Guía docente de Variable Compleja II (27011B4)

Curso 2022/2023
Fecha de aprobación: 24/05/2022

Grado

Grado en Matemáticas

Rama

Ciencias

Módulo

Complementos de Análisis Matemático

Materia

Variable Compleja II

Curso

4

Semestre

2

Créditos

6

Tipo

Optativa

Profesorado

Teórico

Armando Reyes Villena Muñoz. Grupo: A

Tutorías

Armando Reyes Villena Muñoz

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  • Primer semestre
    • Lunes de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Martes de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Miércoles de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Jueves de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
  • Segundo semestre
    • Lunes de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Martes de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Miércoles de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)
    • Jueves de 09:30 a 11:00 (Facultad de Ciencias)

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Para un correcto seguimiento de la materia se recomienda haber cursado las asignaturas de la materia básica Matemáticas y las materias del módulo obligatorio Análisis Matemático

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Grado)

  • Representación conforme.
  • Teorema de Riemann.
  • Funciones armónicas, problema de Dirichlet y otras aplicaciones del análisis complejo.

Competencias

General competences

  • CG01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de las distintas materias que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en esta propuesta de título de Grado en Matemáticas 
  • CG02. Saber aplicar esos conocimientos básicos y matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las Matemáticas y de los ámbitos en que se aplican directamente 
  • CG04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado 
  • CG05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía 
  • CG06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos 

Competencias Específicas

  • CE01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad de enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos 
  • CE02. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas clásicos en distintas áreas de Matemáticas 
  • CE03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos 
  • CE04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) y distinguirlas de aquellas puramente accidentales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos 
  • CE05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos 

Competencias Transversales

  • CT01. Desarrollar cierta habilidad inicial de "emprendimiento" que facilite a los titulados, en el futuro, el autoempleo mediante la creación de empresas 
  • CT02. Fomentar y garantizar el respeto a los Derechos Humanos y a los principios de accesibilidad universal, igualdad ante la ley, no discriminación y a los valores democráticos y de la cultura de la paz 

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

  • Capacidad de abstracción para el estudio de problemas típicos del Análisis Matemático.
  • Familiaridad con los espacios de funciones analíticas y sus propiedades.
  • Conocimiento profundo de algunos teoremas clásicos y fundamentales del Análisis Matemático.
  • Saber utilizar algunos métodos importantes del Análisis Matemático para la resolución de problemas prácticos (aproximación , optimización, representación conforme, problema de tipo Dirichlet y otros problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales).
  • Preparación para estudios posteriores tanto en Análisis Matemático como en otras ramas de la Matemática. Esta materia es muy útil para una posterior iniciación a la investigación en Matemáticas.

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

 

  • Capítulo 1. Isomorfismos conformes.
    • Tema 1. Interpretación geométrica de la derivada compleja. Isomorfismos conformes. La esfera de Riemann.
    • Tema 2. Isomorfismos conformes elementales. Transformaciones de Möbius.
    • Tema 3. Lema de Schwarz y automorfismos conformes del disco unidad.
  • Capítulo 2. Funciones armónicas.
    • Tema 4. Funciones armónicas y relación con las funciones holomorfas.
    • Tema 5. Funciones subarmónicas y principios de extremo.
    • Tema 6. El problema de Dirichlet. Fórmula integral de Poisson.
    • Tema 7. Principio de reflexión de Schwarz.
  • Capítulo 3. Ceros de las funciones holomorfas.
    • Tema 8. Principio del argumento.
    • Tema 9. Teoremas de Rouché y Hurwitz.
    • Tema 10. Fórmula de Jensen.
  • Capítulo 4. Familias normales de funciones holomorfas.
    • Tema 11. Topología de la convergencia uniforme sobre compactos.
    • Tema 12. Teorema de Arzelà-Ascoli.
    • Tema 13. Teoremas de Montel y Vitali.
  • Capítulo 5. Teorema de Riemann de representación conforme.
    • Tema 14. Versiones homotópicas del teorema de Cauchy. Dominios simplemente conexos.
    • Tema 15. Teorema de Riemann de representación conforme.
    • Tema 16. Comportamiento de los isomorfismos en la frontera. Teorema de Carathéodory.
    • Tema 17. Aproximación por funciones racionales. Teorema de Runge.
    • Tema 18. Caracterizaciones de los dominios simplemente conexos.
  • Capítulo 6. Factorización.
    • Tema 19. Productos infinitos.
    • Tema 20. Teorema de factorización de Weierstrass.
    • Tema 21. La función Gamma.

Práctico

Las prácticas de esta asignatura consisten en la resolución de ejercicios y problemas relacionados con los contenidos teóricos antes expuestos. El temario es el mismo.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

  • Conway, J. B., Functions of one complex variable I. Springer-Verlag, 1973.
  • Gamelin, T. W., Complex analysis. Springer, 2001.
  • Remmert, R., Classical topics in complex function theory. Springer, 1998.
  • Rudin, W., Real and complex analysis. McGraw-Hill, 1970.
  • Stein, E. M., Shakarchi, R., Complex analysis. Princeton University Press, 2003.

Bibliografía complementaria

  • Burckell, R., An introduction to classical complex analysis. Birkhauser-Verlag, 1979.
  • Conway, J. B., Functions of one complex variable II. Springer-Verlag, 1995.

Enlaces recomendados

Metodología docente

  • MD01. Lección magistral/expositiva 
  • MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
  • MD06. Análisis de fuentes y documentos 
  • MD07. Realización de trabajos en grupo 
  • MD08. Realización de trabajos individuales 

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final)

Evaluación Ordinaria

Se seguirá un método de evaluación continua que consistirá en la realización de dos pruebas parciales y un examen final. La asistencia a clase es voluntaria. Las pruebas parciales serán escritas y consistirán en la resolución de ejercicios sobre los contenidos objeto de evaluación. Cada una de estas dos pruebas aportará un 30% de la calificación total. Para la valoración global de los conocimientos asimilados y de las competencias adquiridas por los estudiantes, se realizará un examen final en la fecha establecida oficialmente para ello. Este examen será escrito, de carácter teórico y práctico, y comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación de este examen representará el 40% de la calificación total. La calificación final se expresará numéricamente como resultado de la ponderación indicada.

Evaluación Extraordinaria

Se realizará un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

Evaluación única final

Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un único examen escrito, de carácter teórico y práctico, y específico para esta modalidad de evaluación, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.