Integrales dobles y triples con Mathematica

Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Introducción

La primera parte de este cuaderno contiene una descripción instrumental de los resultados teóricos que usaremos para calcular integrales dobles y triples. En la segunda parte encontrarás resueltas algunas integrales de funciones de dos y tres variables. Naturalmente, para calcular una integral doble o triple lo que tienes que hacer es aplicar el teorema de Fubini o el teorema del cambio de variables. De hecho, con frecuencia hay que usar ambos teoremas. Y, no lo olvides, el último paso es siempre calcular primitivas. Si no tienes soltura en el cálculo de primitivas no sigas leyendo y consulta ahora mismo los apuntes de Cálculo de Primitivas. Por tanto, no es imprescindible realizar una representación gráfica para calcular integrales dobles o triples , pero es indudable que siempre que somos capaces de interpretar gráficamente un ejercicio entendemos mejor lo que hay que hacer y trabajamos con más seguridad. En ese aspecto este cuaderno es un ejemplo de las posibilidades gráficas de Mathematica. Confío en que sea una buena ayuda para que aprendas a usar correctamente esas poderosas herramientas de cálculo que son los teoremas de Fubini y del cambio de variables.
En los ejercicios que siguen, debes comprobar los resultados que proporciona Mathematica, es decir, los cálculos debes hacerlos tú. Mathematica te proporciona  la visualización gráfica de lo que se hace y un resultado numérico que te permite comprobar si no te equivocas al calcular primitivas. No le pidas más a Mathematica y no te contentes con leer y mirar. Participa, sé activo, haz los ejercicios que te propongo sirviéndote como guía de los ejercicios resueltos. 
Una observación. No dediques mucho tiempo a entender los comandos que he usado para hacer las representaciones gráficas. Seguro que pueden hacerse más fácilmente y mejor. Dudé si dejarlos o quitarlos; al final los he dejado (están en las celdas de inicialización) confiando que puedan ser de alguna utilidad y temiendo que puedan distraerte del verdadero objetivo de este cuaderno. Consulta en la ayuda de Mathematica el uso de los comando gráficos "SurfaceOfRevolution", y "ParametricPlot3D", junto con el familiar "Plot3D", que ya debes conocer, es todo lo que se necesita.

Inicialización

<< Graphics`FilledPlot`

<< Graphics`SurfaceOfRevolution`

<<Graphics`InequalityGraphics`

fig1:=Module[{f},f[x_, y_] = (Sqrt[36 - 3  (x^2) - 6  (y^2)]);
G1=Plot3D[f[x, y] 
                      Boole[-2 ≤ x ≤ 
                            2  &&  -2 ≤ y ≤ 2],{x,  -2.5,  2.5}, {y,  -2.5, 2.5},BoxRatios -> {1, 1, 1.5},BoxStyle  ->  RGBColor[1, 0, 0],Background -> 
                      RGBColor[1, 1, 0.75],AxesEdge -> {{-1, -1}, {1, -1}, {-1, -1}},\(Ticks -> {{{\(-2\), "-2"}, {0, "0"}, {2, "2"}}, {{2, "2"}, {0, "0"}}, {{2, "2"}, {4, "4"}, {6, "6"}}}\),PlotRange -> {{-2.5, 2.5}, {-2.5, 2.5}, {0, 
                          6}},AxesLabel -> {"X", "Y", "Z"},DisplayFunction -> Identity];G2=Plot3D[f[0, y] 
                      Boole[- .01 ≤ 
                            x ≤  .01  &&  -2 ≤ 
                            y ≤ 2], {x,  -2.5, 2.5}, {y,  -2.5, 2.5},BoxRatios -> {1, 1, 1.5},BoxStyle  ->  RGBColor[1, 0, 0],Background -> 
                      RGBColor[1, 1, 0.75],AxesEdge -> {{-1, -1}, {1, -1}, {-1, -1}},Ticks -> {{{0, "X=0"}}, {{0, "Y=0"}, {2, "\
2"}, {-2, "-2"}}, {{2, "2"}, {4, "4"}, {6, "6"}}},PlotRange -> {{-2.5, 2.5}, {-2.5, 
                          2.5}, {0, 6}},DisplayFunction -> Identity];
G3=FilledPlot[f[0, y],{y, -2, 2},PlotRange -> {{-3, 3}, {0, 6.5}},AspectRatio -> Automatic,Fills -> RGBColor[0, 1, 1],DisplayFunction -> Identity,Background -> RGBColor[1, 1, 0.75],AxesLabel -> {"y", "z=f(0,y)"},AxesStyle  ->  RGBColor[1, 0, 0],\(Ticks -> {{{\(-2\), "-2",  .01}, {0, "0",  .01}, {2, "2",  .01}}, {{2, "2",  .01}, {4, "4",  .01}, {6, "6",  .01}}}\)];
Show[GraphicsArray[{G1, G2, G3}], 
                ImageSize -> {528, 220}, 
                ImageMargins -> {{0, 0}, {0, 0}}, 
                ImageRegion -> {{0, 1}, {0, 1}}, 
                DisplayFunction -> $DisplayFunction]];

Off[General::spell1];
(* ThisMathematica code was developed by Major Glenn Sjoden at the US Air Force 
Academy's Department of Mathematica  l Sciences and later adapted to it's current format by Lt Col Steve Hadfield *)
\(Riemann2D[f_, xvars_, yvars_, \ 
          nn_, mm_, \ opts___] := 
        CompoundExpression[
cell[xo_, yo_, zo_, x1_, y1_, 
              z1_, colr_] := 
Graphics3D[
              Table[{FaceForm[
                    colr], 
Cuboid[{xo, yo, zo}, {x1, y1, 
                      z1}]}, {i, 0, 1, 2}, {j, 1, 1, 2}, {k, 1, 1, 2}]], 
	
          cellw[xo_, yo_, zo_, x1_, y1_, z1_, 
              colr_] := 
WireFrame[
              Graphics3D[
                Table[{colr, 
                    Cuboid[{xo, yo, zo}, {x1, y1, 
                        z1}]}, 
{i, 0, 1, 2}, {j, 1, 1, 
                    2}, {k, 1, 1, 2}]]], 
xlo = 
            xvars[\([2]\)], 
          xhi = xvars[\([3]\)], 
ylo = yvars[\([2]\)], 
          yhi = yvars[\([3]\)], 
dex = \((xhi - xlo)\)\/nn, 
          dey = \((yhi - ylo)\)\/mm, 
p3d = 
            Plot3D[f, xvars, 
              yvars, 
BoxRatios -> {1, 1, 1.5}, 
              AxesLabel -> {x, y, z}, 
              DisplayFunction -> Identity], 
RVol = 
            0, 
b3d = 
            Table[{xb = xa + dex; 
                yb = ya + dey; 
xavg = \(xa + xb\)\/2; 
                yavg = \(ya + yb\)\/2; 
zb = 
                  f /. {xvars[\([1]\)] -> xavg, yvars[\([1]\)] -> yavg}; 
                RVol = RVol + \((xb - xa)\) \((yb - ya)\)*
                      zb; 
cell[xa, ya, 0, xb, yb, zb, 
                  Blue]}, 
{xa, xlo, xhi - dex, dex}, {ya, 
                ylo, yhi - dey, dey}], \ 
          Show[{p3d, b3d}, \ opts, 
            PlotLabel -> 
              StyleForm["Vol≅"\ TraditionalForm[\ 
                    RVol // N], FontSize -> 12]]];\)

polares := 
        Show[Graphics[{Line[{{- .3, 0}, {2, 0}}], 
              Line[{{0, - .3}, {0, 2}}], Text["Y", {0.1, 1.9}], 
              Text["X", {2,  .1}], 
              Circle[{0, 0},  .4, {0, π/4}], {Hue[ .6], 
                Text["(x,y)", {1.1, 1.15}]}, {PointSize[ .035], Hue[ .6], 
                Point[{1, 1}], Hue[0], Point[{0, 1}], Point[{1, 0}], 
                Text["ρcosθ", {1, - .15}], 
                Text["ρsenθ", { .33, 1.15}], 
                Text["θ", { .5,  .2}]}, {Line[{{0, 0}, {1, 1}}], 
                Dashing[{ .02,  .02}], Line[{{0, 1}, {1, 1}, {1, 0}}]}}], 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75], 
          AspectRatio -> Automatic, 
          TextStyle -> {FontSize -> 12, FontWeight -> "Bold"}, 
          ImageSize -> {390, 162}];

\(\(esfericas := 
        Show[Graphics[{Line[{{0, 6}, {0, 0}, {2, 4}, {0, 0}, {6, 0}, {0, 
                    0}, {\(-4\), \(-4\)}}], {Dashing[{ .012,  .012}], 
                Line[{{0, 5.5}, {2, 4}, {2, \(-1.5\)}, {0, 
                      0}}]}, {Dashing[{ .012,  .012}], 
                Line[{{2, \(-1.5\)}, {3.5, 0}}]}, {Dashing[{ .012,  .012}], 
                Line[{{2, \(-1.5\)}, {\(-1.5\), \(-1.5\)}}]}, 
              Circle[{0, 0}, 2, {ArcTan[2], π/2}], 
              Circle[{0, 0},  .6, {\(-3\) π/4, ArcTan[\(- .75\)]}], {Hue[
                  0], PointSize[ .02], \ Point[{0.01, 5.5}], 
                Text["ρcosφ", {1, 5.6}], 
                Text["ρ", {1.3, 2.12}], 
                Text["ρsenφ", {2.2, \(-1.8\)}], 
                Text["ρsenφcosθ", {\(-1.7\), \(-1.8\)}], Text["ρsenφsenθ", {3.7,  .35}], 
                Text["φ", { .485, 2.47}], 
                Text["θ", {0, \(-1\)}]}, {Hue[0], 
                PointSize[ .02], \ Point[{3.5, 0}]}, {Hue[0], 
                PointSize[ .02], \ Point[{\(-1.5\), \(-1.5\)}]}, {Hue[0.6], 
                PointSize[ .02], \ Point[{2, 4}], 
                Text["(x,y,z)", {2.8, 4.4}]}, 
              Text["X", {\(-3.4\), \(-3.9\)}], 
              Text["Z", {0.3, 5.95}], Text["Y", {5.95, 0.25}]}], 
          AspectRatio -> Automatic, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75], 
          TextStyle -> {FontSize -> 14, 
              FontWeight -> "Bold"}];\)\)

\(\(fig2 := 
        Module[{G1, G2, G3}, 
          G1 = ParametricPlot3D[{{x, 1 + \@\(\(1\)\(-\)\(x\^2\)\(\ \)\), 
                  3  z/2}, {x, 1 - \@\(\(1\)\(-\)\(x\^2\)\(\ \)\), 
                  3  z/2}, {x, 3  z/2, 2  x + 1}}, {x, \(-1\)/2, 1}, {z, 0, 
                2}, PlotRange -> {{\(-1\)/2, 1}, {0, 2}, {0, 3}}, 
              ViewPoint -> {\(-2.460\), \ \(-1.792\), \ 1.479}, 
              DisplayFunction -> Identity, 
              Background -> 
                RGBColor[1, 1, 0.75]]; 
G2 = 
            ParametricPlot3D[{{x, 1 + \@\(\(1\)\(-\)\(x\^2\)\(\ \)\), 
                  Min[3  z/2, 2  x + 1]}, {x, 
                  1 - \@\(\(1\)\(-\)\(x\^2\)\(\ \)\), 
                  Min[3  z/2, 2  x + 1]}}, {x, \(-1\)/2, 1}, {z, 0, 2}, 
              PlotRange -> {{\(-1\)/2, 1}, {0, 2}, {0, 3}}, 
              ViewPoint -> {\(-2.460\), \ \(-1.792\), \ 1.479}, 
              DisplayFunction -> Identity, 
              Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]]; 

