Matemáticas con Mathematica

Práctica 7. Derivadas e integrales

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Introducción

Lo que debes aprender en este cuaderno es lo que sigue.
Representar gráficamente rectas tangentes y normales a la gráfica de una función.
Calcular y evaluar derivadas de cualquier orden de una función.
Calcular polinomios de Taylor y representarlos gráficamente para aproximar una función.
Usar los comandos Integrate[ ] y NIntegrate[ ] con opciones apropiadas para calcular integrales de funciones de una variable.
Calcular áreas de recintos en el plano limitados por varias curvas.
Calcular longitudes de curvas.
Calcular volúmenes de cuerpos de revolución por el método de los discos o arandelas y de los tubos.
Calcular áreas de superficies de revolución.

Derivada de una función. Observaciones sobre la definición de derivadas

Es muy fácil representar las derivadas de primero, segundo y tercer orden de una función de una variable. Mathematica lo hace igual que tú. Compruébalo.

f[x_] := x^4  + Sin[x^2]f'[x]   f''[x]f'''[x]

Por tanto, definida una función f[x] de una variable Mathematica sabe derivarla y no necesitas definir aparte su derivada f '[x]. Para derivadas de orden mayor que tres se usa el comando "D[f[x],{x,n}]" (que también se puede escribir \(TraditionalForm\`∂\_{1, n}f\)) que proporciona la derivada n-ésima. Hay una sutileza que debes tener en cuenta al definir derivadas. El siguiente ejemplo la pone de manifiesto.

f[x_] := x^2*Tan[x]h[x_] := D[f[x], {x, 5}]h[3]

¿Entiendes lo que pasa? Veamos.

FullForm[h[3]]

Ahora ya debes saber lo que está pasando. Al definir h[x] con una igualdad diferida (:=) lo que Mathematica ha almacenado como definición de h[x] no es la derivada quinta de (x^2)Tan[x] sino el comando "D[f[x], {x, 5}]"  pero dicho comando no se ha ejecutado pues se trata de una asignación diferida por lo que dicho comando se ejecuta después de que se llama a la función h[x]. Por eso cuando escribes h[3] lo que estás diciendo a Mathematica es que derive f[3] respecto a la variable 3 cinco veces y, claro está, 3 no es una variable válida para derivar. Naturalmente, esto se arregla definiendo h[x] con la asignación inmediata (=).

Clear[h]\(h[x_] = D[f[x], {x, 5}]; 
h[3]\)

La diferencia está en que ahora Mathematica ejecuta inmediatamente el comando D[f[x], {x, 5}] y su resultado lo asigna a h[x].

Rectas tangentes y secantes a una curva

La recta que pasa por dos puntos (a, c) y (b, d) con a ≠ b, tiene como ecuación cartesiana y = ((c - d)/(a - b)) 
            x + ((a d - b c)/(a - b)). Definimos el comando siguiente:

recta[{a_, c_}, {b_, d_}][x_] := 
      ((c - d)/(a - b))*x + ((a*d - b*c)/(a - b)) /; 
        a ≠ b

La tangente a la gráfica de una función f en un punto (a, f(a)) es la recta de ecuación y - f(a) = f ' (a) (x - a). Definimos el comando siguiente:

tangente[f_, a_][x_] := f[a] + f'[a]*(x - a)

f[x_] := (x - 2)^2tangente[f, 1][x]

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

\(SelectionMove[EvaluationNotebook[], All, GeneratedCell]; 

    FrontEndTokenExecute["CellGroup"]\)FrontEndTokenExecute["OpenCloseGroup"]

Ejercicio 4

Cocientes incrementales

Podemos aproximar la derivada de una función por los cocientes incrementales.

cocienteinc[f_, h_][x_] := ((f[x + h] - f[x])/h)

Ejercicio 5

Máximos y mínimos relativos

En esta sección vamos a aprender a localizar extremos relativos de una función f. Para ello calcularemos los puntos críticos de la función que, como sabes, son las soluciones de la ecuación: f '(x)=0. A veces podemos calcular dichas soluciones de forma exacta con Solve[ ], pero lo más usual es calcularlas de forma aproximada con NSolve[ ] o FindRoot[ ].

