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            \vfill
        }
    }
}

\begin{document}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% encabezado

\begin{minipage}{0.1\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=1.5cm]{ugr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.85\textwidth}
    Universidad de Granada \hfill  Facultad de Ciencias Econ\'{o}micas y Empresariales
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
    {\sc Departamento M\'{e}todos Cuantitativos para la Econom\'{\i}a y  Empresa}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.1\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=0.9cm]{mc}
\end{minipage}

\begin{center}
    {\huge Técnicas Cuantitativas II}

     Septiembre 2012
\end{center}

\begin{minipage}{0.75\textwidth}
    Nombre y Apellidos:  \dotfill
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.2\textwidth}
      DNI: \dotfill
\end{minipage}

\vspace*{0.4cm}
\hfill
\begin{minipage}{0.2\textwidth}
      Grupo: \dotfill
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% examen

\begin{center}
    {\sc \underline{Teor\'{\i}a}}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item (2'5 puntos) Obtención razonada de la media y varianza de la media muestral.
    \item (1'5 puntos) Obtención razonada del intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos poblaciones.
\end{enumerate}

\begin{center}
    {\sc \underline{Pr\'{a}ctica}}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{2}

    \item Con el objetivo de contrastar  si la calificación media obtenida en el examen adelantado de la asignatura de Técnicas Cuantitativas 2 es superior a 6 en el curso académico 2011/2012 se tiene en cuenta la calificación obtenida en dicho examen por 22 alumnos: 5.75, 3.5, 2, 10, 10, 4.75, 8.75, 5.5, 7, 3.5, 8.25, 5.75, 9.75, 3.75, 9.25, 6.75, 6.5, 8.75, 8.25, 7.75, 3.5 y 4.75.

        Sabiendo que $S_{n}^{2} = 5'627$, se pide:
        \begin{enumerate}[a)]
            \item (1 punto)	 Comprobar que la muestra seleccionada es aleatoria.
%            \begin{center}
%                \begin{tabular}{cc|cc}
%                    $x_{i}$ & $n_{i}$ & $x_{i}$ & $n_{i}$ \\
%                    \hline
%                    2 & 1 & 7 & 1 \\
%                    3.5 & 3 & 7.75 & 1 \\
%                    3.75 & 1 & 8.25 & 2 \\
%                    4.75 & 2 & 8.75 & 2 \\
%                    5.5 & 1 & 9.25 & 1 \\
%                    5.75 & 2 & 9.75 & 1 \\
%                    6.5 & 1 & 10 & 2 \\
%                    6.75 & 1 &  & \\
%                \end{tabular}
%            \end{center}
            \item (1 punto)	 Comprobar que la muestra seleccionada se distribuye según una normal.
            \item (1'5 puntos) Obtener un estimador puntual del parámetro desconocido $\mu$ de la distribución normal y comprobar que es consistente. Obtener una aproximación numérica del verdadero valor de $\mu$ partir de los datos anteriores.
            \item (1'5 puntos) Contrastar si la calificación media es superior a 6.
            \item (1 punto)	 %Calcular un intervalo de confianza para la varianza poblacional. ¿Se puede decir que la dispersión es mayor a 3?
            En la asignatura Técnicas Cuantitativas 1, se tomó una muestra de 16 alumnos y se obtuvo que el 24\% de éstos habían suspendido el examen adelantado. Suponiendo que el examen está suspenso si se ha obtenido una calificación inferior a 5, ¿podemos decir que porcentaje de alumnos suspensos en el examen adelantado en Técnicas Cuantitativas 2 es mayor que el de Técnicas Cuantitativas 1?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% nota final

\begin{center}
    {\sc \underline{Tiempo m\'{a}ximo disponible}}: 2 horas
\end{center}

\underline{Nota}: Observe que el examen consta de una parte te\'{o}rica y una parte pr\'{a}ctica. Es necesario un m\'{\i}nimo del $35\%$ de la calificaci\'{o}n en cada una de las partes para realizar la suma de ambas calificaciones y as\'{\i} obtener la calificaci\'{o}n final. Ha de realizar dos preguntas de teoría y otras dos de práctica.


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\end{document}
