Práctica 4
Matrices

Lo primero que necesitamos es la forma en que se escriben las matrices en Mathematica.  Recordemos que cada fila corresponde a una lista y que los elementos de ésta  van entre llaves separados por comas. Las matrices se pueden escribir directamente, aunque a veces, si sus elementos proceden de evaluar cierta función, se pueden construir con Table. Damos algunos ejemplos:

Clear["Global`*"]

a1=Table[1/(i+j),{i,5},{j,5}];

a2={{2,3,4,5,6},{3,4,5,6,7},{4,5,6,7,8},
       {5,6,7,8,9},{6,7,8,9,10}};

a3={{1,1,1,1,1},{1,1,1,1,1},{1,1,1,1,1},
        {1,1,1,1,1},{1,1,1,1,1}};

a4={{1,0},{0,0},{0,0},{0,0},{0,1}};
a5={0,1,0,0,0}

Podemos presentar las matrices en el formato que les es propio:

MatrixForm[a1]

MatrixForm[a2]

Como Mathematica opera en modo simbólico, salvo que se indique lo contrario, si queremos ver los elementos de la matriz a1 con 2 cifras significativa, debemos pedir el valor numérico:

MatrixForm[N[a1,2]]

Operaciones

Suma y resta de matrices.

La ejecución de las correspondientes celdillas mostrará cuáles de las siguientes operaciones no son posibles.

a1-a1

a2+a3

a1+a2+a3

a3+a4

Nótense los mensajes de error anteriores y las salidas correspondientes.

Producto por escalares

Para ver cómo se multiplica una matriz por un escalar será suficiente que consideremos algunos ejemplos.

7a3

7*a3

a3/7

1/7 a3

Nótense los mensajes de error anteriores y las salidas correspondientes.

Producto de matrices

Para multiplicar dos matrices hay que emplear el símbolo  "." entre ambas. Si se deja un espacio o se emplea el signo " * " lo que hace es multiplicar elemento a elemento entre los que ocupan la misma posición. Cuando una matriz es de tipo fila o columna Mathematica la considera convenientemente como tal y, por tanto, en los ejemplos anteriores es posible efectuar a5.a1 y a1.a5, pues, en el primer caso, considerada a5 como matriz fila, es posible  la multiplicación y, en el segundo caso, considerado como columna,  también es posible efectuar la multiplicación. A continuación se incluyen diferentes operaciones. Se observará que es posible efectuar algunas  y otras no.

a2.a3

a1.a2.a3

a3.a5

a4.a1

a5.a2

a5*a2

a2*a3

a4 a4

Una operación importante al trabajar con matrices cuadradas es hallar potencias de las mismas. Este problema se reduce a calcular el producto de una matriz consigo misma un determinado número de veces. Sin embargo, si la potencia es alta, para evitar la utilización de una sentencia For o Do, Mathematica dispone de un comando que produce directamente el resultado buscado. Es

                                      MatrixPower[matriz,exponente].

   Si exponente es un número natural, proporciona la correspondiente potencia de la matriz, mientras que si es un entero negativo se obtiene como salida la potencia indicada de la matriz inversa (si matriz es invertible).

Por ejemplo, la cuarta potencia de la matriz a2 es

MatrixPower[a2,4]

Inversa, Traspuesta y Determinante de una matriz.

Las matrices inversa y traspuesta de una matriz, así como su determinante, se obtienen con las sentencias Inverse[matriz], Transpose[matriz], y Det[matriz], respectivamente. Las siguientes instrucciones permiten determinar si la matriz a1 considerada tiene inversa o no.

If[Det[a1]==0,
   Print["la matriz considerada no tiene inversa"],
   a11=Inverse[a1]
   ]

Podemos hallar su determinante, así como presentarla en formato matricial.

Det[a1]

MatrixForm[a11.a1]

También podemos hallar el determinante de la matriz a2.

Det[a2]

Esta matriz, en consecuencia, no tiene inversa.

Consideremos una nueva matriz y algunos hechos sobre ella.

m={{5,0,0,0,0},{2,4,0,0,0},{1,0,6,0,0},{1,1,1,1,0},{2,0,1,0,1}}

MatrixForm[m]

Det[m]

im=Inverse[m]

MatrixForm[im]

Det[im]

MatrixForm[Transpose[m]]

Reducción de la matriz por filas

Otro método para determinar el rango de una matriz es someterla a transformaciones elemen-
tales por filas, lo que se consigue con la orden RowReduce.

Vemos cómo funciona con la misma matriz numérica de la subsección anterior, que debe ser redefinida.

matriz=Table[i+j,{i,5},{j,3}];
RowReduce[matriz]
MatrixForm[%]

Apreciamos que se obtiene un matriz equivalente a la original con tres filas nulas, lo que indi-
ca que el rango es dos ¿Se puede saber con este método qué filas y columnas de la matriz de
partida proporcionan la submatriz de orden igual al rango con determinante no nulo?.

Responderemos con un ejemplo. Definimos una matriz muy simple.

matriz={{0,0,1,0,0},{0,0,0,1,0},{0,0,1,1,0},{0,0,1,0,1},{0,0,0,0,1}};
MatrixForm[matriz]

La reducimos.

RowReduce[matriz]//MatrixForm

Se podría pensar que con las tres últimas columnas de las tres primeras filas se obtendría
una submatriz de la matriz considerada inicialmente de orden tres de determinante no nulo.
Sin embargo, se comprueba  inmediatamente que tal submatriz tiene determinante nulo. En consecuencia, la función RowReduce proporciona información sobre el rango de la matriz,
entre otras cosa, pero no debe usarse para establecer qué submatriz debe considerarse.

Ejercicios

1.- Se considera la matriz

             a={{1, 1, 1, 1, 1},
                    {1+2 d2, 1, 1+2 d2, 1+4 d2, 1-d2},
                    {1-2 dm, 3, -1-2 dm, -1-4 dm, dm},
                    {2, 0, 4, 3, 1},
                    {2 dm, -1, 2+2 dm, 3+4 dm, 6-dm}}

Halle su traspuesta. Asimismo, determine las matrices a^2 y a^3. ¿Cuál es el determinantede a? ¿Es invertible? En caso afirmativo, halle su inversa. Reduzca por filas la matriz a. ¿Cuál es el rango de a?