Guía docente de Variable Compleja II (27011B4)

Para un correcto seguimiento de la materia se recomienda haber cursado las asignaturas de la materia básica Matemáticas y las materias del módulo obligatorio Análisis Matemático

• Representación conforme.
• Teorema de Riemann.
• Funciones armónicas, problema de Dirichlet y otras aplicaciones del análisis complejo.

• Capacidad de abstracción para el estudio de problemas típicos del Análisis Matemático.
• Familiaridad con los espacios de funciones analíticas y sus propiedades.
• Conocimiento profundo de algunos teoremas clásicos y fundamentales del Análisis Matemático.
• Saber utilizar algunos métodos importantes del Análisis Matemático para la resolución de problemas prácticos (aproximación , optimización, representación conforme, problema de tipo Dirichlet y otros problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales).
• Preparación para estudios posteriores tanto en Análisis Matemático como en otras ramas de la Matemática. Esta materia es muy útil para una posterior iniciación a la investigación en Matemáticas.

• Capítulo 1. Isomorfismos conformes.
  • Tema 1. Interpretación geométrica de la derivada compleja. Isomorfismos conformes. La esfera de Riemann.
  • Tema 2. Isomorfismos conformes elementales. Transformaciones de Möbius.
  • Tema 3. Lema de Schwarz y automorfismos conformes del disco unidad.
• Capítulo 2. Funciones armónicas.
  • Tema 4. Funciones armónicas y relación con las funciones holomorfas.
  • Tema 5. Funciones subarmónicas y principios de extremo.
  • Tema 6. El problema de Dirichlet. Fórmula integral de Poisson.
  • Tema 7. Principio de reflexión de Schwarz.
• Capítulo 3. Ceros de las funciones holomorfas.
  • Tema 8. Principio del argumento.
  • Tema 9. Teoremas de Rouché y Hurwitz.
  • Tema 10. Fórmula de Jensen.
• Capítulo 4. Familias normales de funciones holomorfas.
  • Tema 11. Topología de la convergencia uniforme sobre compactos.
  • Tema 12. Teoremas de Montel y Vitali.
• Capítulo 5. Teorema de Riemann de representación conforme.
  • Tema 13. Dominios simplemente conexos.Teorema de Riemann de representación conforme.
  • Tema 14. Comportamiento de los isomorfismos en la frontera. Teorema de Carathéodory.
  • Tema 15. Aproximación por funciones racionales. Teorema de Runge.
  • Tema 16. Caracterizaciones de los dominios simplemente conexos.
• Capítulo 6. Factorización.
  • Tema 17. Productos infinitos.
  • Tema 18. Teorema de factorización de Weierstrass.
  • Tema 19. La función Gamma.

Las prácticas de esta asignatura consisten en la resolución de ejercicios y problemas relacionados con los contenidos teóricos antes expuestos. El temario es el mismo.

• Conway, J. B., Functions of one complex variable I. Springer-Verlag, 1973.
• Gamelin, T. W., Complex analysis. Springer, 2001.
• Remmert, R., Classical topics in complex function theory. Springer, 1998.
• Rudin, W., Real and complex analysis. McGraw-Hill, 1970.
• Stein, E. M., Shakarchi, R., Complex analysis. Princeton University Press, 2003.

• Burckell, R., An introduction to classical complex analysis. Birkhauser-Verlag, 1979.
• Conway, J. B., Functions of one complex variable II. Springer-Verlag, 1995.

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

Se seguirá un método de evaluación continua que consistirá en la realización de dos pruebas parciales y un examen final. La asistencia a clase es voluntaria. Las pruebas parciales serán escritas y consistirán en la resolución de ejercicios sobre los contenidos objeto de evaluación. Cada una de estas dos pruebas aportará un 20% de la calificación total. Para la valoración global de los conocimientos asimilados y de las competencias adquiridas por los estudiantes, se realizará un examen final en la fecha establecida oficialmente para ello. Este examen será escrito, de carácter teórico y práctico, y comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación de este examen representará el 60% de la calificación total. La calificación final se expresará numéricamente como resultado de la ponderación indicada.

Se realizará un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, y específico para esta modalidad de evaluación, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.