud infinita. Haremos un especial hincapié en  aquellos que se refieren al comportamiento asintótico de la solución respecto del tiempo (es decir, cómo se comporta la solución cuando el tiempo diverge a +∞). Los resultados teóricos que se mencionan se pueden ver en los apuntes de clase o bien en los libros: 
[TISA], A.N.Tijonov y A.A.Samarsky, Ecuaciones de la Física Matemática, Mir, 1980.
[WE], H. F. Weinberger, Curso de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Reverté, 1986.

Descripción teórica del problema de Cauchy

El  problema de Cauchy para la ecuación de ondas  tiene el planteamiento siguiente:
(Subscript[u, tt]) (x, t) -  (Subscript[u, xx]) (x, t)= f (x, t),x∈ℝ,t>0   (ecuación de ondas )
           u (x, 0) =  a (x),   x∈ ℝ, (posición inicial)                      (1)
        (Subscript[u, t])(x, 0)= b (x),   x∈ℝ, (velocidad inicial )
Como se ha demostrado en clase, \(el\ problema\ \((1)\)\ tiene\ una\ única\ solución\ \((fórmula\ de\ D' Alembert\ )\)\ dada\ por\)
\(u \((x, t)\)\  = \ 
        0.5[a \((x + t)\) + a \((x - t)\)]\  + \ 
          0.5\ \(∫\_\(x - t\)\%\(x + t\)b \((s)\) ds\) + 
          0.5 \(∫\_0\%t\(∫\_\(x - t + s\)\%\(x + t - s\)f \((y, s)\) dyds\)\)\)
Recordemos que en el caso en que la función f es idénticamente cero la solución anterior se obtiene como superposición de dos ondas, v (x, t) y  w (x, 
              t) definidas respectivamente por las fórmulas 
\(v \((x, t)\)\  = \ 
        0.5[a \((x + t)\)]\  + \ 
          0.5\ \(∫\_0\%\(x + t\)b \((s)\) ds\ \ \ \ \ \ \ \ \((2)\)\)\)
\(w \((x, t)\)\  = \ 
        0.5[a \((x - t)\)]\  - \ 
          0.5\ \(∫\_0\%\(x - t\)b \((s)\) ds\ \ \ \ \ \ \ \ \ \((3)\)\)\)
\(La\ primera\ es\ una\ onda\ que\ se\ desplaza\ hacia\ la\ izquierda\ con\ \ velocidad\ 1\ y\ la\ segunda\ una\ onda\ que\ se\ desplaza\ hacia\ la\ derecha\ con\ velocidad\ 1. \)

Tarea a realizar: se trata de visualizar la solución de (1) (y también las funciones (2) y (3)) para diferentes funciones f, a y b. Para ello se representarán gráficamente las funciones u(x,t), v(x,t) y w(x,t) para diferentes valores crecientes del tiempo t, comenzando por t = 0 (notemos que para t fijo, lo que nos queda es una función de la variable x). Finalmente el alumno debe obtener las conclusiones que considere adecuadas. Se recomienda usar el comando "For", donde se va incrementando el tiempo t. También es muy conveniente hacer uso del comando "PlotRange" para que en todos los tiempos "t" la gráfica resulte con la misma escala. Con un doble "click" sobre cualquier gráfica debemos obtener una película en la que la cuerda (dada por la función u) deberá vibrar (la sensación de vibración aumentará si f es idénticamente cero, es decir, en el caso de ausencia de fuerza externa). También se ve claramente como las ondas v y w se desplazan, respectivamente, a la izquierda y a la derecha. Al superponer ambas gráficas se obtiene la solución u. 

Se sugieren los ejemplos siguientes (aunque es conveniente que el alumno considere, además, otros casos):

Ejemplo 1. f(x,y) = 0, a(x) = sen(x), b(x) = 0. 
Ejemplo 2. f(x,y) = 0, a(x) = sen(x),  en el intervalo [0,π ] e idénticamente cero fuera de este intervalo, b(x) = 0. 
Ejemplo 3. f(x,y) = 0, a(x) = sen(x), b(x) =  (x^2). 
Ejemplo 4. f(x,y) = sen(x), a(x) = 0, b(x) = 0. 
Ejemplo 5. f(x,y) = (e^x) y, a(x) = 0 , b(x) =0. 

Elabora tus propias conclusiones sobre cada ejemplo de los que se presentan a continuación, destacando los fenómenos que observas en cada uno, así como las diferencias (si es que las hay) respecto de los demás. Los comentarios deben ocupar un máximo de cinco líneas por ejemplo. 
Debes contestar, además, a las preguntas siguientes:
P.1. ¿En qué ejemplos aprecias el método de propagación de las ondas?
P.2. ¿ En qué ejemplos observas que la solución no está acotada? Especifica la causa de este fenómeno.
P.3. ¿En qué ejemplos aprecias que los efectos de las perturbaciones no se producen de manera instantánea?.

