Proyecto de investigación: 
“Integración de enfoques en didáctica de las matemáticas”
Fase 2ª: Revisión de trabajos en curso
Contribución a la reunión del Grupo de Trabajo DMDC 
en el IV Simposio de la SEIEM (Huelva, 12-15 Septiembre 2000)

OBSERVACIONES A LOS ANÁLISIS DIDÁCTICOS REALIADOS SOBRE "EL PESO DE UN RECIPIENTE"

Juan D. Godino

Observaciones al trabajo
 “Análisis didáctico de ‘El peso de un recipiente. Estudio de los problemas de la medición en CM’ en el marco de la teoría antropológica” 
(Grupo BAHUJAMA)

1. INTRODUCCIÓN

Nos hemos propuesto analizar los conocimientos didáctico-matemático desarrollados, desde la teoría de situaciones didácticas (TSD), sobre la medida de magnitudes en el ciclo medio, usando las herramientas teóricas aportadas por otras teorías que en parte son competitivas. Nos proponemos con ello clarificar las nociones teóricas propuestas, ejemplificando su uso en un tema particular, y contrastar su relativa eficacia, pertinencia y adecuación para el análisis didáctico.
	En esta fase de desarrollo del proyecto coordinado nos proponemos revisar críticamente las primeras versiones de los trabajos elaborados por los distintos grupos, aportando sugerencias para su revisión. 
El grupo BAHUJAMA ha ampliado el análisis a otros documentos sobre la medida de magnitudes publicados por Brousseau con el fin de situar el estudio del artículo “El peso del recipiente” en una perspectiva más general. Como se sabe este artículo analiza sólo dos unidades (15ª y 16ª) de una secuencia de 25 lecciones, por lo que parece justificado (incluso necesario) tratar de relacionar los contenidos tratados en esas lecciones con las precedentes. Una parte sustancial de las lecciones previas se refiere al estudio de la magnitud peso, y otras a la magnitud longitud. 
El grupo de Belmonte, Chamorro, Simarro y Vecino (Univ. Complutense) ha usado también un video con la grabación del desarrollo de la actividad 15ª que debería ser incorporado como documentación de refencia por el resto de los grupos. Disponemos, por tanto, de un material bastante rico que permite analizar con detalle el componente epistémico e instruccional del proceso de estudio implementado. Sería, no obstante necesario disponer de respuestas individualizadas de alumnos, bien a pruebas escritas o entrevistas clínicas, para profundizar en la faceta cognitiva.
Si se opta por utilizar diversos documentos señalados, no sólo ‘El peso de un recipiente’, los títulos de los trabajos podrían ser: Análisis didáctico de la medida en el ciclo medio en el marco de la teoría XXX.

El informe sobre el trabajo de BAHUJAMA lo estructuraremos según el siguiente esquema: 
-	Observaciones generales
-	Algunas insuficiencias de la TAD para el análisis didáctico. 
-	Sugerencias para la revisión del trabajo

En el análisis didáctico propongo distinguir tres facetas relacionadas entre sí:
-	epistémica, relativa a los conocimientos institucionales;
-	cognitiva, relativa a los conocimientos del sujeto individual;
-	instruccional, relativa a las funciones docentes y discentes, así como a los patrones de interacción entre los componentes del sistema didáctico.

2.	OBSERVACIONES GENERALES

BAUJAMA ha centrado el análisis en aplicar la noción de praxeología al tema de las “magnitudes y su medida”, primero de una manera general y después aplicando dicha herramienta al caso particular de las lecciones, tanto de la medida de longitudes como del peso. El trabajo se ha centrado casi de manera exclusiva en la dimensión epistémica del análisis didáctico, esto es, en presentar y aplicar una herramienta potencialmente eficaz para el estudio de los conocimientos matemáticos institucionales puestos en juego en un proceso instruccional específico. 
Cierto que esta faceta epistémica es prioritaria, ya que condiciona las dimensiones cognitiva e instruccional. La noción de praxeología didáctica que aporta la TAD es una herramienta potencialmente útil para lo que denomino “componente instruccional” del análisis didáctico. Pero sólo ha sido mencionada de pasada. En la revisión y ampliación del trabajo se puede afrontar el análisis y aplicación de esta noción a las experiencias sobre medida.

Sobre la notación y las praxeologías identificadas

Considero que es posible y necesario identificar otras praxeologías matemáticas que las descritas en el artículo, y sobre todo que es necesario describir los elementos constituyentes de dichas praxeologías (componentes praxémicas y discursivas).
La notación usada para expresar las praxeologías se puede mejorar, así como las expresiones que las designan. La seccion 3.1. se titula “La praxeología S(m) en torno a la medida de una magnitud continua m”. A continuación se indica que S(m) = {Oi ). La descripción que se hace de la praxeología abarca no obstante otros elementos distintos de los objetos tangibles que se miden (acciones de comparar y adjuntar, etc.). Sería preferible usar para la colección de objetos otra letra, O = {Oi ), y para la praxeología (considerada como sistema heterogéneo de entidades diversas) se puede poner:

S(m) = <O, T ; ...> 

Donde T indica las técnicas o acciones puestas en juego; con los puntos suspenstivos quiero indicar que habría que clasificar y enumerar los restantes elementos constituyentes (los componentes básicos de esta praxeológica ,tareas, técnicas; tecnologías, teorías)

Lo característico de esta praxeologia es el carácter empírico (tangible) de los objetos que se miden, y que las acciones que se hacen con ellos son las de comparación y adjunción. No se plantean las tareas de elegir una unidad de comparación. Se puede describir como “praxeología empírica comparativa”. 