          G3 = Show[{Plot3D[2  x + 1, {x, \(-1\)/2, 1}, {y, 0, 2}, 
                  DisplayFunction -> Identity], 
                ParametricPlot3D[{Cos[t], 1 + Sin[t], 
                    Min[z, 2  Cos[t] + 
                        1\ \  +  .2]}, {t, \(-π\) +  .35, π -  .35}, {z, 0, 3}, PlotPoints -> 40, DisplayFunction -> Identity]}, 
              DisplayFunction -> Identity, 
              PlotRange -> {{\(-1\)/2, 1}, {0, 2}, {0, 3}}, 
              BoxRatios -> {1, 1, 1.5}, 
              ViewPoint -> {\(-2.460\), \ \(-1.792\), \ 1.479}, 
              Background -> 
                RGBColor[1, 1, 0.75]]; 
Show[
            GraphicsArray[{G1, G2, G3}, GraphicsSpacing ->  .25], 
            ImageMargins -> {{0, 0}, {0, 0}}, 
            ImageSize -> {509, 177}, 
            ViewPoint -> {2.8, \ \(-0.2\), \ 1.9}]];\)\)

\(\(fig3 := 
        Show[Graphics[{{Hue[0], Thickness[0.011], 
                Line[{{\(-1\)/2, \@3/2}, {\(-1\)/2, \(-\@3\)/2}}], 
                Circle[{0, 0}, 
                  1, {ArcTan[\@3] - π, π - ArcTan[\@3]}]}, 
              Text[\*""1+(Sqrt[1 - (x^2)])"", {1.2,  .83}], 
              Text[\*""1-(Sqrt[1 - (x^2)])"", {1.27, \(- .7\)}], {Dashing[{ .02,  .02}], 
                Circle[{0, 0}, 
                  1, {π - ArcTan[\@3], π + ArcTan[\@3]}], 
                Line[{{ .65, \@\(1 - \(( .65)\)\^2\)}, { .65, \(-\@\(1 - \(( .65)\)\^2\)\)}}], Line[{{\(-1\), 0}, {1, 0}}]}}], 
          AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, 
          AxesLabel -> {"X", "Y"}, 
          Ticks -> {Automatic, {{\(-0.5\), "0.5"}, {0.5, "1.5"}}}\ , AxesOrigin -> {0, \(-1\)}, 
          Epilog -> {Hue[ .65], Thickness[0.012], 
              Line[{{0, 1}, {0, \@3/2}}], 
              Line[{{0, \(-\@3\)/2}, {0, \(-1\)}}], Hue[0], 
              Line[{{0, \@3/2}, {0, \(-\@3\)/2}}]}, 
          PlotRange -> {{\(-1.9\), 1.9}, {\(-1.2\), 1.2}}, 
          TextStyle -> {FontSize -> 12, FontWeight -> "Bold"}, 
          ImageSize -> {436, 181}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];\)\)

fig4 := 
        ParametricPlot3D[{{x, 1 - Min[x + y, 1], 0}, {1 - x, 0, 
              1 - x - y}, {0, 1 - y, 1 - x - y}, {x, y, x + y}}, {x, 0, 
            1}, {y, 0, 1}, PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}, {0, 1}}, 
          ViewPoint -> {2.650,  1.865,  0.975}];

fig5 := 
        Show[{ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], z}, {t, -π/7, 
                9  π/7}, {z, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity], 
            SurfaceOfRevolution[(x^2), {x, 0, 1}, {t, -π, π}, 
              RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 50, 
              AspectRatio -> Automatic, Axes -> False, 
              Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity]}, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
          ViewPoint -> {0.193,  -3.271,  0.845}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];

fig6 := 
        Show[{Plot3D[4 - (y^2) - (x^2)/4, {x, -1, 1}, {y, 0, 2}, 
              DisplayFunction -> Identity], 
            ParametricPlot3D[{Cos[t], 1 + Sin[t], 
                Min[z, 4 - (((1 + Sin[t]))^2) -  
                    Cos[t]^2/4   +  .1]}, {t, -π, π}, {z, 0, 
                4}, DisplayFunction -> Identity]}, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction, AspectRatio -> 1, 
          BoxRatios -> {1, 1, 1}, ImageSize -> {216, 216}, 
          ViewPoint -> {2.8,  -0.2,  1.9}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];

\(\(fig7 := 
        Show[Graphics[{{Thickness[0.011], Circle[{0, 0}, 1]}, 
              Text[\*""1+\!\(\@\(1 - x\^2\)\)"", {1.2,  .83}], 
              Text[\*""1-\!\(\@\(1 - x\^2\)\)"", {1.27, \(- .7\)}], 
              Circle[{0, 0}, 1, {0, π/3}], 
              Circle[{0, \(-1\)},  .3, {0, 
                  ArcTan[\((Sin[π/3 - π/8] + 1)\)/
                      Cos[π/3 - π/
                            8]]}], 
Circle[{0, 
                  1},  .3, {\(-π\)/2, 
                  ArcTan[\((Sin[π/3 - π/8] + 1)\)/
                        Cos[π/3 - π/8]] - π/2}], {Hue[0], 
                Line[{{0, \(-1\)}, {Cos[π/3 - π/8], 
                      Sin[π/3 - π/8]}, {0, 1}, {0, \(-1\)}}], 
                Text["ρ=2senθ", {1.3, 0.57}], 
                Text["θ", { .2, 0.63}], 
                Text["θ", { .37, \(-0.78\)}]}}], 
          AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, 
          AxesLabel -> {"X", "Y"}, 
          Ticks -> {Automatic, {{0, "1"}, {1.05, "2", 0}}}\ , 
          AxesOrigin -> {0, \(-1\)}, 
          PlotRange -> {{\(-1.4\), 1.4}, {\(-1.2\), 1.2}}, 
          TextStyle -> {FontSize -> 12, FontWeight -> "Bold"}, 
          ImageSize -> {436, 181}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];\)\)

fig8 := 
        Show[{ParametricPlot3D[{1 + Cos[t], Sin[t], 
                Min[z, (((1 + Cos[t]))^2) + 
                    Sin[t]^2 +  .1]}, {t, -π/7, 10  π/7}, {z, 0, 
                4}, PlotPoints -> 50, DisplayFunction -> Identity], 
            SurfaceOfRevolution[
              (x^2), {x, 0, 2}, {t, -2 π/9, 3  π/2}, 
              RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 50, 
              Axes -> False, Boxed -> False, 
              DisplayFunction -> Identity]}, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
          ViewPoint -> {0.193,  -3.271,  0.845}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];

\(\(fig9 := 
        Show[Graphics[{{Thickness[0.011], Circle[{0, 0}, 1]}, 
              Text[\*""(Sqrt[1 - (((1 - x))^2)])"", {1.27,  .93}], 
              Text[\*""-(Sqrt[1 - (((1 - x))^2)])"", {1.27, \(- .9\)}], Circle[{0, 0}, 1, {0, π/3}], 
              Circle[{\(-1\), 0},  .4, {0, π/6}], 
{Hue[
                  0], Line[{{\(-1\), 0}, {Cos[π/3], Sin[π/3]}, {1, 
                      0}, {\(-1\), 0}}], 
                Text["ρ=2cosθ", {0.2, 0.4}], 
                Text["θ", {\(- .47\), 0.13}]}}], 
          AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, 
          AxesLabel -> {"X", "Y"}, 
          Ticks -> {{{0, "1"}, {1.05, "2", 0}}, Automatic}\ , 
          AxesOrigin -> {\(-1\), 0}, 
          PlotRange -> {{\(-1.4\), 1.4}, {\(-1.2\), 1.2}}, 
          TextStyle -> {FontSize -> 12, FontWeight -> "Bold"}, 
          ImageSize -> {436, 181}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];\)\)

\(\(\(fig10 := 
        Module[{f, g, gr1, gr2}, 
f[x_, y_] = x\^2 + y\^2; \ 
          g[x_, y_] = \@\(x\^2 + y\^2\); 
gr1 = 
            Plot3D[Min[f[x, y], 1], {x, \(-1.2\), 1.2}, {y, \(-1.2\), 1.2}, 
              AspectRatio -> 1, PlotPoints -> 50, Mesh -> False, 
              Ticks -> False, 
              ViewPoint -> {2.090, \ \(-2.564\), \ 0.713}, 
              PlotRange -> All, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
gr2 = 
            Plot3D[Min[g[x, y], 1], {x, \(-1.2\), 1.2}, {y, \(-1.2\), 1.2}, 
              AspectRatio -> 1, PlotPoints -> 50, Mesh -> False, 
              Ticks -> False, 
              ViewPoint -> {2.090, \ \(-2.564\), \ 0.713}, 
              PlotRange -> All, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
Show[
            GraphicsArray[{gr1, gr2}], ImageSize -> {391, 186.125}, 
            Background -> 
              RGBColor[1, 1, 0.75]]];\)\(
\)
    \)\)

fig11 := 
        Show[{SurfaceOfRevolution[x, {x, 0, 1}, 
              RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 50, 
              AspectRatio -> Automatic, Axes -> False, 
              Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity], 
            SurfaceOfRevolution[(x^2), {x, 0, 1}, {t, 0, π}, 
              RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, PlotPoints -> 50, 
              AspectRatio -> Automatic, Axes -> False, 
              Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity]}, 
          DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
          ViewPoint -> {-0.012,  -3.382,  0.109}, 
          Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]];

fig12 := 
        Module[{C1, C2}, 
          C1 = Plot3D[
              Min[(Sqrt[((x^2)/4) + ((y^2)/9)]), 1], {x, -2.2, 2.2}, {y, 0, 
                3.2}, AspectRatio -> 1, PlotPoints -> 30, 
              ViewPoint -> {2.090,  -2.564,  0.713}, 
              PlotRange -> All, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
C2 = 
            ParametricPlot3D[{2  Cos[t], 3  Sin[t], z}, {t, 0, π}, {z, 0, 
                1}, DisplayFunction -> 
                Identity]; 
Show[C1, C2, 
            DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
            Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]]];

fig13 := 
        Module[{C1, C2}, 
          C1 = ParametricPlot3D[{Cos[t], 1 + Sin[t], 
                z*(Sqrt[4 - Cos[t]^2 - (((1 + Sin[t]))^2)]) +  .04}, {t, π/2, 2  π + π/4}, {z, 0, 1}, 
              ViewPoint -> {1.897,  3.138,  1.795}, 
              DisplayFunction -> Identity ]; 
C2 = 
            SurfaceOfRevolution[(Sqrt[4 - (x^2)]), {x, 0, 2}, {t, π/2, 
                2  π}, RevolutionAxis -> {0, 0, 1}, 
              PlotPoints -> 50, AspectRatio -> Automatic, 
              Axes -> False, Boxed -> False, 
              ViewPoint -> {1.897,  3.138,  1.795}, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
Show[C1, 
            C2, DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
            Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]]];

