Course guide of Partial Differential Equations (27011B2)

Curso 2022/2023
Approval date: 01/07/2022

Grado (bachelor's degree)

Bachelor'S Degree in Mathematics

Branch

Sciences

Module

Complementos de Análisis Matemático

Subject

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Year of study

4

Semester

2

ECTS Credits

6

Course type

Elective course

Teaching staff

Theory

David Ruiz Aguilar. Grupo: B

Timetable for tutorials

David Ruiz Aguilar

Ver email
  • First semester
    • Monday de 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
    • Tuesday de 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
    • Wednesday de 11:00 a 13:00 (Facultad de Ciencias)
  • Second semester
    • Monday de 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Wednesday de 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)
    • Thursday de 12:00 a 14:00 (Facultad de Ciencias)

Prerequisites of recommendations

It is convenient to have followed the courses of the basic matter Mathematics and the matters of Mathematical Analysis.

Brief description of content (According to official validation report)

 

  • Classical PDEs of Physics, methods for solving initial value problems, boundary value problems and mixed problems for elliptic, hyperbolic and parabolic equations.

General and specific competences

General competences

  • CG01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de las distintas materias que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en esta propuesta de título de Grado en Matemáticas 
  • CG02. Saber aplicar esos conocimientos básicos y matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las Matemáticas y de los ámbitos en que se aplican directamente 
  • CG04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado 
  • CG05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía 
  • CG06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos 

Specific competences

  • CE01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad de enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos 
  • CE02. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas clásicos en distintas áreas de Matemáticas 
  • CE03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos 
  • CE04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) y distinguirlas de aquellas puramente accidentales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos 
  • CE05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos 

Transversal competences

  • CT01. Desarrollar cierta habilidad inicial de "emprendimiento" que facilite a los titulados, en el futuro, el autoempleo mediante la creación de empresas 
  • CT02. Fomentar y garantizar el respeto a los Derechos Humanos y a los principios de accesibilidad universal, igualdad ante la ley, no discriminación y a los valores democráticos y de la cultura de la paz 

Objectives (Expressed as expected learning outcomes)

  1. The learning of the origin of the PDEs, including a historic perspective of the problems that motivated their study. 
  2. A deep understanding of the techniques of the proofs in this course, as well as their main applications. 
  3. To be able to distinguish the distinct types of PDEs (parabolic, hyperbolic and elliptic) as well as the different type of problems associated to them (initial value problems, boundary value problems, mixed problems).
  4. To get familiar with the main applications of PDEs in different fields of Science, mostly in Physics and Engineering. 
  5. To get ready for later studies (i.e., Master studies) in Mathematical Analysis and other branches of mathematics, including research in mathematics.

Detailed syllabus

Theory

Chapter I. Introduction and motivation

  • The origin of the PDEs and their relations with problems in Physics.
  • Diffusion and waves. Cauchy problems, boundary value problems, mixed problems.

Chapter II. Quasilinear equations of first order.

  • The characteristic system. 
  • Cauchy problems, the method of characteristics.

Chapter III. The wave equation.

  • The initial value problem and D’Alembert formula. Propagation of waves.
  • Fourier Series and mixed problems.
  • The wave equation in higher dimensions.

Chapeter IV. The heat equation

  • The initial value problem.
  • Qualitative properties: regularization, irreversibility.
  • The maximum principle
  • Fourier Series and mixed problems.

Chapter V. Laplace and Poisson equations.

  • Laplace equation, harmonic functions.
  • The Newtonian potential.
  • Mean inequalities and maximum principle.
  • Liouville Theorem.
  • Fourier Series and the Dirichlet problem.
  • Poisson equation.

Bibliography

Basic reading list

  • Cañada, A. Series de Fourier y Aplicaciones. Ediciones Pirámide, Madrid, 2002.
  • Peral, I.: Primer curso de Ecuaciones en derivadas parciales. Addison-Wesley, 1995. La 2ª edición, de 2004, está disponible (libre) en http://matematicas.uam.es/~ireneo.peral/libro.pdf
  • Evans, L. C.: Partial Differential Equations, AMS, 2002.

Complementary reading

  • Budak, B.M.; Samarski, A.A. y Tijonov, A.N.: Problemas de la Física Matemática. Volúmenes I y II. Mir, 1984.
  • Gilbarg, D. y Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1983.
  • Strauss W.A: Partial differential equations an introduction. New York: John Wiley and Sons, 2008.
  • Tijonov, A.N. y Samarsky, A.A. Ecuaciones de la Física Matemática. Mir, 1980.

Teaching methods

  • MD01. Lección magistral/expositiva 
  • MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
  • MD06. Análisis de fuentes y documentos 
  • MD07. Realización de trabajos en grupo 
  • MD08. Realización de trabajos individuales 

Assessment methods (Instruments, criteria and percentages)

Ordinary assessment session

The assessment of the course will be expressed via a numeric mark as follows:

  •  40% of the mark will be obtained via several activities proposed by the lecturer, including:
    - Active participation in the lectures and in tutorials.
    - Exercises and their presentation, which will be made individually or in groups.
    - Written evaluation exercises.
  •  60% of the mark will be obtained via a Final Exam.

Extraordinary assessment session

It is based on a unique Final Exam containing theoretical and practical questions. 

Single final assessment

It is based on a unique Final Exam containing theoretical and practical questions.