Grado y modo de estudio de una teoría matemática: 
Papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros

Mario Arrieche, Universidad Pedagógica Experimental Libertador (Venezuela)
Juan D. Godino, Universidad de Granada (España)

Resumen
El objetivo de este trabajo es presentar algunos criterios para generar problemas de investigación en didáctica de la matemática, dentro de un marco teórico que se describe como "enfoque semiótico-antropológico". Estos criterios se aplican y ejemplifican sobre el tema de la introducción de la teoría de conjuntos en el currículo de matemáticas de magisterio.

1. Aspectos y dimensiones de un problema didáctico-matemático
En este trabajo describimos el origen, evolución y perspectivas de futuro de un tema de investigación iniciado en 1998 en el programa de doctorado de didáctica de la matemática de la Universidad de Granada, sobre "el papel de la teoría de conjuntos (TC) en la formación de maestros". Nos proponemos, asimismo, mostrar la dialéctica existente entre los aspectos prácticos, tecnológicos y científicos en la investigación didáctica, así como las tres dimensiones básicas involucradas en un problema de investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: las dimensiones epistemológica, cognitiva e instruccional. Conviene advertir, no obstante, que los aspectos del problema que se describen no se proponen como un proyecto de tesis particular, sino mas bien como un tema de estudio que puede dar lugar a diversas investigaciones específicas.
La pregunta inicial que motivó la investigación fue, ¿cuál es el papel que debería desempeñar el estudio de los conjuntos, aplicaciones y relaciones en la formación de los maestros? Esta pregunta tenía interés tanto para el tutor como para el doctorando. El tutor imparte un curso de "matemáticas y su didáctica" para los maestros de educación primaria y necesita tomar una decisión fundamentada sobre el tema de los conjuntos, planteándose cuestiones como las siguientes: ¿Es útil el lenguaje conjuntista para desarrollar los restantes temas del programa? ¿Qué dificultades plantea el tema a los estudiantes? ¿En qué medida se debería estudiar? ¿Interesa incluir un tema introductorio en el programa sobre conjuntos, relaciones y aplicaciones, o por el contrario, dichos contenidos pueden y deben ser tratados de manera implícita y a medida que se usan? ¿Qué materiales utilizar en el estudio del tema?.
El doctorando tenía una amplia experiencia en la impartición de cursos sobre álgebra abstracta (en particular el álgebra de Boole de conjuntos) para la formación de profesores de matemáticas (nivel de secundaria y universidad), de modo que estaba familiarizado con el tema y la problemática educativa que plantea, aunque el nivel de los profesores de matemáticas de secundaria introduce un factor diferenciador respecto de los profesores de primaria.
Vemos que inicialmente el problema tiene un interés que podemos calificar de práctico para un profesor: ¿qué contenidos matemáticos debo enseñar a mis alumnos y cómo enseñarlos? La respuesta esperada es prescriptiva, y en cierto modo imperiosa, ya que el profesor tiene que tomar la decisión de qué hacer en un plazo de tiempo relativamente corto (cada mes de septiembre cuando se programa el desarrollo del nuevo curso). 
