Asumiendo las orientaciones de la organización del Seminario, el índice de presentación de nuestro proyecto será el siguiente:

Este proyecto de investigación abordará:

El estudio de la actividad clasificatoria y del tratamiento de datos, de los alumnos, en los diversos niveles de la enseñanza obligatoria

• como contenido procedimental para los alumnos
• como un posible instrumento de negociación didáctica para el enseñante

El marco teórico de nuestro estudio será el enfoque epistemológico de la Teoría de Situaciones, y utizaremos, en esta presentación, las precisiones teóricas aportadas por el Subproyecto de Barcelona, en su apartado de Preliminares sobre los diferentes enfoques, para continuar en la identificación de nuestra problemática.

Nuestro proyecto va utilizar el enfoque epistemológico de la Teoría de Situaciones, como instrumento para plantear y modelizar un tipo importante de fenómenos didácticos inherentes a los procesos de enseñanza de las matemáticas:

• Los fenómenos relativos a la gestión - del enseñante- de aquellos conocimientos que no pueden ser objeto de un contrato didáctico -al no poder ser objeto de enseñanza explícita en la institución escolar de referencia-, pero que al mismo tiempo son conocimientos necesarios en los procesos de estudio y enseñanza de las matemáticas

De acuerdo con la definición de Nucleo firme (postulados aceptados y provisionalmente infalsables por decisión metodológica de los investigadores del Progama de investigación) del enfoque epistemológico, contenida en el Subproyecto de Barcelona, el fenómeno descrito:

• Mostraría la existencia de un fenómeno didáctico, ligado a la enseñanza de las matemáticas, puesto de manifiesto en distintos campos: Briand J. (1993), la numeración; Berthelot & Salin (1992), la geometría, Orús P. (1992), el análisis de datos y la lógica.
• Fenómeno no reductible a otros enfoques: esta no reductibilidad, podría inferirse, a priori, de la no reductibilidad de la noción teórica de "contrato didáctico" (Brousseau (1983) y colaboradores), perteneciente al nucleo central de la Teoría de situaciones.
• Necesita considerar como objeto de estudio, no solo la actividad matemática que se enseña y la que se pretende enseñar, sino también las actividades "para o proto-matemáticas" (Chevallard, 1991), que intervienen en dichos procesos de enseñanza, modelizándolas a su vez, mediante conocimientos matemáticos.

En relación con los objetivos del proyecto principal:

• Utilizaremos como cinturón protector (hipótesis auxiliares y supuestos adyacentes que protegen el nucleo firme y que sí se pueden modificar) de nuestro nucleo firme de la Teoría de Situaciones los elementos de los enfoques semiótico, y psicológico, cuando pueda ser pertinente para completar, redefinir, etc., y en la forma que permitan los resultados del citado proyecto principal. Consideramos el enfoque antropológico, compartiendo la consideración del equipo de Barcelona, como coparticipes del mismo nucleo firme, pero como posible teoría rival o complentaria, teniendo ambas distintas heurísticas positivas (las que indican cómo desarrollar el Programa).

Se trata, en definitiva, de:

• Contrastar la capacidad explicativa, las limitaciones y algunas posibles direcciones de desarrollo del enfoque epistemológico de la Teoría de Situaciones, poniéndolo a prueba como instrumento para plantear y modelizar el fenómeno didáctico, objeto de nuestro estudio, considerando los diferentes subproyectos como programas de investigación rivales, en el sentido de Lakatos.

P1.- ¿Cómo identificar los diferentes tipos de conocimientos -conocimientos no explícitos en el curriculum de las matemáticas- que intervienen en los procesos de enseñanza y estudio de las matemáticas?

H1. Chevallard (1985) denomina conocimientos protomatemáticos y paramatemáticos a aquellos conocimientos no explícitos en el curriculum de las matemáticas escolares pero presentes en su proceso de estudio.

H2. Brousseau (1983) identifica estos conocimientos como un obstáculo para construir los conocimientos curriculares matemáticos: no son objeto de enseñanza explícita en el seno de la institución escolar y por tanto no pueden ser objeto de un contrato didáctico, pero se exigen dicha institución (son necesarios en la construcción o utilización de los conocimientos matemáticos).

H3. El estudio de la frontera entre estos dos tipos de conocimientos es un objeto de estudio propio de la didáctica de las matemáticas y ha dado origen a diversas tesis al analizarlo en distintos dominios fundamentales de las matemáticas en la enseñanza obligatoria: los problemas de geometría (Berthelot&Salin, 1992)), la lógica y el tratamiento de datos (Orus, 1992), y los problemas de numeración (Briand, 1993).

