Campos vectoriales. Integrales de línea

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Campos vectoriales

Recuerda que un campo escalar de n variables es una función f : A -> ℝ donde A es un subconjunto de (ℝ^n). Un campo vectorial es una función que a cada punto de una región de un espacio vectorial hace corresponder un vector de dicho espacio. Concretamente, un campo vectorial de n variables es una aplicación F:A-> (ℝ^n) donde A es un subconjunto de (ℝ^n). Dicha función debe ser de la forma F(x)=((Subscript[F, 1])(x), (Subscript[F, 2])(x),  ... , (Subscript[F, n])(x)) donde (Subscript[F, 1]),  (Subscript[F, 2]),  .. , (Subscript[F, n ])son campos escalares de n variables llamados componentes de F. Se dice que F es continuo o que tiene derivadas parciales o que es de clase (C^k) (tiene derivadas parciales de orden k continuas) cuando todos los campos escalares componentes de F tienen la correspondiente propiedad. Por ejemplo, las funciones

F(x, y)=\((x\/\(\(\ \)\(1 + x\^2 + y\^2\)\), \(-y\)\/\(1 + x\^2 + y\^2\))\)=(x/( 1 + (x^2) + (y^2)))i - (y/(1 + (x^2) + (y^2)))j
G(x, y, z)=\((\(-x\)\/\(\(\ \)\(1 + x\^2\)\), \(-y\)\/\(1 + y\^2\), \(-z\)\/\(1 + z\^2\))\)=-(x/(1 +  (x^2)))i - (y/( 1 + (y^2)))j - (z/( 1 + (z^2)))k

son campos vectoriales de 2 y 3 variables de clase (C^∞)definidos en (ℝ^2) y en (ℝ^3) respectivamente. Como puedes ver, nada nuevo hay en el concepto de campo vectorial pues se trata de un tipo particular de funciones que ya conoces. Ahora bien, cuando decimos que una función F:A-> (ℝ^n) donde A ⊂ (ℝ^n) es un campo vectorial es porque la visualizamos de una forma especial y consideramos que dicha función hace corresponder a cada vector x ∈ A el vector F(x) con origen en el punto x.

Mathematica dispone de los comandos

PlotVectorField[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},opciones] PlotVectorField3D[f[x,y,z],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax},opciones]

para representa gráficamente campos vectoriales de 2 y 3 variables respectivamente. Para poder usarlos hay que cargar los correspondientes paquetes.

<<Graphics`PlotField`

<<Graphics`PlotField3D`

F[x_, y_] := {(x/( 1 + (x^2) + (y^2))), ((-y)/(1 + (x^2) + (y^2)))}
        \(PlotVectorField[\ F[x, y], {x, \(-1\), 1}, {y, \(-1\), 1}]; 

    Clear[F]\)

G[x_, y_, z_] := {((-x)/( 1 + (x^2))), ((-y)/(1 + (y^2))), 
        ((-z)/(1 + (z^2)))}\(PlotVectorField3D[\ 
      G[x, y, z], {x, \(-1\), 1}, {y, \(-1\), 1}, {z, \(-1\), 1}, 
      VectorHeads -> True, ColorFunction -> Hue]; 
Clear[G]\)

En general, los campos vectoriales de 2 variables son funciones de la forma

F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=P(x, y)i+Q(x, y)j

y los campos vectoriales de 3 variables son funciones de la forma

F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k

Ejemplos

Campo gravitacional. La ley de la gravitación de Newton establece que la norma euclídea (la magnitud se dice en física) de la  fuerza (no olvides que la fueza es un vector) de atracción gravitacional, F, entre dos objetos de masas m y M es

||F||=((m M G)/(r^2))

donde r es la distancia euclídea entre dichos objetos y G es la constante gravitacional universal. Si el objeto de masa M se encuentra en el origen y el objeto de masa m se encuentra en un punto r=(x, y, z), entonces r=||r||. Como, además, la fuerza ejercida por el objeto de masa M sobre el objeto de masa m está dirigida desde éste hacia el origen y un vector unitario en dicha dirección es -r/||r||, deducimos que dicha fuerza viene dada por

F (r)=-((m M G)/(||r\( || \^3\)))r

Esta igualdad vectorial puede escribirse también en la forma:

F(x, y, z)=-((m M G x)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))i -((m M G y)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))j-((m M G z)/((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(3/2)))k