Puesto que en los últimos diseños curriculares se han suprimido las nociones conjuntistas de la educación primaria, estamos tentados a responder que el papel de la teoría de conjuntos en la formación de los maestros debe ser nulo, dado que no tienen que enseñar esos contenidos. Esto implica que podemos prescindir del lenguaje de los conjuntos, aplicaciones y relaciones cuando los maestros estudien los sistemas numéricos, la geometría y las magnitudes. Pero nos queda la duda si con esa opción drástica creamos una barrera para que los maestros puedan ampliar sus conocimientos matemáticos sobre temas algo más avanzados que los que se supone tendrán que enseñar en el ejercicio de su profesión, y que requieren de los conjuntos para ser estudiados de una manera apropiada. También es posible que perdamos la oportunidad de ofrecer una presentación estructurada de los restantes contenidos del programa. Parece, pues que la respuesta de supresión se basa mas bien en meras opiniones, o en actitudes ideológicas. Para tomar una decisión fundada es necesario disponer de información que no está directamente accesible y, por tanto, requiere investigación. 
Esa información debe permitir responder con fundamento a preguntas más específicas que podemos clasificar según tres dimensiones o categorías (Godino, 1999b): 
(1)	¿Qué es la "teoría de los conjuntos"? ¿Qué formulaciones se han hecho de dicha teoría matemática en distintos períodos y circunstancias? ¿Qué papel desempeña en la matemática? ¿Qué papel puede desempeñar en las matemáticas escolares? (problemática epistémica, esto es, relativa al conocimiento matemático).
(2)	¿Qué dificultades de comprensión tienen los distintos contenidos que configuran la TC para los futuros maestros? ¿Cuáles son los motivos de tales dificultades? (problemática cognitiva).
(3)	¿Cómo se enseña la teoría de conjuntos en el nivel y contexto institucional fijado? ¿Qué factores instruccionales condicionan, y cómo, el aprendizaje de los estudiantes de la TC? ¿Qué patrones de interacción profesor- alumno son óptimos para facilitar el aprendizaje de la TC? (problemática instruccional, esto es, relativa a la enseñanza y al aprendizaje).
Vemos, por tanto, cómo el problema inicial se descompone en subproblemas cuando comenzamos a pensar en él. Estas cuestiones tienen ya una naturaleza diferente: se trata de describir, identificar factores condicionantes, explicar, esto es, una naturaleza de tipo científico (descriptivo-explicativo). Estas cuestiones deben ser abordadas con herramientas conceptuales propias de la didáctica de las matemática, o de disciplinas relacionadas como la epistemología, la psicología y la didáctica general. Aparece, por tanto, el problema de la selección de los marcos teóricos y metodológicos desde los cuales abordar las distintas facetas de la didáctica de un contenido matemático. 
En las siguientes secciones describiremos diversas cuestiones específicas de investigación para cada una de las tres dimensiones mencionadas. Pero antes presentaremos brevemente las nociones teóricas que usaremos en su formulación, desarrolladas en el marco teórico en el que venimos trabajando y que designamos como semiótico-antropológico (Godino y Batanero, 1997).