\(\(fig14 := 
        Module[{S, T}, 
S = 
            InequalityPlot[\(-\@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)\) ≤ \ 
                  x ≤ \ \ \@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)\  && 
                1 - \@\(1 - x\^2\) ≤ y ≤ \ 
                  1.125, {x, \(-0.992\),  .992}, {y, 0, 1.125}, 
              Axes -> False, \ Ticks -> False, 
              AspectRatio -> Automatic, 
              Fills -> {RGBColor[1, 1, 0]}, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
T = 
            InequalityPlot[\(-\@\(4 - y\^2\)\) ≤ \ 
                  x ≤ \ \ \@\(4 - y\^2\)\  && 
                1.125 ≤ 
                  y ≤ \ \@\(2.25 - x\^2\), {x, \(-0.992\),  .992}, {y, 1.125, 1.5}, Axes -> False, \ Ticks -> False, 
              AspectRatio -> Automatic, 
              DisplayFunction -> 
                Identity]; 
Show[{Graphics[{Text[\*""(Sqrt[(4  (a^2) - (z^2)) - (y^2)])"", {2.5,  .55}], 
                  Text[\*""y=((4  (a^2) - (z^2))/(2  a))"", {1.8, 1.2}], Text[\*""(Sqrt[(a^2) - (((y - a))^2)])"", {1.5, 
                      1.95}], Dashing[{ .02,  .02}], 
                  Line[{{ .99, 1.125}, {\(- .99\), 1.125}}]}], T, S}, 
            AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, 
            AxesLabel -> {"X", "Y"}, 
            PlotRange -> {{\(-2.4\), 2.9}, {\(-2.1\), 2.6}}, 
            Epilog -> {Text["U", { .3,  .75}], 
                Text["a", {\(- .2\), 1}], Text["-", {0, 1}], 
                Text["V", { .3, 1.25}], Line[{{0, 2}, {0, 0}}], Hue[0], 
                Circle[{0, 1}, 1], Circle[{0, 0}, 1.5]}, 
            Ticks -> {{}, {{1, "a"}, {2.07, "2a", 0}}}, 
            TextStyle -> {FontSize -> 12, 
                FontWeight -> "Bold"}, 
            ImageSize -> {558, 231}]];\)\)

volumenBovedaViviani := 
      Simplify[FullSimplify[
            Limit[FullSimplify[
                Integrate[
                  FullSimplify[
                    FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 2 a y - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], 
                          y -> (4 (a^2) - (z^2))/(2  a), 
                          Direction -> 1], 0 < z < 2  a] - 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 2 a y - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], y -> 0, 
                          Direction -> -1], 0 < z < 2  a] + 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 4  (a^2) - (z^2) - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], y -> (Sqrt[4  (a^2) - (z^2)]), 
                          Direction -> 1], 0 < z < 2  a] - 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 4  (a^2) - (z^2) - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], 
                          y -> (4 (a^2) - (z^2))/(2  a), 
                          Direction -> -1], 0 < z < 2  a  ], 
                    0 < z < 2  a], z], 0 < z < 2  a], z -> 2  a], 
            0 < z < 2  a] - 
          FullSimplify[
            Limit[FullSimplify[
                Integrate[
                  FullSimplify[
                    FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 2 a y - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], 
                          y -> (4 (a^2) - (z^2))/(2  a), 
                          Direction -> 1], 0 < z < 2  a] - 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 2 a y - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], y -> 0, 
                          Direction -> -1],  0 < z < 2  a] + 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 4  (a^2) - (z^2) - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], y -> (Sqrt[4  (a^2) - (z^2)]), 
                          Direction -> 1],  0 < z < 2  a] - 
                      FullSimplify[
                        Limit[FullSimplify[
                            Integrate[2 (Sqrt[ 4  (a^2) - (z^2) - (y^2)]), y], 
                            0 < z < 2  a], 
                          y -> (4 (a^2) - (z^2))/(2  a), 
                          Direction -> -1], 0 < z < 2  a  ], 
                    0 < z < 2  a], z], 0 < z < 2  a], z -> 0], 
            0 < z < 2  a]]

fig15:=Module[{graf1, graf2},graf1=SurfaceOfRevolution[{Sin[4  t/3 + π/3], 
                      1 - Cos[4  t/3 + π/3]},{t, 0, π/2}, {u, 0, 2  π - π/4},BoxRatios -> {1, 1, 1},BoxStyle  ->  RGBColor[1, 0, 0],Background -> 
                      RGBColor[1, 1, 0.75],AxesEdge -> {{-1, -1}, {1, -1}, {-1, -1}},AxesOrigin -> {0, 0},AspectRatio -> Automatic,DisplayFunction -> Identity,\(Ticks -> {{{\(-1\), "-1"}, {0, "0"}, {1, "1"}}, {{1, "1"}, {0, "0"}}, {{0.5, "0.5"}, {1, "1"}, {2, "2"}}}\)];
graf2=SurfaceOfRevolution[{((Sqrt[3]) /2  ) Sin[t], Sin[t]/2},{t, 0, π/2}, {u, 0, 2  π - π/4},BoxRatios -> {1, 1, 1},BoxStyle  ->  RGBColor[1, 0, 0],Background -> 
                      RGBColor[1, 1, 0.75],AxesEdge -> {{-1, -1}, {1, -1}, {-1, -1}}, AxesOrigin -> {0, 0},AspectRatio -> Automatic,DisplayFunction -> Identity,\(Ticks -> {{{\(-1\), "-1"}, {0, "0"}, {1, "1"}}, {{1, "1"}, {0, "0"}}, {{0.5, "0.5"}, {1, "1"}, {2, "2"}}}\)];
Show[graf1, graf2, 
                ViewPoint -> {3.783,  -1.153,  0.716}, 
                DisplayFunction -> $DisplayFunction]];

Fundamentos teóricos

Integrales dobles y triples

La teoría de la integración de funciones de varias variables forma parte de la teoría de la integral de Lebesgue y la estudiarás en cursos más avanzados. Es suficiente, por ahora, que tengas una idea intuitiva de lo que se hace cuando se calcula una integral doble. Consideremos para ello, una función positiva f : A⟶ℝ (todas las funciones se suponen continuas), f(x, y) ≥ 0 para (x, y) ∈ A. En tal caso, la integral doble de la función f en el conjunto A es el volumen del "cilindro" en (ℝ^3) cuya base es el conjunto A y que tiene como "tapadera" la gráfica de f. 
		 ∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
                y) = 
        volumen {(x, y, z) :  (x, y) ∈  A,  
            0 ≤ z ≤  f(x, y)}

Puedes representar fácilmente este "cilindro" con su "tapadera" usando el comando "Boole" (creo que este comando es nuevo en Mathematica 4.1). La función "Boole[condición(x,y)]" es igual a 1 cuando "condición(x,y)" es cierta y es igual a 0 en otro caso. Por tanto, f(x, y) Boole[(x, y) ∈ A] es  igual a f (x, y) cuando (x, y) ∈ A  y es igual a cero en otro caso. Fíjate cómo se representa dicho "cilindro" para la función f(x, y) = 4 - (x^2) - (y^2) en el rectángulo  A =  [-1, 1]×[-1, 
            1] y en el disco  A = {(x, y) : (x^2) + (y^2) ≤ 2}.

Show[
        GraphicsArray[{Plot3D[(4 - (x^2) - 
                    (y^2)) Boole[ -1 ≤ x ≤ 
                      1  &&  -1 ≤ y ≤ 
                      1],  {x,  -1.5,  1.5},  {y,  -1.5,  1.5}, 
              BoxRatios -> {1, 1, 1.3}, PlotPoints -> 40, 
              Axes -> False, Boxed -> False, Mesh -> False, 
              ViewPoint -> {2.485,  1.525,  1.718} , 
              Background -> RGBColor[1, 1, 0.75], 
              PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, {-1.5, 1.5}, {1, 4}}, 
              DisplayFunction -> Identity], 
            Plot3D[(4 - (x^2) - (y^2)) Boole[ 
                  (x^2) + (y^2) ≤ 2],  {x,  -1.75,  
                1.75},  {y,  -1.75,  1.75}, 
              BoxRatios -> {1, 1, 1.3}, PlotPoints -> 70, 
              Axes -> False, Background -> RGBColor[1, 1, 0.75], 
              Boxed -> False, DisplayFunction -> Identity, 
              Mesh -> False, 
              PlotRange -> {{-1.75, 1.75}, {-1.75, 1.75}, {0, 
                    4}}]}], DisplayFunction -> $DisplayFunction , 
        ImageSize -> {528, 220}];

Para calcular el volumen del conjunto  {(x, y, z) :  (x, y) ∈  
            A,  0 ≤ z ≤  f(x, y)} lo que se hace es obtener aproximaciones y pasar al límite. Consideremos el caso en que  A =  [a, b]×[c, d]  y sean a = (Subscript[x, 0]) < (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2]) <   ...   < 
            (Subscript[x, n - 1]) < (Subscript[x, n]) = b y  c = (Subscript[y, 0]) < (Subscript[y, 1]) < (Subscript[y, 2]) <   ...   < 
            (Subscript[y, m - 1]) < (Subscript[y, m]) = d particiones de los intervalos [a, b] y  [c, d] respectivamente.  Elijamos puntos ((Subscript[s, k]) , 
          (Subscript[t, j])) ∈ [(Subscript[x, k - 1]), (Subscript[x, k])]×[(Subscript[y, j - 1]), 
            (Subscript[y, j])], y formemos el ortoedro cuya base es el rectángulo [(Subscript[x, k - 1]), (Subscript[x, k])]×[(Subscript[y, j - 1]), 
          (Subscript[y, j])] y altura igual a f((Subscript[s, k]), (Subscript[t, j])). El volumen de dicho ortoedro es f((Subscript[s, k]), (Subscript[t, j]))((Subscript[x, k]) - (Subscript[x, k - 1]))((Subscript[y, j]) - 
              (Subscript[y, j - 1])). La suma (∑_(k = 1)^n)(∑_(j = 1)^m)f((Subscript[s, k]), (Subscript[t, j]))((Subscript[x, k]) - (Subscript[x, k - 1]))((Subscript[y, j]) - 
                  (Subscript[y, j - 1])) se llama una suma de Riemann de la función f y su valor es una aproximación al volumen buscado. La integral  de la función f en el rectángulo A = [a, b]×[c, d] se define como el límite de las sumas de Riemann cuando las longitudes de los intervalos de las particiones tienden a cero.
En general, si A es un conjunto en el plano, y f es una función definida en él, la integral ∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
              y) se define como la integral de la función f(x, y) Boole[(x, y) ∈ A] en un rectángulo que contenga al conjunto A.

