Repaso de las funciones elementales básicas

Usaremos las posibilidades gráficas y de cálculo de Mathematica para repasar las funciones elementales. En este cuaderno debes usar la versión 5.0 de Mathematica o superior porque algunos comandos no funcionan en versiones anteriores.

Logaritmos

Te recuerdo que, dado un número positivo a > 0,  a ≠ 1,  y un número real x > 0, se define el logaritmo en base a de x como el único número real y tal que (a^y) = x. Los logaritmos en base E se llaman logaritmos naturales (o neperianos).

Log[10, 10. ]   
Log[10. ]   
Log[E, 10. ]

Plot[Log[2, x], {x,  .1, 9}];

Plot[Log[ .5, x], {x,  .1, 9}] ;

Limit[Log[2, x], x -> +∞, 
      Assumptions -> a > 1]

Limit[Log[a, x], x -> 0, Assumptions -> a > 1]

Limit[Log[a, x], x -> +∞, 
      Assumptions -> 0 < a < 1]

\(\(Limit[Log[a, x], x -> 0, Assumptions -> 0 < a < 1]
 (*\ 
      el\ límite\ en\ 0\ de\ la\ función\ logaritmo\ de\ base
          \ a < 1\ es\  + ∞\ *) \)\)

Podemos comprobar con Mathematica la propiedad pricipal de los logaritmos: el logaritmo de un producto de números reales positivos es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Simplify[Log[x*y] == Log[x] + Log[y], 
      x > 0  &&  y > 0]

Es fácil relacionar los logaritmnos en cualquier base con los logaritmos neperianos.

Simplify[Log[a, x] == Log[x]/Log[a], 
      x > 0  &&  a > 0]

En esta asignatura trabajaremos siempre con logaritmos naturales o neperianos.

Exponenciales

La función exponencial de base a (a > 0,  a ≠  1) es la función inversa de la función logaritmo de base a. La exponencal de base E se llama exponencial natural y es la inversa de la función logaritmo natural.

2^(3.14)  

    Exp[3.14]

Plot[(1.8)^x, {x, -5, 5}];

Plot[(0.5)^x, {x, -5, 5}];

Limit[a^x, x -> +Infinity, Assumptions -> a > 1]

Limit[a^x, x -> -Infinity, Assumptions -> a > 1]

Limit[a^x, x -> +Infinity, Assumptions -> 0 < a < 1]

Limit[a^x, x -> -Infinity, Assumptions -> 0 < a < 1]

Podemos comprobar con Mathematica la propiedad principal de la exponencial: la exponencial de una suma es igual al producto de las exponenciales de los sumandos.

Simplify[Exp[x + y] == Exp[x]*Exp[y]]

No debes olvidar que la exponencial de un número real es siempre un número positivo.

Simplify[Exp[x] > 0, x ∈ Reals]

Potencias de base y exponente real

Dados x > 0 e y ∈ ℝ se define  (x^y) = (e^(y log x)). La función potencia de exponente real b es la función que a cada número real x > 0 hace corresponder (x^b) = (e^(b log x)).

\(\(\(Plot[x^\(( .36)\), {x, 0, 5}]\ ; 
    \)
 (*\ la\ función\ potencia\ de\ exponente\ b > 
        0\ es\ creciente\ *) \)\)

Plot[x^(-0.36), {x, 0.01, 5}] ;

Podemos comprobar con Mathematica la propiedad principal de las potencias reales: la potencia de un producto de números positivos es igual al producto de las potencias de los factores.

Simplify[(x*y)^b == (x^b)*(y^b), x > 0  &&  y > 0]

Escala de infinitos

Limit[((((1 + 10^(-5)))^x)/(x^100000)), 
      x -> +∞]

\(\(Limit[a\^x\/x\^b, x -> \(+∞\), 
      Assumptions -> a > 1\  && \ b > 0]
 (*\ 
      una\ exponencial\ de\ base\ a > 1, \ 
      crece\ más\ rápidamente\  - \ aunque\ a > 
        1\ esté\ muy\ cerca\ de\ 1\  - \ \ 
          que\ cualquier\ potencia\ de\ exponente\ b\  - \ 
          por\ grande\ que\ pueda\ ser\ b\  - \ *) \)\)

\(Limit[x\^ .0000001\/\(\((Log[x])\)\(\ \)\)\^100, 
      x -> \(+Infinity\)]\)

Limit[((x^b)/(((Log[x]))^c)), x -> +∞, 
      Assumptions -> b > 0  &&  c > 0]

Funciones trigonométricas

Plot[Sin[x], {x, -2 π, 2  π}, 
        Ticks -> {(Range[9] - 5) π/
                2, {1, -1}}];

