Taller de Análisis Geométrico 2009

Se celebrará en el aula B-13 de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, los días 24 y 25 de septiembre de 2009.

Objetivo: Facilitar el intercambio de ideas y la puesta al día de resultados recientes obtenidos entre jóvenes investigadores en el campo del Análisis Geométrico. La convocatoria está abierta a los miembros de la Red de Análisis Geométrico, así como a personas externas a la red que estén trabajando en temas relacionados. Se ruega hacer llegar esta información a quienes pudieran estar interesados.

Dirección de contacto: magdalena (arroba) mat.ucm.es

Mapa de la localización del congreso

Inscripción

Si quieres asistir a este encuentro, escribe un e-mail a la dirección magdalena (arroba) mat.ucm.es con los siguientes datos:

Cómo llegar

Dirección: Facultad de CC. Matemáticas
Plaza de las Ciencias, 3 - 28040 Madrid

AULA B-13 (planta baja)

Metros más cercanos: Ciudad Universitaria y Metropolitano, línea 6.

Programa

JUEVES 24 DE SEPTIEMBRE

[10:00] César Rosales, ¿Para qué sirve una desigualdad isoperimétrica?

Es más o menos conocido que el problema isoperimétrico trata cuestiones de geometría global en las que interactúan fructíferamente la geometría riemanniana, la topología, el análisis y el cálculo de variaciones. Menos conocido es el hecho de que el problema isoperimétrico es "agradecido", en el sentido de que tiene aplicaciones directas sobre las disciplinas anteriores. En esta charla, mostraremos como a partir de una desigualdad isoperimétrica se pueden obtener e incluso mejorar resultados de comparación conocidos de naturaleza geométrica y analítica. Terminaremos con una curiosa aplicación de la desigualdad isoperimétrica para calcular las curvas más cortas dentro de ciertas variedades sub-Riemannianas.

[11:15] Gil Solanes, Geometría integral en espacios hermíticos

La geometría integral se originó con la fórmula de Cauchy-Crofton: la medida invariante del conjunto de rectas afines que cortan un convexo del plano es igual al perímetro de éste. Este resultado se extendió con facilidad a dimensiones superiores y a espacios de curvatura constante. Las generalizaciones a espacios homogéneos existen a priori pero sólo recientemente se han empezado a obtener explícitamente. El primer caso no trivial es el de las variedades complejas de curvatura holomorfa constante. El objetivo de la charla es comentar este caso, pero sólo después de recordar los resultados clásicos.

[12:15] CAFÉ

[12:45] Juan Ángel Aledo, Superficies maximales afines con singularidades

En esta charla estudiamos superficies maximales afines con cierto tipo de singularidades. Presentaremos algunas nociones y resultados fundamentales sobre esta teoría, y también comentaremos algunos problemas que están abiertos hasta la fecha.

[14:00] COMIDA

[16:00] Pablo Mira, Esferas de curvatura media constante en Sol3

Es bien conocido que las esferas redondas son las únicas esferas topológicas de curvatura media constante (CMC) en 3. En esta charla analizaremos la extensión de este resultado fundamental al espacio 3-dimensional homogéneo Sol3. Dicho espacio es la 3-variedad riemanniana más simétrica posible que no admite rotaciones, lo cual hace que sea difícil incluso asegurar la existencia de esferas de CMC. Es, además, la única geometría 3-dimensional de Thurston donde el problema permanece abierto.

Nuestro objetivo en esta charla será explicar la geometría básica de superficies de CMC en Sol3, y mostrar la existencia y unicidad de una familia de esferas topológicas embebidas de CMC en Sol3 para valores de la curvatura media mayores que 1/√3.

[17:15] Antonio Alarcón, Una aplicación armónica propia de ⅅ en ℂ

Picard demostró que toda función analítica de en que omita dos puntos debe ser constante. Esto se sigue del hecho de que no hay aplicaciones holomorfas no constantes de en ⅅ. En general, es natural preguntarse si y ⅅ son equivalentes por difeomorfismos armónicos. Heinz demostró que no hay difeomorfismos armónicos de ⅅ a con las métricas llanas; esto fue un paso clave en su demostración del Teorema de Bernstein para superficies minimales en 3. Por otro lado, Collin y Rosenberg construyeron difeomorfismos armónicos de al disco hiperbólico.

En relación con estos resultados Schoen y Yau propusieron la siguiente conjetura: No hay aplicaciones armónicas propias de ⅅ en ℂ con las métricas llanas. En este trabajo damos un contrajemplo de dicha conjetura.

VIERNES 25 DE SEPTIEMBRE

[11:30] Esther Cabezas, Tendiendo puentes entre el Flujo de Ricci y el Transporte Óptimo

Describimos cómo la teoría del Transporte Óptimo puede generar nuevos resultados en el campo del Flujo de Ricci, independientes de dicha teoría. En concreto, dado un Flujo de Ricci sobre una variedad M durante un intervalo de tiempo I, introducimos un segundo parámetro temporal y definimos solitones de Ricci gradiente en el espacio-tiempo M × I. Se explicará la manera en que parte de la teoría existente del Flujo de Ricci se puede codificar con nuestros solitones y se enfatizará la relación entre esta construcción geométrica y el transporte óptimo.

[12:45] María Calle, Anchura y flujos geométricos de hipersuperficies

Es habitual utilizar la técnica de minimax en familias uniparametricas de curvas en una hipersuperficie para encontrar geodésicas cerradas en la hipersuperficie. T. Colding y W. Minicozzi utilizan esta técnica, y en particular el concepto de "anchura" de una hipersuperficie, para dar una cota en el tiempo de extinción del flujo de curvatura media de una hipersuperficie convexa. En esta charla, generalizamos esta técnica a una clase más amplia de flujos geométricos, definida por B. Andrews, en los que la velocidad en cada punto es función de las curvaturas principales. Este resultado es trabajo conjunto con Steve Kleene y Joel Kramer.

[14:00] COMIDA

[16:00] Pablo Angulo, Una caracterización del lugar singular de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

Las soluciones de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi admiten una interpretación geométrica como la función distancia a la frontera en una variedad de Finsler. En esta interpretación, el lugar singular de las soluciones es el cut locus de la frontera. Recopilamos resultados sobre el lugar singular usando los dos puntos de vista. A continuación, estudiamos el lugar singular clasificando en distintas categorías todos sus puntos, excepto un conjunto de codimensión de Haussdorff 3. Finalmente, nos preguntamos si es posible caracterizar el lugar singular por dos propiedades del lugar singular, que expresamos diciendo que el lugar singular es un "split locus", y que es "balanced".

[17:15] María Pe, Sobre el problema de Nash para superficies

En esta charla enunciaremos el Problema de Nash para arcos en superficies con singularidades aisladas y explicaremos los últimos avances realizados. Dicho problema conjetura una biyección entre las componentes irreducibles del espacio de gérmenes de arcos que pasan por el punto singular y los divisores o hipersuperficies irreducibles de una resolución minimal de la singularidad.

Alojamiento y comidas

Tanto el alojamiento como las comidas están previstos en el Colegio Mayor Santo Tomás de Aquino (AQUINAS).
Reservar con la mayor antelación posible escribiendo a magdalena (arroba) mat.ucm.es.