Campo eléctrico producido por una carga.  La ley de Coulomb establece que la norma euclídea (la magnitud se dice en física) de la fuerza (no olvides que la fuerza es un vector), F, ejercida entre dos cargas eléctricas q y Q es

||F||=(( |q Q|)/(4  π ϵ (r^2)))

donde r es la distancia euclídea entre dichas cargas y ϵ  es una constante. Si la carga Q se encuentra en el origen y la carga q se encuentra en un punto x=(x, y, z), entonces r=||x||. Como, además, la fuerza ejercida por la carga Q sobre la carga q actúa en la dirección del segmento de recta que une ambas cargas y es atractiva o repulsiva según que ambas cargas sean de distinto o de igual signo, y un vector unitario en la dirección del vector x es x/||x||, deducimos que dicha fuerza viene dada por

F (x)=(( q Q)/(4  π ϵ||x\( || \^3\)))x

La fuerza ejercida por unidad de carga es, por definición, el campo eléctrico, E, creado por la carga Q que viene dado por

E (x)=((F (x))/q)=(Q/(4  π ϵ||x((||)^3)))x

Campos de gradiente. Sea f : A -> ℝ donde A es un subconjunto de (ℝ^n) un campo escalar de n variables. El gradiente de dicho campo escalar en un punto x = ((Subscript[x, 1]),  (Subscript[x, 2]),  ... , (Subscript[x, n])) ∈ 
          A es, por definición, el vector

∇f(
          x) = (∂(f/∂) 
                (Subscript[x, 1]) (x),  ∂(f/∂) 
                (Subscript[x, 2]) (x),  ... , ∂(f/∂) 
                (Subscript[x, n]) (x))

La aplicación ∇f : A -> ℝ que a cada x ∈ A hace corresponder el gradiente de f en x se llama campo vectorial gradiente de f.

Integrales de línea

Integral de línea de un campo escalar

Sea \(TraditionalForm
      \`γ : \([a, b]\) -> ℝ\^n\) una curva con derivada continua y sea f : A -> ℝ un campo escalar continuo definido en un conjunto A ⊂ (ℝ^n) que contiene a la imagen de γ, esto es, γ([a, b]) ⊂ A. La integral de línea de f  sobre la curva γ es el número

(∫_γ)f=(∫_a^b)f(γ (t))||γ' (t)||dt

Para n = 2, poniendo γ(t) = (x(t), y(t)), la integral anterior es

(∫_γ)f=(∫_a^b)f(x (t), y (t))(Sqrt[x ' (((t))^2)+y ' (((t))^2)])dt

Para n = 3, poniendo γ(t) = (x(t), y(t),  z(t)), la integral anterior es

(∫_γ)f=(∫_a^b)f(x (t), y (t),  z (t))(Sqrt[x ' (((t))^2)+y ' (((t))^2)+z ' (((t))^2)])dt

OBSERVACIONES. Suelen usarse distintas notaciones para las integrales de línea. Es frecuente la notación

(∫_γ)f(x, y)ds

en la cual el símbolo ds indica que se integra respecto al elemento diferencial de longitud de arco. Esta notación está de acuerdo con el hecho de que cuando la función f  es la función constantemente igual a 1 se tiene que

(∫_γ) 1=(∫_γ) 1ds=(∫_a^b) || γ' (t) || 
              dt

es la longitud de la curva γ. Cuando la curva γ es una curva cerrada a algunos les gusta usar alguno de los símbolos

(∮_γ)f(x, y)ds        o                (Subscript[∳, γ])f(x, y)ds

para indicar la integral de línea de f  sobre γ (en el segundo símbolo la flechita indica que la curva tiene determinada orientación; estudiaremos esto más adelante). No necesito decirte que no debes preocuparte por el símbolo que se usa sino que lo importante es comprender bien la definición de lo que dicho símbolo significa.

Cuando la función f  es positiva, el valor de la integral de línea (∫_γ)f puede interpretarse como el área de un lado de una cortina que cuelga de un alambre cuya forma viene dada por la curva γ y cuya altura en cada punto γ(t) viene dada por f(γ(t)). 
Otra posible interpretación es cuando f(γ(t)) es la densidad lineal en el punto γ(t) de un alambre cuya forma viene dada por la curva γ; en tal caso la integral (∫_γ)f nos da la masa total del alambre. El centro de masas del alambre es el punto de coordenadas (α, β) dadas por:

α=(((∫_γ) x f(x, y)ds)/((∫_γ)f)), β= (((∫_γ) y f(x, y)ds)/((∫_γ)f))

Cuando la densidad es constante el centro de masas se denomina centroide (que es una propiedad geométrica de la curva).