El comando "Riemann2D[f[x,y], {x,a,b}, {y,c,d}, n, m, Options]" hace una partición del rectángulo  [a, b]×[c, d] en  n×m subrectángulos, calcula el valor de f en el punto medio de cada uno de ellos y representa la gráfica de f y la suma de Riemann correspondiente con el valor aproximado del volumen. Admite opciones como "Plot3D". Aquí tienes tres sumas de Riemann de la función f(x, y) = 4 - (x^2) - (y^2) en el rectángulo  A =  [-1, 1]×[-1, 
            1]

Show[
        GraphicsArray[
          Table[Riemann2D[4 - (x^2) - (y^2), {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, i, 
              i, ViewPoint -> {2.568,  1.577,  1.540}, 
              DisplayFunction -> Identity, Boxed -> False, 
              Axes -> False, 
              Background -> RGBColor[1, 1, 0.75]], {i, 8, 14, 3}]], 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
        ImageSize -> {528, 220}, ImageMargins -> {{0, 0}, {0, 0}}, 
        ImageRegion -> {{0, 1}, {0, 1}}];

Experimenta a tu gusto. Puedes cambiar de función (pero no uses funciones complicadas) y puedes representar cilindros sobre conjuntos A más generales.

La integral de una función de tres variables se define de forma parecida. Dicha integral, para el caso de una función positiva,  f,  definida en un conjunto A de (ℝ^3)se interpreta como el "volumen" del "cilindro" en  (ℝ^4)que tiene como base el conjunto A y como "tapadera" la gráfica de f.
		 ∫∫(∫_A) f(x, y, 
                  z) d(x, y, z) = 
        volumen {(x, y, z, w) :  (x, y, z) ∈ A ,  
            0 ≤ w ≤  f(x, y, z)}

Observa que la integral de una función positiva de una variable mide el área de un conjunto de (ℝ^2), la integral de una función positiva de dos variables mide el volumen de un conjunto de (ℝ^3)y la integral de una función positiva de tres variables mide el "volumen" de un conjunto de (ℝ^4). No obstante, en el caso particular de que integremos la función constante igual a 1 en un conjunto A de (ℝ^2), resulta que
						∫(∫_A) 
            d(x, y)=área(A) 
sin más que tener en cuenta que el volumen de un cilindro recto de altura constante igual a 1 coincide con el área de la base. Análogamente si integramos la función constante igual a 1 en un conjunto A de (ℝ^3), resulta que
						∫∫(∫_A) 
              d(x, y, z) = volumen (A).

Teorema de Fubini

El teorema de Fubini, que estudiarás con detalle en cursos más avanzados, permite calcular una integral doble haciendo dos integrales simples. No es difícil comprender lo que dice el teorema ni tampoco lo es entender por qué se cumple. De hecho, no es la primera vez que en este curso aparece dicho teorema, ya lo usamos para calcular volúmenes de sólidos de revolución cuando estudiamos las aplicaciones de las Integrales simples.  Un caso particular del teorema de Fubini afirma que el volumen de una región en (ℝ^3)es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado. Por tanto, el teorema de Fubini permite calcular volúmenes calculando áreas de secciones planas. 
Consideremos una función positiva,  f , definida en el rectángulo  A = [a, b]×[c, d]. Para calcular el volumen del conjunto  Ω = {(x, y, 
              z) :  (x, y) ∈  A,  
          0 ≤ z ≤  f(x, y)} podemos proceder como sigue. Para cada (Subscript[x, 0]) ∈ [a, b] fijo calculamos el área de la sección, Ω((Subscript[x, 0])),  que se obtiene cortando Ω  con el plano de ecuación X = (Subscript[x, 0]). Fíjate que  Ω((Subscript[x, 0])) es una sección de Ω perpendicular al eje OX  y, por tanto, paralela al plano YZ. Como  Ω(
          (Subscript[x, 0])) = {((Subscript[x, 0]), y, 
                z) : (x, y, z) ∈ Ω} = {((Subscript[x, 0]), 
                y, z) : y ∈ [c, d] ,  
            0 ≤ z ≤ f((Subscript[x, 0]), y)} se tiene que Ω((Subscript[x, 0])) es la región del plano X = (Subscript[x, 0]) comprendida entre la curva  z=f((Subscript[x, 0]), y), el eje OY y las rectas y = a, y = b. Como sabes, el área de dicha región viene dada por λ(Ω(
            (Subscript[x, 0]))) = (∫_c^d) f((Subscript[x, 0]), y) dy (si tienes alguna duda, observa que la proyección de Ω((Subscript[x, 0])) sobre el plano YZ  es el conjunto {(y, z) : y ∈ [c, d] ,  
        0 ≤ z ≤ f((Subscript[x, 0]), y)}).  Ahora hay que integrar las áreas de las secciones Ω(x) cuando x ∈ [a, b] y obtenemos finalmente que
		 \(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = \(volumen\ \((Ω)\) = \(∫\_a\%b\( λ(Ω(
                    x))\) dx = ∫\_a\%b\([∫\_c\%d\( f(x, y)\) dy]\) dx\)\)\)
Razonando de forma análoga, considerando secciones Ω(y) de Ω paralelas al plano XZ, se obtiene la igualdad 
		 \(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = \(volumen\ \((Ω)\) = \(∫\_c\%d\( λ(Ω(
                    y))\) dy = ∫\_c\%d\([∫\_a\%b\( f(x, y)\) dx]\) dy\)\)\)
Las integrales (∫_a^b)[(∫_c^d) f(x, 
                  y) dy] dx y (∫_c^d)[(∫_a^b) f(x, 
                  y) dx] dy se llaman integrales iteradas y, como consecuencia del teorema de Fubini, son iguales y su valor común es igual a la integral ∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
              y). Observa que las integrales iteradas son dos integrales simples. Para calcular (∫_c^d) f(x, y) dy lo que se hace es integrar respecto a la variable y considerando x fija. Para ello lo que se hace es obtener una primitiva de la función y⟶f(x, y) y usar la regla de Barrow. Fíjate que una primitiva de la función y⟶f(x, y) puede describirse como una primitiva parcial de f(x, y) con respecto a y. ¿Te recuerda esto a la derivación parcial?
La representación gráfica siguiente puede ayudarte a entender lo que se hace. La función representada es f(x, y) = (Sqrt[36 - 3  (x^2) - 6  (y^2)]) en el rectángulo  [-2, 2]×[-2, 
          2]. Puedes ver el "cilindro" bajo la gráfica de la función, la sección del mismo por el plano X=0 y la proyección de dicha sección sobre el plano XZ.

fig1;

Para calcular una integral  ∫(∫_A) f(x, 
              y) d(x, y) cuando el recinto de integración A no es rectángulo se procede de la misma forma. La única diferencia es que ahora tenemos que empezar por determinar los valores de x tales que el plano X=x corta al "cilindro" bajo la gráfica de f , es decir, tenemos que determinar la proyección de A sobre el eje OX . Supongamos que dicha proyección sea un intervalo [a, b]. Ahora, para cada x ∈ [a, b] hay que calcular el área de la sección Ω(x), o lo que es igual, el área de la región en el plano YZ comprendida entre el eje OY y la curva z = f(x, y) donde la variable y está en el conjunto A(x) = {y : (x, y) ∈ A}. Supongamos que A(x) sea un intervalo (tampoco pasa nada si es unión de varios intervalos). Entonces tenemos que ∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
                y) = (∫_a^b)[(∫_(A(x)))f(x, 
                    y) dy] dx. Análogamente se obtiene que ∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
                y) = (∫_c^d)[(∫_(A(y)))f(x, 
                    y) dx] dy donde [c, d] es la proyección de A sobre el eje OY, y para cada y ∈ [c, d], A(y) = {x : (x, y) ∈ A}.

En los casos más corrientes el conjunto A suele ser un conjunto de tipo I o de tipo II (recuerda que los estudiamos en el cuaderno de Aplicaciones de la Integral). Esto es A = {(x, y) : a ≤ x ≤ b,  
          g(x) ≤ y ≤ h(x)} (tipo I) o bien A = {(x, y) : 
            c ≤ y ≤ d,  ϕ(y) ≤ 
            x ≤ σ(y)} (tipo II). En tales casos tenemos que 
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = \(∫\_a\%b\([∫\_\(A(x)\)\(f(x, 
                      y)\) dy]\) dx = ∫\_a\%b\([∫\_\(g(x)\)\%\(h(x)\)\(f(x, 
                      y)\) dy]\) dx\)\)   (A de tipo I)
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = \(∫\_c\%d\([∫\_\(A(y)\)\(f(x, 
                      y)\) dx]\) dy = ∫\_c\%d\([∫\_\(ϕ(y)\)\%\(σ(y)\)\(f(x, 
                      y)\) dx]\) dy\)\)  (A de tipo II)

De forma análoga a lo antes visto, el teorema de Fubini permite calcular integrales triples sin más que calcular tres integrales simples. Para el caso de una función  f  definida en el rectángulo de (ℝ^3) A = [a, b]×[c, d]×[u, 
            v] se tiene que 
			 \(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_A\( f(x, y, 
                  z)\) \(d(x, y, 
                  z)\)\)\) = ∫\_a\%b\([∫\_c\%d\([∫\_u\%v\( f(x, y, 
                          z)\) dz]\) dy]\) dx\)
Observa que ahora hay seis integrales iteradas pero el valor de todas ellas es el mismo. Naturalmente, cuando A es un subconjunto de (ℝ^3) hay más posibilidades, pero la idea es siempre la misma: se obtiene primero la proyección de A sobre uno de los ejes o sobre uno de los planos coordenados, y para cada punto fijado en dicha proyección se obtiene el conjunto de los puntos de A que lo proyectan. 
Si, por ejemplo, la proyección de A sobre el eje OZ es un intervalo J = [s, t], y para cada z ∈ J es A(
          z) = {(x, y) : (x, y, z) ∈ A}, entonces:
			∫∫(∫_A) f(x, y, 
                      z) d(x, y, z)=\(∫\_s\%\(\(t\)\(\ \)\)\([∫\(∫\_\(A(z)\)\(f(x, y, z)\) d\((x, y)\)\)]\) dz\)
En el caso en que A sea un conjunto de tipo I en (ℝ^3), es decir, A puede representarse en la forma A = {(x, y, 
              z) : (x, y) ∈ Ω,  
          g(x, y) ≤ z ≤  h(x, y)}, donde Ω es la proyección de A sobre el plano XY, y  g ,h  son funciones reales definidas en Ω, entonces:
			\(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_A\( f(x, y, 
                  z)\) d\((x, y, 
                    z)\)\)\) = ∫\(∫\_\(\(Ω\)\(\ \)\)\([∫\_\(g(x, y)\)\%\(h(x, y)\)\(f(x, y, z)\) dz]\) d\((x, 
                  y)\)\)\)

Teorema del cambio de variables

Para funciones de una variable sabemos que (∫_a^b) f(
              x) dx = (∫_c^d) f(g(t)) 
            g' (t) dt donde se supone que a = g(c) y b = g(d). Supongamos que la función g es inyectiva, entonces g debe ser creciente o decreciente. Si es decreciente se tiene que d < c y g' (x) ≤ 0, por lo que (∫_c^d) f(g(t)) 
            g' (t) dt = -(∫_d^c) f(
                  g(t)) 
                g' (t) dt = (∫_d^c) f(
                g(t)) | g' (t) | dt. Podemos, por tanto, cuando g es inyectiva, escribir en todos los casos
			(∫_a^b) f(
              x) dx = (∫_α^β) f(
              g(t)) | g' (t) | dt 
donde g es una biyección del intervalo [α, β] sobre [a, b]. Esta fórmula se generaliza para funciones de varias variables dando lugar al teorema del cambio de variables.