H4. El trabajo conjunto de identificación y confrontación -por parte de los autores citados en H3- puede aportar nuevos datos sobre los trabajos precedentes, permitiendo explicitar los conocimientos comunes y los conocimientos diferentes que pudieran existir en función de la diversidad de las actividades y dominios matemáticos analizados.

H5. Algunos de los diversos tipos de razonamientos que acompañan al análisis de datos y la actividad clasificatoria pueden ser considerados un ejemplo de este tipo de conocimientos y las tesis citadas, muestran que es posible avanzar en el marco de la T. de Situaciones, el análisis iniciado sobre este tipo de conocimientos.

P2. ¿Es posible modelizar los diversos conocimientos implicados en la actividad clasificatoria y en el análisis de datos, mediante conocimientos matemáticos?

H6. Los conocimientos matemáticos -no enseñados- pueden ser utilizados como elementos de modelización de estos razonamientos: el cálculo de predicados, como lógica formal de referencia y el análisis tipológico (o clasificación automática (Chandon&Pinson, 1981)) como técnica matemática de análisis de datos y clasificación de la contingencia (Orús, 1992).

H7. Las aportaciones de los trabajos de P.Company, analizando el tratamiento de datos en materias diferentes de las matemáticas, como son las ingenierías o la informática, ofrecen un marco más amplio de referencia -sobre análisis de datos y semiologia- , que completarán el que nos ofrece el tratamiento de datos desde un planteamiento exclusivamente matemático.

P3. ¿Es suficiente modelizar los diversos conocimientos implicados en la actividad clasificatoria y en el análisis de datos, mediante conocimientos matemáticos?

H8. La modelización del razonamiento natural (Wermus, 1976), basada en el concepto de "predicado amalgamado" -no coincidente con el predicado de la lógica formal- puede completar el análisis a realizar, particularmente el de algunos aspectos del razonamiento no formal que aparece en la relación didáctica. Esta modelización puede completar y confontrar la modelización formal prevista en H6.

H9. La elaboración de una ingeniería didáctica apropiada deberá permita describir y analizar adecuadamente los fenómenos didácticos emergentes del proceso de estudio de la actividad clasificatoria y del análisis de datos, en diferentes momentos de la educación obligatoria (primaria y secundaria). En este sentido las situaciones didácticas jugarán un papel fenomeno-técnico.

H10. La elaboración de la ingeniería didáctica estará basada en la utilización de tablas booleanas de datos, que permite la misma representación a los diversos tipos de razonamiento (formal y no formal).

3. AVANCES Y ESTADO ACTUAL DE LA INVESTIGACIÓN

• La importancia de los procesos de razonamiento, asociados a la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, es señalada en prestigiosos documentos internacionales que han servido como elementos de reflexión y de modelo para la elaboración del nuevo curriculum de las Matemáticas en la ESO: National Curriculum Council de Inglaterra y Gales, en el proyecto Science for all Americans de la AAAS, en los programas de las Junior High School de Alberta, en Canadá, o en las orientaciones de la Unesco en su Conferencia sobre educación en Ciencia y Tecnología de París en 1984.
• En "Conexiones matemáticas" uno de los "Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática" elaborados por el National Council of Teachers Mathematics (NCTM, 1991), podemos encontrar un ejemplo de estas referencias. "El razonamiento matemático, proceso por el que se formulan y resuelven problemas matemáticos, consiste en regoger datos, hacer conjeturas a partir de la observación y demostrar si las conjeturas son válidas o no. Hacer conjeturas a partir de la observación supone un razonamiento inductivo; demostrar o refutar las conjeturas supone un razonamiento deductivo. Todos los cursos de matemáticas deberían incluir experiencias con ambos tipos de razonamiento. Tanto el inductivo como el deductivo son comunes a todas las ramas de las matemáticas y por consiguiente las conectan entre sí. Cuando ven y utilizan razonamientos tanto inductivos como deductivos, los alumnos adquieren un sentido más amplio de lo que significa hacer matemáticas". (NCTM, 1991; pag 40) ".
• El reconocimiento explícito de la importancia del razonamiento en el proceso de estudio de las matemáticas, no aparece materializado de forma tan explicita a través del desarrollo de los contenidos del curriculum, sino que se proponen al alumno actividades "pensadas para fomentar el razonamiento matemático" basándose fundamentalmente en la integración de distintas ramas de las matemáticas; es decir con la propuesta de actividades o problemas que se pueden representar de diversas formas, mediante ramas distintas de las matemáticas (álgebra, geometría, estadística, etc) se pretende que el alumno "establezca conexiones" entre estas ramas con los que los "alumnos adquieren más capacidad de resolución de problemas" (NCTM, 19?? pag. 51) y en consecuencia más capacidad de razonamiento matemático.