Cuando se plantean los problemas de medida usando unidades, en realidad se está en presencia de una nueva praxeología que se puede describir como:

S(m)[u] = <O, u, ...>

Ahora se puede hablar de una “praxeología empírica métrica”: hay uno o varios objetos que se toman como unidades de comparación, que pueden ser múltiplos y submúltiplos de una fijada de antemano o no.

Para las praxeologías cualitativas y cuantitativas se debe también cambiar la notación:
CS(m) = <praxis; logos >
CS(m)[u] = <praxis; logos>

Hay que hacer un esfuerzo por identificar los distintos elementos de cada tipo de praxeología, distinguiendo los diversos objetos ostensivos y no ostensivos que se ponen en juego. 
En este caso, en el componente praxémico, se introducen como objetos caracteristicos notaciones y operaciones algebraicas; las tareas son de naturaleza simbólica, matemática, no manipulativa.
	
El sistema de los números reales positivos se debe también presentar como una praxeología (praxeología numérica), que se pone en juego también en el estudio de la medida.

En la sección 3.3. se debe poner más claro que la medida es una aplicación entre las praxeologías empíricas y el sistema [R+,+, ., <=] que conserva las estructuras de ambos sistemas. En realidad el sistema imagen de la medida de magnitudes no es simplemente un subconjunto de R, sino la praxeología R+[u].

En la sección 4 se hace un estudio pormenorizado de las praxeologías en el caso de la medida de longitudes y pesos, de acuerdo con el material de N. Brousseau (1987). Pienso que se puede suprimir la sección 4.1. de las praxeologías en torno a la medida de longitudes. Parece preferible referir todo el estudio a la magnitud peso.

3. ALGUNAS INSUFICIENCIAS DE LA T.A.D PARA EL ANÁLISIS DIDÁCTICO MATEMÁTICO

3.1.	Relativas a la dimensión epistemológica

Trataremos de argumentar que al “microscopio” que proporciona la TAD le faltan piezas para poder hacer un análisis didáctico integral, esto es, para poder describir, identificar y explicar ciertas categorías de fenómenos didáctico-matemático.

Distinción extensional – intensional (ejemplar-tipo; concreto-abstracto)

Me parece muy importante introducir la distinción entre praxeología-tipo (las estudiadas hasta la sección 4) y praxeología-ejemplar (las estudiadas en esta sección). Los sistemas de acciones y de discursos realizados con las bandas de longitud y con las colecciones de clavos y objetos que se pensan (enciclopedia, estuche, etc), son también presentados como “praxeologías” (empíricas, cualitativas, cuantitativas). Estas praxeologías ejemplares tienen caracteristicas de objetos extensionales (concretos), miemtras que los tipos son entidades intensionales (abstractos).
	No parece suficiente clasificar las entidades en ostensivas y no ostensivas. Cualquier entidad puede ponerse en juego por sí misma, como un ejemplar, o puede participar en representación de una clase.

Tipologias de entidades y explicitación de la naturaleza gramatical de los objetos institucionales. 

Además de las tareas (situaciones-problemáticas o rutinarias) y de las técnicas (entidades actuativas o prodecimentales), que son reconocidas por la TAD como los elementos constituyentes de la praxis matemáticas, considero que se debe incluir además los objetos notacionales (lingüísticos, gráficos, etc.). A estos objetos se les debe reconocer una doble valencia (como hace la TAD), representacional e instrumental.

El análisis del componente discursivo de las praxeologías requiere hablar también, no sólo de tecnologías y teorías, sino de conceptos, proposiciones y validaciones (demostraciones). Además, en coherencia con los presupuestos antropológicos se debe reconocer explicitamente la naturaleza gramatical (en el sentido de Wittgenstein) de estas entidades no ostensivas.

3.2.	Relativas a la dimensión cognitiva

Objetos personales; componente cognitiva (concepciones y esquemas subjetivos); análisis de errores y dificultades.

Las posibles dificultades de los alumnos con los distintos componentes de las praxeologías y los diversos grados de dominio de las técnicas, argumentaciones, comprensión de conceptos y propiedades, - que describo como dimensión cognitiva- no son mencionadas en el trabajo del grupo BAHUJAMA. ¿Revela esto una opción consciente de la TAD, o es una opción de los autores para limitar el alcance de este trabajo?

Se puede discutir a propósito de este estudio el postulado fundamental reduccionista de la TAD (en la visión de sus promotores iniciales) según el cual los fenómenos didácticos tienen una naturaleza esencialmente matemática. También en la TSD los fenómenos cognitivos pasan a un segundo plano, si no se prescinden de ellos. ¿En qué medida el enfoque epistemológico prescinde de hecho de la dimensión cognitiva?

	La noción de relación personal al objeto se propone como única herramienta para el análisis cognitivo. Pero considero que es excesivamente genérica y ambigua. Hay que introducir la noción de praxeología personal y sus diversos componentes y elementos, así como reconocer la emergencia de objetos personales, entidades cognitivas que permiten dar cuenta de la variabilidad individual en los aprendizajes. 

