El proceso de algebrización de las matemáticas escolares.

La modelización algebraica en la Enseñanza Secundaria

y en el paso a la Universidad

 Presentación de Pilar Bolea

SUBPROYECTO DE BARCELONA-ZARAGOZA. EQUIPO INVESTIGADOR:

• M. Angels Portabella de Nadal

• Josep Gascón Pérez

• Pilar Bolea Catalán

Asumiendo las orientaciones de la organización del Seminario, el índice de presentación de nuestro proyecto será el siguiente:

PRELIMINARES

1. MARCO TEÓRICO DEL PROYECTO

En primer lugar nos interesa aclarar algunas cuestiones de naturaleza epistemológica. Los trabajos de investigación didáctica relativos a la enseÒanza y el aprendizaje del álgebra elemental tienen una larga y compleja tradición.

Centrándonos en los últimos 20 años, según nos mostraba Gascón en el trabajo "Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica" (1998), podemos considerar que lo que caracteriza los diferentes enfoques en didáctica de las matemáticas son las diferencias significativas en las supuestos básicos que los sustentan, es decir, su núcleo firme. Estas diferencias dan lugar a diferentes Programas de Investigació (Lakatos,1971). Dentro de cada Programa pueden convivir diferentes teorías en evolución.

Recordamos que, según Lakatos, las teorías científicas se organizan en Programas de Investigación cuya estructura está compuesta por los siguientes elementos:

• Núcleo Firme: constituido por los postulados aceptados y provisionalmente infalsables por decisión metodológica de los investigadores del Programa.
• Cinturón Protector: del que forman parte las hipótesis auxiliares y supuestos adyacentes que protegen el núcleo firme y que sí se pueden modificar.
• Heurística Positiva: que indica cómo desarrollar el Programa es decir, las líneas prioritarias de investigación, el tipo de cuestionamiento, etc.
• Heurística Negativa: que desaconseja el estudio de ciertos problemas, por ejemplo, restringe el tipo de cuestionamiento, la metodología, etc.

Dentro de un mismo Programa de Investigación pueden existir teorías que, aún teniendo el mismo núcleo firme, tengan distinta heurística positiva. Diremos, en ese caso, que se trata de teorías rivales. Entre ellas se pueden comparar los resultados, la fecundidad en la producción de problemas relevantes, la potencia, etc. Por otra parte, se dice que dos teorías son inconmensurables si tienen distinto núcleo firme y, por tanto, los resultados obtenidos en cada uno de ellas son "intraducibles", incomparables. Cuando dos teorías son inconmensurables se sitúan en Programas de Investigación distintos, puesto que la naturaleza del núcleo firme es el elemento clave para identificar un Programa de Investigación.

Uno de los marcos dominantes entre la mayor parte de las investigaciones es el Enfoque Cognitivo (Booth, 1984; Rojano, 1994; Kieran y Filloy, 1989) cuyo núcleo firme está constituido por un modelo del funcionamiento cognitivo del sujeto, tanto del alumno como del profesor. Esquemáticamente, y simplificando mucho las cosas, podríamos decir que el enfoque cognitivo:

• Asume como núcleo firme un modelo de los procesos cognitivos del sujeto.
• Considera las matemáticas escolares como una red de conceptos que el alumno ha de construir.
• Sitúa dentro del marco de referencia aritmético la problemática de la enseÒanza y el aprendizaje escolar del álgebra elemental.

El Enfoque Epistemológico, que es el marco donde situamos nuestro trabajo, constituye un nuevo Programa de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. Con él se produce una importante modificación en el núcleo firme, que ahora está constituido por un determinado modelo de la actividad matemática y de la actividad didáctica

Como ya hemos indicado, el marco teórico en el que se sitúa nuestra investigación es el Enfoque Epistemológico, cuyos elementos principales podríamos describirlos de la siguiente forma:

• La existencia de fenómenos didácticos no reducibles a fenómenos de otro tipo (cognitivos, pedagógicos, etc.) y específicos de las matemáticas (ligados al tipo de actividad matemática estudiada).
• La necesidad de considerar como objeto primario de investigación la actividad matemática institucionalizada y, en particular, la actividad matemática que se enseña y la que se pretende enseÒar.
• La ambición de construir la didáctica de las matemáticas como ciencia experimental autónoma, con su correspondiente metodología científica y con la creación de un marco teórico específico.