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Una integral de línea depende de DOS funciones: la función  f  y la función γ; necesitas conocer dichas funciones para poder calcular la integral. Cuando se intregra sobre curvas sencillas como, por ejemplo, un segmento o una circunferencia la función γ se da por sabida. Esto puede dar lugar a confusiones. Intentaré aclarar este punto.

Calculemos la integral de la función f(x, y) = (x^2) + (y^2) sobre la circunferencia unidad Γ={(x, y) ∈ (ℝ^2) : 
                      (x^2) + (y^2) = 1}, es decir, la circunferencia centrada en el origen y de radio 1. Dicha circunferencia viene dada por la función γ(t) = (cos t,  sen t) para -π ≤ t ≤ π y tenemos que

(∫_γ)f=(∫_(-π)^π)f(cos t, sen t)(Sqrt[(((-sen t))^2) + (cos^2) t])dt=(∫_(-π)^π) 1 dt = 
            2  π

Pero también la función λ(t) = (cos(2  t), sen(2  t)) para -π ≤ t ≤ π tiene como imagen la circunferencia unidad Γ, esto es \(TraditionalForm
      \`λ(\([\(-π\), π]\)) = Γ\), y se tiene que

(∫_λ)f=(∫_(-π)^π)f(cos 2  t, sen 2  t)(Sqrt[(((-2 sen 2  t))^2) + 4  (cos^2) t])dt=(∫_(-π)^π) 2 dt = 
            4  π

¿Cuál de estas dos integrales es la que nos piden cuando nos dicen que calculemos la integral de la función f(x, y) = (x^2) + (y^2) sobre la circunferencia unidad? Lo usual es que nos pidan la primera de las dos integrales. Observa que la función  γ(t) = (cos t,  sen t) donde -π ≤ t ≤ π recorre la circunferencia unidad una sola vez, mientras que la función  λ(t) = (cos(2 t), sen(2 t)) donde -π ≤ t ≤ π recorre la circunferencia unidad dos veces. Es decir, para calcular una integral de línea de una función sobre una curva lo importante no es la imagen geométrica de la curva (en este ejemplo una circunferencia) sino la función que la representa, es decir, cómo se recorre dicha curva (en este ejemplo la función λ recorre la circunferencia con rapidez doble que γ). Por esta misma razón una notación como

(∫_Γ)f

Para representar la integral de línea de f sobre una curva \(TraditionalForm
      \`Γ ⊂ ℝ\^n\) no tiene sentido salvo que especifiquemos antes la forma en que dicha curva se recorre. En resumen, no debes confundir una curva γ, que es una función, con su imagen, Γ, que es un conjunto de puntos.

Como las integrales de línea en segmentos y en circunferencias aparecen mucho conviene introducir una notación apropiada para ellas y precisar su significado. En adelante representaremos por C((a, b), r) la circunferencia de centro (a, b) y radio r. Dicha circunferencia es la imagen de la aplicación \(TraditionalForm
      \`γ : \([\(-π\), π]\) -> 
        ℝ\^2\), \(TraditionalForm
      \`γ(t) = \((a + r\ cos\ t, b + r\ \ sen\ t)\)\). Como   || γ' (t) || =(Sqrt[(((-r sen t))^2) + 
                      (r^2) (cos^2) t])=r, si f es un campo escalar definido en los puntos de dicha circunferencia tenemos que

(∫_(C ((a, b), r)))f=r(∫_(-π)^π)f(a+r cos t,b+r sen t)dt

Debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, podemos reemplazar en la integral anterior el intervalo [-π, π] por cualquier intervalo de longitud 2π; por ejemplo, [0, 2  π].
Dados dos vectores x e y en (ℝ^n) (n≥2) representaremos por [x, y] el segmento que une x con y, esto es, el conjunto \(TraditionalForm
      \`{\((1 - t)\) x + t\ \(y : 0 ≤ t ≤ 1\)}\). Dicho segmento es la imagen de la aplicación \(TraditionalForm
      \`γ : \([0, 1]\) -> ℝ\^n\), γ(t) = (1 - t) x  +  t y. Como 
       || γ' (t) ||  =  || y - x || , si f es un campo escalar definido en los puntos de dicho segmento tenemos que