3.3.	Relativas a la dimensión instruccional
Entendemos como teoría instruccional aquella que describe los papeles del profesor y alumnos, y los patrones de interacción entre dichos agentes a propósito de un saber en vias de reinvención guiada. Puede ser simplemente descriptiva. Considero útil usar la palabra ‘instrucción’ para designar el estudio dirigido de un contenido matemático específico en el seno de una institución educativa. 
Considero que la subteoría de los momentos didácticos y la noción de praxeología didáctica puede ser interpretada como un primer esbozo de una teoría de la instrucción matemática. Los seis momentos didácticos propuestos hasta ahora describen roles del estudiante y del profesor que tienen lugar en un proceso de estudio dirigido.
Sin embargo esta teoría está apenas desarrollada y no permite analizar con suficiente detalle los procesos de estudio matemático. Posiblemente esto explique por qué BAHUJAMA no ha analizado la dimensión instruccional del proceso de estudio sobre la medida.
Las nociones de trayectoria didáctica y patrones de interacción docente-discente pueden ser elementos a considerar.

4.SUGERENCIAS PARA LA REVISIÓN DEL TRABAJO

-	La sección 1 debe describir mejor los objetivos del trabajo, dentro del proyecto coordinado,  y la metodología del  análisis. Esto supone, no obstante, ponernos de acuerdo en qué tipo de trabajos queremos producir y una pauta común sobre qué se va a analizar. En este caso se debe decir que en este trabajo se va a poner en juego sólo la noción de praxeología, dejando para otro estudio posterior el uso de las restantes nociones teóricas de la TAD. 

-	En la nota 2 (p. 1) se indica como estrategia metodológica para elaborar “el modelo epistemológico de referencia” de la medida de magnitudes para la TAD partir del material empírico de las lecciones (Brousseau, 1987). Pienso que se deberían usar fuentes complementarias. No me parece suficiente partir de las indicaciones epistemológicas de los autores para esbozar un primer “modelo epistemológico de referencia”.

-	Ver si se debe corregir la notación y la forma de nombrar las praxeologías, así como desglosar los distintos elementos de las praxeologías.

-	No se pone de manifiesto la potencial utilidad de las herramientas teóricas presentadas. Queda la impresión de que se ha hecho una nueva lectura formalista de un contenido que tradicionalmente se presenta con un lenguaje diferente. Pero este cambio de lenguaje no parece necesario; se ve como una reformulación bastante estéril. Estoy convencido de la potencial utilidad de las herramientas teóricas introducidas, pero habría que analizar con más detalle y sistematicidad los distintos componentes de los tipos y ejemplos de praxeologías puestas en juego.

Se insiste en la novedad que supone la identificación de la praxeología cualitativa CS(m) intermedia entre S(m) y CS(m)[u]. Pero esta praxeología está ya descrita en los trabajos de autores previos que han hecho propuestas didácticas sobre las magnitudes y su medida. Debemos tener en cuenta las diversas publicaciones de Roanes, M. de Prada, Chamorro, y las publicaciones del NCTM, por ejemplo. En estos trabajos se insiste en que antes de proceder a medir se deben proponer actividades que hagan percibir a los alumnos qué cualidad de los objetos se mide (lo que conlleva acciones de comparación y adjunción), y antes de usar las unidades legales de medida se propone utilizar unidades diversas no estándares. No queda claro, por tanto, lo novedoso de las praxeologías S(m), y CS(m), excepto el formalismo y la terminología usada.

-	No se aborda una cuestión clave del material experimental analizado: hasta qué punto es “rentable” que los niños de CM estudien las sub-praxeologías algebraicas (incluso vectoriales-complejas) cuando estudian la praxeología de la medida de longitudes y pesos. ¿Cuál es el esfuerzo y el rendimiento cognitivo de dicho estudio? En última instancia Brousseau es consecuente con el constructivismo que ha asumido acríticamente: Se trata de que el alumno perciba la necesidad y las ventajas de usar una unidad de medida homogénea y del sistema de múltiplos y submúltiplos.

-	No se ataca el análisis epistemológico de la medida aproximada y del error de medición. Estas cuestiones se mencionan de pasada en el trabajo, pero son cruciales en todo el material didáctico de Brousseau (1987 – 1991). 

-	Las experiencias de Brousseau están orientadas a poner a los alumnos en contacto, de manera constructivista, con unas praxeologías matemáticas de naturaleza pre-algebraica (no habituales) . Quiere poner a los alumnos ante situaciones que les lleven a usar expresiones del tipo:

-	Peso(libro) = 2 minis + 3 medianos + ...

-	P(R) = p(3V)-P(2V), ...

y que se opere con dichas expresiones para responder a cuestiones significativas. Se trata sin duda de una praxeología matemática potencialmente valiosa, aunque la praxeología empírica que la motiva no tiene en realidad ningún interés práctico (socio-cultural). Las tareas de medida son completamente artificiales. Con un coste que puede ser excesivo se pretende poner en contacto a los alumnos con objetos matemáticos valiosos (función afín, expresión de medidas complejas) y físicos (medida aproximada, error de medición). ¿Qué puede decir la TAD sobre la ecología de estas praxeologías algebraicas-abstractas? Parece claro que institucionalmente se pueden implantar, pero, ¿a qué precio?

-	El énfasis en el análisis de la faceta epistemológica de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede llevar a un fenómeno didáctico indeseable que podemos describir como “deslizamiento meta-epistémico”, por similitud con el deslizamiento meta-didáctico”. ¿En qué grado es necesario estudiar las praxeologías intermedias de naturaleza algebraica en el ciclo medio de educación primaria en el proceso de estudio de las magnitudes y su medida? Esta cuestión no es abordada desde la TSD ni la TAD, sino que es un fenómeno asociable al enfoque epistemológico de la didáctica que las caracteriza.