El teorema del cambio de variable para integrales dobles afirma que
			∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
                y) = ∫(∫_B) f(g(u, v)) | 
          det (Subscript[J, g])(u, v) | d(u, v) 
donde se supone que la función g es una biyección de B sobre A de clase (C^1)(sus funciones componentes tienen derivadas parciales continuas) con determinante jacobiano distinto de cero, esto es, det (Subscript[J, g])(u, v) ≠  0 para todo (u, v) ∈ B. En esta fórmula se interpreta que la función g hace un cambio de coordenadas pues permite asignar a cada punto (x, y) ∈ A el único punto (u, v) ∈ B tal que g(u, v) = (x, y). 
Coordenadas polares. La función \(TraditionalForm\`g(ρ, θ) = \((ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\)\)es una biyección de Ω=\(\(ℝ\^+\)\(×\)\)]-π, π[ sobre \(TraditionalForm\`ℝ\^2\{\((x, 0)\) : 
            x ≤ 0}\) (el plano al que se ha quitado el semieje de abscisas negativo). Las componentes de g tienen derivadas parciales continuas y fácilmente se comprueba que det (Subscript[J, g])(ρ, θ) = ρ > 
          0. Los números ρ y θ dados por x = ρ cos θ,  
      y = ρ sen θ donde ρ > 0, -π<θ≤π se llaman las coordenadas polares del punto (x, y).

polares;

Como aplicación del teorema del cambio de variables obtenemos la igualdad
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = ∫\(∫\_B\ \(f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ \(d(ρ, θ)\)\)\) 
donde B={(ρ, θ):\((ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\)∈ A}. Si, por ejemplo, el conjunto A es de tipo I,  A = {(x, y) : a ≤ x ≤ b,  
          g(x) ≤ y ≤ h(x)}, entonces B={(ρ, θ):\(a ≤ ρ\ cos\ θ ≤ b, 
                g(\ ρ\ \ cos\ θ) ≤ \ ρ\ sen\ θ ≤ \ h(ρ\ cos\ θ)\)}. Es importante describir bien el conjunto B porque para calcular la integral \(TraditionalForm\`∫\(∫\_B\ \(f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ \(d(ρ, θ)\)\)\) tienes que aplicar, naturalmente, el teorema de Fubini. Si, por ejemplo, el conjunto B es de tipo II,  B = {(ρ, θ) : 
                  c ≤ θ ≤ d,  
                g(θ) ≤ ρ ≤ h(θ)}, entonces
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\_A\( f(x, y)\) \(d(x, 
                y)\)\) = \(∫\(∫\_B\ \(f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ \(d(ρ, θ)\)\) = ∫\_c\%d\([∫\_\(g(θ)\)\%\(h(θ)\)\(f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ dρ]\) dθ\)\)
Las coordenadas polares son especialmente útiles cuando el conjunto A es un círculo, o un sector circular o una corona circular, pues en estos casos el conjunto B es muy sencillo. Si, por ejemplo, A es el disco de centro el origen y radio R,  A  = D(0, 
            R) = {(x, y) : 
              (x^2) + (y^2) ≤ (R^( 2))} entonces \(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ)\) : ρ ≤ \(R\^\ \)} = \([0, R]\)×\([\(-π\), π]\)\)\). Por tanto
	\(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(0, R)\)\(f(x, y)\) \(d(
                x, y)\)\) = \(∫\_\(\(-π\)\(\ \)\)\%π\([∫\_0\%R\( 
                      f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ dρ]\) dθ = ∫\_0\%R\ \([∫\_\(-π\)\%π\( 
                      f(ρ\ cos\ θ, \ ρ\ sen\ θ)\) ρ\ dθ]\) dρ\)\)

El teorema del cambio de variable para integrales triples afirma que
			∫(∫_A) f(x, y, z) d(x, y, 
                z) = ∫(∫_B) f(g(u, v, w)) | 
          det (Subscript[J, g])(u, v, w) | d(u, v, w) 
donde se supone que la función g es una biyección de B sobre A de clase (C^1)(sus funciones componentes tienen derivadas parciales continuas) con determinante jacobiano distinto de cero, esto es, det (Subscript[J, g])(u, v, w) ≠  0 para todo (u, v, w) ∈ B.

Coordenadas esféricas. La función \(TraditionalForm\`g(ρ, θ, ϕ) = \((ρ\ senϕ\ cos\ θ, \ ρ\ senϕ\ sen\ θ, ρ\ cosϕ)\)\) es una biyección de Ω=\(TraditionalForm\`\(\(ℝ\^+\)\(×\)\)\)]-π, π[×]0, π[ sobre \(TraditionalForm\`ℝ\^3\{\((x, 0, z)\) : 
            x ≤ 0}\). Las componentes de g tienen derivadas parciales continuas y fácilmente se comprueba que \(TraditionalForm\`det\ \(\(J\_g\)(ρ, θ, ϕ)\) = \(-ρ\^2\) senϕ\). Los números ρ y θ y ϕ dados por x = ρ senϕ cos θ,  
      y = ρ senϕsen θ,  z = ρ cosϕ donde ρ > 0, -π<θ≤π, 0 ≤  ϕ ≤ π se llaman las coordenadas esféricas del punto (x, y, z).

esfericas;

Como aplicación del teorema del cambio de variables obtenemos la igualdad
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_A\ \(f(x, y, 
                  z)\) \(d(x, y, 
                  z)\)\)\) = ∫\(∫\(∫\_B\ \(f(ρ\ senϕ\ cos\ θ, \ ρ\ senϕ\ sen\ θ, ρ\ cosϕ)\) \(ρ\^2\) 
                senϕ\ \(d(ρ, θ, ϕ)\)\)\)\) 
donde B={(ρ, θ, ϕ):\((ρ\ senϕ\ cos\ θ, \ ρ\ senϕ\ sen\ θ, ρ\ cosϕ)\)∈ A}. Las coordenadas esféricas son especialmente útiles cuando el conjunto A es una esfera, o un sector esférico o una corona esférica, pues en estos casos el conjunto B es muy sencillo. Si, por ejemplo, A es la esfera de centro el origen y radio R,  A  = B(0, 
            R) = {(x, y, z) : 
              (x^2) + (y^2) + (z^2) ≤ (R^( 2))} entonces \(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ, ϕ)\) : ρ ≤ \(R\^\ \)} = \([0, 
              R]\)×\([\(-π\), π]\)×\([0, π]\)\)\). Por tanto
	\(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_\(B(0, R)\)\(f(x, y, z)\) \(d(x, y, 
                  z)\)\)\) = ∫\_0\%R\([∫\_\(\(-π\)\(\ \)\)\%π\([∫\_0\%π\( 
                          f(ρ\ senϕ\ cos\ θ, \ ρ\ senϕ\ sen\ θ, ρ\ cosϕ)\) \(ρ\^2\) 
                        sen\ ϕ dϕ]\) dθ]\) dρ\)
y la integral iterada puede hacerse en el orden que se quiera.
Interpretación del teorema del cambio de variables.
Todo esto está muy bien, pero ¿por qué se cumple el teorema del cambio de variables? Excepto el parecido que hay entre dicho teorema y la fórmula de cambio de variables en la integral simple, nada te he dicho que te ayude a comprender por qué dicho teorema tiene que ser cierto. No es díficil comprender de forma intuitiva las razones profundas del teorema. Por comodidad, consideremos el caso de integrales dobles. En la igualdad
			∫(∫_A) f(x, y) d(x, 
                y) = ∫(∫_B) f(g(u, v)) | 
          det (Subscript[J, g])(u, v) | d(u, v)
supongamos que la función f es la función constantemente igual a 1. Entonces dicha igualdad nos dice que
			∫(∫_A) 
            d(x, y) = ∫(∫_B)  | 
          det (Subscript[J, g])(u, v) | d(u, v)
y como, ∫(∫_A) d(x, y) = λ(
          A) es el área del conjunto A = g(B), lo que nos dice esta igualdad es que 
				λ(g(B)) = ∫(∫_B)  | 
          det (Subscript[J, g])(u, v) | d(u, v)		(1)
En particular, si la aplicación g es una aplicación lineal de (ℝ^2)en (ℝ^2), entonces el determiante jacobiano de g es el determinante de g (como aplicación lineal), esto es, det (Subscript[J, g])(u, v) = det(g). Si tomamos como conjunto B el intervalo [0, 1]×[0, 1] , obtenemos que 
	λ(
          g( [0, 1]×[0, 
                1] )) =  (∫_0^1)(∫_0^1) | 
            det (Subscript[J, g])(u, v) | 
            d(u, v) = |det(
                g)|(∫_0^1)(∫_0^1) d(u, 
                    v) = |det(g)|
es decir, el valor absoluto del determinante de una aplicación lineal es el área de la imagen por dicha aplicación del intervalo unidad [0, 1]×[0, 1]. ¡Que esto efectivamente se cumple puedes comprobarlo de forma elemental! Observa que en el caso, todavía más especial, de que g sea una aplicación lineal del tipo g(x, y) = (a x, b y) donde a y b son números reales, entonces |det(g)|=|ab| y, evidentemente, λ(
          g( [0, 1]×[0, 1] )) = |a b|. En este caso se ve claramente que |det(g)| representa el producto de las dilataciones que realiza g en cada uno de los ejes. Esta interpretación también es correcta para cualquier aplicación lineal. 
Podemos interpretar ahora la igualdad (1) anterior. En ella lo que se hace es aproximar localmente la aplicación diferenciable g por su aplicación derivada la cual, como sabes, es una aplicación lineal de (ℝ^2)en (ℝ^2) cuyo determinante es precisamente el determinante jacobiano de g,  det (Subscript[J, g])(u, v). De forma sugerente, la igualdad (1) expresa que la dilatación global que produce la aplicación diferenciable g se obtiene integrando las dilataciones locales y éstas se calculan sustituyendo g por su aplicación derivada.
La demostración del teorema del cambio de variables consiste en demostrar la igualdad (1) pues de ella se deduce con facilidad el caso general. Si con lo antes dicho has llegado a entrever las razones profundas de por qué se verifica dicha igualdad, cuando llegue el momento de abordar la demostración rigurosa del teorema tendrás casi todo el camino hecho.

Cálculo de integrales dobles

Ejercicio 1. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por z = 2  x  + 1 e inferiormente por el conjunto {(x, 
                  y) ∈ (ℝ^2) :  
                  (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1}.