Estos documentos situan por tanto al razonamiento matemático en la actividad de resolución de problemas específicos: aquellos problemas que puedan ser representados de diversas formas, con ayuda de distintas técnicas matemáticas.

• Saber matemáticas es usar las matemáticas, ser capaces de resolver problemas matemáticos, por lo que las últimas modificaciones de los currículos -y no sólo en España-, resaltan la importancia de los llamados contenidos ACTITUDINALES Y PROCEDIMENTALES.
• Las diferentes definiciones de contenido prodecimental asocian a este concepto términos como: destrezas, técnicas, estrategias, habilidades, procedimientos, etc. en relación con la resolución de una terea determinada o de un problema [(MEC, 1989) (LAWSON, 1994) (SEVILLA, 1994) (DUGGAN y GOTT, 1995)].
• Estos términos encierran significados diversos según el marco teórico en el que sean sean analizados en el marco de la psicología cognitiva [ ], en organización y planificación escolar (MEC, 1989), en didáctica de las ciencias, (DE PRO BUENO; A, 1998), (MATEOS JIMÉNEZ, A. 1998).o en didáctica de las matemáticas (POLYA,--1969.), (BROUSEAU,.. 1986), (CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. y GASCON; J., 1997).
• De forma especial queremos señalar la importancia atribuida a la actividad clasificatoria en la enseñanza de las Ciencias -como contenido procedimental- en la Enseñanza Secundaria, proponiendose en recientes trabajos de investigación, desarrollar esta destreza a lo largo de toda la Enseñanza. Secundaria (DE PRO BUENO; A, 1998)

• Las investigaciones en el campo de la psicología cognitiva muestran las diferencias entre el llamado razonamiento científico y la racionalidad natural de los alumnos (razonamiento natural, razonamiento expontáneo, modelos implícitos, …), analizando aspectos concretos de dicho razonamiento, la implicación, la aplicación del Principio del Tercio excluso, (Johnson-Laird y otros, 1997).
• DURAND-GUERRIER, V. (1996) muestra la insufiencia de estos análisis, en el dominio de la Didáctica de las Matemáticas, para resolver la problemática centrada en el conflicto entre lógica natural y lógica formal. Su tesis confirma a su vez, la gran sensibilidad de los resultados obtenidos, a los contenido sobre los que se aplican los razonamientos, así como la importancia del estado de los conocimientos matemáticos en juego.
• Brousseau describiría estos resultados, utilizando la noción de "medio" antagonista al alumno, entendiendo por "medio" el conocimiento matemático contextualizado y modelizado en una situación didáctica y la confrontación de cada sujeto con él; es decir todo análisis de la relación didáctica tiene que tener en cuenta la terna enseñante-alumno-medio.
• Señala así mismo DURAND-GUERRIER, V. la inadecuación del cálculo proposicional, para modelizar el razonamiento matemático de los alumnos, y en consecuencia cuestiona los resultados de psicología cognitiva y más concretamente los trabajos de Piaget sobre este tema. Propone alternativamente la utilización del cálculo de predicados, como lógica formal de referencia para modelizar este razonamiento matemático de los alumnos.

• La noción teórica del "medio" destruye el carácter de transparencia que el término razonamiento tiene en la epistemología espontánea del profesor.
• En una primera aproximación, la distinción que introduce la Teoría de Situaciones de medio a-didáctico de acción, formulación y validación, permite diferenciar entre R-acción, R-formulación y R-validación (Orús, 1992).
• El modelo de estructuración del medio (Brousseau, 1986), permite analizar más finamente el funcionamiento del Razonamiento en cada uno de los niveles de la relación didáctica, poniendo en evidencia una dimensión didáctica del Razonamiento que no es identificable al R en el enfoque cognitivo. (Fregona & Orús, 1999).

1. Un problema de contrato didáctico

• Algunos conocimientos "deben ser enseñados" y por ello están bajo la responsabilidad del enseñante, mientras que otros conocimientos, sin ser enseñados, también están presentes en la relación didáctica, pero éstos al no aparecer de forma explícita como "conocimientos a enseñar", no son responsabilidad de los enseñantes, y por tanto quedan bajo la responsabilidad de los alumnos. Éste reparto, que según las cláusulas del contrato didáctico, parece ineludible ¿se ejerce de una manera consciente y con conocimiento de causa, para los sujetos implicados en la relación didáctica, en los diferentes temas y momentos de la enseñanza obligatoria?
• La propuesta de las situaciones didácticas, estará centrada en la identificación de los diversos conocimientos presentes en la negociación didáctica (Brousseau y colaboradores), y de quién es el responsable de su control, ¿el enseñante o el alumno?. así como en la noción de "sentido" de los conocimientos matemáticos y de su modelización a partir de la "situación fundamental"(Brousseau, 1986).