-	Las praxeologías matemáticas algebraicas y numéricas modelizan (o representan) las praxeologías empíricas. ¿En qué grado son útiles las praxeologías algebraicas? ¿Podrían ser un deslizamiento epistémico innecesario?. ¿Es preferible reservarlas para niveles posteriores del estudio de las magnitudes y su medida?

En conclusión se debe mostrar con más claridad (si es posible) la pertinencia y adecuación, o mejor la potencial utilidad del uso que se hace en este trabajo de la TAD, para el análisis epistémico de las magnitudes y su medida.
Queda pendiente, el uso de la teoría de los momentos didácticos y la noción de praxeología didáctica  para analizar la dimensión instruccional de la secuencia de estudio implementada por Brousseau.

OBSERVACIONES AL TRABAJO 
ANÁLISIS DIDÁCTICO DE ‘EL PESO DE UN RECIPIENTE’ DESDE LOS ENFOQUES COGNITIVO Y SEMIÓTICO
  (Belmonte, Chamorro, Simarro y Vecino, Universidad Complutense)

1.	INTRODUCCIÓN

Este trabajo se propone usar algunas nociones de la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud (TCC) y la noción de registro semiótico de Duval para analizar los conocimientos didáctico-matemáticos sobre la medida de las magnitudes en el ciclo medio elaborados por G. y N. Brousseau. Se trata de clarificar las nociones teóricas y mostrar su potencial utilidad para el análisis didáctico. El énfasis se pone en este caso en la dimensión cognitiva del análisis didáctico, aunque no exclusivamente. Algunos de los análisis realizados se hacen poniendo en juego nociones de la propia teoría de situaciones didácticas (TSD). 
Como fuentes documentales se usan, además del artículo ‘El peso de un recipiente’, un video con la grabación del desarrollo de la unidad 15ª. Esta grabación, junto con el texto escrito de los informes de las 25 actividades sobre la medida aportados por el Grupo BAHUMA proporcionan un material de gran riqueza para los fines pretendidos. En las nuevas versiones de los trabajos que se van a realizar tras el proceso de revisión deberá tenerse en cuenta por los distintos grupos la documentación completa disponible.

2.	OBSERVACIONES GENERALES

La teoría de los campos conceptuales (TCC) propone las nociones de concepto matemático como una tripleta y campo conceptual que pretenden ser útiles en el análisis del componente epistémico de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para la dimensión cognitiva aporta las nociones de esquema, invariante operatorio, concepto en acto y teorema en acto. 
En el trabajo que revisamos de Belmonte, Chamorro, Simarro y Vecino (BCSV) las nociones de concepto y campo conceptual no se han utilizado. En la revisión futura del trabajo se puede tratar de clarificar estas nociones aplicándolas en el proceso de estudio de la medida y discutir su pertinencia. 
El modelo epistemológico propuesto por la TCC parece insuficiente, al menos eso dejan entender los autores del trabajo. La nociones de magnitud y medida son analizadas usando “el modelo de los entornos” de L. Félix y G. Brousseau, modelo que no queda claro en el trabajo.

En este trabajo se percibe como hilo argumental la crítica de la secuencia instruccional sobre la medida implementada por N. y G. Brousseau mediante la teoría de situaciones. Esta crítica se hace básicamente usando también herramientas de la propia teoría de situaciones: contrato didáctico, situaciones a-didáctica (constructivismo), uso de la ostensión, etc., así como algunas nociones cognitivas, principalmente la noción de esquema, teorema en acto, etc.
La crítica que hacen Belmonte y cols parece centrarse en la complejidad de las situaciones didácticas implementadas, evaluada en términos de variedad de conocimientos puestos en juego (estimación, errrores de medición, además de los objetos involucrados en las magnitudes y medida), lo que lleva a la profesora a ejercer un protagonismo en el desarrollo de la secuencia. Esto contradice uno de los presupuestos básicos de la pedagogía constructivista, que tanto Brousseau, como los autores del trabajo, asumen acríticamente.

3.	OBSERVACIONES SOBRE EL CONTENIDO DE LAS DISTINTAS SECCIONES  

La sección introductoria debería ser revisada haciendo alusión a los objetivos específicos del trabajo dentro del proyecto coordinado, indicando las herramientas teóricas que se van a poner en juego y el conjunto de los documentos que se analizarán.

Sección 2: Análisis epistemológico de los saberes en juego

-	La noción de entorno se debe aclarar; parece poco pertinente para el análisis epistémico a la que se aplica. El término ‘entorno’ tiene usos diversos y no parece pertinente en este caso. Pienso que se debería tratar de poner en juego las nociones de campo conceptual y de concepto (como tripleta), o al menos aclarar por qué no se usan.

-	El análisis efectuado en esta sección no cuestiona el modelo epistémico del “complejo de objetos” propuesto por L. Félix y G. Brousseau. Para cada uno de los 8 objetos (entornos) se hace referencia a posibles dificultades de los alumnos y a deficiencias del proceso de estudio implementado, teniendo en cuenta la naturaleza de los objetos. Se indican tambien algunas evidencias de tales dificultades mediante el documento del video. Para poder hacer estas afirmaciones sería necesario incluir como anexo la transcripción del fragmento o fragmentos del video. El uso de video como material empírico requiere que se transcriba y se incluya como anexo de la monografía que se trata de elaborar.

-	Las observaciones que se hacen para cada uno de los 8 objetos, en general, parecen pertinentes, pero se hacen sin una pauta o sistema explícito que guie el análisis. Algunos comentarios pueden quedar invalidados si se tienen en cuenta las actividades anteriores de la secuencia instruccional.