2. Algunas nociones y supuestos teóricos
Entre las nociones básicas que proponemos para el análisis didáctico están las de "significado institucional y personal de un objeto matemático" (Godino y Batanero, 1994). Tales significados se conciben como los sistemas de prácticas (operativas y discursivas) realizadas por una persona (o en el seno de una institución) para resolver un campo de problemas matemáticos. Los sistemas de prácticas reconocidos como apropiados para resolver un tipo de tareas en el seno de una institución son descritos por Chevallard, Bosch y Gascón (1997) como una praxeología matemática, noción que coincide con lo que nosotros hemos denominado "significado institucional de un objeto matemático". La adopción de las praxeologías como significados de los objetos matemáticos (teorías, contenidos u organizaciones matemáticas) supone la adopción de una epistemología de tipo pragmatista y relativista (en consonancia con la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein). Estas entidades se conciben como sistemas formados por distintos elementos agrupables en dos categorías: 
(a)	Dimensión praxémica (praxis), formada por el campo de problemas, los registros semióticos (notaciones) y las técnicas (operaciones, procedimientos) puestos en juego; 
(b)	Dimensión discursiva (logos), formada por los conceptos, propiedades y argumentaciones que regulan, organizan y estructuran los componentes praxémicos.
La noción de praxeología nos proporciona una herramienta potente para analizar la variedad de significados atribuidos a la expresión "teoría de conjuntos". Para seleccionar los aspectos de la teoría de conjuntos viables en un nivel y contexto educativo es necesario disponer de las diversas posibilidades e identificar sus elementos constituyentes.
Por otra parte, para describir y explicar los logros y dificultades de los estudiantes tenemos que analizar con suficiente detalle el proceso de estudio, los patrones de interacción docente-discente a lo largo del proceso, así como la trama compleja de objetos y relaciones que constituyen el conocimiento pretendido. Con dicho fin las nociones de "praxeología didáctica"  y "función semiótica" pueden ser herramientas conceptuales útiles. 
La noción de praxeología didáctica (Chevallard, 1997) se corresponde con la de praxeología matemática, pero en este caso el componente praxémico se refiere a las tareas del profesor y del alumno, las técnicas de estudio, y de ayuda al estudio. Para el profesor, en el momento de la planificación de la enseñanza, se trata de diseñar una praxeología matemática viable y en el momento de realización de la instrucción se trata de decidir y aplicar las técnicas de ayuda al estudio mejor adaptadas.
Un aspecto integrante de la praxeología didáctica es la distribución en el tiempo de las diversas funciones docentes y discentes en conjunción con los distintos componentes de las praxeologías matemáticas. Se necesita describir el diálogo efectivamente ocurrido entre profesor y estudiante a propósito de cada componente del saber matemático, o prever posibles alternativas para tales diálogos e interacciones. Los distintos elementos que componen la praxeología matemática escolar deberán ser abordados por el docente y discente de acuerdo con patrones de interacción definidos distribuidos en el tiempo, lo que constituye una trayectoria didáctica.
	Finalmente, la noción de función semiótica pretende tener en cuenta la naturaleza esencialmente relacional de la actividad matemática y de los procesos de difusión del conocimiento matemático. Se dice que se establece una función semiótica entre dos entidades (ostensivas o no ostensivas) cuando entre ambas se establece una dependencia representacional o instrumental, esto es, una de ellas se "pone en lugar de la otra", o una de ellas "es usada por la otra". Esta noción permite formular en términos semióticos, y de una manera general y flexible el conocimiento matemático (Godino, 1999a).
Utilizando estas nociones podemos formular una agenda de investigación sobre el papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros del modo que describimos en la siguiente sección.

