- DESARROLLO
DE LOS CONTENIDOS.
- Lo primero que vamos a hacer es introducir una serie
de definiciones que nos permitan hablar con claridad y precisión.
- Población.-
- Ejemplo:
- Muestra.-
- Ejemplo:
- Individuo.-
- Carácter.-
- Ejemplo:
- Modalidad.-
Las modalidades se dividen en:
· Caracteres cualitativos si las modalidades no pueden ser medidas.
· Caracteres cuantitativos si las modalidades pueden ser expresadas métricamente. En esta situación el carácter puede ser expresado por una variable que recibe el nombre de variable estadística.
- Ejemplo:
En la segunda actividad las modalidades son los distintos colores del pelo, es por tanto un carácter cualitativo.
- Clasificación de variables.-
Variable continua: si toma un número infinito no numerable de valores.
Variable unidimensional: si se estudia sólo un carácter cuantitativo en cada individuo.
Variable multidimensional: si se estudian varios caracteres cuantitativos a la vez.
- Ejemplo:
En la tercera actividad tenemos una variable estadística discreta unidimensional.
- Frecuencia absoluta de una
modalidad.-
- Ejemplo:
- Frecuencia relativa de una
modalidad.-
- NO AGRUPADAS: se presentan cuando el número de valores que puede presentar la variable no es muy elevado, y en ese caso podemos observar todos los valores de esa variable. Este caso se presenta cuando la variable es discreta y no presenta excesivos valores.
- AGRUPADAS EN INTERVALOS: se presenta cuando la variable es continua o cuando es discreta pero con elevado número de valores. en esta situación se agurpan dichos valores en intervalos o clases. Los intervalos se notan: ei-1-ei es es intervalo i-ésimo.
- Ejemplo:
- Frecuencia absoluta acumulada
de una modalidad.-
- Ejemplo:
Frecuencia relativa acumulada de una modalidad.-
Se puede definir en los mismos casos que la frecuencia absoluta acumulada, y se define como el cociente entre esta y el tamaño de la muestra. Se nota Fi:
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Según la naturaleza de la variable estudiada las distribuciones de frecuencias pueden ser:
Se llama amplitud del intervalo a la distancia que existe entre los extremos, y se nota ai:
- Se llama marca de clase
al punto medio de un intervalo. Este punto es importante porque es el representante
del intervalo. Se nota xi:
- Se llama densidad de frecuencia
de un intervalo a la frecuencia correspondiente a cada unidad de la variable
en dicho intervalo, se nota di:
- Los intervalos se suelen tomar abiertos por la izquierda
y cerrados por la derecha, salvo el primero que se toma cerrado por los
dos lados.
En este tipo de distribuciones se pierde parte de la información al agruparlas en intervalos, ya no se puede hablar de valores concretas sino de intervalos. Cuanto mayor sea la amplitud de los intervalos menos intervalos habrá, y por tanto menos precisión tendremos. En cambio, cuanto menor sea la amplitud de los intervalos menos intervalos habrá, y mayor será la precisión, sin embargo la distribución será mas grande y más dificil de manejar.
Ejemplo:
la tercera actividad da lugar a una distribución de frecuencia agrupada en intervalos ya que aunque es una variable discreta, presenta muchos valores, entre el 1,58 que es el valor más pequeño que presenta, y el 1,85 que es el más grande, hay 27 valores. La elección de los intervalos depende de nosotros, teniendo en cuenta que siempre es preferible que los intervalos sean todos de la misma amplitud.
Llamamos tabla estadística a la disposición de forma ordenada y agrupada de los valores y frecuencias de una distribución. Distinguiremos entre tablas estadísticas de distribuciones no agrupadas y tablas de distribuciones agrupadas.
- TABLAS DE DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS.
- Ejemplo:
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| 0 | 2 | 2 | 0,04 | 0,04 |
| 1 | 3 | 5 | 0,06 | 0,10 |
| 2 | 6 | 11 | 0,12 | 0,22 |
| 3 | 6 | 17 | 0,12 | 0,34 |
| 4 | 3 | 20 | 0,06 | 0,40 |
| 5 | 5 | 25 | 0,10 | 0,50 |
| 6 | 5 | 30 | 0,10 | 0,60 |
| 7 | 8 | 38 | 0,16 | 0,76 |
| 8 | 6 | 44 | 0,12 | 0,88 |
| 9 | 4 | 48 | 0,08 | 0,96 |
| 10 | 2 | 50 | 0,04 | 1 |
¿Cuántos alumnos han sacado un tres? La respuesta es n3 que vale 6.
¿Cuántos alumnos han suspendido? La respuesta es N4 que vale 20.
¿Cuántos alumnos han aprobado? La respuesta es 50-N4 que vale 50-20 = 30.
Para responder a la última pregunta: ¿Han aprobado más alumnos o alumnas? se podrian construir dos tablas una tomando como población los alumnos y otra tomando como población las alumnas y comparar las frecuencias acumuladas de la modalidad 5.
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ni | fi |
| Rubio | 6 | 0,18 |
| Pelirojo | 1 | 0,04 |
| Moreno | 12 | 0,36 |
| Castaño | 14 | 0,32 |
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Para responder a las otras preguntas vamos a construir la tabla correspondiente a considerar sólo los alumnos y la tabla correspondiente a considerar sólo las alumnas.