Ejemplo 1

Comencemos calculando los extremos relativos de la función polinómica f(x)=(x^5) + (x^4) - 11  (x^3) - 9  (x^2) + 18  x + 10 .

Clear[f]\(f[x_] = x^5 + x^4 - 11  x^3 - 9  x^2 + 18  x + 10; 

    Plot[f[x], {x, \(-4\), 4}]; \)

A simple vista observamos que hay:
a) un máximo relativo entre -3 y -2,
b) un mínimo relativo entre -2 y -1,
c) un máximo relativo entre 0 y 1,
d) un mínimo relativo entre 2 y 3.
En cualquier caso, y dada la simplicicidad de esta función (polinómica de grado no muy alto), es posible calcular directamente los ceros de la función derivada con el comando NSolve (prueba con Solve y entederás por qué).

NSolve[f'[x] == 0, x]pcrit = x /. %

Como vemos, aparecen cuatro soluciones que se corresponden con los extremos que habíamos localizado a simple vista. Usando la derivada segunda podemos comprobar que efectivamente dichos puntos son extremos relativos.

Map[f'', pcrit]

Podemos pedirle a Mathematica que muestre en pantalla la información obtenida. Para ello definimos una función que selecciona extremos relativos.

seleccionaextremos[func_][x_] := 
      Which[func''[x] > 0, 
        Print["x=", x,  " es un mínimo relativo."], 
        func''[x] < 0, 
        Print["x=", x,  " es un máximo relativo."], 
        func''[x] == 0, 
        Print["El criterio de la derivada segunda no permite clasificar el \
punto crítico x= ", x]]

Las variables de la función "seleccionaextremos[func][x]" que acabamos de definir son una función "func", que debemos tener definida previamente, y un valor numérico "x" en el que puede ser evaluada "func".

Map[seleccionaextremos[f], pcrit];

Ejemplo 2

No todas  las funciones permiten calcular de un modo simple las soluciones de la ecuación f '(x)=0. Por ejemplo, consideremos ahora la función f(x)=sen(x)+(e^x) en el intervalo [-7,0] .

Clear[f]\(f[x_] = \ Sin[x] + Exp[x]; 
Plot[f[x], {x, \(-7\), 0}]; \)

De nuevo, a simple vista se observa que hay un máximo relativo cerca de -5, y un mínimo relativo cerca de -2. Sin embargo, ahora no funciona satisfactoriamente el comando NSolve (inténtalo). Optaremos por utilizar el comando FindRoot para encontrar los posibles puntos críticos de la función f. Recordemos que en este comando es necesario introducir una "primera aproximación" de la solución. En este caso concreto, y dada la información que hemos obtenido de la gráfica, probaremos a iniciar el método desde -5 y también desde -2.

{FindRoot[f'[x], {x, -5}], FindRoot[f'[x], {x, -2}]}

El programa nos da entonces una buena aproximación de los puntos donde la función alcanza los extremos observados.

Ejemplo 3

A continuación veremos un caso en el que la representación gráfica puede llevar a engaño. Descubriremos el error gracias al "test de la segunda derivada". Sea f(x)=\(TraditionalForm
      \`x\^2 - 10  x - 40 + 1\/\(10  x\^2 - 100  x + 251\)\)  y representémosla en el intervalo [-15,15].

Clear[f]\(f[x_] = \ x^2 - 10  x - 40 + 1\/\(10  x^2 - 100  x + 251\); 

    Plot[f[x], {x, \(-15\), 15}]; \)

A la vista de la gráfica anterior parece que en x=5 hay un mínimo de la función f. Calculemos los puntos críticos de la función y evaluemos en ellos la derivada segunda.