-	En esta sección se mezclan de manera confusa tres planos: el análisis epistémico (conocimientos institucionales) de la medida, el análisis cognitivo (esquemas, dificultades de los alumnos) y el análisis instruccional (patrones de interacción en la secuencia instruccional implementada)

-	Se hacen comentarios sobre la falta de práctica efectiva en la medida directa con los instrumentos. Esto habría que suprimirlo si se tiene en cuenta el resto del material que describe las lecciones precedentes. Los alumnos han tenido oportunidad de pesar ellos mismos objetos diversos, con unidades estandares y no estandares.

-	En la sección sólo se menciona un objeto institucional de tipo proposicional -la propiedad de la aditividad-, y su faceta cognitiva (teorema en acto). Aquí se tiene oportunidad de mostrar el interés/ necesidad de hablar de “objetos personales” (esquema, concepción) y de “objetos institucionales” (propiedad, concepto). 

-	La noción de esquema de estimación se usa aquí de manera prematura, ya que aún no se ha aclarado.  

Sección 3: Teoría de Situaciones versus Teoría de los Campos Conceptuales

-	Se comienza indicando la relación entre la noción de concepto y de situación. Esto no queda claro. En el caso particular de la medida, ¿a qué concepto se refiere? ¿cuáles son las situaciones? El análisis precedente se ha visto que se pueden identificar al menos 8 objetos o entornos involucrados en la medida (conceptos, proposiciones, situaciones, etc.)

-	A continuacion se comienza a hablar de esquemas, sin decir por qué y para qué. Se comienza el análisis a priori de las situaciones. ¿Qué se busca?, ¿con qué instrumentos conceptuales se hará dicho análisis?

3.1.	Las condiciones a-didácticas de la situación propuesta

-	En el conjunto de la sección hay un cierto énfasis en criticar la secuencia instruccional, identificando deficiencias en su diseño e implementación. Pero las herramientas usadas en este análisis es la propia TSD (presupuesto constructivista piagetiano, contrato didáctico). Se insiste en la variedad de conocimientos que se ponen en juego en la secuencia instruccional, pero que tales conocimientos son identificados o movilizados por el profesor, no por los alumnos. El análisis se realiza desde la propia TSD dando a entender, por tanto, que la TCC no proporciona herramientas adecuadas para hacer el análisis pretendido, o sea, desvelar los conocimientos puestos en juego. ¿En qué grado es esto cierto?.

-	No queda clara la noción de conocimiento que se usa en la TSD. Puede ser una buena ocasión para aclarar y ejemplificar esa noción. Parece necesario delimitar bien el plano de los conocimientos institucionales y personales o subjetivos. Dado que el análisis se hace principalmente desde la faceta cognitiva se debe tratar de analizar, a propósito de la medida y la secuencia instruccional, las nociones de conocimiento, esquema y demás nociones cognitivas propuestas en la TSD y la TCC.

-	Se afirma que los conocimientos puestos en juego son variados (de tipo empírico y matemáticos) y que la situación creada mezcla indebidamente diversos saberes. ¿Desde qué posición se hace esa crítica?
 
3.2.	Fenómenos didácticos detectados. Su relación con los esquemas

-	De nuevo aquí hay un énfasis excesivo en criticar la secuencia instruccional en lugar de clarificar nociones y mostrar su potencial utilidad. Los comentarios que se hacen asumen la hipótesis constructivista que sostiene la TSD, e insisten que los patrones de interacción efectivamente observados en el video no respetan los presupuestos constructivistas, lo cual condiciona los aprendizajes alcanzables. Se usa en varias ocasiones la noción de contrato didáctico para explicar algunos comportamiento y explicar el tipo de conocimientos efecivamente construibles por los alumnos. Se puede clarificar y discutir la noción de contrato didáctico, clave en TSD, mostrando su pertinencia y adecuación para el análisis didáctico. 

-	No se delimita con claridad la naturaleza institucional de algunos conocimientos respecto de los que tienen un carácter personal o subjetivo. Se debe discutir las diferencias entre conocimiento y esquema (y sus diversas modalidades).

-	Se puede analizar la noción de fenómeno didáctico a propósito de los tres fenómenos que describe:
-	El carácter contracultural de algunas unidades de medida (hg, dc)
-	El uso de la ostensión en la medida
-	Las prácticas de medición como metáfora
(Fenómeno: regularidad explicada en el marco de una teoría)

-	Esta sección no contiene ninguna información sobre esquemas por lo que se debe cambiar el título.

Sección 4: Esquemas detectados

-	Es pertinente el comentario que hacen en la introducción respecto de la necesidad de disponer de protocolos individuales de los sujetos (respuestas escritas a pruebas o tareas y entrevistas clínicas) para poder describir los esquemas y su evolución. A pesar de ello, puesto que hay algunos tipos de respuestas de alumnos en el informe de las actividades y se dispone del video, los autores describen algunos esquemas. ¿Se puede hacer un análisis en términos de esquemas a partir de respuestas potenciales a tareas tipo de un sujeto epistémico? 

-	Pienso que en el trabajo se deben describir con mucha más precisión las nociones cognitivas que se usan: la propia noción de esquema, invariante operatorio, teorema y conocimiento en acto, regla de acción, inferencias y razonamientos. Estas nociones se pueden ejemplicar en el caso de la medida y sobre todo mostrar su necesidad y utilidad. Hay que buscar las mejores y más accesibles fuentes de las definiciones de estas nociones; descartar documentos inaccesibles, sobre todo cuando las ideas están publicadas en artículos de RDM , que se suponen son versiones más elaboradas.

