PRÁCTICA 1 : INTRODUCCIÓN A Mathematica. CÁLCULO SIMBÓLICO Y APROXIMADO

Esta primera práctica supone una introducción al  manejo del programa  Mathematica, mediante la descripción de la estructura de los archivos y las operaciones básicas, así como  de las sentencias en general. Además, pretendemos que los alumnos se familiaricen con el teclado, ratón y opciones de archivo y edición.

   El ordenador  con el que vamos a trabajar es un ordenador compatible sin disco duro, que está conectado en red con el Centro de Informática de la Universidad de Granada,  no se trata de un ordenador autónomo. Esta estructura tiene la ventaja de estar conectado a un equipo potente y el inconveniente de que cualquier problema consecuencia de una avería de la red, una imprudencia o un error de un usuario, puede repercutir en los demás. Por este motivo, debemos respetar al máximo las normas de uso.    

     Optamos por el paquete Mathematica, en su versión 3.0, por constituir actualmente una herramienta de trabajo eficaz y cómoda para ingenieros, arquitectos y científicos, tanto por su gran capacidad y sensillez de manejo como por su enorme versatilidad y difusión.

Entrada a Mathematica y descripción de los archivos

Para abrir el Mathemetica, pulsad en el botón de inicio y elegid el programa.

Automáticamente se abre una ventana (Untitled-1) correspondiente a un fichero o archivo (Notebook) de Mathematica. 
     
     La información de cada archivo se organiza según una serie de celdas cada una de las cuales aparece siempre con un corchete en su parte derecha. Hay diferentes tipos de celdas, dependiendo del papel que desempeñen. Así, por ejemplo, están las celdas
     1. de entrada (Input), donde se introducen datos,
     2. de salida (Output), en las que aparecen los resultados de la evaluación y cálculos efectuados por el núcleo del programa. Por ejemplo:

45 + 39

Otras son las de texto,usadas para escribir textos como el de este párrafo. Se activan, por ejemplo, en el Menú Format (Style y Text). A continuación vamos a indicar de qué forma se puede ejecutar una celda de entrada. Para ello, nos situamos sobre la celda en cuestión y pulsamos la tecla Intro del teclado numérico (o bien Shift junto con Enter). Podemos observar cómo a la izquierda aparece una infomación adicional en la que se especifica el tipo de celda y el número de la misma. Así mismo, recuperamos la línea horizontal, que corresponde a la zona del archivo en la que podemos escribir. Si deseamos cambiarla de lugar (principio, final o entre dos celdas cualesquiera) no hay más que situar el ratón en el lugar deseado y hacer click.

Algunas operaciones algebraicas elementales

A continuación vamos a describir de forma práctica el modo en que es posible realizar las operaciones algebraicas básicas con la ayuda de Mathematica.  
  
     Para teclear convenientemente los caracteres que aparecen seguidamente debemos recordar que
     i) si una tecla posee un sólo carácter corresponde a una letra, que aparece minúscula si se teclea sin más y mayúscula cuando se hace conjuntamente con la tecla  Shift y
    ii) si posee dos o más caracteres, el que aparece en la parte inferior izquierda se genera pulsando sin más la tecla, el de la parte superior con la tecla Shift además,  y el de la parte inferior derecha tecleando simultáneamente la tecla en cuestión y la correspondiente aAlt Gr.
    
    Los operadores aritméticos son los usuales:
    +	para la suma
    -	para la diferencia
    * o espacio	para el producto
    /	para la división
    ^	para la exponenciación

Ejercicio

Introduce cada una de las operaciones siguientes en una celda de entrada y ejecútalas. Observa que la prioridad de las operaciones es la usual (primero se efectúa la exponenciación, después la división, la multiplicación y, por último, las sumas y restas), alterándose frente al uso prioritario de paréntesis.

2 + 3

3 4-1

3*(4 - 1)

3/2 - 1/3

8/2/2

3^2

2^3^2

(2^3)^2

Comentarios

Cualquier cosa que aparezca en una celda entre (* y *) es ignorada por el ordenador. Esto se usa para incluir comentarios en las órdenes que se introducen. Por ejemplo, en el ejercicio anterior hay un comentario para aclarar que "hay un espacio entre 3 y 4". Para el ordenador, la orden es la misma con el comentario o sin él.

Ejercicio

El objetivo de este nuevo ejercicio es entender el uso del punto (.) y tanto por ciento (%) en el curso de una operación algebraica. Presentamos también otros dos números: π (Pi) y e (E). Evalua las siguientes operaciones con Mathematica:

3 + 6

3.  + 6

1/3 + 8/7

1/3 + 8/7.

% - 1

%%/3

%5

%5 - 6

Pi

1 + Pi

1.  Pi

1.  + Pi

1.  + E

Hemos de decir que es posible escribir pi haciendo uso de caracteres griegos,  puesto que Mathematica trabaja indistintamente con los símbolos Pi y  π. Para generar este último hay que desplegar el  menu  File y, sucesivamente Palettes, Completes Characters, Letters y Greek, seleccionando el carácter deseado.

Sintaxis general de las órdenes

En esta sección nos ocupamos de la estructura o sintaxis de una sentencia (orden o comando) cualquiera de las que Mathematica tiene implementadas. Dado que las sentencias se irán presentando a medida que se vayan necesitando a lo largo del curso y todas ellas comparten una serie de normas sintácticas, tomaremos como referentes iniciales la orden Print. y la orden N .