\(NSolve[\(f'\)[x] == 0, x]
\)\(pcrit = x /. %\  (*hay\ dos\ soluciones\ imaginarias*) 
\)\(reales[x_] := Im[x] == 0; 


    pcrit = Select[%, reales] (*
      seleccionamos\ los\ puntos\ críticos\ reales*) 
\)Map[seleccionaextremos[f], pcrit];

¡Sorpresa!, en x=5 hay un máximo relativo. Sería  conveniente, entonces, ver "más de cerca" lo que ocurre en x=5. Para ello basta representar la gráfica en un intervalo adecuado.

Plot[f[x], {x, 4, 6}];

Ejemplo 4

Se desa construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal blanco en la parte rectangular y cristal de color en el semicírculo. Sabiendo que el cristal coloreado deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie) que el blanco, calcular las dimensiones para conseguir la máxima luminosidad si se ha de mantener el perímetro constante dado.

Llamemos x a la longitud de la base de la ventana y h a su altura. El perímetro es  una cantidad dada A; es decir x+2 h+((π x)/2) = A. Despejamos h en función de x.

Clear[h, f]

Solve[x + 2  h + ((Pi x)/2) == A, h]

La luminosidad viene dada por.

\(\(f[x_] = 2\ x\ h + \ Pi\ \ \ x^2\/8; 
    \)
 (*sustituimos\ ahora\ el\ valor\ de\ h\ obtenido\ antes*) ; 

    f[x_] = f[x] /. %\)

Observa que hemos obtenido una lista. Pero nosotros queremos una función que tome valores numéricos. Para ello debemos quitar el símbolo de lista.

f[x_] = f[x][[1]]

Finalmente, simplficamos.

\(f[x_] = Simplify[%]; 
f[x]\)

Calculamos los puntos críticos:

x /. Solve[f'[x] == 0, x]

Observa que la función f es un polinomio de grado dos que representa una parábola y, como el coeficiente de (x^2) es negativo, dicha función tiene un máximo absoluto en el punto donde se anula su derivada.

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Polinomios de Taylor

Recuerda que el polinomio de Taylor de orden n de una función f en un punto a es la función polinómica

T(f, a, n) (x)=f(a)+(∑_(k = 1)^n)(( (f^((k)))(a))/(k!)) 
                      (((x - a))^k).

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Cálculo de integrales

Dada una partición P = {(Subscript[x, 0]) = a,  (Subscript[x, 1]),  (Subscript[x, 2]),  ... ,  
          (Subscript[x, n - 1]), (Subscript[x, n]) = b} del intervalo  [a, b], y un punto (Subscript[t, k]) ∈ [(Subscript[x, k - 1]), (Subscript[x, k])] en cada uno de los intervalos de la misma, el número  (∑_(k = 1)^n) f(
            (Subscript[t, k])) ((Subscript[x, k]) - (Subscript[x, k - 1]))  se llama una suma de Riemann de f  para la partición P.

Ejercicio 10

Los comandos básicos que se usan para calcular integrales son "Integrate[ ]" para hacer cálculos simbólicos y "Nintegrate[ ]" para calcular una aproximación numérica de una integral. Estos comando tienen varias opciones que vamos a ver a continuación.

Integrate[x*Sin[x], x]

Integrate[(x^2)* Exp[x], {x, π/2, π}]

Para calcular una integral definida que depende de un parámetro puedes informar a Mathematica de las carcaterísticas de dicho parámetro. Si no lo haces Mathematica intentará dar una respuesta válida imponiendo, si es necesario, algunas restricciones al parámetro. Cuando se calculan primitivas Mathematica no se preocupa de valores particulares de los parámetros. Fíjate bien en las respuestas a los siguientes comandos.

Integrate[Exp[-a*x], x]Integrate[Exp[-a*x], {x, 0, ∞}]Integrate[Exp[-a*x], {x, 0, ∞}, Assumptions -> a > 0]

En la primera Mathematica se ha limitado a calcular una primitiva. En la segunda dice que si el parámetro a tiene parte real positiva (quizás debas saber que para Mathematica todas las variables son por defecto variables complejas) la integral vale 1/a. En la tercera nos da el valor de la integral cuando a > 0.