3. Agenda de investigación sobre el papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros

3. 1. Dimensión epistemológica
	Dentro de la faceta epistemológica debemos interrrogarnos sobre qué significados particulares se atribuyen a los contenidos de teoría de conjuntos que se estudian actualmente en el nivel y contexto educativo que nos interesa. Bajo la etiqueta "contenido" debemos incluir, las situaciones-problemas que motivan el estudio del tema, las notaciones, definiciones, operaciones, propiedades y tipos de justificaciones que se aportan. A este sistema de elementos o prácticas operativas y discursivas es lo que denominamos "praxeología conjuntista", o significado de la "teoría de conjuntos" en el contexto institucional fijado.
Pero el estudio descriptivo de las praxeologías efectivamente implementadas y de sus consecuencias cognitivas en un contexto debe ser complementado. Nos parece necesario preguntarnos: ¿Qué otras praxeologías conjuntistas podrían ser viables? ¿Qué criterios se deberían seguir en la elaboración de praxeologías viables y óptimas en el nivel y contexto que nos interesa?.
Estas preguntas son las que llevan a investigar el origen y el papel de la teoría de conjuntos en la matemática, y en distintos contextos institucionales y temporales, en particular a estudiar el fenómeno de la "matemática moderna" en las décadas de los 60 y 70. Mediante este estudio epistemológico obtendremos los elementos característicos de las diversas praxeologías conjuntistas y criterios para valorar su posible viabilidad en un contexto educativo. Se trata de una especie de “arqueología del conocimiento matemático” orientada a la búsqueda de criterios para la construcción e implementación de praxeologías conjuntistas en el contexto que nos interesa.
El estudio de las diversas teorías de conjuntos que se han ido formulando previamente es necesario para superar la creencia de que bajo la expresión "teoría de conjuntos" hay algo único y bien delimitado que es lo que se debería estudiar en la escuela. La noción de praxeología (conjuntista) puede ayudar a superar esta creencia al mostrar la variedad de tales significados institucionales en distintos autores y momentos históricos, sus características, relaciones mutuas y evolución. Este estudio debe aportar criterios de elaboración de praxeologías conjuntistas viables y útiles en los currículos escolares. Otra faceta del estudio epistemológico –entendido en el sentido ampliado en que interpretamos la epistemología de las matemáticas- será la indagación de las relaciones ecológicas entre distintas praxeologías matemáticas, en este caso, las relaciones de la TC y otras ramas de las matemáticas (números, geometría, medida, etc.)
Parece claro que las teorías axiomáticas de conjuntos responden a una problemática de fundamentación de la matemática que es completamente ajena e incomprensible a la gran mayoría de los estudiantes (con excepción posiblemente de los que siguen una licenciatura de matemáticas). Pero los rudimentos del lenguaje conjuntista sí parece que puede ser útil como elemento unificador de los distintos contenidos del programa.
En el caso que nos ocupa consideramos necesario analizar los siguientes contextos institucionales:
-	La obra de los matemáticos precursores de la teoría de conjuntos (Riemann, Dedekind y Cantor).
-	El período de las paradojas y la axiomatización consiguiente; la teoría de conjuntos consolidada como fundamento de las matemáticas y como rama o campo de investigación matemática (teoría abstracta de conjuntos).
-	Los conjuntos en la matemática intuicionista; el constructivismo matemático (Kronecker, Poincaré, Brower, ...)
-	La reforma educativa de la matemática moderna.
Para cada uno de estos contextos histórico- institucionales debemos caracterizar los distintos elementos que componen las praxeologías correspondientes, esto es, los tipos de problemas que se trataban de resolver, las operaciones y conceptos formulados, notaciones, propiedades y modos de argumentación específicos usados. Consideramos que este estudio nos aportará elementos claves para explicar el fenómeno del fracaso de la matemática moderna e identificar los criterios para proponer adaptaciones curriculares viables sobre este tema.
A título de ejemplo, el análisis de la noción de variedad desarrollada por Riemann y el uso que hizo de ella como fundamento de sus investigaciones matemáticas nos parece necesario como precedente de la noción de conjunto que fue delimitándose en los trabajos de Dedekind y Cantor. Asimismo, el uso que hizo Dedekind de los conjuntos y aplicaciones en sus investigaciones sobre los fundamentos de los números, el álgebra y la geometría nos parece que puede aportar criterios para el diseño de praxeologías conjuntistas en el nivel educativo que nos interesa. Por otra parte, también parece necesario caracterizar las praxeologías conjuntistas elaboradas desde el enfoque constructivista (Weyl, Brower), ya que pueden aportar elementos para definir una propuesta viable alternativa al enfoque logicista dominante. El reciente libro de Ferreirós (1999) es una referencia importante para este estudio epistemológico.

