Simultaneidad y contracción espacial

La paradoja del tren y el túnel

explorando simultaneidad y contracción espacial

	Sucesos
A	La cabeza del tren entra en el túnel
B	La cabeza del tren sale del túnel: se abre la puerta Dcha.
C	La cola del tren entra en el túnel: se cierra la puerta Izqda.
D	La cola del tren sale del túnel

Fundamento:

Relatividad de la simultaneidad y el orden temporal: Sucesos que son simultáneos para un observador inercial no lo serán para otro distinto. El orden temporal de dos sucesos que no estén conectados causalmente (separados por un intervalo tipo espacial) puede llegar incluso a invertirse para dos observadores inerciales distintos.

Contracción de Lorentz: Las longitudes se obtienen comparando medidas de dos sucesos simultáneos, y por tanto dependen del observador. La longitud propia

de un objeto la mide un observador en reposo respecto a ese objeto. La longitud

para otro observador inercial que se mueva con velocidad

respecto al objeto se encuentra contraída:

$\begin{displaymath} L=\frac{L_0}{\gamma}\; ,\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{displaymath}$

Descripción:

Panel 1: El tren y el túnel en reposo respecto al observador. Las longitudes están expresadas en metros [m].

Panel 2: El tren se mueve a gran velocidad respecto al observador ${\cal O}$ , que se encuentra en reposo frente al túnel.

Panel 3: El tren se encuentra en reposo respecto a un viajero, observador ${\cal O}'$ , para quien el túnel se acerca a gran velocidad.

Sucesos: A la izquierda de cada panel se presenta la secuencia temporal de los sucesos más relevantes en nanosegundos [ns], según se van produciendo.

Simulación:

Inputs: la velocidad del tren respecto a un observador en reposo frente al túnel y las longitudes propias del tren y del túnel.

Observar:

La contracción por un factor de Lorentz $\gamma$ de la longitud del túnel para ${\cal O}$ y del tren para ${\cal O}'$ .
Los intervalos de tiempo y el orden temporal dependen del observador. La causalidad se preserva en todos los casos: para ningún observador el tren sale del túnel antes de entrar, por ejemplo.

Cuestiones:

Reproducir las longitudes y los tiempos de cada suceso para ambos observadores.
Medir el tiempo que tarda el tren en cruzar el túnel. Comprobar y discutir la dilatación temporal:

$(t_B-t_A)=(t_D-t_C)=\gamma(t'_B-t'_A)=\gamma(t'_D-t'_C)$
Medir el tiempo que está el tren penetrando en el (o saliendo del) túnel. Comprobar y discutir la dilatación temporal:

$(t'_C-t'_A)=(t'_D-t'_B)=\gamma(t_C-t_A)=\gamma(t_D-t_B)$
Encontrar un ejemplo en el que dos sucesos sean simultáneos para ${\cal O}$ y no para ${\cal O}'$ y otro ejemplo en el que dos sucesos tengan orden temporal inverso para ${\cal O}$ y ${\cal O}'$ .
¿Se puede encerrar un tren de 100 m en un túnel de 50 m? Explicarlo desde el punto de vista de un observador en el tren y desde el de un observador en reposo respecto al túnel.

Fislet

José Ignacio Illana