Práctica 1
Introducción a Mathematica

Descripción de los Notebooks

Ya se encuentra dentro de un fichero Mathematica, denominados genéricamente "Notebooks". Muy pronto entenderá que este texto, delimitado por el corchete de la derecha, es simplemente una información para el usuario. Encontrará muchos párrafos de este tipo a lo largo de la práctica. Se trata de una "celdilla" de tipo texto y, por lo tanto, no es ejecutable.

Ahora le vamos a indicar cómo ver todo lo que hemos escrito en esta práctica; para ello observe que en el margen derecho hay dos flechas, una en la parte superior indicando hacia arriba y otra abajo en sentido contrario. Sitúese con el ratón en la flecha de abajo y púlselo de forma continua hasta que esta  parte de texto desaparezca por arriba. Practique un poco y después continúe por aquí. También se puede ir de forma rápida de una parte a otra de la práctica moviendo con el ratón el cuadradito que se encuentra en esa misma barra vertical. Pruebe a ir al principio y al final de esta práctica utilizándolo. Existen mandos totalmente análogos en la parte inferior de esta pantalla que sirven  para moverse horizontalmente, aunque son menos utilizados. También existen unos cuadraditos en lan parte superior derecha, en negrita, que permiten ajustar  la "ventana" del Notebook  al tamaño de nuestra pantalla, o bien hacerla desaparecer momentáneamente. Si ésto último ocurriese, sólo bastaría hacer doble-click con el ratón en el icono minimizado que aparece. Hay que hacer notar que éstas últimas son características comunes a las diferentes aplicaciones bajo el entorno "Windows" (sistema operativo que hace funcionar nuestro ordenador mediante diferentes "ventanas" por las que nos podemos mover y trabajar con ellas).

Celdillas de entrada (In) y de salida (Out)

Los siguientes corchetes delimitan una "celdilla" ejecutable; cada una muestra una simple operación que puede ser realizada con  Mathematica; y algunos contienen un pequeño comentario explicativo. Márquelas una a una con el ratón, haciendo "click" sobre ellas y, a continuación, para ejecutarlas, pulsando la tecla "Intro" o Shift+Enter.  Hágalo y vea los resultados. El  corchete de la derecha debe de aparecer en doble trazo, indicando así que se encuentra en ejecución por parte del ordenador, hasta que aparezca  un resultado o "salida" (Out), correspondiente a los datos que se introducen de "entrada" (In).

4*3-1 (* se realiza las operaciones indicadas *)

4 3+4 5 (* nótese el efecto del espacio *)

4(3+5) (* recuerdese la propiedad distributiva *)

4/2-1 (* nótese la prioridad en las operaciones *)

4/(2-1) (* nótese el efecto de los paréntesis *)

2^3 (* ^ indica la exponenciación *)

2^3^2 (* nótese la prioridad en las operaciones *)

(2^3)^2 (* nótese el efecto de los paréntesis *)

%+2 (* % se refiere al resultado anterior *)

Tipos de números

En primer lugar vamos a recordar que Mathematica  puede trabajar con todo tipo de números: enteros, racionales, reales y complejos. También haremos algunos cálculos elementales. Piense qué resultado dará en cada caso. Observe la diferencia entre escribir los números enteros y usando punto decimal. Para escribir números complejos se utiliza la unidad imaginaria I. La parte real e imaginaria se pueden obtener mediante las sentencias Re[complejo], Im[complejo].  Pi es el valor la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro,  E es la base del logaritmo neperiano. Recordar que % indica la última salida y que para que el ordenador realice los cálculos debe estar sobre la línea correspondiente o situarse sobre el corchete que está a la derecha y marcarlo con el ratón. A continuación pulse la tecla Insert  o las teclas Shift + Enter a la vez. Hágalo y vea los resultados.

2+3

2.+3

1/4+1/2

1/4.+1/2

Pi

Pi+2.