3.2.  Dimensión instruccional: Enseñanza y aprendizaje
Una vez definida una praxeología matemática escolar, a partir del estudio de la dimensión epistemológica del tema, se trata de entrar en la investigación experimental de su viabilidad y en la determinación de las condiciones óptimas de implementación. Esta faceta del tema de investigación se puede describir  mediante las nociones teóricas de praxeología didáctica (Chevallard, 1997) y trayectoria didáctica (Godino, 1999b).
Fijada una praxeología conjuntista el profesor planifica e implementa una secuencia de tareas docentes y discentes para los distintos elementos de la praxeología, justificando tal organización en su propia experiencia, en supuestos pedagógicos y resultados de investigaciones didácticas precedentes. Con estas nociones se puede describir la dimensión instruccional de la problemática didáctica del modo siguiente: 
-	Identificación de criterios de elaboración de praxeologías didácticas relativas a las distintas praxeologías conjuntistas plausibles.
-	Identificación de criterios de implementación de trayectorias didácticas viables y óptimas relativas a una praxeología didáctica específica. La optimalidad se supone que puede evaluarse en términos de la calidad de los diálogos docente-discente que permitan resolver los conflictos cognitivos que puedan surgir.

3.3. Dimensión cognitiva: Comprensión de elementos de las praxeologías conjuntistas 
	La dimensión cognitiva de una problemática didáctica se refiere a la caracterización de los significados personales de los sujetos sobre los distintos elementos de una praxeología matemática (Godino y Batanero, 1994). Esto supone determinar los tipos de problemas conjuntistas que son capaces de resolver, el grado de dominio que han logrado en el uso de las notaciones, definiciones, operaciones, propiedades y modos de argumentación. Se trata, asimismo, de identificar los aspectos críticos de las praxeologías matemáticas que plantean conflictos cognitivos a los estudiantes y que, por tanto, requieren una atención especial en el proceso de estudio.
	La faceta o dimensión cognitiva es dependiente de la epistemológica e instruccional. Esto quiere decir que las afirmaciones que hagamos sobre conflictos cognitivos deben ser referidas a las características de las praxeologías matemáticas correspondientes, y también, de las praxeologías didácticas implementadas. Cambios en tales dimensiones pueden llevar a la supresión o modificación de tales conflictos.
En el caso de las nociones conjuntistas se han realizado diversas investigaciones para caracterizar las dificultades de estudiantes de magisterio en relación a dichas nociones. En particular hemos encontrado los trabajos de Linchevski y Vinner (1988), Zaskis y Gunn (1997), y Fischbein y Baltsan (1999). 
Linchevski y Vinner (1988) estudiaron cuatro aspectos del concepto de conjunto en 309 maestros y estudiantes para maestros, que consisten en: a) el conjunto como una colección arbitraria de objetos, b) la colección formada por un objeto como un conjunto, c) el conjunto como elemento de otro conjunto; y d) el orden de los elementos de un conjunto y  el problema de los elementos repetidos. 
Los resultados revelaron que el concepto ingenuo de conjunto en estos maestros, difiere  del concepto matemático. La mayoría de estos sujetos creen que los elementos de un conjunto dado tienen una propiedad común, que un conjunto no puede ser elemento de otro conjunto y que los elementos repetidos de un conjunto deben contarse por separado. Además, casi la mitad de las personas rechazaron que la colección formada por un sólo objeto es un conjunto. 
Zazkis y Gunn (1997) investigaron la comprensión de los conceptos básicos introductorios de la teoría de conjuntos: conjunto, elemento de un conjunto,  cardinalidad, subconjunto, y el conjunto vacío, en un grupo de maestros en formación. Revelaron en sus resultados complejidades en la comprensión de los estudiantes, sobre todo cuando los elementos de un conjunto son a la vez conjuntos. Se prestó atención especial a la descripción de las dificultades mostradas por los estudiantes con el concepto del conjunto vacío. 
 Fischbein y Baltsan (1999), en una investigación realizada sobre "el concepto matemático de conjunto y el modelo colección", analizaron los diferentes conceptos erróneos sostenidos por los estudiantes con respecto al concepto matemático de conjunto, entre los que se encontraban un grupo de maestros en formación.  En los resultados obtenidos se mostraron en los estudiantes las siguientes interpretaciones: a) un conjunto es una colección que tiene una propiedad común, b) los elementos de un conjunto son números, c) un conjunto debe poseer un número mínimo de elementos, d) no aceptaron la posibilidad de que un conjunto pueda consistir en un sólo elemento, e) no aceptan la existencia de un conjunto vacío, f) dos conjuntos son iguales si tienen el mismo número de elementos; y g) contaron separadamente los elementos repetidos en los conjuntos. La investigación de Fischbein se puede describir como el intento de explicar las dificultades mediante la relación entre la noción ordinaria de colección y la noción matemática de conjunto.
Las investigaciones descritas se limitan a describir o constatar que algunas nociones de la teoría de conjuntos presentan unos índices elevados de dificultad incluso en estudiantes universitarios, particularmente maestros en formación. Consideramos que las dificultades de las tareas pedidas pueden ser explicadas en términos de la complejidad semiótica de las mismas que habitualmente pasa desapercibida en los procesos de instrucción, así como de las relaciones entre distintos objetos que deben ser explícitamente reconocidas. La noción de función semiótica y la noción de conocimiento derivada de dicha noción, propuesta por Godino y Batanero (1998), Godino (1999a), puede ser un instrumento útil para explicar los conflictos cognitivos de los estudiantes en la apropiación de la praxeologías matemáticas. Esta afirmación requiere, no obstante, confirmación mediante investigaciones empíricas específicas.