Otro postulado, ligado a la cuestión de la "especificidad matemática" de la didáctica, podría expresarse así:

Dentro del enfoque epistemológico existen teorías que podríamos considerar rivales o complementarias, como por ejemplo la Teoría de Situaciones y la Teoría Antropológica de lo didáctico.

Nuestro trabajo se sitúa en el marco de la Teoría Antropológica de lo didáctico cuyo núcleo firme es un modelo epistemológico de la actividad matemática que tiene dos componentes esenciales:

• Cierto número de tipos de problemas.
• Un conjunto estructurado de técnicas que permiten abordarlos.
• Un discurso tecnológico que describe, explica y justifica las técnicas.
• Un segundo y último nivel justificador, la teoría, que da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las técnicas y fundamenta las descripciones y demostraciones tecnológicas.

• el momento del primer encuentro
• el momento exploratorio
• el momento del trabajo de la técnica
• el momento tecnológico-teórico
• el momento de la institucionalización
• el momento de la evaluación

Existe una profunda relación entre la estructura del proceso didáctico o proceso de estudio, y la estructura de la organización matemática resultante. Las ecologías didáctica y matemática están también fuertemente relacionadas.

En nuestro trabajo, "analizar" una organización matemática o didáctica significa:

- describir sus componentes y las relaciones dinámicas entre ellas.

- describir su ecología o condiciones de existencia institucional.

La aplicación de esta heurística positiva al caso particular del álgebra escolar nos permitirá generar un gran tipo de problemas de investigación didáctica. Formularemos, asimismo, las hipótesis que consideramos dan respuesta provisional a cada uno de los problemas:

• El proceso de algebrización se puede observar (reconstruir) en la evolución histórica de las organizaciones matemáticas.
• La algebrización aumenta la integración de los distintos componentes de las obras, produciendo, en cierto sentido, una "completación" y ampliación de las correspondientes organizaciones matemáticas.

Todas estas condiciones se contradicen con las claúsulas del contrato didáctico insitucional vigente actualmente en la ESO.

El primero de los avances a destacar se pone de manifiesto en la posibilidad de formular, tal como hemos hecho, en términos de problemas didácticos e hipótesis (que hacen el papel de respuestas tentativas a contrastar) las cuestiones iniciales objeto de estudio.

Otro de los avances de nuestra investigación se pone de maniefiesto en la caracterización de las modelizaciones algebraicas dentro de la noción genérica de "modelización matemática" (Chevallard 1989). Consideramos que no existe un criterio de demarcación absoluto que permita trazar una frontera precisa entre una obra algebrizada y una obra prealgebraica. Postulamos, por contra, que la algebrización de una obra matemática es una cuestión de grado e intentamos caracterizar este proceso de algebrización con ayuda de la noción de modelización algebraica.

Así pues, diremos que una organización matemática está algebrizada en la medida en que pueda ser considerada como un modelo algebraico de otra obra matemática que juega el papel de sistema a modelizar. Esquemáticamente, partiremos de un sistema inicial, matemático o extramatemático, que queremos estudiar y lo someteremos primero a una modelización matemática y, a continuación, llevaremos a cabo una modelización algebraica de la obra matemática obtenida como resultado de la modelización anterior. De esta forma nos aseguramos la construcción de una organización matemática algebrizada.

ALGEBRAICA

Las "modelizaciones (más o menos) algebraicas" se distinguen de otros tipos de modelizaciones matemáticas, que podemos llamar (más o menos) "prealgebraicas", por tres rasgos caractersticos fuertemente relacionados entre sí:

Otro de nuestros avances ha sido el poder definir algunos indicadores del grado de algebrización de una obra matemática. Entre otros podemos seÒalar:

• Describir los problemas resolubles con determinadas técnicas, integrándolos en tipos de problemas y no considerándolos como problemas aislados.
• Estudiar las condiciones de existencia de la solución; en qué casos será única y cuántas soluciones son posibles, en qué casos el problema no tendrá solución y, en general, cuál será la estructura de las soluciones.

Otros avances en el ámbito del estudio de casos hacen referencia a los siguientes hechos:

• Hemos puesto de manifiesto el carácter prealgebraico de la organización matemática escolar de la EnseÒanza Secundaria Obligatoria (E.S.O.).
• En particular hemos mostrado el carácter prealgebraico de algunas de las obras que se estudian en dicho nivel educativo como las que se estructuran en torno a la "divisibilidad", a los problemas de "dos lugares geométricos" y la "proporcionalidad", entre otros.
• Hemos mostrado, asimismo, posibles caminos de algebrización de dichas obras a partir de sus modelizaciones algebraicas (Bolea, Bosch y Gascón, 1998a y Gascón 1998b).

