Integral doble

Práctica de Cálculo, E.U.A.T., 2008

Al igual que la integral de una función de una variable representa el área (con signo) de la región bajo la gráfica de dicha función, la integral de una función de dos variables sobre una región representa el volumen del espacio que queda entre la gráfica (tridimensional) de la función y el plano sobre el cual la dibujamos. La integral en una cierta región de una función de dos variables se llama integral doble.

Mathematica calcula integrales dobles con el mismo comando con el que calcula integrales de funciones de una variable, modificando los argumentos para especificar que queremos integrar en las dos variables. La única dificultad está en la forma de especificar en qué región queremos integrar, ya que ahora no se trata de un intervalo sino de una parte del plano.

Cómo definir una región del plano

Esta sección no habla específicamente de Mathematica, sino de cómo delimitar una región del plano de forma precisa. Luego será necesario usar esto para especificar en el ordenador en qué región deseamos integrar.

Una forma sencilla de dar una región A es decir:

"A es la región que contiene todos los puntos (x,y) tales que
a < x < b
g1(x) < y < g2(x)"

donde g1 y g2 son funciones adecuadas. También puede cambiarse x por y y escribir la región como:

"A es la región que contiene todos los puntos (x,y) tales que
c < y < d
h1(y) < x < h2(y)"

con funciones h1, h2 (usaremos la forma que resulte más cómoda en cada caso). Estas formas de definir una región son útiles para calcular la integral de una función sobre ellas. Es la misma forma de describir regiones que se usa en teoría para calcular integrales a mano. Luego veremos algunos ejemplos de esto.

Cómo usar NIntegrate para calcular integrales dobles

Si tenemos una función de dos variables f y una región dada como se ha explicado arriba (en el primer caso), podemos calcular la integral de f sobre esa región con la orden

NIntegrate[f[x,y], {x, a, b}, {y, g1[x], g2[x]}]

Si la región está dada de la segunda forma el comando es casi igual:

NIntegrate[f[x,y], {y, c, d}, {x, h1[y], h2[y]}]

Para calcular una integral doble con Mathematica debemos:
1 - Definir la región sobre la que queremos integrar de una de las formas anteriores.
2 - Usar el comando NIntegrate adecuado.

Ejemplos

Definamos una función para usar en los ejemplos siguientes:

f[x_, y_] := x^2 - x*y

La integral sobre un rectángulo

Es sencillo especificar un rectángulo: es el conjunto de puntos (x,y) con x entre dos valores dados e y entre otros dos valores dados. En este caso, definir la región es muy fácil: por ejemplo, para calcular la integral de f en el rectángulo dado por -2 < x < 5,   2 < y < 3  no tenemos más que escribir:

NIntegrate[f[x, y], {x, -2, 5}, {y, 2, 3}]

La integral sobre la región entre la gráfica de dos funciones

Para calcular la integral en la región que queda entre la gráfica de dos funciones g1(x) y g2(x) (con g1 más pequeña que g2), calculamos los puntos horizontales a,b donde las funciones se cortan y definimos la región como
a < x < b
g1(x) < y < g2(x)

Por ejemplo: si g1(x)=x^2-1,   g2(x)=e^(-x^2):

g1[x_] := x^2 - 1

g2[x_] := E^(-x^2)

cortes = NSolve[g1[x] == g2[x], x]

a = x /. cortes[[1]]
b = x /. cortes[[2]]

NIntegrate[f[x, y], {x, a, b}, {y, g1[x], g2[x]}]

Ejercicio

Representa las funciones anteriores y la región donde hemos calculado la integral.

La integral sobre una región circular

Supongamos que se quiere integrar sobre la región dentro de la circunferencia de radio 3 centrada en (0,0). Esta circunferencia es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que x^2 + y^2 < 3^2. Si despejamos y, la región puede describirse como la parte del plano entre la gráfica de la función g1(x)=- Sqrt[9-x^2]  y la función g2(x)=Sqrt[9-x^2]. Entonces podemos calcular la integral como antes (ya sabemos que los puntos de corte son x=-3  y  x=3, las coordenadas horizontales que delimitan a la circuferencia):

a = -3
b = 3

g1[x_] := -Sqrt[9 - x^2]
g2[x_] := Sqrt[9 - x^2]

NIntegrate[f[x, y], {x, a, b}, {y, g1[x], g2[x]}]

Otra forma de hacerlo: podríamos despejar x en lugar de y. La región dentro de la circunferencia anterior puede escribirse también como el conjunto de puntos (x,y) tales que
-3 < y < 3
- Sqrt[9-y^2] < x  < Sqrt[9-y^2]
así que podemos calcular la integral como sigue:

c = -3;
d = 3;
h1[y_] := -Sqrt[9 - y^2]
h2[y_] := Sqrt[9 - y^2]

NIntegrate[f[x, y], {y, c, d}, {x, h1[y], h2[y]}]

(Por supuesto es el mismo resultado que antes)

La integral sobre regiones de otro tipo

En general,debemos intentar expresar la región donde se quiere integrar de una de las formas anteriores.

Por ejemplo: la integral de f sobre la región limitada por la curva x^2 + 2  y^2 - 7 x + 2 y + 2 = 0. Despejamos como antes, sólo que ahora es más rápido hacerlo con el ordenador en lugar de a mano:

sol = Solve[x^2 + 2  y^2 - 7  x + 2  y + 2 == 0, y]

Vemos que la más pequeña es la primera, así que ponemos:

g1[x_] := y /. sol[[1]]
g2[x_] := y /. sol[[2]]

Calculamos el punto de corte:

cortes = NSolve[g1[x] == g2[x], x]

(* 
      El extremo izquierdo es el más pequeño *) 
a = x /. 
        cortes[[2]] 
 (* 
        El extremo derecho es el mayor *) 
b = x/.cortes[[1]]

NIntegrate[f[x, y], {x, a, b}, {y, g1[x], g2[x]}]

Ejercicio

Haz el mismo cálculo que en el último ejemplo, pero esta vez expresa la región de la otra forma que vimos antes (despejando x en función de y).

Ejercicios

En los ejercicios siguientes puedes usar la función f de los ejemplos anteriores o definir otra distinta (la forma de hacer los ejercicios no cambia).

1- Calcula la integral doble de f sobre la región que queda por encima del eje horizontal y bajo la curva  x^2+y^2=4.

2- Calcula la integral de f en la región del primer cuadrante entre la recta x+y=3  y los ejes coordenados. (El primer cuadrante está formado por los puntos del plano que tienen ambas coordenadas positivas).

3- Calcula la integral de f en la región que queda entre la gráfica de la función y=-x^4 + 5 y el eje horizontal.

4- Calcula la integral de f en la región que queda entre la curva x= -y^2 + 10 y el eje vertical.

5- Calcula la integral doble de f en la región de los puntos (x,y) tales que 2 (x+1)^2 + 3(y-1)^2 = 0.

6- Con los comandos vistos en esta práctica puede realizar los ejercicios del 3 al 23 de la relación ejercicios de teoría.