4. Fase exploratoria de la investigación
	En el período 1998-2000 hemos desarrollado una primera fase exploratoria sobre el tema de investigación descrito en las secciones anteriores. 
	Como hemos indicado anteriormente, el objetivo general de nuestro trabajo consiste en investigar un aspecto del currículo matemático de los estudiantes de Magisterio que, una vez pasada la “reseca” de la matemática moderna, es conflictivo actualmente: determinar el papel que las nociones básicas de teoría de conjuntos deberían desempeñar en los planes de formación de maestros de educación primaria. 
Pero la solución del problema nos lleva a plantear previamente otros subproblemas de naturaleza epistemológica, instruccional y cognitiva: la clarificación de la naturaleza y el papel de la teoría de conjuntos en la matemática, su impacto en los curriculos matemáticos  y la determinación de las dificultades de comprensión de las nociones básicas de la teoría de conjuntos por parte de los maestros en formación. 
De manera más precisa los objetivos específicos de esta fase han sido los siguientes: 
Objetivo 1 (Estudio cognitivo): Investigar las principales dificultades de comprensión de los maestros en formación sobre las nociones básicas de la TC tras un proceso de estudio específico. Esta información nos parece necesaria para la toma de decisiones sobre la orientación del currículo y la identificación de los puntos críticos del proceso de enseñanza y aprendizaje correspondiente.

Objetivo 2 (Estudio epistemológico): Hacer una síntesis del origen de la TC, los tipos de problemas que la motivaron, el proceso de consolidación como rama y fundamento de las matemáticas y el papel que finalmente ha adquirido como lenguaje unificador de las restantes ramas de la matemática.

Conclusiones del estudio cognitivo
	El estudio cognitivo realizado, consistente en la evaluación de los aprendizajes logrados por un grupo de 122 maestros en formación tras un proceso de estudio del tema “conjuntos, relaciones y funciones”, nos ha permitido identificar aspectos conflictivos en la comprensión de las nociones básicas de la TC, que complementan los resultados obtenidos por otros investigadores. En Arrieche (2000) describimos tales conflictos reflejados en los porcentajes de respuestas incorrectas y en los tipos de errores cometidos. ¿Qué consecuencias podemos sacar de este estudio para el problema didáctico abordado?
	Es obvio que el proceso de estudio realizado ha sido insuficiente para la mayor parte de los alumnos; hemos identificado aquellas nociones que requieren una mayor atención por parte del docente y de los discentes.  Las razones de estas dificultades podemos atribuirlas, en algunos casos, a los conflictos semióticos que surgen entre el uso ordinario de algunos términos y las definiciones matemáticas de los conceptos, como ocurre con la noción de conjunto y el uso del término colección. Este conflicto ha sido objeto de investigación específica por parte de Fischbein y Baltsan (1999).
	El estudio cognitivo proporciona información al profesor y a los autores del material curricular de algunos puntos críticos del proceso de estudio y de elementos a tener en cuenta en la evaluación de los aprendizajes. Con frecuencia la conclusión es que el tiempo dedicado a la enseñanza del tema ha sido insuficiente, pero se debe tener en cuenta que entre la enseñanza y el aprendizaje está el trabajo personal del estudiante, asistido de un libro de texto o de material complementario. La elaboración de ese material para el autoestudio, o el estudio dirigido, debe incluir las aclaraciones necesarias sobre las diversas nociones, y actividades suficientes que garanticen el dominio del tema.