NIntegrate[Exp[x^3], {x, 0, 1}]

A veces el comando "NIntegrate[ ]" necesita ayuda. Aquí tienes un ejemplo de esto.

NIntegrate[(1/x)* Sin[1/x], {x,  .004, 1}]

Mathematica te informa de que el resultado no es fiable. En este caso es debido a que la función oscila demasiado. Cuando esto ocurre podemos intentar aumentar el número de iteraciones con la opción "MaxRecursion", la precisión de los cálculos con la opción "WorkingPrecision" o bien usar otras opciones (que debes consultar en la ayuda de Mathematica).

NIntegrate[(1/x)*Sin[1/x], {x,  .004, 1}, MaxRecursion -> 20, 
      WorkingPrecision -> 30]

Ejercicio 11

Cálculo de áreas planas

El área comprendida entre dos curvas de ecuaciones y = f(x),  y = g(x) y las rectas x = a,  x = b viene dada por (∫_a^b)|f(x) - 
            g(x)|dx. Cuando no nos dicen explítamente el intervalo de integración se entiende que debemos determinarlo calculando los puntos donde se cortan las curvas. Para calcular la integral (∫_a^b)|f(x) - 
            g(x)|dx hay que partir el intervalo [a, b] en intervalos en los que la función f(x) - g(x) tenga signo constante para poder quitar el valor absoluto. Una representación gráfica puede ser muy útil.

Ejemplo 1

Calcular el área de la region Ω del plano comprendida entre la parábola y = -(x^2) - 2  x + 10 y la recta y = 2  x - 1.
Calculamos primero las intersecciones de la parábola con la recta lo que nos proporcionará los límites de integración.

x /. Solve[2  x - 1 == -(x^2) - 2  x + 10, x]

Representaremos ahora la región Ω. Puedes usar para ello la orden "Plot" o mejor el comando "FilledPlot".

<< Graphics`FilledPlot`

FilledPlot[{-(x^2) - 2  x + 10, 2  x - 1}, {x, -7, 
        3}];

Es claro que para  x ϵ [-2 - (Sqrt[15]), -2 + (Sqrt[15])]   la parábola está por encima de la recta. Por tanto, el área de Ω viene dada por

Integrate[
      -(x^2) - 2  x + 10 - (2  x - 1), {x, -2 - (Sqrt[15]), 
        -2 + (Sqrt[15])}]

Ejemplo 2

Calcular el área de la región Ω comprendida entre la parábola (y^2) = x y la recta y = x - 2.

x /. Solve[x == (((x - 2))^2), x]

fig1 = 
      Plot[{x - 2, -(Sqrt[x]),  (Sqrt[x ])}, {x, 0, 5}, AspectRatio -> 1, 
        PlotStyle -> Hue[0]];

Observa que la región está limitada por inferiormente por las curvas de ecuaciones \(TraditionalForm
      \`y = \(-\@x\)\ \ \ \((0 ≤ x ≤ 1)\), \ \ 
      y = x - 2\ \ \((1 ≤ x ≤ 4)\)\). La curva superior es y = (Sqrt[x]). Podemos representarla con FilledPlot[ ] para verla mejor.

FilledPlot[{If[0 ≤ x ≤ 1, -(Sqrt[x]), x - 2], (Sqrt[x])},{x, 0, 4},\(Epilog -> {Line[{{1, \(-1\)}, {1, 1}}], 
              Text["y=x-2", {3,  .6}], 
              Text[\*""y=\!\(\@x\)"", { .35,  .85}], 
              Text[\*""y=-\!\(\@x\)"", { .35, \(- .9\)}]}\),TextStyle->{FontFamily -> "Times",FontSize -> 14,FontWeight -> "Bold"},Ticks -> {Automatic, {-1, 1, 2}}];

En consecuencia, el área de Ω viene dada por:

Integrate[(Sqrt[x]) - (-(Sqrt[x])), {x, 0, 1}] + 
      Integrate[(Sqrt[x]) - (x - 2), {x, 1, 4}]