Solución. Como se trata del primer ejercicio vamos a hacerlo con todo detalle y de varias formas diferentes. Empieza por ejecutar la siguiente celda y observar las figuras.

fig2;

Lo que este ejercicio nos pide es calcular el volumen del conjunto A = {(x, y, z) :  
            (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1,  
          0 ≤ z ≤ 2  x + 1}. Observa que dicho conjunto es la parte que queda por encima del plano XY del corte del cilindro circular recto en (ℝ^3)de ecuación  (x^2) + (((y - 1))^2) = 1con el plano z = 2  x + 1. La proyección del conjunto A sobre el plano XY es el segmento circular B = {(x, 
              y) ∈ (ℝ^2) :  
              x ≥ -1/2, 
          (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1}. Llamando f(x, y) = 2  x + 1, tenemos que f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈  B y  A = {(x, y, z) :  (x, y) ∈ B, 
          0 ≤ z ≤ f(x, y)}. Por tanto el volumen de A se obtiene calculando la integral doble ∫(∫_B) f(x, y) d(x, 
              y).  Aplicamos para ello el teorema de Fubini. Representemos el conjunto B.

fig3;

Claramente B es un conjunto de tipo I,  B = {(x, y) : -1/2 ≤ 
              x ≤ 1, 
          1 - (Sqrt[1 - (x^2)]) ≤ y ≤ 
            1 + (Sqrt[1 - (x^2)])}. Por  tanto
∫(∫_B) f(x, y) d(x, y)=(∫_(-1/2)^1)[(∫_(1 - (Sqrt[1 - (x^2)]))^(\(1 + \@\(1 - x\^2\)\)))(2  x + 1) dy]dx=2 (∫_(-1/2)^1)(2  x + 
                      1) (Sqrt[1 - (x^2)]) dx
El cálculo de esa integral tienes que hacerlo tú y puedes comprobar el resultado pues Mathematica dispone de un comando para calcular integrales dobles. El comando "Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]" integra f(x,y) primero repecto a y en [c, d] y después respecto a x en [a, b]. Naturalmente, c y d pueden ser funciones de x. Aquí tienes el resultado.

Integrate[
      2  x + 1, {x, -1/2, 1}, {y, 1 - (Sqrt[1 - (x^2)]), 
        1 + (Sqrt[1 - (x^2)])}]

Observa que también es posible describir el conjunto B como un conjunto de tipo II aunque tal descripción es más complicada pues hay que distinguir tres intervalos de variación para y (observa bien la figura anterior) que son [0, 1 - (Sqrt[3])/2]  , [1 - (Sqrt[3])/2, 
        1 + (Sqrt[3])/2]  , [1 + (Sqrt[3])/2, 2].
\(TraditionalForm\`B = \(\({\((x, 
                y)\) : \(\(\@3/2\)\(≤\)\)\ \  | 
                y - 1 | \(\(≤\)\(2\)\)\ , \ \(-\@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)\) ≤ 
              x ≤ \@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)}\)\(⋃\)\({\((x, 
                y)\) : \(\(|\)\(y - 
                  1\)\(|\)\(\(≤\)\(\ \ \)\(\@3/2\)\)\), \ \(-1\)/
                2 ≤ 
              x ≤ \@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)}\)\(\ \)\)\)
Por tanto  ∫(∫_B) f(x, y) d(x, y)=(∫_0^(1 - (Sqrt[3])/2))[(∫_(-(Sqrt[1 - (((y - 1))^2)]))^(\(\@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)\)))(2  x + 1) dx]dy+(∫_(1 - (Sqrt[3])/2)^(1 + (Sqrt[3])/2))[(∫_(-1/
                        2)^((Sqrt[1 - (((y - 1))^2)])))(2  x + 
                          1) dx]dy+(∫_(1 + (Sqrt[3])/2)^2)[(∫_(-(Sqrt[1 - (((y - 1))^2)]))^(\(\@\(1 - \((y - 1)\)\^2\)\)))(2  x + 1) dx]dy
Comprobemos el resultado.

FullSimplify[
      Integrate[
          2  x + 1, {y, 0, 
            1 - (Sqrt[3])/2}, {x, -(Sqrt[1 - (((y - 1))^2)]), (Sqrt[1 - (((y - 1))^2)])}] + 
        Integrate[
          2  x + 1, {y, 1 - (Sqrt[3])/2, 
            1 + (Sqrt[3])/2}, {x, -1/
              2, (Sqrt[1 - (((y - 1))^2)])}] + 
Integrate[
          2  x + 1, {y, 1 + (Sqrt[3])/2, 
            2}, {x, -(Sqrt[1 - (((y - 1))^2)]), (Sqrt[1 - (((y - 1))^2)])}]]

¿Convencido? Fíjate que lo que hemos hecho ha sido calcular el volumen del conjunto A por secciones perpendiculares al eje OX y al eje OY. También podemos calcular el volumen del conjunto A = {(x, y, z) :  
            (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1,  
          0 ≤ z ≤ 2  x + 1} mediante una integral triple. Tenemos que ∫∫(∫_A) 
              d(x, y, z) = volumen(A). Podemos calcular la integral ∫∫(∫_A) 
            d(x, y, z) por secciones perpendiculares al eje OZ (paralelas al plano XY). Para ello observa que si (x, y, z) ∈ A se tiene que 0 ≤ z ≤ 3. Por tanto la proyección de A sobre el eje OZ es el intervalo [0, 3]. Para cada z ∈ [0, 3] tenemos  A(
          z) = {(x, y) : (x, y, z) ∈ 
                A} = {(x, y) : ((z - 1)/2) ≤ x ≤ 
                  1,  (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 
                1} = {(x, y) : ((z - 1)/2) ≤ x ≤ 
                  1, 1 - (Sqrt[1 - (x^2)]) ≤ y ≤ 
                1 + (Sqrt[1 - (x^2)])} 
que es un segmento circular cuya área viene dada por 
			λ(
          A(z)) = (∫_((z - 1)/2)^1) 
            2 (Sqrt[ 1 - (x^2)]) dx 
deducimos que el volumen del conjunto A es igual a (∫_0^3) λ(
            A(z)) dz. Comprobémoslo.

Integrate[
      FullSimplify[Integrate[2 (Sqrt[ 1 - (x^2)]), {x, (z - 1)/2, 1}]], {z, 
        0, 3}]

Ejercicio 2

Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por z = x + y e inferiormente por el triángulo de vértices (0, 0) , (0, 1),  (1, 0).

Solución. Nos piden calcular el volumen del conjunto A = {(x, y, z) : 0 ≤ x, 
          0 ≤ y, x + y ≤ 1, 
          0 ≤ z ≤ x + y}. Se trata de una pirámide como muestra la siguiente figura (el vértice está en el origen, la vemos desde abajo).

fig4;

La proyección del conjunto A sobre el plano XY es el triángulo B = {(x, y) : 0 ≤ x, 
          0 ≤ y, x + y ≤ 1}. Se trata de un conjunto de tipo I pues B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 
          0 ≤ y ≤ 1 - x}. Por tanto, el volumen pedido es igual a \(TraditionalForm\`∫\(∫\_B\ \((x + 
                  y)\) d\((x, 
                  y)\)\) = ∫\_0\%1\([∫\_0\%\(1 - x\)\((x + y)\) dy]\) dx\)  que es inmediata.

Integrate[x + y, {x, 0, 1}, {y, 0, 1 - x}]

Que, efectivamente, es el volumen de una pirámide de altura (Sqrt[2])/2 y base rectangular de lados iguales a (Sqrt[2]) y a 1.

Ejercicio 3

Calcular el volumen del sólido comprendido por el paraboloide de ecuación z = (x^2) + (y^2) e inferiormente por el disco unidad.

Solución. Nos piden calcular el volumen del conjunto A = {(x, y, z) : (x^2) + (y^2) ≤ 1,  
          0 ≤ z ≤   (x^2) + (y^2)}. Se trata de la región del espacio comprendida dentro del cilindro en (ℝ^3)de ecuación (x^2) + (y^2) = 1 y que queda por debajo del paraboloide de ecuación z = (x^2) + (y^2) (se trata de un paraboloide de revolución porque sus secciones por planos paralelos a los planos XZ o YZ son parábolas y sus secciones por planos paralelos al plano XY son circunferencias). Realiza la siguiente celda para verla.

fig5;

Todo lo que hay que hacer es integrar la función f(x, y) = (x^2) + (y^2) en el disco unidad D(0, 
          1) = {(x, y) : (x^2) + (y^2) ≤ 1} que, evidentemente, es un conjunto de tipo I,  D(0, 
          1) = {(x, y) : 
            0 ≤  x ≤ 
              1, -(Sqrt[1 - (x^2)]) ≤ 
            y ≤ (Sqrt[1 - (x^2)])} . Por tanto
\(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(0, 1)\)\((x\^2 + 
                  y\^2)\) d\((x, 
                  y)\)\) = ∫\_0\%1\([∫\_\(-\@\(1 - x\^2\)\)\%\(\@\(1 - x\^2\)\)\((x\^2 + 
                      y\^2)\) dy]\) dx\)

Bueno, ahora te toca a ti acabar con esa integral. ¿Lo has intentado? Comprueba el resultado.

Integrate[
      (x^2) + (y^2), {x, -1, 
        1}, {y, -(Sqrt[1 - (x^2)]), (Sqrt[1 - (x^2)])}]

Mathematica calcula con facilidad esa integral pero nosotros haremos bien en calcularla en polares que es mucho más fácil pues ∫(∫_(D(0, 1)))((x^2) + 
                    (y^2)) d(x, y)={({{x = ρcosθ}, {y = ρsenθ}})}=\(∫\_\(-π\)\%\(\(π\)\(\ \)\)\ \([∫\_0\%1\( ρ\^3\) dρ]\) dθ\)  que es inmediata.

Integrate[(ρ^3), {θ, -π, π}, {ρ, 0, 
        1}]

Observa lo que ocurre si hacemos directamente las integrales iteradas sin pasar a coordenadas polares.

Integrate[
      (x^2) + (y^2), {y, -(Sqrt[1 - (x^2)]), (Sqrt[1 - (x^2)])}]

Ahora hay que integrar esa expresión. Se impone un cambio de variable.

FullSimplify[% /. x -> Sin[t], -π/2 < t < π/2]*
      Cos[t]

Ahora ya podemos integrar con facilidad. No hay que olvidar que los límites de integración han cambiado.

Integrate[%, {t, -π/2, π/2}]

Ejercicio 4

Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por z=4-(y^2)-((x^2)/4) e inferiormente por el disco  {(x, 
                  y) ∈ (ℝ^2) :  
                  (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1}.

Solución. Nos piden calcular el volumen del conjunto A={(x, y, z) : (x^2) + (((y - 1))^2) ≤ 1, 0≤z≤  4-(y^2)-((x^2)/4)}. Se trata de la intersección del paraboloide elíptico (llamado así porque sus secciones por planos paralelos a los planos XZ o YZ son parábolas y sus secciones por planos paralelos al plano XY son elipses) de ecuación  z=4-(y^2)-((x^2)/4) con el ciliendro circular recto en (ℝ^3)de ecuación (x^2) + (((y - 1))^2) = 1.

fig6;

El volumen del conjunto A viene dado por la integral doble ∫(∫_(D((0, 1), 1)))(4 - 
                (y^2) - (x^2)/4) d(x, y) que puede calcularse fácilmente con un cambio a coordenadas polares. Tenemos que ∫(∫_(D((0, 1), 1)))(4 - (y^2) - 
                    (x^2)/4) d(x, y)={({{x = ρ cos θ}, {y = ρ sen θ}})}=\(∫\(∫\_B\((4 - \(ρ\^2\) \(sen\^2\) θ - \(ρ\^2\) \(cos\^2\) θ/
                          4)\) ρ d\((ρ, θ)\)\)\). 
Donde \(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ)\) : \((ρ\ cos\ θ, ρ\ sen\ θ)\) ∈ 
                D(\((0, 1)\), 
                  1)} = \({\((ρ, θ)\) : \(ρ\^2\) \(cos\^2\) θ + \((ρ\ sen\ θ - 1)\)\^2 ≤ 
                  1} = {\((ρ, θ)\) : 
                0 ≤ θ ≤ π, ρ ≤ 2\ sen\ θ}\)\)\) 
Teniendo en cuenta que B es el círculo de centro (0, 1) y radio 1 la descrición de B en coordenadas polares se comprueba fácilmente.

fig7;

Por tanto \(TraditionalForm\`∫\(∫\_B\((4 - \(ρ\^2\) \(sen\^2\) θ - \(ρ\^2\) \(cos\^2\) θ/
                      4)\) ρ d\((ρ, θ)\)\) = ∫\_0\%π\([∫\_0\%\(2  sen\ θ\)\((4 - \(ρ\^2\) \(sen\^2\) θ - \(ρ\^2\) \(cos\^2\) θ/
                          4)\) ρ dρ]\) dθ\) . Ahora es tu turno. Calcula esa integral y comprueba el resultado.