Conclusiones del estudio epistemológico
La revisión que hemos hecho sobre el origen, desarrollo y aplicación de la TC en la matemática, a pesar de su carácter exploratorio, ha sido suficiente para mostrar que la TC llegó a convertirse en una rama propia de investigación en matemáticas, pero sobre todo se ha convertido en una herramienta que aporta un lenguaje unificador para las matemáticas en su conjunto. Hemos visto también que las nociones, operaciones y estructuras conjuntistas se han elaborado después que se disponía de un corpus matemático  muy amplio y, sobre todo, se estaba ante un problema de organización y estructuración de dicho corpus. Es ese problema de fundamentación matemática, asumible sólo para una fracción de matemáticos profesionales, el que motiva y da sentido al discurso conjuntista. 
	El intento de introducir el lenguaje algebraico-conjuntista en los niveles de secundaria, y más aún en primaria, abordado por los currículos de las Matemáticas Modernas no puede hacerse partiendo del problema metamatemático originario, sino mediante problemas ficticios. El discurso conjuntista no puede organizar ningún fenómeno matemático sui géneris en dichos niveles educativos, esto es, se carece de una praxis matemática cuya descripción y justificación requiera del logos conjuntista. Esta puede ser una hipótesis explicativa del llamado “fracaso de las matemáticas modernas”, cuya contrastación experimental requeriría un estudio pormenorizado de los materiales curriculares. 
Otras causas están en las propias complejidades de las nociones básicas de TC, puestas de manifiesto en el estudio cognitivo que hemos realizado con maestros en formación-que concuerdan con las identificadas por otros investigadores-, y que eran ignoradas por los promotores de las Nuevas Matemáticas.
	En cuanto a los planes de formación de maestros hemos visto que el lenguaje algebraico-conjuntista se introduce en los primeros temas de los programas, sin una motivación propia, e induciendo un enfoque formal y estructural para el desarrollo de los restantes temas del programa, al menos en los currículos vigentes en el período 1971-1993. Esta afirmación también requiere una comprobación experimental examinando textos para la formación de maestros.

5. Cuestiones abiertas para un proyecto de investigación
Parece claro que la TC y las nociones asociadas de relación, aplicación y estructura algebraica proporcionan un lenguaje unificador para las matemáticas. Pero su estudio con significado en los distintos niveles educativos continúa siendo un problema abierto para la didáctica de la matemática. De manera específica consideramos necesario continuar nuestra investigación tratando de responder a preguntas como las siguientes:
a)	¿Cuáles fueron las causas del fracaso de la matemática moderna en los niveles de primaria y secundaria? Consideramos que un estudio de materiales curriculares usados en el período 1970-90 puede corroborar dos hipótesis explicativas: (1) las nociones conjuntistas no desempeñaban un papel organizador de los fenómenos numéricos, geométricos y de medición; (2) los autores de manuales escolares ignoraban las dificultades de comprensión de las nociones básicas de TC.
b)	¿Cuál es el papel que ha jugado (juega actualmente, o puede jugar) la TC en el estudio de los contenidos matemáticos elementales? (En particular, en el estudio de los sistemas de números naturales, enteros y racionales).
c)	¿Es posible elaborar un currículo de formación de maestros en el que la TC adquiera sentido como organizador del estudio de los fenómenos de cuantificación, pero que no implique un enfoque formal y estructuralista de dicho estudio?. 
d)	¿En qué grado es posible y deseable el estudio de la TC por parte de los maestros en formación?
Debemos estar abiertos, no obstante, a concluir que el componente praxémico del conocimiento sobre los números, la medida y la forma geométrica tiene una entidad suficiente y una prioridad ontológica respecto de los discursos teóricos que los organizan y justifican. En consecuencia, el lenguaje algebraico-conjuntista debe ser introducido después que los sujetos hayan alcanzado un cierto dominio de la praxis numérica y geométrica, o reservados para niveles educativos posteriores. No parece admisible estudiar un tema introductorio sobre TC si posteriormente no se usa en el desarrollo del programa, o aún peor, para imponer un enfoque formal y estructuralista en el estudio de los números, la medida de magnitudes y la geometría.