También podemos calcular el área de Ω considerándola como una región de tipo II, es decir integrando por segmentos horizontales. Observa que los puntos de Ω son de la forma (x, y) donde -1 ≤  y ≤  2 y para cada valor de y la x varía entre (y^2) e y + 2. El área de Ω viene dada por:

Integrate[y + 2 - (y^2), {y, -1, 2}]

En situaciones parecidas a esta yo aconsejo, simplemente, cambiar x por y en las ecuaciones. Con ello lo que hacemos es una simetría respecto de la recta y = x lo cual no afecta al área de las figuras. Observa la diferencia si convertimos nuestra región considerando las curvas (x^2) = y,  x = y - 2, es decir, y = (x^2),  y = x + 2.

x /. Solve[x^2 == x + 2, x]

fig2 = 
      Plot[{x^2, x + 2}, {x, -2, 2.25}, AspectRatio -> 1, 
        PlotStyle -> Hue[ .6]];

Ahora es inmediato calcular el área.

Integrate[x + 2 - x^2, {x, -1, 2}]

Esta región es la simétrica de la anterior respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

\(\(Show[{
        FilledPlot[{If[0 ≤ x ≤ 1, \(-\@x\), x - 2], 
            \@x}, {x, 0, 4}, Fills -> Hue[ .25], AspectRatio -> 1, 
          DisplayFunction -> Identity], 
		
        FilledPlot[{x^2, x + 2}, {x, \(-1\), 2}, AspectRatio -> 1, 
          DisplayFunction -> Identity], 	
        FilledPlot[{x^2, \@x}, {x, 0, 1}, AspectRatio -> 1, 
          DisplayFunction -> Identity, Fills -> Hue[ .15]]}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction]; \)\)

Ejemplo 3

Supongamos ahora que las curvas vienen dadas en la forma x = f(y), x = g(y) lo cual es frecuente para definir regiones de tipo II. Sean dichas curvas x = 12  (y^2) - 12  (y^3)  y   x = 2  (y^2) - 2  y + 1. Calculamos sus puntos de corte y las representamos.

Solve[12  y^2 - 12  y^3 == 2  y^2 - y + 1, y]

Para representar las curvas exactamente como nos las dan conviene usar ParametricPlot[ ] pues la variable independiente es y.

ParametricPlot[{{12  y^2 - 12  y^3, y}, {2  y^2 - 2  y + 1, y}}, {y, 
        - .7, 1.1}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Hue[ .7], Hue[0]}];

El área pedida viene dada por:

Integrate[
        (2  y^2 - 2  y + 1) - (12  y^2 - 12  y^3), {y, 
          (1/4) (1 - (Sqrt[5])), (1/3)}] + 
      Integrate[
        (12  y^2 - 12  y^3) - (2  y^2 - 2  y + 1), {y, (1/3), 
          (1/4) (1 + (Sqrt[5]))}]

En estos casos siempre podemos intercambiar las variables x e y para transformar, por simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante, una región de tipo II en otra de tipo I.

Plot[{12  x^2 - 12  x^3, 2  x^2 - 2  x + 1}, {x, - .7, 1.1}, 
      AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Hue[ .7], Hue[0]}];

El área viene dada igual que antes sin más que cambiar la variable y por x.

Ejercicio 12

Cálculo de longitudes de curvas

La longitud de una curva γ dada por sus ecuaciones cartesianas y = f(x) viene dada por (∫_a^b)(Sqrt[ 
                1 + (((f' (x)))^2)]) dx. Para el caso de que la curva γ venga dada por las ecuaciones paramétricas {({{x = x(t)}, {y = y(t)}}), (a ≤  t ≤  b) donde suponemos que las funciones t -> x(t),  t ->  y(t)tienen derivada primera continua, la longitud de γ es igual a (∫_a^b)(Sqrt[ x' (((t))^2) + 
                y' (((t))^2)]) dt.

Ejercicio 14

Cálculo de áreas de superficies de revolución

Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta. Sea f : [a, b] -> ℝ una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dicha función alrededor del eje OX obtenemos una superficie de revolución cuya área viene dada por 2  π (∫_a^b) f(
              x) (Sqrt[1 + f' (((x))^2)]) dx.

