Ejercicios 11.

Ejercicio A.

• Si $\{M_i\mid\;i\in{I}\}$ es una cadena de submódulos, entonces $\cup_iM_i$ es un submódulo.
• Dados dos submódulos $M_1$ y $M_2$, se tiene que $M_1\cup{M_2}$ es un submódulo si, y sólo si, $M_1\subseteq{M_2}$ ó $M_2\subseteq{M_1}$.
• Este resultado no se tiene para tres submódulos; estudiar el ejemplo que proporciona el grupo abeliano $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.
• Sin embargo podemos generalizar a una familia finita de submódulos. Si $M_1,\ldots,M_t$ es una familia finita de submódulos tal que $\cup_{i=1}^tM_i$ es un submódulo, para cada $1\leq{s}$ < $t$ se tiene $\cap_{i=1}^sM_i\subseteq\cup_{j=s+1}^tM_j$ ó $\cap_{j=s+1}^tM_j\subseteq\cup_{i=1}^sM_i$.

Ejercicio B.

• Sea $A$ un anillo. Demuestra que para cada ideal propio $\mathfrak{a}$ de $A$ existen ideales primos que son minimales sobre $\mathfrak{a}$.
• Sea $A$ un anillo noetheriano. Demuestra que para cada ideal propio $\mathfrak{a}$ de $A$ existe sólo un número finito de ideales primos minimales sobre $\mathfrak{a}$.
• En este último caso, si $\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_t$ son los ideales primos minimales sobre un ideal $\mathfrak{a}$, existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $(\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_t)^m\subseteq\mathfrak{a}$.

Ejercicio C.

Para cada familia de ideales $\{\mathfrak{a}_i\mid\;i\in{I}\}$ de ideales de $K[X_1,\ldots,X_n]$, estudia las siguientes afirmaciones:

• Si $f:M\to{M'}$ es un homomorfismo de módulos, entonces $Im(f)\cong{M/Ker(f)}$.
• Si $f:M\to{M'}$ es un homomorfismo de módulos, entonces $Im(f)+Ker(f)=M$.
• Si $f:M\to{M'}$ es un homomorfismo de módulos, entonces $Ker(f)\subseteq{Im(f)}$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1+N_2=M$, entonces $N_1\cap{N_2}=0$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1+N_2=M$, no necesariamente $N_1\cap{N_2}=0$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1\cap{N_2}=0$, entonces $N_1+N_2=M$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1\cap{N_2}=0$, no necesariamente $N_1+N_2=M$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1\oplus{N_2}=M$, entonces $M/N_1\cong{N_2}$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1\oplus{N_2}=M$, no necesariamente $M/N_1\cong{N_2}$.
• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1+{N_2}=M$, entonces $M/N_1\cong{N_2}$.

• Si $M$ es un módulo y $N_1,N_2$ submódulos tales que $N_1+{N_2}=M$, no necesariamente $M/N_1\cong{N_2}$.
• Para cada módulo finitamente generado $M$ se tiene un isomorfismo $M\cong{A/Ann(M)}$.
• Para cada módulo cíclico $M$ se tiene un isomorfismo $M\cong{A/Ann(M)}$.
• Para dos módulos libres $A^n$ y $A^m$, si existe un homomorfismo inyectivo $A^n\to{A^m}$, entonces $A^n$ es isomorfo a un sumando directo de $A^m$.
• Para dos módulos libres $A^n$ y $A^m$, si existe un homomorfismo sobreyectivo $A^n\to{A^m}$, entonces $A^m$ es isomorfo a un sumando directo de $A^n$.
• Todo submódulo no nulo $M$ tiene un submódulo maximal (todo submódulo maximal es un submódulo propio).
• Todo submódulo no nulo $M$ tiene un submódulo minimal (todo submódulo minimal es un submódulo no nulo).
• Todo subanillo de un anillo noetheriano es un anillo noetheriano.
• Todo anillo cociente de un anillo noetheriano es un anillo noetheriano.
• Si existe un $A$--módulo noetheriano no nulo, entonces $A$ es un anillo noetheriano.