6. Aspectos metodológicos
Desde el punto de vista metodológico, en estas investigaciones se combinan diversas técnicas y enfoques según las distintas facetas del estudio, dependiendo de la cuestión particular abordada en las mismas.
	Así pues se combina el estudio documental en la faceta epistemológica de la  investigación con diversas técnicas y enfoques en la parte instruccional y cognitiva. Las cuestiones relativas a la faceta instruccional se enfoca mediante el estudio de casos de experiencias de enseñanza diseñadas con criterios derivados del análisis epistémico y de los estudios cognitivos previos. Aquí los métodos etnográficos desempeñarán un papel relevante. En la investigación de la faceta cognitiva (significados personales de los estudiantes) se utilizará tanto el enfoque cuantitativo y experimental como el cualitativo- interpretativo. Dado que los métodos cuantitativos indican las tendencias existentes en la población, pero no muestra toda la riqueza de la variabilidad individual, ni explica el por qué de la misma, se deberá complementar el estudio mediante técnicas de tipo cualitativo. Particularmente, el estudio de casos mediante entrevista clínica va a  permitir caracterizar con más rigor las dificultades, conflictos y grado de comprensión logrado por los estudiantes de la muestra.
	Evidentemente, puesto que el estudio cualitativo se hace con muestras de tamaño reducido su carácter es exploratorio y están principalmente orientados a la formulación de hipótesis que deberán ser contrastadas formalmente en nuevas investigaciones.
7. Observaciones finales
En las secciones anteriores hemos mostrado una variedad de cuestiones sobre el tema elegido formuladas desde un marco teórico explícito. Hemos mostrado que un problema de investigación es esencialmente abierto, y con frecuencia, al menos en sus etapas iniciales, bastante difuso. En nuestro caso, en el momento actual, hemos cubierto una primera etapa centrada en la búsqueda de fuentes bibliográficas sobre las distintas dimensiones descritas, y terminado una primera fase exploratoria en la cual hemos observado un proceso instruccional y caracterizado los significados personales de los estudiantes sobre distintos aspectos del tema tratados en dicho proceso. Con este estudio realizado sobre una muestra de 122 estudiantes de magisterio hemos replicado algunos aspectos de los estudios cognitivos de autores como Linchevski y Vinner (1988), Zaskis y Gunn (1997) y Fischbein y Balsam (1999) y hemos ampliado a otros aspectos como el estudio de las dificultades de la noción de aplicación y relación, entre otros.
	Este breve análisis pone de manifiesto que el tema inicial planteado, "el papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros", desborda las posibilidades de una tesis doctoral, cuando se afronta desde las exigencias de rigor y sistematicidad propias de la investigación científico-académica. Esto lleva a la necesidad de centrar el problema de tesis en un aspecto parcial, pero se debe vigilar que no se pierda de vista el objetivo inicial. El problema se puede desmenuzar de tal manera que se convierta en una trivialidad, visto desde el plano de la didáctica: la descomposición del problema en subproblemas puede llevar al olvido del problema sustantivo inicial y a perdernos en una maraña de cuestiones de escasa relevancia, o de interés para otras disciplinas distintas de la didáctica. Tenemos ejemplos abundantes en el campo de la aritmética.
	Si en este trabajo cambiamos la "teoría de conjuntos" por otro contenido matemático, una parte sustancial del mismo sigue siendo válida. Consideramos, por tanto, que hemos presentado los principales elementos de una agenda de investigación derivada del enfoque semiótico-antropológico. Esta agenda se centra, en consecuencia, en los siguientes aspectos mutuamente relacionados:
(1)	Caracterización de las distintas praxeologías asociadas a un contenido matemático e identificación de criterios de diseño de praxeologías matemáticas escolares (dimensión epistémica). Estudio de las relaciones ecológicas entre praxeologías matemáticas.
(2)	Caracterización de distintas praxeologías didácticas relativas a las praxeologías matemáticas escolares y la identificación de criterios de diseño y optimización de tales praxeologías (dimensión instruccional).
(3)	Caracterización de significados personales relativos a los distintos elementos de las praxeologías matemáticas escolares y su explicación en términos de las praxeologías matemáticas y didácticas (dimensión cognitiva).
La dimensión o faceta epistémica tiene un carácter primario, esto es, debe estudiarse en primer lugar, ya que sus resultados y conclusiones determinan las restantes facetas. Entre las facetas instruccional y cognitiva hay una dialéctica más compleja ya que, por una parte, los significados construidos por los estudiantes dependen del proceso de estudio seguido; pero este proceso debe tener en cuenta también los potenciales conflictos cognitivos identificados en investigaciones previas.

Referencias 
Arrieche, M. (2000). Papel de la  teoría de conjuntos en la formación de maestros: Un estudio exploratorio de aspectos epistemológicos, curriculares y cognitivos. Trabajo de Investigación del Programa de Doctorado del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
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