Ejercicio 15

Cálculo de volúmenes de revolución

Volumen de un cuerpo de revolución

Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones de (ℝ^3)que se obtienen girando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro. La orden "SurfaceOfRevolution[f[x],{x,a,b},opts]"  representa la superficie de revolución obtenida girando la gráfica de f en el plano YZ. Este comando tiene muchas opciones. Aquí tienes el paraboloide de revolución engendrado al girar alrededor del eje OZ la parábola de ecuación y = (x^2).

<<Graphics`SurfaceOfRevolution`

SurfaceOfRevolution[x^2, {x, -1, 1}, 
      RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 35, 
      AspectRatio -> 1];

Método de los discos o arandelas: secciones perpendiculares al eje de giro

Sea f : [a, b] -> ℝ una función continua. Girando la región del plano comprendida entre la curva y =  f(x), el eje de abscisas y las rectas y = a e y = b,  alrededor del eje OX obtenemos un sólido de revolución Ω cuyo volumen es igual a:

\(TraditionalForm
    \`Vol(Ω) = 
      π \(∫\_a\%b\(\((f(x))\)\^2\) dx\)\)

El volumen del sólido de revolución, Ω, obtenido girando alrededor del eje OX una región de tipo I definida por dos funciones continuas f, 
      g : [a, b] -> ℝ tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ϵ [a, b], viene dado por

Vol(Ω) = 
            π (∫_a^b)(((g(x))^2) - ((f(x))^2)) 
                  dx

Una expresión similar se obtiene para el volumen de un sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje OY una región de tipo II.

Ejercicio16

a) Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia (x^2) + (y^2) = (R^2) alrededor del eje OX.
b)  Calcula el  volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la gráfica de la función f : [0, +∞[ -> ℝ dada por f(x)=((18 x)/((x^2) + 9)).
c)  Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola (y^2) = 4  x y la recta x  = 4 alrededor de dicha recta.
d)  Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas (y^2)=x, (x^2) = y alrededor del eje OX.

Método de las láminas o de los tubos

Consideremos la gráfica de una función positiva y = f(x) a ≤ x ≤ b y giremos dicha gráfica alrededor del eje OY. Obtenemos así un sólido de revolución, Ω, cuyo volumen podemos aproximar considerando rectángulos verticales inscritos en la gráfica y girándolos alrededor del eje OY.

<<Calculus`DiracDelta`

\(stepfunc[func_, {var_, xmin_, xmax_}, n_] := 
      Apply[Plus, 
        Table[\((
              \(-UnitStep[x - \((k + N[\((xmax - xmin)\)/n])\)]\) + 
                UnitStep[x - k])\) \((func /. var -> k)\), {k, xmin, 
            xmax, N[\((xmax - xmin)\)/n]}]]; 

    disco1[func_, {var_, xmin_, xmax_, sub_}, opts___] := 
      
	
      Module[{rects, n, graf, inc, cotas}, 
        
inc = N[\((xmax\  - \ xmin)\)/sub]; 
        
rects\  = \ 
          Table[
				
            \(\((Line[{{n, 0}, {n + inc, 0}, {n + inc, #}, {n, #}, {n, 0}}])
                  \)&\)[Min[func /. var -> {n, n + inc}]], {n, xmin, 
              xmax - \ inc, inc}]; 
		
        cotas = {Line[{{xmin, 0}, {xmin, func /. var -> xmin}}], 
            Line[{{xmax, 0}, {xmax, func /. var -> xmax}}], 
            Line[{{xmin, 0}, {xmax, 0}}]}; 
        
graf = 
          Plot[func, \ {var, xmin, xmax}, DisplayFunction -> Identity]; 
        \ 
	
        Show[{graf, Graphics[{cotas, rects}]}, opts, 
          AxesOrigin -> {Max[xmin -  .2, 0], 0}]]; \)