Integrate[(4 - (ρ^2) 
              Sin[θ]^2 - (ρ^(2 )) 
              Cos[θ]^2/4)*ρ, {θ, 0, π}, {ρ, 0, 
        2 Sin[θ]}]

También puedes calcular la integral sustituyendo las variables sin olvidar multiplicar por el determinante jacobiano.

Integrate[((4 - (y^2) - 
                (x^2)/4) /. {x -> ρ Cos[θ], 
              y -> ρ Sin[θ]})*ρ, {θ, 
        0, π}, {ρ, 0, 2 Sin[θ]}]

Naturalmente, puedes también calcular la integral aplicando directamente el teorema de Fubini pero los cáclculos son más complicados. \(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(\((0, 1)\), 1)\)\((4 - 
                  y\^2 - x\^2/4)\) d\((x, 
                  y)\)\) = ∫\_\(-1\)\%1\([∫\_\(1 - \@\(1 - x\^2\)\)\%\(1 + \@\(1 - x\^2\)\)\((4 - y\^2 - 
                      x\^2/4)\) dy]\) dx\) . Puedes comprobar con Mathematica que el resultado es el mismo.

Integrate[
      4 - (y^2) - (x^2)/4, {x, -1, 1}, {y, 1 - (Sqrt[1 - (x^2)]), 
        1 + (Sqrt[1 - (x^2)])}]

Ejercicio 5

Calcular el volumen del conjunto {(x, y, x) ∈ (ℝ^3) :  
                0 ≤ z ≤ (x^2) + (y^2) ≤  
                  2  x}.

Solución.  Nos piden calcular el volumen del conjunto \(TraditionalForm
      \`A = {\((x, y, z)\) : y\^2 + \((x - 1)\)\^2 ≤ 1, \ 
          0 ≤ z ≤ x\^2 + y\^2}\). Se trata de la región bajo el paraboloide z = (x^2) + (y^2) e interior al cilindro circular recto  en (ℝ^3)de ecuación  (y^2) + (((x - 1))^2) = 1.

fig8;

El volumen del conjunto A viene dado por la integral doble \(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(\((1, 0)\), 1)\)\((x\^2 + y\^2)\) d\((x, y)\)\)\) que puede calcularse fácilmente con un cambio a coordenadas polares. Tenemos que ∫(∫_(D((1, 0), 1)))((x^2) + 
                    (y^2)) d(x, y)={({{x = ρ cos θ}, {y = ρ sen θ}})}=\(∫\(∫\_B\ \(ρ\^3\) d\((ρ, θ)\)\)\). 
Donde \(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ)\) : \((ρ\ cos\ θ, ρ\ sen\ θ)\) ∈ \ 
                D(\((1, 0)\), 
                  1)} = \({\((ρ, θ)\) : \((ρ\ cos\ θ - 1)\)\^2 + \(ρ\^2\) \(sen\^2\) θ ≤ 
                  1} = {\((ρ, θ)\) : \(-π\)/
                    2 ≤ θ ≤ π/
                    2, ρ ≤ 2\ cos\ θ}\)\)\) 
Teniendo en cuenta que B es el círculo de centro (1, 0) y radio 1 la descrición de B en coordenadas polares se comprueba fácilmente.

fig9;

Por tanto \(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(\((1, 0)\), 1)\)\((x\^2 + y\^2)\) d\((x, 
                  y)\)\) = \(∫\(∫\_B\ \(ρ\^3\) d\((ρ, θ)\)\) = ∫\_\(\(-π\)/2\)\%\(π/2\)\([∫\_0\%\(2  cosθ\)\(ρ\^3\) dρ]\) dθ\)\). Integral que debes de calcular y comprobar si tu resultado coincide con el de Mathematica.

Integrate[(ρ^3), {θ, -π/2, π/2}, {ρ, 0, 
        2  Cos[θ]}]

Naturalmente, también puedes hacer la integral sin cambiar a coordenadas polares, aplicando directamente el teorema de Fubini pues D((1, 0), 1) es una región de tipo I. Desde luego, no es el camino más fácil. Pídele a Mathematica que lo haga.

Integrate[
      (x^2) + (y^2), {x, 0, 
        2}, {y, -(Sqrt[1-(((1 - x))^2) ]), (Sqrt[1-(((1 - x))^2) ])}]

Ejercicio 6.

Calcular el volumen del conjunto A = {(x, y, 
                  z) ∈ (ℝ^3) : 
                  (x^2) + (y^2) ≤  
                    z ≤  (Sqrt[(x^2) + (y^2)])}

Como (x^2) + (y^2) ≤  
            z ≤  (Sqrt[(x^2) + (y^2)]) deberá ser (x^2) + (y^2) ≤1, y en consecuencia tendremos que  0 ≤ z ≤ 1. Dibujemos los gráficos de las funciones f(x, y)=(x^2) + (y^2), y g(x, y)=(Sqrt[(x^2) + (y^2)]).

fig10;

Como puedes ver se trata de un paraboloide de revolución. El que se engendra al girar la parábola z = (x^2)alrededor del eje OZ y de un cono circular recto engendrado al girar la recta z = x alrededor del eje OZ. Aquí puedes ver el cono dentro del paraboloide.

fig11;

Con lo ya visto es suficiente para calcular el volumen de la región comprendida entre el paraboloide y el cono.  La proyección del conjunto A sobre el plano XY es el disco unidad, D((0, 0), 1). Para cada (x, y) ∈ D((0, 0), 1), se tiene que (x^2) + (y^2) ≤  
        z ≤  (Sqrt[(x^2) + (y^2)]). En consecuencia, el volumen de A podemos obtenerlo calculando el volumen del "cilindro" con base el disco unidad y tapadera el cono y restándole el volumen del "cilindro" con la misma base y tapadera el paraboloide. Es decir, se trata de integrar la función (Sqrt[(x^2) + (y^2)]) - (x^2) - (y^2) en el disco unidad. Por supuesto, las coordenadas polares son las apropiadas también en este caso. Ahora debes acabar tú. Como siempre, comprueba la solución.

Integrate[(ρ - (ρ^2))*ρ, {θ, -π, π}, {ρ, 0, 1}]

También puedes intentar calcular directamente la integral. Veamos si Mathematica sabe hacerlo.

Integrate[(Sqrt[(x^2) + (y^2)]) - (x^2) - (y^2), {x, -1, 
        1}, {y, -(Sqrt[1 - (x^2)]), (Sqrt[1 - (x^2)])}]

Fíjate que Mathematica ha calculado la integral en la variable "y" pero, aparentemente, no sabe integrar respecto a "x" el resultado obtenido. Aveces, en estos casos, con un poco de ayuda, Mathematica puede hacer el cálculo que nos interesa pero no siempre hay garantía de éxito. Por ejemplo, podemos intenta hacer en la integral anterior el cambio x = sen t.

Integrate[
      FullSimplify[
        Integrate[(Sqrt[(x^2) + (y^2)]) - (x^2) - 
                (y^2), {y, -(Sqrt[1 - (x^2)]), (Sqrt[1 - (x^2)])}]*Cos[t] /. 
          x -> Sin[t], -π/2 < t < π/2], {t, -π/
          2, π/2}]

Pues sí, esta vez dió resultado.

Ejercicio 7

Calcular el volumen del conjunto A={(x, y, z)∈(ℝ^3):((x^2)/((a^2)))+((y^2)/(b^2))≤ 1 , 0≤z≤ (Sqrt[(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)]) }

Solución. Se trata de la intersección del cono elíptico (llamado así porque sus secciones por planos paralelos a los planos XZ o YZ son rectas y sus secciones por planos paralelos al plano XY son elipses) de ecuación  z= (Sqrt[(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)]) con el cilindro elíptico recto en (ℝ^3)de ecuación ((x^2)/((a^2)))+((y^2)/(b^2))= 1. Naturalmente, se supone que a y b son números positivos distintos (el caso a = b se reduce trivialmente al ejercicio anterior). Aquí puedes ver la mitad de A.

fig12;

El volumen del conjunto A viene dado por la integral doble ∫(∫_E)((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2))d(x, y) donde E es la elipse en el plano XY de ecuación ((x^2)/((a^2)))+((y^2)/(b^2))= 1. La integral  puede calcularse fácilmente con un cambio a coordenadas polares con un factor de escala apropiado. Tenemos que 
		∫(∫_E)((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2))d(x, y)={({{x = a ρ cos θ}, {y = b ρ sen θ}})}=∫(∫_B) (ρ^2)a b ρd(ρ, θ). 
Donde \(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ)\) : \((a\ ρ\ cos\ θ, b\ ρ\ sen\ θ)\) ∈ \ 
                E} = {\((ρ, θ)\) : \(-π\) ≤ θ ≤ π, ρ ≤ 1}\)\) . Luego \(TraditionalForm\`∫\(∫\_B\ \(ρ\^2\) 
              a\ b\ ρ d\((ρ, θ)\)\) = \(a\ b \(∫\_\(-π\)\%π\([∫\_0\%1\( ρ\^3\) dρ]\) dθ\) = a\ b\ π/2\)\).

Integrate[(ρ^2)*a *
        b*ρ, {θ, -π, π}, {ρ, 0, 1}]

Ejercicio 8

Vamos a calcular el volumen de la intersección de una esfera de radio 2  a centrada en el origen con un cilindro circular recto cuya base es la circunferencia contenida en el plano XY de centro (0, a, 0) y radio a (conjunto que se conoce con el nombre de bóveda de Viviani).

Solución. Nos piden calcular el volumen del conjunto {(x, y, z) : 
          (x^2) + (((y - a))^2) ≤ (a^2),  
        (x^2) + (y^2) + (z^2) ≤ 4  (a^2)}. Por simetría podemos considerar que z ≥ 0. Sea, pues A = {(x, y, z) : 
            (x^2) + (((y - a))^2) ≤ (a^2),  
          (x^2) + (y^2) + (z^2) ≤ 4  (a^2), 0 ≤ z}. Observa que se trata de un conjunto de tipo I en (ℝ^3), pues A = {(x, y, z) : (x, y) ∈ 
              D((0, a), a), 
          0 ≤ z ≤  (Sqrt[4  (a^2) - (x^2) - (y^2)])}.

fig13;

Por tanto el volumen de A es igual a la integral  \(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(\((0, a)\), a)\)\(\@\(4  a\^2 - x\^2 - y\^2\)\) d\((x, y)\)\)\) que, de nuevo, se calcula fácilmente en coordenadas polares de forma muy parecida al ejercicio 4. 
\(TraditionalForm\`∫\(∫\_\(D(\((0, a)\), a)\)\(\@\(4  a\^2 - x\^2 - y\^2\)\) d\((x, 
                  y)\)\) = ∫\_0\%π\([∫\_0\%\(2  a\ sen\ θ\)\ ρ\ \ \(\@\(4\ a\^2 - ρ\^2\)\) dρ]\) dθ\)
Ahora debes hacer tú el cálculo correspondiente.

