Cónicas

Descripción

Recordemos que una cónica en el plano viene dada por el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y) verifican una ecuación polinómica de grado 2  de la forma general: 
				(Subscript[a, 1, 1]) (x^2) + (Subscript[a, 2, 2]) (y^2)+2 (Subscript[a, 1, 2]) x y+ (Subscript[b, 1]) x+ (Subscript[b, 2]) y+c = 0, 

que en forma matricial podemos escribir como:

                                               (x, y)(({{(Subscript[a, 1, 1]), (Subscript[a, 1, 2])}, {(Subscript[a, 1, 2]), (Subscript[a, 2, 2])}}))(({{x}, {y}})) + ((Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]))(({{x}, {y}}))+c=0

donde denotaremos                                    A=(({{(Subscript[a, 1, 1]), (Subscript[a, 1, 2])}, {(Subscript[a, 1, 2]), (Subscript[a, 2, 2])}}))                      y                     b=((Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2])).

Equivalentemente esta misma expresión se puede escribir de la forma:

(1, x, y).(({{c, ((Subscript[b, 1])/2), ((Subscript[b, 2])/2)}, {((Subscript[b, 1])/2), (Subscript[a, 1, 1]), (Subscript[a, 1, 2])}, {((Subscript[b, 2])/2), (Subscript[a, 1, 2]), (Subscript[a, 2, 2])}})).(({{1}, {x}, {y}}))  = 0    donde llamaremos     \(A\&^\)=(({{c, ((Subscript[b, 1])/2), ((Subscript[b, 2])/2)}, {((Subscript[b, 1])/2), (Subscript[a, 1, 1]), (Subscript[a, 1, 2])}, {((Subscript[b, 2])/2), (Subscript[a, 1, 2]), (Subscript[a, 2, 2])}})).

A continuación presentamos los tipos de cónicas que vamos a encontrar. Para poder representar estas figuras cargamos la instrucción ImplicitPlot

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

<< Graphics`ImplicitPlot`

Elipse                         ((Subscript[a, 1, 
                  1]) (x^2)  + (Subscript[a, 2, 2]) (y^2) +  c = 0;  
        (Subscript[a, 1, 1]) > 0,   (Subscript[a, 2, 2]) > 0, c < 0)

ImplicitPlot[
        (x^2)/9  + (y^2)/4 - 1 == 0, {x, -4, 4}];

\(Hipérbola\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(1, 1\)\) x\^2\  - \(a\_\(2, 2\)\) y\^2 + \ c = 0, 
        a\_\(1, 1\) > 0, \ \ a\_\(2, 2\) > 0)\)\)

ImplicitPlot[(x^2) - (y^2)/2 - 1 == 0, {x, -3, 3}]

\(Parábola\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(1, 1\)\) x\^2\  + \(b\_1\) y = 0)\)\)

ImplicitPlot[(x^2) + y == 0, {x, -2, 2}]

También encontramos las llamadas cónicas degeneradas

Un punto                       ((Subscript[a, 1, 
                  1]) (x^2)  + (Subscript[a, 2, 2]) (y^2) = 0;  
        (Subscript[a, 1, 1]) > 0,   (Subscript[a, 2, 2]) > 0)

Dos rectas que se cortan       ((Subscript[a, 1, 1]) 
              (x^2)  - (Subscript[a, 2, 2]) (y^2) = 0, 
        (Subscript[a, 1, 1]) > 0,   (Subscript[a, 2, 2]) > 0)

En realidad estas son las asíntotas de una hipérbola

ImplicitPlot[(x^2)/2 - (y^2) == 0, {x, -3, 3}]

\(Dos\ rectas\ paralelas\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(2, 2\)\) 
              y\^2 + c = 0, \ \ a\_\(2, 2\) > 0, \ c < 0)\)\)

ImplicitPlot[(y^2) == 3, {x, -3, 3}]

Una recta doble                   ((Subscript[a, 2, 
                2]) (y^2) = 0)

Nota:
Obsérvese que una ecuación de la foma general puede dar lugar a un conjunto vacío, por ejemplo 
                                                   (x^2) + (y^2) = -1
no tiene ninguna solución en el plano real.

Cónicas en posición general

Recordamos que dada la ecuación general de una cónica (en notación matricial:  (X^t) A X+ < 
        b, X > +c=0 ) siempre es posible encontrar un sistema de referencia respecto del cual la ecuación de esa cónica es de uno de los tipos que hemos descrito en la sección precedente. A esta ecuación equivalente es a la que llamamos ecuación reducida de la cónica. Este proceso se estudiará en las clases de teoría.
Veamos a continuación algunos ejemplos de cónicas que no están presentadas en forma reducida.

Ejemplo1,  x^2+4y^2-4x-16y+19=0

NOTA: El problema de dibujar la cónica sin tener ninguna información sobre ella, es conocer de manera aproximada "donde está". Intuitivamente, los puntos "más representativos" de la cónica deben de ser, como mucho, de un orden aproximadamente igual 
al de los coeficientes de la  ecuación que la define. Por ello es recomendable empezar con un rango {x, -a, a} donde a  sea "suficientemente grande" y, una vez dibujada la cónica, se puede ajustar mejor este intervalo. En ocasiones (ver ejemplo 3) damos el rango de la x pero el de la y es "muy grande" y ocupa más de una pantalla. Podemos entonces usar el comando PlotRange->{ymin, ymax} para "truncar" el dibujo y visualizarlo mejor.