-	Se puede desarrollar la idea de que el análisis didáctico de una secuencia instruccional queda incompleto si no se aborda el estudio cognitivo, esto es, si no se caracterizan los conocimientos efectivamente aprendidos por los sujetos, su variedad y calidad. Las nociones de esquema, concepción, invariante operatorio, etc., se proponen precisamente como herramientas para abordar ese estudio cognitivo. Pero aquí lo que tratamos de abordar es la clarificación de esas nociones y mostrar su eficacia o pertinencia frente a otras herramientas conceptuales. Un punto clave es la noción de conocimiento, y su tipología. La semiótica cognitiva que propone la TFS puede ser una teoría competitiva respecto de la TCC en la dimensión cognitiva del análisis didáctico-matemático. 

-	El análisis que se hace en la sección en términos de esquemas es minucioso, pero incompleto y falto de finalidad. Creo que puedo mostrar que la TFS es un instrumento más potente que la TCC.

Sección 5: Tratamiento del error

-	En esta sección se pone de manifiesto cómo la TSD proporciona criterios para diseñar una secuencia instruccional y al mismo tiempo elementos para analizar su desarrollo y los resultados finales en términos de aprendizaje logrado.

-	Los autores del trabajo identifica diversas limitaciones de la secuencia en cuanto a los conocimientos que efectivamente pueden lograr los alumnos debido a que estos no son quienes efectivamente hacen las pesadas y la maestra es quien va forzando el desarrollo de la clase en la dirección prevista. 
Pero los autores del trabajo no están legitimados para criticar la secuencia instruccional ya que no disponen de soluciones alternativas fundadas. Se informa de limitaciones en el tipo y calidad de los aprendizajes alcanzables, pero también se debería indicar la riqueza de las situaciones didácticas implementadas. 

Sección 6: Análisis de la situación desde el enfoque semiótico

-	La estructura y orientación de esta sección cambia excesivamente respecto del resto del trabajo. No parece pertinente la insistencia en formular preguntas abiertas sin respuesta. Este estilo interrogativo no parece adecuado en este trabajo. 

-	Hay que aclarar al principio de la sección las herramientas teóricas que se van a clarificar y poner a prueba. El uso exclusivo de la noción de registro semiótico parece demasiado simple para poder aportar algo nuevo en el análisis didáctico. El enfoque semiótico (en didáctica de la matemática) no puede reducirse al empleo novedoso de la expresión ‘registro semiótico’. Si se opta por incorporar el modelo teórico desarrollado por Duval habría que tener en cuenta otras nociones (semiosis, noesis, conversión de registros, etc.)

-	Se aprecia en la sección una crítica a las diversas notaciones usadas en la secuencia instruccional. Esta crítica se hace desde una posición constructivista ingenua: “¿No se produce una invasión del terreno del alumno (constructor del conocimiento) por parte de la maestra?”.

-	Hay que cambiar el tono de crítica de la secuencia instruccional hacia una crítica de las herramientas de análisis. El uso de la noción de registro semiótico no permite en sí misma hacer las críticas ni formular las hipótesis que se hacen.

-	La formulación de hipótesis no parece pertinente en el tipo de trabajo que estamos elaborando. 

Sección 7: Conclusiones

-	La conclusión octava afirmando que no es posible hacer un estudio de los esquemas ya que no se dispone de la información necesaria es contradictoria con la inclusión de una sección completa con el título: esquemas detectados.

-	Las conclusiones novena y décima se formulan en términos normativos (se debe ...). Esto no parece procedente en el estado actual de la didáctica: Como científicos, no sabemos lo que se debe hacer en la clase de matemáticas.

4. SUGERENCIAS PARA LA REVISIÓN DEL TRABAJO

-	Debemos ponernos de acuerdo en los objetivos específicos que pretendemos alcanzar con los trabajos a desarrollar por los distintos equipos del proyecto coordinado. El hilo conductor del proyecto es clarificar nociones y mostrar su potencial utilidad y pertinencia para el análisis didáctico. Por ello en la introducción del trabajo se debe explicitar cuáles son las nociones que se van a usar, distinguiendo las facetas a las cuales se aplican cada una de ellas: epistémica, cognitiva o instruccional. Los documentos que se usan (artículo de Grand N, video, y Actas de las 25 actividades sobre la medida) se pueden describir en un trabajo precedente común.

-	Se deben seleccionar bien las fuentes de referencia que sirven de punto de partida de las diversas nociones.

-	Las nociones claves aquí son las siguientes:

-	Conocimiento, saber (aquí no se menciona, pero se debería dilucidar)

-	Concepto, concepción, concepto y teorema en acto (se habla de conocimiento en acción creo que de manera impropia)

-	Campo conceptual (por qué aquí no se menciona)

-	Esquema, invariante operatorio, reglas de acción (¿?), Inferencias y razonamientos (¿?)
-	Situación a-didáctica, contrato didáctico

-	Hipótesis pedagógica constructivista.

- La sección 6, Análisis de la situación desde el enfoque semiótico, sería  preferible suprimirla de este trabajo y preparar con ella otro trabajo independiente. En este caso se podría ampliar con el uso de otras nociones de la teoría de Duval, y confrontarla con la TFS.