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Hay más niñas morenas, 6, que rubias, 4. Y hay más niñas rubias, 4, que niños, 2.
TABLAS DE DISTRIBUCIÓN AGRUPADAS EN INTERVALOS.
En las tablas estadísticas de distribuciones de frecuencia agrupadas por intervalos aparecen las siguientes columnas: la primera con los intervalos, la segunda con las amplitudes de los intervalos, la tercera con las marcas de clase, la cuarta con las frecuencias absolutas de cada intervalo, la cuarta con las densidades de frecuencia y la quinta con las frecuencias relativas; además suelen aparecer tambien dos columnas más con las frecuencias acumuladas. Si se toman los intervalos con la misma amplitud no se ponen las columnas de amplitud ni de densidades, sólo se señala cual es la amplitud de todos los intervalos.
- Ejemplo:
Aquí se pone de manifiesto la perdida de precisión, ya no podemos hablar de cual es la altura más frecuente sino de cual es el intervalo de alturas en el que hay más alumnos. De esta forma, la respuesta a la primera pregunta de la actividad -¿Cuál es la altura más frecuente?- es que el intervalo 1.70-1.75 es el que contiene más alumnos.
El principio que va a regir las representaciones gráficas de caracteres cualitativos será la proporcionalidad de las áreas de las figuras asignadas a cada modalidad respecto de su frecuencia absoluta.
- Diagrama de sectores.
- Ejemplo:
- Diagrama de barras.
- Ejemplo:
El principio de las representaciones gráficas de caracteres cuantitativos será la proporcionalidad de las áreas o de las longitudes de las figuras representadas respecto de las frecuencias absolutas o relativas de la modalidad a que represente.
- Diagrama de barras.
- Ejemplo:
- Poligono de frecuencias.
- Ejemplo:
- Curva de distribución.
La representación gráfica de F(x) es la curva de distribución. En el eje de abcisas se representan los valores de la variable y en ordenadas las frecuencias.
- Ejemplo:
Histograma de frecuencias.
Esta representación consiste en una serie de rectangulos yuxtapuestos en el que las áreas de cada uno de ellos son proporcionales a la frecuencia absoluta o relativa de las modalidades a que representa. Las bases de los rectángulos serán las amplitudes de los intervalos, pero la altura dependiendo de si todas las amplitudes son iguales o no serán las frecuencias o las densidades de frecuencias.
- Ejemplo:
- Poligono de frecuencias.
- Ejemplo:
- Curva de distribución.
- Ejemplo:
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición tienen como objetivo centrar la distribución, es decir, dar un valor númerico que pueda representar a toda la distribución.
Las medidas de posición que vamos a estudiar son:
:
- Ejemplo:
En la segunda actividad la media aritmética es 1,71 que podemos considerarla como la altura representativa de toda la clase.
El cálculo de la mediana se hará teniendo en cuenta si la distribución de frecuencias es agrupada o no agrupada.
Distribuciones no agrupadas.
Se observa la frecuencia absoluta acumulada y pueden pasar dos casos:
a) Si $ i en {1,…,k} / Ni > N/2 >Ni-1 => xi=Me
b) Si $ i en {1,…,k} / Ni = N/2 => xi =Me
Distribuciones agrupadas en intervalos.
Observando las frecuencias acumuladas diremos cual es el intervalo central, que recibe el nombre de intervalo mediano. Para obtener el valor exacto de la mediana se distinguen dos casos:
a) Si(ei-1,ei)es el intervalo mediano con Ni > N/2 >Ni-1, se realiza una interpolación lineal en la curva de distribución asociada a dicho intervalo:
- Ejemplo:
En la actividad 3ª la mediana es 1,705 que se obtiene haciendo la interpolación lineal en el intervalo 1,70-1,75, pues la frecuencia relativa acumulada de este intervalo es 0.7 y la del intervalo anterior vale 0,433.
Si la distribución es agrupada en intervalos se habla de intervalo modal.
Una moda en una distribución no tiene por qué ser unica, puede haber más de una en una misma distribución, y entonces se habla de distribuciones bimodales, trimodales, o en general plurimodales.
Ejemplo:
En la 1ª actividad la moda es 7 que se ha presentado 8 veces.
En la 2ª actividad la moda es Castaño que se ha presentado 14 veces.
En la 3ª actividad el intervalo modal es el 1,70-1,75 que se presenta 8 veces.
Las medidas de dispersión que vamos a estudiar son:
y se calcula:
La varianza es la suma de las desviaciones de los valores de la variable sobre la media aritmetica ponderada por las frecuencias. Por tanto, cuanto menor sea la varianza más agrupada estará la distribución en torno a su media aritmética.
La varianza viene expresada en las misma unidades que la variable pero al cuadrado.
- Ejemplo:
En la 2ª actividad la varianza vale 0,005197 m* o lo que es lo mismo 51,917 cm*.
- Ejemplo:
En la 2ª actividad la desviación típica vale 0,072 m, o lo que es lo mismo 7,2 cm.
El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que nos va permitir comparar dos distribuciones distintas, se define como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética.
Para comparar la dispersión de dos distribuciones basta con comparar sus coeficientes de variación, aquella que su coeficiente de variación sea menor es la que esta más concentrada en torno a su media aritmética.
- Ejemplo:
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