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2.2 Acciones cuadráticas.

Cuando la acción es a lo sumo cuadrática en posiciones y velocidades, la integral funcional es gaussiana y puede hacerse en forma cerrada. Así para una partícula en una dimensión con lagrangiano

$$L= \frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{2}c(t)x^2-e(t)x$$ (2.9)

la integral funcional produce

$$\langle x_f,t_f\vert x_i,t_i\rangle = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar F(t_f,t_i)}\right)^{1/2} e^{iW_{\text{cl}}(x_f,t_f;x_i,t_i)/\hbar} \,.$$ (2.10)

En esta expresión $W_{\text{cl}}(x_f,t_f;x_i,t_i)$ es la acción evaluada para la trayectoria clásica que une $(x_i,t_i)$ con $(x_f,t_f)$, y la función $F(t_f,t_i)$ es la solución de la ecuación

$$m\partial_t^2F(t,t_i)+c(t)F(t,t_i)=0 \,,$$ (2.11)

con condiciones de contorno

$$F(t_i,t_i)=0\,,\qquad \partial_t F(t,t_i)\Big\vert _{t=t_i}=1 \,.$$ (2.12)

Nótese que la dependencia en las posiciones $x_i$, $x_f$ y en el término lineal del lagrangiano, $e(t)x$, sólo aparece a través de la acción clásica. Esta propiedad se extiende a acciones cuadráticas generales y es inmediata usando integral de caminos.

Así para la partícula libre se obtiene

$$\langle y,t\vert x,0\rangle = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{1/2} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar t}(x-y)^2 \right] \,,$$ (2.13)

y para el oscilador armónico de frecuencia angular $\omega$

$$\langle y,t\vert x,0\rangle = \left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \s... ...omega}{2\hbar \sen \omega t}\left((x+y)^2\cos \omega t -2xy \right) \right] \,.$$ (2.14)

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