OSERVACIONES AL TRABAJO 
EL MEDIO EN LA TEORÍA DE SITUACIONES, COMO INSTRUMENTO DE ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL ARTÍCULO ‘EL PESO DE UN RECIPIENTE’ 
(P. Orús y T. Bort)

1.	OBSERVACIÓN GENERAL

La noción de medio, íntimamente ligada a la de situación, junto con la de contrato didáctico constituyen piezas claves de la teoría de situaciones didácticas (TSD) por lo que considero de gran interés el trabajo abordado por P. Orús y T. Bort para el desarrollo del proyecto coordinado. El hecho que el estudio se aborde desde la propia TSD dificulta tomar una cierta distancia y la adopción de un aproximación crítica respecto de las mismas, pero cabe esperar que su aplicación al análisis didáctico del tema de la medida permita clarificar la noción y mostrar su potencial utilidad. 

2.	OBSERVACIONES ESPECÍFICAS SOBRE LAS DIVERSAS SECCIONES

Introducción

Se debe rehacer después de redefinidos los objetivos generales del proyecto coordinado, indicando cómo se inserta este trabajo en los restantes,  así como el contenido y orientación del trabajo. Propongo que los distintos trabajo se conciban y redacten como si se tratasen de artículos que se enviarán a una revista. Por tanto,  no parce pertinente poner un índice en la introducción sino indicar la problemática específica abordada, el marco desde el que se aborda, y una presentacion breve del contenido de las distintas secciones.
Propongo que las distintas secciones y subsecciones se numeren según el sistema decimal en todos los trabajos, en lugar de alfabéticamente y se sigan las pautas de redacción de RDM.

Aproximación desde la problemática del profesor

Opino que esta sección se debe suprimir de este trabajo, por las razones que indico a continuación, y usarla como el germen de un trabajo independiente que aborde la valoración de las distintas teorías desde el punto de vista de la ingeniería didáctico, esto es, el componente práctico o tecnológico de la didáctica de la matemática.
El objetivo del proyecto coordinado no es la valoración crítica de la ingeniería didáctica sobre la medida elaborada por G. y N. Brousseua, sino la clarificación de las nociones teóricas y la evaluación de su potencial utilidad como herramientas para el análisis didáctico-matemático. 
La pregunta que se aborda en esta sección, y a la que se da una respuesta coherente, es “¿Tiene interés realizar estas lecciones?” La respuesta afirmativa que se da es posible por el recurso a pautas de valoración ajenas a la propia didáctica, como son los currículos oficiales y los estándares USA. Aunque nos parezcan muy razonables estos criterios no por ello dejan de tener una validez relativa, sin una fundamentación científica. ¿Quién garantiza esas ‘varas de medir’? Puede ocurrir que aunque la secuencia de actividades sobre la medida no cumpliera los estándares no por ello habría que descartar su uso efectivo en las clases. Hay que recordar la modestia y el respeto con que Brousseau mira siempre las ingenierías didácticas que elabora y experimenta. Siempre se muestra precavido ante la difusión de sus “productos”.

En cierto sentido, esta sección “rompe las reglas de juego” adoptadas para el conjunto de los trabajos, confundiendo el plano de la reflexión científico-teórica, con el plano de la práctica y la tecnología didáctica.
De cualquier modo, como he dicho, se puede abordar el problema de la valoración de las ingenierías didácticas. En este caso, y pensando en un artículo, la redacción de la sección tendría que hacerse menos esquemática, mostrando en cada estandar citado cómo se cumple en el caso de la secuencia instruccional sobre la medida. No parece suficiente el enumerar los contenidos y estándares y decir que mediante la realización de las actividades se cumplen todos.

Aproximación desde la didáctica fundamental (teoría de situaciones)

Mi comentario general a esta sección es que ninguno de los dos objetivos generales del proyecto coordinado (clarificar nociones y mostrar la utilidad de las mismas) se han logrado aún en el estado actual del trabajo. Ciertamente que la noción de ‘medio’ es compleja y que en los escritos de Brousseau, con su tradicional oscuridad, no se ofrece una descripción comprensible. El trabajo de nuestras autoras constituyen, por tanto, un verdadero desafio. Tampoco se logra mostrar qué nos aporta realmente este instrumento teórico, cuál es el trasfondo del asunto que se trata de dilucidar con esta noción. 

B1: Niveles de estructuración del medio

	Se ha optado por poner primero esta sección que describe en términos generales, sin ejemplos, el modelo general. Tal y como está no aporta nada a las descripciones (incomprensibles) que hace Brousseau. Se empienza a entender algo cuando en la siguiente sección se aplica al caso de la medida. Creo que sería preferible poner la descripción teórica, con las definiciones general, después de los ejemplos, o bien intercalar el ejemplo con las definiciones generales. En todo caso se debe hacer un esfuerzo por entender lo que dice el modelo y explicarlo mejor de lo que lo hace Brousseau.

B2. Identificación de cada nivel del medio, y aplicación práctica en el análisis de las lecciones del “peso del recipiente”

Como he dicho la aplicación del modelo al caso de las experiencias sobre la medida permite aclarar algo los diversos sujetos, medios y situaciones. Pero la  cuestión clave sigue siendo tratar de motivar/ justificar el modelo. ¿Por qué y para qué esta parafernalia de sujetos, medios y situaciones?
Me parece que el hilo argumental de la teoría de la estructura del medio es analizar finamente los conocimientos que se ponen en juego al diseñar e implementar una tarea matemática específica. Estos conocimientos se consideran de distinta naturaleza según los distintos tipos de sujetos que propone el modelo y se van poniendo en juego de manera dinámica a medida que progresa el proceso de estudio. 
El trabajo, en el estado actual, no muestra cuáles son los conocimientos puestos en juego en cada caso, por lo que no se puede apreciar la potencial utilidad del modelo.