(∫_([x, y]))f=||y-x||(∫_0^1)f((1 - t) x + t y)dt

Con frecuencia es necesario calcular integrales de línea sobre curvas que no tienen derivada continua pero que pueden expresarse como una yuxtaposición de curvas con derivada continua. Estas curvas se llaman curvas con derivada continua a trozos o caminos. Por ejemplo, si unimos varios segmentos uno a continuación de otro obtenemos una poligonal que es un tipo frecuente de camino. Otro ejemplo puedes verlo en la gráfica siguiente.

\(f[x_] := x\^2 /; 0 ≤ x < 1; 

    f[x_] := \((2 - x)\)\^4 /; 1 ≤ x < 1.5; 

    f[x_] :=  .5\^4 + \((x - 1.5)\) /; 1.5 ≤ x ≤ 2; 

    Plot[f[x], {x, 0, 2}, AspectRatio -> Automatic, 
      PlotStyle -> Thickness[ .007], 
      Epilog -> {Text[\*""\!\(γ\_1\)"", { .5,  .4}], 
          Text[\*""\!\(γ\_2\)"", {1.3,  .4}], 
          Text[\*""\!\(γ\_3\)"", {1.73,  .4}]}]; 
Clear[f]\)

En esta gráfica las curvas (Subscript[γ, 1]),  (Subscript[γ, 2]),  (Subscript[γ, 3]) se yuxtaponen para formar un camino que llamaremos γ. En estas circunstancias se define

(∫_γ)f=(∫_((Subscript[γ, 1])))f+(∫_((Subscript[γ, 2])))f+(∫_((Subscript[γ, 3])))f

Es decir para integrar una función sobre un camino se suman las integrales de dicha función sobre las curvas con derivada continua que forman dicho camino. Por ejemplo, si usamos la notación [(Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2]),  ... , (Subscript[z, n])] para indicar una poligonal cuyos vértices son (Subscript[z, 1]),  (Subscript[z, 2]),  ... ,  (Subscript[z, n]), entonces

(∫_([(Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2]),  .. , (Subscript[z, n])]))f=(∫_([(Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2])]))f+(∫_([(Subscript[z, 2]), (Subscript[z, 3])]))f+...+(∫_([(Subscript[z, n - 1]), (Subscript[z, n])]))f

Ejercicio 4

Integral de línea de un campo vectorial

Sea \(TraditionalForm
      \`γ : \([a, b]\) -> ℝ\^n\) una curva suave y sea F:A->(ℝ^n) un campo vectorial continuo definido en un conjunto A ⊂ (ℝ^n) que contiene a la imagen de γ, esto es, γ([a, b]) ⊂ A. La componente tangencial de F sobre γ en un punto γ(t) es la proyección ortogonal del vector F(γ(t)) sobre el vector tangente unitario a γ en el punto γ(t), es decir, el vector ⟨F(γ(t)) | T(t)⟩T(t) donde T(t)=γ ' (t)/ || γ ' (t) || . Es usual representar por F.T el campo escalar que a cada punto de la curva γ hace corresponder el producto escalar ⟨F(γ(t)) | T(t)⟩. La integral de línea de F  sobre γ se define como la integral de línea del campo escalar F.T sobre γ, esto es, el número dado por

(∫_γ)F=(∫_γ)F.T=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | T(t)⟩||γ ' (t)||dt=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | γ' (t)⟩dt

Expresando el campo vectorial y la curva por medio de sus funciones componentes  F(x)=((Subscript[F, 1])(x), (Subscript[F, 2])(x),  ... , (Subscript[F, n])(x)) y  γ(t)=((Subscript[γ, 1])(t), (Subscript[γ, 2])(t),  ... , 
            (Subscript[γ, n])(t)), tenemos que

(∫_γ)F=(∫_a^b)⟨F(γ (t)) | γ' (t)⟩dt=(∑_(k = 1)^n)(∫_a^b)(Subscript[F, k])(γ (t))(Subscript[γ, k]^( │ ))(t)dt

Para esta integral suelen emplearse las notaciones

(∫_γ)F.Tds      y     (∫_γ)F.dγ

No olvides que con frecuencia en Física se usa la letra r en lugar de γ para representar la curva sobre la que se integra.