Clear[h]; h[x_] = stepfunc[1 - (x^2), {x, 0, 1}, 8]; 
    Show[GraphicsArray[{
          disco1[1 - (x^2), {x, 0, 1, 9}, AspectRatio -> Automatic], 
          SurfaceOfRevolution[h[x], {x, 0, 1}, 
            RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 35, 
            AspectRatio -> 1, DisplayFunction -> Identity]}], 
      ImageSize ->  .75*{793.563, 377.625}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction]; Clear[h];

Esto es lo que se conoce como método de las láminas o de los tubos. Observa que, a diferencia del método de los discos en el que se consideran rectángulos perpendiculares al eje de giro, en el método de las láminas o de los tubos los rectángulos considerados son paralelos al eje de giro.

El volumen del tubo de grosor d x que se obtiene girando el rectángulo de base d x y altura f(x) situado a una distancia x del eje de giro es 2  π x f(x) d x (longitud de la base x altura x grosor), deducimos que el volumen de Ω viene dado por

\(TraditionalForm
    \`Vol(Ω) = 
      2  π \(∫\_a\%b x\ \(f(x)\) dx\)\)

Puedes adaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta vertical x = c. En general, si notamos por R(x) el "radio de giro" de la lámina, entonces

\(TraditionalForm
    \`Vol(Ω) = 
      2  π \(∫\_a\%b\( R(x)\)\ \(f(x)\) dx\)\)

Ejemplos

•  Consideremos el toro 𝕋 obtenido al girar el disco de centro (a, 0) , a > 0, y radio R alrededor del eje OY. Puedes verlo para a = 2 y R = 1 ejecutando la siguiente celda.

Show[{
        SurfaceOfRevolution[(Sqrt[1 - (((x - 2))^2)]), {x, 1, 3}, 
          RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, AspectRatio -> Automatic, 
          Axes -> False, Boxed -> False, 
          DisplayFunction -> Identity], 
        SurfaceOfRevolution[-(Sqrt[1 - (((x - 2))^2)]), {x, 1, 3}, 
          RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, AspectRatio -> Automatic, 
          Axes -> False, Boxed -> False, 
          DisplayFunction -> Identity]}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction];

Por simetría, su volumen es el doble del volumen del sólido obtenido al girar la semicircunferencia y = (Sqrt[(R^2) - (((x - a))^2)]),  
      (a - R ≤ x ≤ a + R) alrededor del eje OY. Por tanto

Vol(𝕋)=4  π 
            (∫_(a - R)^(a + R))x 
                (Sqrt[ (R^2) - (((x - a))^2)]) dx=2 a (π^2) (R^2)

•  Calcular el volumen del sólido Ω engendrado al girar la región limitada por las parábolas (y^2)=x, (x^2) = y alrededor del eje OY.

Plot[{(Sqrt[x]), (x^2)}, {x, 0, 1}];

Show[{
        SurfaceOfRevolution[(Sqrt[x]), {x, 0, 1}, {t, π, 2  π}, 
          RevolutionAxis -> {1, 0, 0}, PlotPoints -> 50, 
          AspectRatio -> Automatic, Axes -> False, 
          Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity], 
        SurfaceOfRevolution[(x^2), {x, 0, 1}, 
          RevolutionAxis -> {1, 0, 0}, PlotPoints -> 50, 
          AspectRatio -> Automatic, Axes -> False, 
          Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity]}, 
      ImageSize ->  .7*{793.563, 377.625}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
      ViewPoint -> {-0.012,  -3.382,  0.109}];

El sólido de revolución engendrado es una especie de embudo acotado por dos superficies de revolución, la superior obtenida al girar la gráfica y = (Sqrt[x])y la inferior obtenida al girar y = (x^2). El volumen pedido viene, por tanto, dado por  Vol(Ω)=2  π 
              (∫_0^1)(x (Sqrt[ x]) - (x^3)) dx=((3 π)/10).

Ejercicio17

a)  Calcula el  volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededor de la recta x = 6.
b)  Calcula el volumen del sólido Ω engendrado al girar la región limitada por las parábolas (y^2)=x, (x^2) = y alrededor de la recta x = 4.