Simplify[Sin[x + 2  π]]

Plot[Cos[x], {x, -2 π, 2  π}, 
        Ticks -> {(Range[9] - 5) π/
                2, {1, -1}}];

Simplify[Sin[x + π/2]]

Simplify[Cos[x]^2 + Sin[x]^2]

Simplify[Cos[-x]]Simplify[Sin[-x]]

TrigExpand[Cos[x + y]]

TrigExpand[Sin[x + y]]

Plot[Tan[x], {x, -π/2 +  .5, π/2 -  .5}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Simplify[Tan[x + π] == Tan[x]]

El permanente problema de los grados y los radianes

Las funciones trigonométricas trabajan todas por defecto en radianes.

Sin[45. ]  Sin[π/4]

Sin[90. ]  Sin[π/2]

Para pasar de grados a radianes se multiplica por (π/180) esa constante se llama "Degree".

Sin[90 Degree]   Sin[45 Degree]

{N[Degree], N[π/180]}

Las funciones arcotangente, arcoseno, arcocoseno

Estas funciones están definidas en los apuntes de teoría. Lo que sigue es un complemento de lo allí expuesto.

Plot[ArcSin[x], {x, -1, 1}];

Simplify[ArcSin[-x]]

Simplify[Sin[ArcSin[x]]]

Mathematica no puede simplificar la siguiente expresión.

Simplify[ArcSin[Sin[x]]]

En general, el ArcSin[Sin[x]] no es igual a x.

ArcSin[Sin[3. ]]

ArcSin[Sin[x]] es igual a x solamente cuando x está en el intervalo [-Pi/2,Pi/2] que es donde toma valores la función arcoseno.

Simplify[ArcSin[Sin[x]], -Pi/2 ≤ x ≤ Pi/2]

Podemos comprobar este resultado gráficamente.

Plot[ArcSin[Sin[x]], {x, -π/2, π/2}];

Plot[ArcSin[Sin[x]], {x, -2 π, 2  π}];

Plot[ArcCos[x], {x, -1, 1}];

FullSimplify[ArcSin[x] + ArcCos[x]]

Simplify[Cos[ArcCos[x]]]

Mathematica no puede simplificar la siguiente expresión.

Simplify[ArcCos[Cos[x]]]

En general, el ArcCos[Cos[x]] no es igual a x.

ArcCos[Cos[4. ]]

ArcCos[Cos[x]] es igual a x solamente cuando x está en el intervalo [0,Pi] que es donde toma valores la función arcocoseno.

Simplify[ArcCos[Cos[x]], 0 ≤ x ≤ Pi]

Podemos comprobar este resultado gráficamente.

Plot[ArcCos[Cos[x]], {x, 0, π}, AspectRatio -> 1];

Aquí puedes ver la gráfica de la función arcotangente

Plot[{π/2, ArcTan[x], -π/2}, {x, -2, 2}];

Recuerda que la función arcotangente está acotada y toma valores en el intervalo ]-Pi/2,Pi/2[. Puedes comprobarlo con Mathematica.

Simplify[-π/2 < ArcTan[x] < π/2, x ∈ Reals]

Limit[ArcTan[x], x -> +∞]Limit[ArcTan[x], x -> -∞]

Simplify[Tan[ArcTan[x]]]

Mathematica no puede simplificar la siguiente expresión.

Simplify[ArcTan[Tan[x]]]

La razón es que no siempre ArcTan[Tan[x]] es igual a x.

ArcTan[Tan[3.5]]

ArcTan[Tan[x]] es igual a x solamente cuando x está en el intervalodonde toma valores la función arcotangente, esto es en  ]-Pi/2,Pi/2[.

Simplify[ArcTan[Tan[x]], -Pi/2 < x < Pi/2]

Podemos comprobar este resultado gráficamente.

Plot[ArcTan[Tan[x]], {x, -π/2, π/2}];

Plot[ArcTan[Tan[x]], {x, -2 π, 2  π}];

Funciones hiperbólicas

Plot[Sinh[x], {x, -2, 2}];

Plot[Cosh[x], {x, -2, 2}];

TrigToExp[Sinh[x]]

TrigToExp[Cosh[x]]

Plot[ArcSinh[x], {x, -2, 2}]

Plot[ArcCosh[x], {x, 0, 2}]

Simplify[Sinh[ArcSinh[x]]]

Simplify[Cosh[ArcCosh[x]]]

{Simplify[ArcCosh[Cosh[x]]], 
      Simplify[ArcCosh[Cosh[x]], x > 0]}

{TrigToExp[ArcSinh[x]], TrigToExp[ArcCosh[x]]}