CONCLUSIONES

Se incluyen observaciones generales que no se derivan del análisis precedente, la mayor parte de ellas apenas comprensibles. Por ejemplo,

* “Que la experimentación planteada, no es solo una estrategia de aprendizaje,sino un conocimiento que exigiría su transposición y modelización en la situación, junto a la del 
contenido matemático en juego”
* el método científico, el error de la medida es algo que foram parte de su propia estructura. No se trata de evitarlo, sino de razionalizar su magnitud.
* la situación debería modelizar, por tanto, el funcionamiento del método científico.

Pienso que estas conclusiones, aparte de su oscuridad, no se derivan del análisis de la estructura del medio que se ha realizado.

3.	SUGERENCIAS PARA LA REVISIÓN DEL TRABAJO

Trataré explicar lo que yo he entendido sobre el medio tras la lectura (y relectura) de los trabajos originales de Brousseau, junto con los de Margolinas, por si alguna de estas ideas sirve en la elaboración de este trabajo.

Con la noción de medio (situación y distintos tipos de sujetos) se trata de analizar la estructura de un proceso de estudio de un saber matemático en el seno de un sistema didáctico, identificando los distintos roles desempeñados por el alumno y por el profesor en dicho proceso y la tipología de patrones de interacción que tienen lugar entre los tres componentes. Una de las finalidades básicas es identificar los momentos del trabajo autónomo del alumno ante una tarea problemática (situación a-didáctica) porque es en esos momentos en los que el alumno se supone que aprende realmente. 
Para distinguir esos momentos especiales se introducen diversos tipos de sujetos (y de profesor), teniendo en cuenta los roles que desempeñan, y los tipos de tareas e informaciones que se ponen en juego en cada momento del proceso de estudio. No se modelizan los sujetos físicos, sino sus relaciones a las situaciones. La variedad de relaciones se expresa en este modelo como variedad de sujetos.
Un punto muy oscuro de la modelización está en la relación medio-conocimiento/saber. Los conocimientos que se ponen en juego quedan diluidos en el medio, lo que puede explicar que en el trabajo de P.Orús y T. Bort los conocimientos que se ponen en juego en la secuencia de estudio de la medida son apenas identificados. Este problema queda, no obstante, bien resuelto en el trabajo de Margolinas (1993-1994; Jeux de l’élève et du professeur dans une situation complexe).

La estructuración del medio se podría expresar de una manera menos formal quizás hablando de “patrones de interacción”, como se propone desde el interaccionismo simbólico. El proceso de estudio, o trayectoria didáctica,  de una tarea o secuencia de tareas se caracterizaría mediante la secuencia de patrones de interacción. Cada ocurrencia en el tiempo de un patrón es una situación, por lo que el proceso de estudio se puede modelizar mediante la correspondiente secuencia de situaciones (o lo que es lo mismo, la secuencia de ternas [Mi, Si, Pi]). Hay una nueva situación cuando entra en acción un nuevo sujeto, o hay un cambio en el medio, bien por la introducción de una nueva consigna, la disponibilidad de nuevas informaciones o nuevos dispositivos de procesamiento de las informaciones. 
La teoría de la estructuración del medio se puede interpretar, según lo dicho, como una teoría de los diversos patrones de interacción en el aula. Así mismo, la teoría de los momentos didácticos creo que también se puede interpretar como un modelo de estructuración de los patrones de interacción profesor-estudiante-saber/ conocimiento, lo que permite establecer conexiones con la teoría del medio.

Considero que este modelo teórico es un instrumento potencialmente útil para el componente instruccional del análisis didáctico, esto es, para analizar las interacciones entre las funciones del profesor y los estudiantes, en el proceso de estudio (dirigido) de un contenido matemático. Se considera que el proceso de estudio abarca también la fase de preparación del estudio (fase pre-activa, antes del trabajo en clase) y continúa con la reflexión final individual o colectiva entre profesor y alumnos sobre el proceso seguido (fase meta-didáctica, o supra-didáctica, como propone Margolinas). Una aspecto básico del modelo consiste en distinguir el alumno específico (real) que efectivamente interactúa y aprende del alumno virtual, ideal, epistémico, para el cual se diseña el proceso y se usa como pauta de evaluación. 
	
Pienso que la complejidad del modelo elaborado por Brousseau para analizar los procesos instruccionales se deriva, además, de dos axiomas o postulados que constituyen la base de la TSD:
(1)	Postulado epistemológico situacional: Todo conocimiento se modeliza mediante una situación-problema o familia de situaciones que le dan su sentido.
(2)	Postulado pedagógico constructivista: El alumno aprende un conocimiento cuando se enfrenta a la situación-problema que modeliza dicho conocimiento y la resuelve.

Según esto, si deseamos promover el aprendizaje de un conocimiento se debe seleccionar una muestra representativa de situaciones-problemas que lo constituyen y poner al aprendiz ante dichas situaciones-problemas. La distinción entre situación y medio parece una necesidad del postulado constructivista: el medio es aquello a lo que el aprendiz se enfrenta, que le viene dado y condiciona sus decisiones. El sistema interactivo formado por un sujeto enfrentado a un medio es lo que se llama una situación. 

La articulación de todas estas variables y postulados ha llevado a la elaboración de un modelo de gran complejidad que se está revelando, en la práctica,  de escasa utilidad como herramienta de análisis.  Por otra parte, lo que he llamado el postulado epistemológico situacional, que está en la base de la noción de medio, es una modelización del conocimiento matemático excesivamente rígida y restrictiva.