     La sentencia Print se usa imprimir. Se trata de una palabra inglesa (en otros casos será una abreviatura),  cuya primera letra siempre comienza con mayúscula, acompañada de una serie de argumentos escritos entre corchetes. Su funcionamiento puede comprenderse correctamente evaluando las sentencias que aparecen en el siguiente

Ejemplo

Print["hola"]

Print["buenos días"]

Print[2 + 3*7]

Print["2+3*7"]

Print[1, 2, 3]

Print[1, " ", 2, " ", 3]

La orden N nos permite realizar cálculos con la precisión deseada. La sintaxis de este comando es

N[número, precisión]

Al igual que con Print, damos el siguiente ejemplo para describir el funcionamiento de esta orden. Nótese que podemos prescindir del segundo argumento (precisión), aunque de esta forma se limita la potencia de esta sentencia.

Ejemplo

Ejecuta los siguientes órdenes:

N[Pi, 4]

N[1/3, 4]

N[E]

N[1/3]

N[Pi, 200]

3^4 - 7/4

N[%]

Opciones de archivo y edición

Al trabajar bajo Windows, Mathematica permite aprovechar las ventajas de manejo de archivos y edición comunes a cualquier programa que use dicho entorno. Debido a ello, es probable que sean bien conocidas las opciones de archivo y edición. No obstante, destacaremos las que nos serán de mayor utilidad. 

     Con relación a las opciones de archivo, además de la ya comentada de paletas (Palettes), se activan pinchando con el ratón dentro del menú de archivo (File)  y son:
1. abrir (Open), que permite cargar un archivo,
2. cerrar (Close), para cerrar el notebook activado,
3. nuevo (New), crea un nuevo documento, 
4. guardar (Save), graba en disco el fichero actual, conservando el nombre y la localización,
5. guardar como (Save as), similar al anterior, pero permite cambiar el nombre y la localización, y
6. salir (Exit).

Las opciones de edición se encuentran desplegando el menú de edición (Edit). Debemos señalar que para marcar una expresión se coloca el ratón al comienzo de la misma y se mantiene pulsado mientras que se arrastra hasta situarlo al final de la zona marcada. Las opciones de menú más usuales son:
1. cortar (Cut), elimina una expresión marcada, que posteriormente se puede colocar en otro lugar del documento mediante el comando pegar (Paste),
2. copiar (Copy), análoga a la anterior, pero conserva la expresión marcada,
3. deshacer (Undo), elimina el efecto de la última operación.

Números y expresiones algebraicas

Mathematica no se limita a trabajar con números reales: permite operar con cualquier número complejo. Para ello, hay que tener en cuenta que la unidad imaginaria i se escribe como I. Así, por ejemplo, podemos evaluar el cuadrado de i evaluando en una celdilla:

I^2

También es posible trabajar simbólicamente. Compruébalo, evaluando la expresión

\(\(\(
\)\(\((a\ x + b)\) \((c\ x + d)\) - \ a\ d\)\)\)

Algunas funciones matemáticas

La mayoría de las funciones usuales ya están incluidas en el programa. Algunas de ellas son:

Raíz cuadrada: Sqrt[]    
Seno, coseno, tangente: Sin[], Cos[], Tan[]
Exponencial, logaritmo en base e: Exp[], Log[]
Valor absoluto: Abs[]
Redondeo al entero anterior: Floor[]

Ejemplo

Exp[2] + Log[10] - Sqrt[5]

Log[10. ] - Sqrt[5]

N[%, 10]

Sin[Pi] - Cos[Pi]

Sqrt[-5]

Floor[25.1]

Floor[-3.2]

Abs[-7]

Sin[Pi/4] + Cos[Pi/6] Log[10. ] - Sqrt[5]

Log[Sin[Pi/4]]

Sin[Sqrt[Pi/2]]

También es posible manipular polinomios haciendo uso de algunas órdenes. Su funcionamiento queda explicitado en el siguiente

Ejemplo

Collect[2  x + 7  x y - 3  x^3 - 8  x^2 + y^2 x, x]

Collect[2  x + 7  x y - 3  x^3 - 8  x^2 + y^2  x, y]

Expand[(x + y)^3]

Factor[%]

Apart[(x^3 + 2  x - 7)/(x^2 - 6  x + 9)]

Ejercicios

1. Realiza las siguientes operaciones. Para evaluar la última expresión, intercálala entre la segunda y la tercera.
	a)	((2 - 5*4)/(3 + (2^1.3)))
	
	b)	3 - (4/9) - (3^2.45)
	
	c)	(((1/2) - (3/7))/(4  (8/5) - 11))
	
	d) 	(2^((4^3)))

2. Determina la expresión decimal de los números anteriores con 8 cifras decimales, mediante el uso de % y la sentencia N.

3. Repite el ejercicio anterior, reemplazando % por convenientes operaciones de edición.

4. Usa el comando Print con adecuados argumentos, para obtener las salidas:
	a)  abc
	b)  ab c, 
	c)  a b c.

5. Calcula la expresión decimal de sen(log π), con tres cifras decimales.

6. Agrupa en x e y el polinomio de dos variables axy+(x^2)+2x-3y+(y^2)+bx(y^3.)

7. Descompón en suma de fracciones simples las funciones racionales:

a)   ((x + 1)/((x^2)-2  x+1))    		b)    ((3 (x^4)-6  x+8)/((x^3)+4 (x^2)+4))

8. Ejecuta las órdenes:
	a)  Antonio
	b)  A n t o n i o  
y explica la salida.

9. Ejecuta las órdenes:
	a)  45/0
	b)  Sqrt[2 
y explica la salida.