Material docente para el alumno
Asignatura: "Geometría I". Curso 2003/04
Curso 1º-C
Licenciatura de Matemáticas
Universidad de Granada

Prácticas de ordenador
Profesor: Rafael López Camino
Departamento de Geometría y Topología

(Nota: Reproducida con el permiso del autor. Se prohíbe cualquier otra reproducción sin permiso)

Tema 2. Aplicaciones lineales

Definición de funciones

Para definir una función, la sintaxis es:
f[x_]:=

Las funciones y comandos ya predefinidos por el ordenador SIEMPRE empiezan por MAYÚSCULA: Sin, Cos, Tan, Exp, Log, Clear, Plot, Simplify, etc. Además, sus argumentos siempre se escriben entre corchetes. Cuando definimos una función, después de la variable x aparece "_" (guión de subrayado) . No hay que olvidarlo o no funcionará.

Ejemplo: f[x_]=Sin[x].  Reescribe la expresión anterior TAL CUAL en una celda nueva y evalúala pulsando "may+retorno". Evalua en una celda "f[1]".  Si quieres el valor numérico debes escribir N[f[1]]

f[x_] := Sin[x]

f[1]

N[f[1]]

Observa que a la hora de evaluar una función que hayamos definido no se usa el guión "_".

Pueden surgir problemas al redefinir una función o  si la variable que usamos tiene asignado un valor concreto. En este último caso, la función sería constante. Para eliminar variables o funciones, se usa el comando Clear. En nuestro caso, Clear[x,f]

Aplicación lineal.

Para definir una aplicación lineal f escribiremos \(\*""" 
              f[{x1_, x2_, \(\(..\)\(.\)\), 
                  xn_}] := \(\(..\)\(.\)\) \*"""\)y podremos evaluar en un vector v cualquiera escribiendo f[v].

Por ejemplo si consideramos la aplicación de (R^4) en (R^3) dada por f (x1, x2, x3, 
            x4) = (x1 - x3 + 2 x4, x1 - x2 - x4, 
              3  x2 - 2  
                  x3) y la queremos evaluar en los vectores v = (1, 0, 1, 1) y w = (3, 2, 1, 2):

f[{x1_, x2_, x3_, x4_}] := {x1 - x3 + 2 x4, x1 - x2 - x4, 
        3  x2 - 2  x3}
f[{1, 0, 1, 1}]
w = {3, 2, 1, 2};
f[w]

Para calcular el núcleo de la aplicación lineal anterior basta con calcular los vectores cuya imagen es el vector cero.

Solve[
      f[{x1, x2, x3, x4}] == {0, 0, 0}, {x1, x2, x3, x4}]

NullSpace[{{1, 0, -1, 2}, {1, -1, 0, -1}, {0, 3, -2, 
          0}}]

Un sistema generador de la imagen se puede conseguir calculando la imagen de los elementos de una base del espacio de partida.

f[{1, 0, 0, 0}]
f[{0, 1, 0, 0}]
f[{0, 0, 1, 0}]
f[{0, 0, 0, 1}]

A partir de este sistema de generadores se puede conseguir una base

Ejercicios

1.  - 
          Defínase la aplicación lineal de (R^3) 
            en (R^2) dada por f (x1, x2, x3) = (2  x1 - x3, 
              x1 + x2 + 
                x3) y calcúlese la imagen de los vectores v1 = (0, -1, -1) y v2 = (3, 1, 0)
2.- Defínase la aplicación lineal f (x1, 
              x2, x3)=(x1 + x2, x2 - x3, 
            x1 + x3) y calcúlese su núcleo y su imagen .  Demuéstrese que (R^3) 
          es suma directa del núcleo de f y de su imagen
3.- Dada la aplicación f (x1, x2, x3)=(x1, x2 + x3, x1 - x3, 
            x1 + x2 + x3) pruébese que el vector (2, 1, 1, 
            3) pertenece a la imagen de f y que (3, 2, -1, 
            2) no pertenece.