Por otra parte, hemos puesto de manifiesto la estrecha relación entre lo didáctico y lo matemático. Al interpretar el proceso de algebrización como una técnica didáctica o técnica de estudio, hemos mostrado la profunda interdependencia entre la naturaleza y la estructura de las organizaciones matemáticas que pueden vivir en una institución didáctica determinada y los procesos de estudio que es posible llevar a cabo con dichas organizaciones. En concreto, hemos puesto de manifiesto hasta qué punto la algebrización de una obra matemática puede ser considerada como un instrumento que permite llevar a cabo un proceso de estudio que, por sus características, podríamos denominar proceso de estudio integrado de la obra matemática en cuestión (Bolea, Bosch y Gascón, 1998c).

Partimos de la base de que en toda actividad matemática institucionalizada existen necesariamente medios imprescindibles para llevarla a cabo, que no son reconocidos como instrumentos de la misma por la institución. Estos medios pueden ser objeto de enseñanza o no serlo.

Uno de los medios imprescindibles para llevar a cabo cualquier actividad matemática es el lenguaje natural. Éste juega un papel esencial en las actividades matemáticas más elementales y continua siendo un medio importante en las más sofisticadas. Aparecen así nuevos problemas de investigación entorno a la cuestión: ¿Cómo cambia el papel del lenguaje natural en el paso de las actividades matemáticas prealgebraicas a las actividades matemáticas algebrizadas?

Podemos enunciar problemas más específicos:

• ¿Cómo caracterizar el papel del lenguaje natural en el trabajo aritmético escolar? ¿Y en la geometría escolar?
• ¿Hasta qué punto el "lenguaje algebraico" se utiliza en ciertas instituciones como un medio imprescindible de la actividad matemática que, al igual que el lenguaje natural, no es reconocido como un instrumento de la actividad matemática en dicha institución?

• Como contenidos procedimentales especialmente útiles en el análisis elemental de datos. En esta interpretación, la organización matemática involucrada estaría inmersa en un proceso de algebrización que culminaría en el Análisis Tipológico, considerado como una obra matemática algebrizada.
• Como la materialización de un instrumento genérico de la actividad matemática que podríamos denominar "argumentación" o "razonamiento matemático" y que, como tal, no habría que ligarlo a ninguna organización matemática particular. En esta segunda interpretación no puede hablarse, propiamente, de proceso de algebrización. Lo que podemos postular es que, a medida que las diferentes organizaciones matemáticas aumentan su grado de algebrización, el tipo de argumentación que se utiliza en dichas organizaciones se acerca más al modelo que proporciona la lógica de predicados.

(b) Con el subproyecto de la Universidad Complutense de Madrid podemos establecer algunos vínculos a través de la teoría de los campos conceptuales. En este caso los vínculos pueden formularse, inicialmente, en términos de posibles interrelaciones entre algunas de las nociones teóricas básicas. Así, por ejemplo, podemos postular la posibilidad de describir en términos de los componentes de una praxeología, cada uno de los tres componentes de un concepto (tal como lo define Vergnaud). En particular, parece posible reformular los invariantes operatorios en términos de la teoría antropológica.

(c) Con el subproyecto de la Universidad de Granada los vínculos provienen de las fuertes interrelaciones entre la teoría antropológica y la teoría semiótico-antropológica. El punto central de esta relación -que también es el núcleo de los "desacuerdos" iniciales entre ambas teorías- tiene que ver con la necesidad, pertinencia, posibilidad y fecundidad de ampliar los términos primitivos de la teoría antropológica introduciendo nociones cognitivas y semióticas. Y, en segunda instancia, con la posición que deberían ocupar las nuevas nociones en una hipotética teoría unificada.

• ¿Cómo puede operativizarse dicha ampliación? ¿En el núcleo firme del Programa de Investigación? ¿En la Heurística Positiva?
• ¿Qué tipos de problemas didácticos requieren (aconsejan, hacen imprescindible, ...) dicha ampliación?
• ¿Se produce una modificación o una diversificación del objeto primario de investigación? ¿Cuál es el nuevo objeto primario de estudio?
• ¿Se trata de dos teorías rivales que conviven dentro de un mismo Programa de Investigación? ¿ En qué difieren y en qué coinciden las correspondientes heurísticas positivas?

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