• Las actividades que vamos a proponer y observar en las situaciones didácticas, servirán de campo de negociación entre el razonamiento científico y lógico y la racionalidad natural de los alumnos. Nuestra aproximación a través de la Teoría de Situaciones replantea el problema fuera del marco de la psicología cognitiva, como un problema de negociación didáctica sobre conocimientos de distinta naturaleza, según el contrato didáctico que se puede establecer en relación a ellos.
• La utilización de variantes del "Quetionnaire Schtroumphs" -que figura en la tesís de P.Orús, (1992), nos permitirá analizar diversas actividades lógicas o clasificatorias concretas, según muestra el análisis a priori (y diversos análisis a posteriori) del cuestionario y las sugerencias que en él podemos encontrar, simplemente seleccionando y/o modificando las preguntas del cuestionario, en función de las actividades a observar.
• La elaboración y observación de las situaciones, contribuirán al análisis sobre la viabilidad de una situación fundamental sobre la clasificación en la enseñanza obligatoria: es decir ¿puede existir una situación fundamental que modelice el análisis de datos y la actividad clasificatoria, como contenidos procedimentales: ¿es posible el funcionamiento de la clasificación jerárquica y del cálculo de predicados, como situaciones de acción?, ¿que nivel de formulación, de validación e institucionalización sería exigible en los diferentes momentos de la enseñanza obligatoria?. La observación de la ingeniería didáctica utilizada deberá servir, para poder contestar, por lo menos parcialmente a estas preguntas.

• La consecución de los objetivos de este subproyecto implican una profundización teórica en el marco de la Teoría de situaciones - especialmente de los conceptos de contrato y de negociación didáctica.
• La elaboración y experimentación de una ingenieria didáctica, estudio de la actividad clasificatoria y del análisis de datos, en diferentes momentos de la educación obligatoria (primaria y secundaria).contribuirá al estudio de la viabilidad de una situación fundamental sobre la clasificación en la enseñanza obligatoria. En consecuencia, supone una aportación a la problemática del diseño curricular y a la formación del profesorado.

2. Vinculación con los demás proyectos.

• La confrontación con elementos teóricos de los restantes enfoques, principalmente del enfoque antropológico, se realizará mediante la utilización de la modelización de una obra matemática propuesta por Chevallard, (1992-97) para describir la situación didáctica general, según los diferentes momentos del estudio (campo de problemas, técnicas, tecnología, teoría). Ello nos puede permitir describir y analizar la situación sobre la clasificación en particular, y confrontar este análisis con el de la Teoría de situaciones
• La posible reformulación de la problemática de Brousseau supondría analizar el "tipo y grado de incompletitud de la obra a estudiar así como los medios necesarios para su estudio , distinguiendo los que pueden ser objeto de enseñanza y aquellos que no pueden serlo" (Gascon & Bosch, 1998).
• Los trabajos sobre el sentido de Brousseau , y concretamente la noción de situación fundamental "como modelización del contenido matemático" podrán ser confrontados con los trabajos sobre aproximación semiótica de Godino y su equipo (o particularmente con la noción de significado institucional y personal de los objetos matemáticos).
• Estos nuevos análisis, tanto de la ingeniería didática, como de la problemática general del subproyecto permitirán confontrar la potencia y/o los límites de cada uno de los análisis realizados.

• Utilizar la noción de ostensivo para analizar el funcionamiento de las tablas booleanas, como contribución a la identificación de los conocimientos lógico-matemáticos (como no-ostensivos) activados en la ingenieria didáctica, mediante la manipulación de ostensivos (la tabla y los diversos ostensivos que ésta permite manipular y observar.
• Redifinir el tema de este subproyecto, en téminos del enfoque antropológico y confontrar la nueva identificación a la ya realizada en términos de la teoría de situaciones.

Berthelot, R. Y Salin, M.H. (1992). L'enseignement de l'espace et de la géometrie dans la scolarité obligatoire. Thèse en didactique des mathématiques, Université de Bordeaux-I. Ed.IREM de Bordeaux.

Brousseau, G. (1983) : Les obstacles épistèmologiques et les problémes en didactique en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques 1983 Vol.4.2

Chandon y Pinson (1981): Analyse Typologique. Théories et applications. (Gautier, Paris)

Chevallard, Y. (1991). La transposition didactique - Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage.

Orús P. (1992): Le raisonnement des élèves dans la relation didactique; effets d'une iniciation à l'analyse classicatoire dans la scolarité obligatoire. Thèse en didactique des mathématiques, Université de Bordeaux-I. Ed.IREM de Bordeaux.

Wermus, H. (1976) : Essai de représentation de certaines activités cognitives à l'aide des predicats avec composantes contextuelles. Archives de Psychologie, Genéve, 44, n. 171, pp. 205-221.