Simplify[
      Integrate[
        FullSimplify[
          Integrate[ ρ  (Sqrt[4 (a^2) - (ρ^2)]), {ρ, 0, 
              2 a Sin[θ]}], 
          a > 0   &&  0 < θ < π], {θ, 
          0, π}]]

También podemos tratar de calcular el volumen de A por secciones perpendiculares al eje OZ. Para ello observamos que la proyección del conjunto A sobre el eje OZ es el intervalo [0, 2 a] y, fijado z en dicho intervalo, tenemos que la sección de A por el plano de ecuación Z = z se proyecta en el plano XY en el conjunto  A(
                z) = {(x, y) : 
                    (x^2) + (((y - a))^2) ≤ (a^2),  
                  (x^2) + (y^2) ≤ 4  (a^2) - (z^2)} = 
                D((0, a), a) ⋂ 
                  D((0, 0), (Sqrt[4  (a^2) - (z^2)])) (intersección de dos discos).

fig14;

Observa que la forma más adecuada de describir A(z) = U ⋃ V es como región de tipo II (unión de dos regiones de tipo II). El área de A(z) es  igual a 
\(TraditionalForm\`λ(A(z)) = \(λ(U) + λ(V) = 
          2 \(∫\_0\%\(\((4  a\^2 - z\^2)\)/2  a\)\(\@\(a\^2 - \((y - a)\)\^2\)\) dy\) + 
            2 \(∫\_\(\((4  a\^2 - z\^2)\)/2  a\)\%\(\@\(4  a\^2 - z\^2\)\)\(\@\(\((4  a\^2 - z\^2)\) - y\^2\)\) dy\)\)\)
Por tanto, el volumen de A es igual a (∫_0^(2  a))λ(
            A(z)) dz. Estas integrales son trabajosas de hacer. Al introducir un parámetro a, el cálculo anterior se complica bastante. Puedes hacerlo con Mathematica pero tienes que darle toda la ayuda posible. Creo que no merece la pena porque el esfuerzo no compensa ya que la integral se hace, como has visto, fácilmente en coordenadas polares. Por si tienes curiosidad puedes ver el código en la inizialización.

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Cálculo de integrales triples

Ejercicio 9.

Calcular la integral ∫∫(∫_A) 
                  (x^2) d(x, y, z) donde A es el conjunto 
			 A = {(x, y, z) : 
                    (x^2) + (y^2) + (((z - 1))^2) ≤ 1,  
                  3 (z^2) ≥  (x^2) + (y^2)}.

Solución. El conjunto A es la región que queda por encima del cono de revolución de ecuación  3 (z^2) =  (x^2) + (y^2) y dentro de la esfera de centro (0, 0, 1) y radio 1. Su aspecto es el de una gran bola de helado sobre un pequeño cucurucho. Aquí lo tienes (está entreabierto para que pueda apreciarse su interior).

fig15;

En la intersección de la esfera y el cono se cumplirá que (x^2) + (y^2) = 3  (z^2) = 1 - (((z - 1))^2) de donde se obtiene que debe ser z = 1/2. Es decir, dicha intersección es el conjunto de puntos de la forma (x, y, 1/2) donde (x^2) + (y^2) = 3/4, esto es, la circunferencia situada en el plano de ecuación z = 1/2, centrada en (0, 0, 1/2) y de radio (Sqrt[3])/2.
Podemos calcular la integral por secciones paralelas al plano XY. Pues la proyección de A sobre el eje OZ es el intervalo [0, 2] y, para cada z fijo en dicho intervalo se tiene que:
Si  0 ≤ z ≤ 1/2, \(TraditionalForm
      \`A(z) = \({\((x, y)\) : \((x, y, z)\) ϵ\ A} = {
            \((x, y)\) : \ x\^2 + y\^2 ≤ 3  z\^2}\)\) 
Si 1/2 ≤ z ≤ 2, \(TraditionalForm
      \`A(z) = \({\((x, y)\) : \((x, y, z)\) ϵ\ A} = 
          \({\((x, y)\) : \ x\^2 + y\^2 ≤ 1 - \((z - 1)\)\^2} = {
              \((x, y)\) : \ x\^2 + y\^2 ≤ 2  z - z\^2}\)\)\)
Por tanto, aplicando el teorema de Fubini, tenemos que
\(TraditionalForm
      \`\(\(∫\(∫∫\)\)\+A\) \(x\^2\) 
          d\((x, y, z)\) = 
        ∫\_0
              \%\(1/2\)\([
                \(\(∫∫\)\+\(A(z)\)\) \(x\^2\) 
                  d\((x, y)\)]\) dz + 
          ∫\_\(1/2\)\%2
              \([\(\(∫∫\)\+\(A(z)\)\) \(x\^2\) 
                  d\((x, y)\)]\) dz\)
Estas integrale puedes calcularlas pasando a coordenadas polares. Esto ya debes de saber hacerlo. ¡Hazlo!

Integrate[(ρ^3) Cos[θ]^2, {z, 0, 
          1/2}, {θ, -π, π}, {ρ, 0, (Sqrt[3]) z}] + 
      Integrate[(ρ^3) Cos[θ]^2, {z, 1/2, 
          2}, {θ, -π, π}, {ρ, 
          0, (Sqrt[2  z - (z^2)])}]

También se puede calcular la integral pedida proyectando el conjunto A sobre el plano XY. Claramente la proyección de A sobre el plano XY es el disco unidad D((0, 0), 1). Fijado (x, y) ∈  D((0, 0), 1), el conjunto A(x, y) = {z : (x, y, z) ∈ A} es el intervalo siguiente:
Si (x^2) + (y^2) ≤ 3/4, A(x, y)=[((Sqrt[(x^2) + (y^2)])/(Sqrt[3])), 
          1 + (Sqrt[1 - (x^2) - (y^2)])]  (pues z varía desde el cono hasta la parte superior de la esfera).
Si 3/4 ≤  (x^2) + (y^2) ≤ 1, A(x, y)=[1 - (Sqrt[1 - (x^2) - (y^2)]), 
          1 + (Sqrt[1 - (x^2) - (y^2)])]  (pues z varía entre la parte superior e inferior de la esfera).
Representando por D(0, (Sqrt[3])/2) el disco de centro 0 y radio (Sqrt[3])/2, y por A(0, (Sqrt[3])/2, 1) el anillo de centro 0 y radios (Sqrt[3])/2 y 1, tenemos que la integral pedida es igual a: 
\(TraditionalForm\`\(∫∫\)\+\(D(0, \@3/2)\)[∫\_\(\(\ \)\(\(1\/\@3\) \@\(x\^2 + y\^2\)\)\)\%\(\(1\)\(+\)\(\@\(1 - x\^2 - y\^2\)\)\(\ \)\)\(x\^2\) dz] d\((x, 
                y)\)\ \ \  + \(∫∫\)\+\(A(0, \@3/2, 1)\)[∫\_\(\(\ \)\(1 - \@\(1 - x\^2 - y\^2\)\)\)\%\(\(1\)\(+\)\(\@\(1 - x\^2 - y\^2\)\)\(\ \)\)\(x\^2\) dz] d\((x, 
                y)\) = \(\(∫∫\)\+\(D(
                  0, \@3/2)\)\) \(\(x\^2\)(
              1 + \@\(1 - x\^2 - y\^2\)\  - \(1\/\@3\) \@\(\(x\^2\)\(+\)\(y\^2\)\(\ \)\))\) d\((x, 
                y)\)\ \ \  + \(\(∫∫\)\+\(A(0, \@3/2, 
                  1)\)\) 2\ \(x\^2\) \(\@\(1 - x\^2 - 
                  y\^2\)\) \(\(d\((x, y)\)\)\(\ \)\)\)
integrales que, como de costumbre, se calculan más fácilmente pasando a coordenadas polares. Bueno, yo llego hastá aquí. Ahora esres tú quien debe acabar el ejercicio.

Integrate[
        FullSimplify[((x^2) (1 + (Sqrt[1 - (x^2) - (y^2)])  - (1/(Sqrt[3])) (Sqrt[(x^2)+(y^2) ])) /. {x -> ρ Cos[θ], 
                  y -> ρ Sin[θ]})*ρ, ρ > 
            0], {θ, -π, π}, {ρ, 0, (Sqrt[3])/2}] + 
      Integrate[
        FullSimplify[(2 (x^2) (Sqrt[1 - (x^2) - (y^2)]) /. {x -> ρ Cos[θ], y -> ρ Sin[θ]})*ρ, ρ > 
            0], {θ, -π, π}, {ρ, (Sqrt[3])/2, 1}]

Finalmente, podemos calcular la integral pasando a coordenadas esféricas y quizás sea este el camino más natural para hacerla. Aplicando el teorema del cambio de variables tenemos que:
		\(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_A\( 
                    x\^2\) d\((x, y, 
                    z)\)\)\) = ∫\(∫\(∫\_B\(\((ρ\ Sin[ϕ] Cos[θ])\)\^2\) \(ρ\^2\) 
                Sin[ϕ] d\((ρ, θ, ϕ)\)\)\)\)
donde el conjunto B viene dado por 
\(TraditionalForm\`B = \({\((ρ, θ, ϕ)\) : \((\ ρ\ Sin[ϕ] Cos[θ]\ , ρ\ Sin[ϕ] 
                    Cos[θ]\ , ρ\ Cos[ϕ]\ )\) ∈ 
                A} = \({\((ρ, θ, ϕ)\) : \ ρ ≤ 2\ Cos[ϕ], 
              3\ Cos[ϕ]\^2 ≥ \ 
                Sin[ϕ]\^2} = \({\((ρ, θ, ϕ)\) : \(-π\) ≤ θ ≤ π, \ ρ ≤ 
                  2\ Cos[ϕ], 
                Tan[ϕ] ≤ 
                  1\/\@3} = {\((ρ, θ, ϕ)\) : \(-π\) ≤ θ ≤ π, \ ρ ≤ 
                  2\ Cos[ϕ], 
                0 ≤ ϕ ≤ π/3}\)\)\)\)

Aplicando ahora el teorema de Fubini, obtenemos:
\(TraditionalForm\`∫\(∫\(∫\_B\(\((ρ\ Sin[ϕ] Cos[θ])\)\^2\) \(ρ\^2\) 
                Sin[ϕ] d\((ρ, θ, ϕ)\)\)\) = ∫\_\(-π\)\%π\([∫\_0\%\(π/3\)\([∫\_0\%\(2  Cos[ϕ]\)\(\((ρ\ Cos[θ]\ Sin[ϕ])\)\^2\) \(ρ\^2\) 
                        Sin[ϕ] dρ]\) dϕ]\) dθ\)
cuyo cálculo, ya sabes que debes hacer.

Integrate[(((ρ Cos[θ] Sin[ϕ]))^2) (ρ^2) 
        Sin[ϕ], {θ, -π, π}, {ϕ, 
        0, π/3}, {ρ, 0, 2 Cos[ϕ]}]