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Jornadas de Geometría, 21 de Febrero 2008, organizadas por el Proyecto de Excelencia "Análisis Geométrico y Aplicaciones" en cooperación con el Dpto. de Geometría y Topología (Universidad de Granada) y el grupo de investigación Problemas variacionales en Geometría (Junta de Andalucía).
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Geometry Day, February the 21st, 2008, supported by the research project Geometric Analysis and aplications with the cooperation of the Dpt. of Geometry and Topology (Granada University) and the research group Variational problems in geometry.
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Jornadas sobre análisis geométrico, Universidad Internacional de Andalucía. Baeza, 14-15 Febrero 2008. Programa
Horario
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Jueves, 14 de Febrero de 2008 |
| 9:50-10:00 |
Bienvenida - Apertura
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| 10:00-11:00 |
Antonio Ros, Superficies Mínimas
Resumen
Presentamos una visión general de la situación de la teoría de superficies mínimas en el espacio Euclideo. Trataremos el caso de topología finita, las superficies propiamente embebidas de genero cero y las superficies completas estables.
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| 11:00-11:30 |
Café
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| 11:30-12:30 |
Luis Guijarro, La foliación dual de Wilking en curvatura no negativa.
Resumen
Una foliación Riemanniana es aquella cuyas hojas son localmente equidistantes para la distancia ambiente. Aunque una condición tan exigente hace suponer cierta rigidez métrica, ésta era poco o mal entendida antes de la introducción por Burkhard Wilking de la {\em foliación dual}. En esta charla revisaremos la definición de tales foliaciones, la idea fundamental de la ecuación transversal de Jacobi, y la estructura de ciertos ejemplos de reciente interés, como el de la fibración de Sharafutdinov. También estudiaremos ciertas cuestiones abiertas planteadas recientemente por K. Grove y F. Wilhelm sobre obstrucciones para la existencia de submersiones Riemannianas desde espacios con curvatura positiva o no negativa.
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| 12:30-13:30 |
Gabino González, Sobre cuándo una estructura conforme es aritmética: dessins d'enfants.
Resumen
En lo que parece ser su último escrito matemático (Esquise d'un programme, 1984) Grothendieck introdujo el término dessin d'enfant (dibujo infantil) para referirse a un grafo G inmerso en una superficie topológica X (orientable y compacta) de forma que su complementario X\G es la unión de un número finito de discos. La importancia de tales grafos reside en los siguientes hechos descubiertos por Grothendieck:
- Todo dessin G en X dota a X de una estructura conforme
- Esta estructura conforme resulta ser aritmética, i.e. la superficie de Riemann XG a ella asociada es isomorfa a la superficie de Riemann de una curva F(X, Y) = 0 cuyos coeficientes son números algebraicos
- Toda superficie de Riemann aritmética se construye a partir de un dessin.
En esta charla se discutirá esta construcción y se presentarán alguno de los problemas, conjeturas y resultados a los que estas ideas han dado lugar.
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| 14:00-16:00 |
Almuerzo
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| 16:15-17:15 |
Visita guiada a Baeza
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| 17:30-18:30 |
Óscar García-Prada, Teoria de Hodge no abeliana en superficies de Riemann
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| 18:30-19:30 |
Miguel Sánchez, Sobre la desigualdad de Penrose.
Resumen
Grosso modo, la llamada "Hipótesis de la Censura Cósmica (HCC)" de Penrose establece que, genéricamente, las soluciones a las ecuaciones de Einstein deben ser inextensibles, de manera que todo espacio-tiempo físicamente realista será predecible a partir de datos iniciales o globalmente hiperbólico. A partir de esta y otras hipótesis físicas (que incluyen el colapso gravitatorio, la evolución de los agujeros negros y el comportamiento de la masa), Penrose formuló cierto tipo de desigualdad geométrica que deberían verificar los espacio-tiempos asintóticamente llanos, y servir de test a la HCC. En un caso muy notable pero especialmente simple, esta desigualdad de Penrose se convierte en la desigualdad de Riemann-Penrose, una generalización del Teorema de Masa Positiva que acota inferiormente la masa de una variedad riemanniana asintóticamente llana (de curvatura escalar no negativa, completa) en términos del área de la superficie minimal compacta más externa incluida en ella. La desigualdad de Riemann-Penrose fue demostrada no hace mucho con dos técnicas diferentes, primero por Huisken e Ilmanen y posteriormente por Bray.
El objetivo de la charla será hacer un breve repaso de estas cuestiones, desde los fundamentos físicos hasta los problemas abiertos.
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| Horario |
Viernes, 15 de Febrero de 2008 |
| 9:30-10:30 |
Luis Alías, Análisis geométrico y geometría global de hipersuperficies.
Resumen
Nuestro objetivo es introducir diferentes técnicas del análisis geométrico y sus aplicaciones al estudio de la geometría global de hipersuperficies minimales (o maximales) y de curvatura media constante, tanto en espacios modelo riemannianos como lorentzianos. En particular, trataremos diferentes resultados relacionados con el índice de estabilidad y el espectro del operador de Jacobi de dichas hipersuperficies, así como algunos resultados de parabolicidad para superficies minimales (o maximales).
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| 10:30-11:00 |
Café
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| 11:00-12:00 |
Joan Porti, Aplicaciones del flujo de Ricci en topología tridimensional
Resumen
El objetivo de esta charla es dar una idea de la demostración de Perelman y de algunas consecuencias sobre ciertos invariantes topológicos y geométricos de variedades tridimensionales.
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| 12:00-13:00 |
Vicente Miquel, El flujo por la curvatura media y algunos de sus parientes próximos
Resumen
Un tema clásico de la geometría es el estudio de las superficies que minimizan el área (sujetas o no a diversas ligaduras). Buena parte de la inspiración para estos estudios proviene de sistemas físicos en los que la tensión superficial está involucrada de una manera esencial. La investigación matemática en el tema clásico aludido se refiere, esencialmente, al estudio de los estados de equilibrio de los sistemas físicos que han inspirado el problema matemático. Tras el trabajo inicial de Mullins en 1956, que pasó injustamente desapercibido, la tesis de Brakke (1978) dio un impulso enorme al estudio de esos sistemas físicos en evolución: la dinámica de una superficie sin masa que se mueve a instancias de la tensión superficial. Ese es el flujo por la curvatura media, del que hablaremos en esta charla.
El punto de vista para atacar el problema que usó Brakke fue el de la teoría geométrica de la medida. A comienzos de los 80, Gage, Hamilton y Huisken estudian el problema desde el punto de vista de la teoría clásica de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, usando toda la información geométrica a mano para estudiar las ecuaciones. Ese es el punto de vista que adoptaremos en esta charla. Trataremos de dar una visión general del problema en la que destaquen las herramientas esenciales que se usan y algunos de los resultados más importantes en el tema logrados usando el punto de vista de las EDP. Acabaremos indicando otros flujos de naturaleza más o menos similar que aparecen cuando se consideran ligaduras en el problema físico o que aparecen en el tratamiento de imágenes, lugar en el que se aplicó casi nada más nacer, el flujo por la curvatura media, al que han seguido otros flujos tratando de mejorar la técnica.
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Información de contacto: jperez(at)ugr.es
Comité organizador: Ildefonso Castro (UJA), Joaquín Pérez (UGR), Francisco Urbano (UGR)
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Jornadas de Geometría, 30 de Noviembre de 2007. Organizada por el grupo de investigación Problemas variacionales en geometría
Geometry day, November the 30th, 2007, supported by the research group Variational problems in geometry