Para n = 2, poniendo γ(t)=(x(t), y(t))=x(t)i+y(t)j, F(x, y)=(P (x, y), Q (x, y))=P(x, y)i + Q(x, y)j, la integral anterior es

(∫_γ)F=(∫_a^b)⟨F(x(t), y(t))|(x ' (t), y ' (t))⟩dt=(∫_a^b)(P(x(t), y(t))x '(t)+Q(x(t), y(t))y '(t))dt

En este caso son frecuentee la notaciones

(∫_γ)P(x, y)dx+Q(x, y)dy          o           (∫_γ)Pdx+Qdy

para representar la integral de línea del campo vectorial F(x, y)=P(x, y)i + Q(x, y)j sobre γ.

Para n = 3, poniendo γ(t)=(x(t), y(t),  z(t))=x(t)i + y(t)j + z(t)k, F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, tenemos que

(∫_γ)F=(∫_a^b)⟨F(x (t), y (t),  z (t))|(x ' (t), y ' (t), z ' (t))⟩dt=(∫_a^b)(P(x (t), y (t), z (t))x '(t)+Q(x (t), y (t), z (t))y '(t)+R(x (t), y (t), z (t))z '(t))dt

En este caso son frecuentes la notaciones

(∫_γ)P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+ R(x, y, z)dz        o            (∫_γ)Pdx+Qdy+ Rdz

para representar la integral de línea del campo vectorial F(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k sobre γ.

La integral de línea de un campo vectorial sobre una curva suave depende de la orientación de la misma. Precisemos esta idea. Toda curva γ : [a, 
            b] -> (ℝ^n) tiene una orientación natural que es la que establece el sentido de recorrido de la curva conforme el punto γ(t) se desplaza desde γ(a) hasta γ(b) a medida que el parámetro t aumenta desde t = a hasta t = b. La curva  ∼γ : [a, 
              b] -> (ℝ^n) definida por ∼γ(t) = γ(
          a + b - t) para todo t ∈ [a, b], se llama curva opuesta de γ. Observa que ∼γ es la misma curva γ recorrida en sentido contrario pues el punto ∼γ(t) se desplaza desde γ(b) hasta γ(a) a medida que el parámetro t aumenta desde t = a hasta t = b. Teniendo en cuenta que \(TraditionalForm\`\(\(∼\)\(γ\ ' \((t)\)\)\) = \(-γ\ '\) \((a + b - t)\)\) tenemos que

(∫_( ∼ γ))F=(∫_a^b)⟨F(γ (a + b - t)) | -γ' (a + b - t)⟩dt=[a + b - t = u]=-(∫_a^b)⟨F(γ (u)) | γ' (u)⟩du=-(∫_γ)F

La integral de línea de un campo vectorial sobre un camino formado por yuxtaposición de curvas suaves se define como la suma de las integrales de línea de dicho campo vectorial sobre las curvas suaves que forman el camino.

Ejemplos

Trabajo. Consideremos un camino r:[a, b]->(ℝ^n) cuya imagen está en una región A ⊂ (ℝ^n) en la que está definido un campo vectorial F:A->(ℝ^n) que a cada punto x∈A asigna un vector F(x) que interpretamos como una fuerza que actúa en x. El trabajo realizado por el campo de fuerzas F al desplazar una partícula a lo largo del camino r viene dado por la integral de línea de F sobre el camino r.

Trabajo=(∫_r)F . dr

Ley de Ampère. Se comprueba experimentalmente que un largo alambre recto que lleva una corriente estacionaria I produce un campo magnético B. La relación entre la corriente I del conductor y el campo magnético (densidad de flujo magnético) B producido por la misma, viene dada por la ley de Ampére que establece que la integral de línea de B sobre cualquier curva de Jordan suave r que rodee al conductor es igual a (Subscript[μ, 0])I.

(∫_r)B . dr=(Subscript[μ, 0]) I

Circulación de un campo vectorial a lo largo de un camino. Consideremos un camino r:[a, b]->(ℝ^n) cuya imagen está en una región A ⊂ (ℝ^n) en la que está definido un campo vectorial F:A->(ℝ^n). La circulación de F a lo largo del camino r es el número dado por (∫_r)F . dr. Como acabamos de ver, dependiendo de su naturaleza, la circulación de un campo admite distintas interpretaciones.

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9