Ejemplo 1

Clear["Global`*"];
f[x_, y_] = 0;
b[x_] = 0 ;  
a[x_] = Sin[x];

u[x_, t_] = 
        0.5 (a[x + t] + a[x - t]) + 
          0.5 (∫_(x - t)^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s + 
          0.5 (∫_0^t)((∫_(x - t + s)^(x + t - s))f[y, s] \[DifferentialD]y) \[DifferentialD]s;

v[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t]) + 
        0.5 (∫_0^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s

w[x_, t_] = 
      0.5 (a[x - t]) - 
        0.5 (∫_0^(x - t))b[s] \[DifferentialD]s

u[x_, t_]

For[
        t = 0, t < 10, t = t + 0.1, 
        Plot[u[x, t], {x, -5, 5}, 
          PlotRange -> {-2, 2}]];

For[t = 0, t < 10, t = t + 0.1, 
      Plot[v[x, t], {x, -5, 5}, 
        PlotRange -> {-2, 2}]]

For[t = 0, t < 10, t = t + 0.1, 
      Plot[w[x, t], {x, -5, 5}, 
        PlotRange -> {-2, 2}]]

Ejemplo 2.

Clear["Global`*"]
a[x_] := 0 /; x<0 
a[x_] := 
      Sin[x]  /; 0 ≤ x ≤ Pi
a[x_] :=  0 /; Pi < x
b[x_] =  0;
f[x_, y_]  =  0

u[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t] + a[x - t]) + 
        0.5 (∫_(x - t)^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s + 
        0.5 (∫_0^t)((∫_(x - t + s)^(x + t - s))f[
                      y, s] \[DifferentialD]y) \[DifferentialD]s

v[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t]) + 
        0.5 (∫_0^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s

w[x_, t_] = 
      0.5 (a[x - t]) - 
        0.5 (∫_0^(x - t))b[s] \[DifferentialD]s

\(\(\( (*\ 
      Representamos\ graficamente\ *) \)\(
\)\(For[t = 0, t < 10, 
        t = t + 0.1, 
        Plot[u[x, t], {x, \(-5\), 5}, 
          PlotRange -> {\(-1.5\), 1.5}]];\)\)\)

For[t = 0, t < 10, t = t + 0.1, 
      Plot[v[x, t], {x, -5, 5}, 
        PlotRange -> {-1.5, 1.5}]]

For[t = 0, t < 10, t = t + 0.1, 
      Plot[w[x, t], {x, -5, 5}, 
        PlotRange -> {-1.5, 1.5}]]

Ejemplo 3.

Clear["Global`*"];
f[x_, y_] = 0;
b[x_] = x^2 ;  
a[x_] = Sin[x];

u[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t] + a[x - t]) + 
        0.5 (∫_(x - t)^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s + 
        0.5 (∫_0^t)((∫_(x - t + s)^(x + t - s))f[
                      y, s] \[DifferentialD]y) \[DifferentialD]s

u[x_, t_]

\(\(\( (*\ 
      Representamos\ graficamente\ *) \)\(
\)\(For[t = 0, t < 10, 
        t = t + 0.1, 
        Plot[u[x, t], {x, \(-5\), 5}, 
          PlotRange -> {\(-15\), 15}]];\)\)\)

Ejemplo 4.

Clear["Global`*"];
f[x_, y_] = Sin[x];
b[x_] = 0 ;  
a[x_] = 0;

u[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t] + a[x - t]) + 
        0.5 (∫_(x - t)^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s + 
        0.5 (∫_0^t)((∫_(x - t + s)^(x + t - s))f[
                      y, s] \[DifferentialD]y) \[DifferentialD]s

\(\(\( (*\ 
      Representamos\ graficamente\ *) \)\(
\)\(For[t = 0, t < 10, 
        t = t + 0.1, 
        Plot[u[x, t], {x, \(-5\), 5}, 
          PlotRange -> {\(-5\), 5}]];\)\)\)

Ejemplo 5.

Clear["Global`*"];
f[x_, y_] = Exp[x] y;
b[x_] = 0 ;  
a[x_] = 0;

u[x_, t_] = 
      0.5 (a[x + t] + a[x - t]) + 
        0.5 (∫_(x - t)^(x + t))b[s] \[DifferentialD]s + 
        0.5 (∫_0^t)((∫_(x - t + s)^(x + t - s))f[
                      y, s] \[DifferentialD]y) \[DifferentialD]s

\(\(\( (*\ 
      Representamos\ graficamente\ *) \)\(
\)\(For[t = 0, t < 10, 
        t = t + 0.1, 
        Plot[u[x, t], {x, \(-5\), 5}, 
          PlotRange -> {\(-20\), 200}]];\)\)\)