Pi/E

Precisión

Como habrá notado, Mathematica  siempre devuelve un resultado lo más exacto posible, teniendo en cuenta el tipo de números con los que se está operando.  En todo caso, si no se especifica lo contrario, intenta  obtener precisión infinita, y para ello, no tiene más  remedio que  trabajar de forma simbólica cuando opera con fracciones o números reales que no están dados en forma decimal. Pero ésto lo podemos controlar nosotros  con el comando   N[número,precisión], si queremos trabajar con un número determinado de cifras significativas. Comprobad los siguientes resultados.

E

N[E,100]

%//N

N[1/3]

Rationalize[%]

Funciones matemáticas

Por supuesto que Mathematica  tiene incorporadas la mayoría de las funciones matemáticas usuales, como  por ejemplo: Exp es la función exponencial; Log obtiene el logaritmo neperiano; Sqrt  la raíz cuadrada; Abs el valor absoluto; Floor,  Round  y Ceiling aproximan mediante enteros;, Sin, Cos, Tan, Sec, Csc, Cot ,etc .. son funciones trigonométricas; con sus análogas funciones hiperbólicas Sinh, Cosh, Tanh, Sech, Csch, Coth, etc... Nótese como la primera letra de todas estas  funciones se escribe con mayúscula  y las restantes con minúscula ; el argumento va entre corchetes.

Exp[2]+Log[10]-Sqrt[5]

Log[10.]-Sqrt[5.]

N[%,10]

Sin[Pi]-Cos[Pi]

Sqrt[-5.0]

Floor[25.1]

Floor[-7.31]

Abs[%]

Abs[Floor[-7.31]]   (*nótese cómo se puede
		   componer varias funciones*)

Expresiones algebraicas

Pero todavía no hemos explotado toda la potencia que tiene Mathematica  para trabajar de forma simbólica, efectuando multitud de operaciones algebraicas y de cálculo con expresiones que no tienen porqué tener un valor numérico concreto. Veánse los siguientes ejemplos:

a+2a+7b+5c-3b

Exp[Log[x]]  (* ambas funciones son una
                inversa de la otra*)

Sqrt[x^3] Exp[x+Log[x]]

Polinomios y funciones racionales

Vamos a efectuar a continuación operaciones elementales con polinomios  y funciones racionales de una y varias variables. Averígüelas:

x+x y+ 4x y^2+ 8y x- 7y x^2+2x^2 y+x^3 y^2

Collect[%,x]

Collect[%%,y]

(x+y)^2

Expand[%]

Factor[%]

(x^3+3x^2+3x+1)/(x^2+2x+1)

Numerator[%]

Denominator[%%]

Factor[%]

Factor[%%%]

(1 + x)^3/(1 + x)^2

Apart[(3x^2+8x+2)/(x^2-5x+6)]

Together[%]

Factor[Numerator[%]]

Factor[Denominator[%%]]

Expresiones trigonométricas

Para poder manipular convenientemente expresiones trigonométricas, es necesario usar la opción  Trig->True  dentro de las sentencias  Expand y  Factor  como sigue:

Expand[2Sin[a]Cos[b],Trig->True]

Factor[Cos[x]Cos[y]+Sin[x]Sin[y],Trig->True]

Simplify[Sin[x]^2+Cos[x]^2]

Ejercicios

1.- Calcule la raíz cuadrada de d1, d2, d3, y  d4, con dos, tres, cuatro y cinco cifras decimales, respectivamente.

2.- Calcule el valor de d3 más la exponencial de la raíz  cuadrada de Pi, con 8 cifras decimales.

3.- Calcule el coseno y el seno, con cuatro cifras decimales, de (Pi+d1)/(d2+d3).

4.- Se considera la siguiente fracción racional :  (d1 x^2+ d2 x+d3)/( d1 x- d2)^2. Factorizar el numerador si es posible y encontrar la descomposición en fracciones simples, mediante  Apart.

5.- Mediante las órdenes Simplify o Factor[ expr ,Trig->True]  simplificar las  siguientes expresiones  trigonométricas e hiperbólicas:
  a)    cos(x)sin(y)+cos(y)sin(x) 
 b)    cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
 c)    cosh(x)^2 - sinh(x)^2
 d)    cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)