ImplicitPlot[
      x^2 + 4  y^2 - 4  x - 16  y + 19 == 0, {x, 1, 3}]

Vemos cómo codificar la ecuación de la cónica en forma matricial:

Atilde = {{19, -2, -8}, {-2, 1, 0}, {-8, 0, 
            4}};
A = {{1, 0}, {0, 4}};
MatrixForm[Atilde]
MatrixForm[A]

Comprobamos que efectivamente estas matrices corresponden a la expresión matricial de nuesta cónica.

Expand[{1, x, y} . Atilde . {1, x, y}]

Ejemplo 2,      x^2+ y^2-2x y+4 x-6 y +1=0

ImplicitPlot[
        x^2 + y^2 - 2  x y + 4 x - 6 y + 1 == 0, {x, -6, 
          20}];

Vemos cómo codificar la ecuación de la cónica en forma matricial:

Atilde = {{1, 2, -3}, {2, 1, -1}, {-3, -1, 
            1}};
A = {{1, -1}, {-1, 1}};
MatrixForm[Atilde]
MatrixForm[A]

Comprobamos que efectivamente estas matrices corresponden a la expresión matricial de nuesta cónica.

Expand[{1, x, y} . Atilde . {1, x, y}]

Ejemplo 3,   x^2+ y^2+10 x y-6 x-6 y +2=0

ImplicitPlot[
        x^2 + y^2 + 10 x y - 6 x - 6 y + 2 == 0, {x, -5, 5},  
        PlotRange -> {-7, 7}, PlotPoints -> 150];

Vemos cómo codificar la ecuación de la cónica en forma matricial:

Atilde = {{2, -3, -3}, {-3, 1, 5}, {-3, 5, 
            1}};
A = {{1, 5}, {5, 1}};
MatrixForm[Atilde]
MatrixForm[A]

Comprobamos que efectivamente estas matrices corresponden a la expresión matricial de nuesta cónica.

Expand[{1, x, y} . Atilde . {1, x, y}]

Cónicas reducidas como conjuntos de nivel

A continuación vamos a obtener las cónicas presentadas en el primer apartado seccionando con planos horizontales el gráfico de un polinomio de segundo grado en dos variables.

Elipse               ((Subscript[a, 1, 1]) 
              (x^2)  + (Subscript[a, 2, 2]) (y^2) +  c = 0;  
        (Subscript[a, 1, 1]) > 0,   (Subscript[a, 2, 2]) > 0, c < 0)

eli1 = 
      Plot3D[x^2 /9  +  y^2/4, {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]

eli2 = Plot3D[1, {x, -3, 3}, {y, -2, 2}];

Show[eli1, eli2]

\(Hipérbola\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(1, 1\)\) x\^2\  - \(a\_\(2, 2\)\) y\^2 + \ c = 0, 
        a\_\(1, 1\) > 0, \ \ a\_\(2, 2\) > 0)\)\)

hip1 = 
      Plot3D[x^2   -  y^2/2, {x, -3, 3}, {y, -4, 4}]

hip2 = Plot3D[1, {x, -3, 3}, {y, -4, 4}]

Show[hip1, hip2]

\(Parábola\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(1, 1\)\) x\^2\  + \(b\_1\) y = 0)\)\)

par1 = Plot3D[x^2  +  y, {x, -2, 2}, {y, -4, 1}]

par2 = Plot3D[0, {x, -2, 2}, {y, -4, 1}]

Show[par1, par2]

Dos rectas que se cortan   ((Subscript[a, 1, 1]) 
              (x^2)  - (Subscript[a, 2, 2]) (y^2) = 0, 
        (Subscript[a, 1, 1]) > 0,   (Subscript[a, 2, 2]) > 0)

rec1 = 
      Plot3D[x^2 /2  -  y^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

rec2 = Plot3D[0, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Show[rec1, rec2]

\(Dos\ rectas\ paralelas\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((\(a\_\(2, 2\)\) 
              y\^2 + c = 0, \ \ a\_\(2, 2\) > 0, \ c < 0)\)\)

dobl1 = Plot3D[y^2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

dobl2 = Plot3D[3, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Show[dobl1, dobl2]

Cónicas en posición general como intersección de superficies con planos

En general, toda cónica se puede visualizar como la intersección de un plano con una superficie de segundo orden. Ilustraremos esto con los ejemplos del segundo apartado. Notar que la gráficas allí representadas son las proyecciones sobre el plano xy de las que aquí obtenemos.

Ejemplo 1,     x^2+4y^2-4x-16y+19=0

ej1 = Plot3D[x^2  +  4 y^2, {x, 1, 3}, {y, 1.5, 2.5}]

ej1plano = 
      Plot3D[+4 x  +  16 y  - 19, {x, 1, 3}, {y, 1.5, 
          2.5}]

Show[ej1, ej1plano]

Show[ej1, ej1plano, ViewPoint -> {0, 0, 1}]

Ejemplo 2,           x^2+ y^2-2x y+4 x-6 y +1=0

ej2 = 
      Plot3D[x^2 + y^2 - 2 x y, {x, -6, 20}, {y, -3, 
          30}]

ej2plano = 
      Plot3D[6 y -  4 x - 1, {x, -6, 20}, {y, -3, 30}]

Show[ej2, ej2plano]

Show[ej2, ej2plano, ViewPoint -> {0, -2, 2}]

Ejemplo 3,       x^2+ y^2+10 x y-6 x-6 y +2=0

ej3 = 
      Plot3D[x^2 + y^2 + 10 x y, {x, -6, 6}, {y, -8, 8}]

ej3plano = 
      Plot3D[6 x  +  6 y  - 2, {x, -6, 6}, {y, -8, 
          8}]

Show[ej3, ej3plano]

Show[ej3, ej3plano, ViewPoint -> {0, 2, 2}]