Discusión de los objetivos del Proyecto.

(*) Agradecemos a Enid Vargas Norambuena su colaboración, redacción y corrección de este texto.

2. Relaciones entre los problemas didácticos abordados por diferentes teorías

3. ¿Hacia un Programa de Investigación común?

La problemática de la integración de teorías diferentes

4. Algunas líneas de investigación para el futuro próximo

4.1 La enseñanza de la demostración

4.2 El tratamiento escolar de las magnitudes

4.3 Concepciones y obstáculos

4.4 Nuevos campos de problemas

La comunidad matemática está actualmente escindida en subcomunidades: los matemáticos productores, los profesores de matemáticas, los utilizadores de las matemáticas y los investigadores en didáctica de las matemáticas. Sabemos que no existe un mismo reconocimiento de la labor específica de cada una, tanto por parte de la sociedad como de las respectivas subcomunidades. Y sabemos también (cf. Chevallard 1991, Gascón 1993a) que, a falta de una responsabilidad compartida, esta escisión no suele tener efectos benéficos para la gestión global de la enseñanza de las matemáticas.

Ahora bien, cuando nos situamos en el ámbito de la investigación en didáctica, no podemos menos que reconocer que la propia comunidad didáctica está muy atomizada. En general, podemos reconocer varios grupos que se caracterizan por pertenecer a un tipo de organización que los identifica.

Ahora, la pregunta salta a la vista ¿A qué responde la atomización de la comunidad didáctica?. Según Guy Brousseau, existe la necesidad, por parte de muchos investigadores, de distinguirse de los demás, tratando problemas distintos, utilizando nociones disímiles y presentando aplicaciones escolares de su trabajo que sean aparentemente originales y novedosas. En términos generales, este fenómeno responde a la necesidad que tienen los investigadores de "darse a conocer" o , simplemente, de "existir científicamente". Aparece así, en las comunidades de investigación incipientes, un fenómeno de exaltación individualista del investigador, que choca frontalmente con la naturaleza comunitaria de la investigación científica.

Sin pretender hacer ningún tipo de "juicio" sobre estos hechos, es fácil constatar en España la ausencia de una verdadera comunidad científica dedicada esencialmente a desarrollar un Programa de Investigación común. Esto significa que no hay, alrededor de ninguna de las principales teorías didácticas actuales, un consenso suficientemente amplio para trabajar dentro de las líneas prioritarias de investigación que propone la heurística positiva del Programa , contrastar empíricamente las sucesivas hipótesis que van apareciendo, compartir el estudio de los problemas y . en definitiva, llevar a cabo un trabajo de investigación aparentemente "rutinario", poco "brillante" y escasamente "original", que es el que ocupa la mayor parte de la vida de toda comunidad científica "normal".

Como consecuencia de lo anterior, no es habitual (de hecho, es rarísimo) que se propongan verdaderas líneas de investigación en didáctica de las matemáticas o, en otros términos, es muy difícil que se proponga un verdadero campo de problemas o proyectos de investigación didáctica.. Esto se pone muy claramente de manifiesto cuando un estudiante de tercer ciclo "busca" un tema para realizar una tesis doctoral en didáctica de las matemáticas. Habitualmente los temas de tesis son problemas puntuales y aislados que, además, se agotan en sí mismos puesto que no sirven ni para desarrollar un Programa de Investigación ya establecido, ni tampoco -a pesar del inevitable apartado titulado "Problemas abiertos" con el que concluyen muchos de los trabajos de tesis- para proponer nuevos problemas que serán efectivamente abordados por la comunidad. Todo sucede como si los investigadores no creyesen que un trabajo científico puede partir de otro anteriormente realizado, y mirasen este tipo de situaciones como un trabajo de nivel inferior.

En este momento los cuatro equipos que formamos parte de un mismo proyecto de investigación estamos abordando problemas concretos diferentes. Esta situación no es sólo coyuntural. De hecho, es muy difícil encontrar en la bibliografía ejemplos de un mismo problema didáctico que haya sido tratado sistemáticamente por dos teorías didácticas diferentes. En particular, tampoco sería fácil encontrar un mismo problema tratado por dos de las teorías de las que sustentan nuestros respectivos proyectos parciales: teoría de las situaciones, teoría antropológica, teoría de los campos conceptuales y teoría semiótica. En lo que sigue nos referiremos únicamente a estas cuatro teorías.

En general, los vínculos entre investigadores se establecen a partir de características externas a la problemática de la investigación: nivel escolar, tema matemático enseñado, etc. En estas demarcaciones, suelen olvidarse los problemas didácticos y, consiguientemente, los fenómenos didácticos están, a lo sumo, implícitos.

La dispersión, el aislamiento y hasta la descontextualización de los problemas didácticos tratados actualmente son debidos, en parte, a la atomización de la comunidad didáctica descrita anteriormente. Pero no hay que olvidar que, al igual que las restantes disciplinas científico-experimentales, también la didáctica de las matemáticas construye sus propios problemas y que éstos, lejos de ser eternos e inmutables, evolucionan conjuntamente con la teoría didáctica correspondiente (Gascón, 1993b). Es decir, los problemas sólo existen -o se pueden formular- dentro de ámbitos teóricos concretos.

Lo anterior constituye un toque de atención al intento de relacionar ingenua y directamente los problemas construidos y tratados por las diferentes teorías didácticas. Pero no impide que, mediante una metodología más cuidadosa, fundamentada en una epistemología menos simplista, intentemos buscar puntos de contacto entre dichos problemas. Éstos pueden buscarse antes o después de que las diferentes teorías construyan efectivamente sus propios problemas. Pero, ¿cómo relacionar problemas de distintas teorías?, ¿se pueden encontrar puntos de contacto?, ¿desde qué punto de vista describir lo común?. Para intentar dar respuestas a estas preguntas, proponemos dos caminos posibles:

(i) Antes de que los problemas didácticos sean construidos, podemos partir de un conjunto de "hechos didácticos" como, por ejemplo, los relativos a la problemática de la enseñanza-aprendizaje de la geometría tal como es vivida por el profesor y cuya cuestión central se resume en: ¿Qué y cómo tengo que enseñar a mis alumnos la geometría? (Chevallard, 1994).

Cada una de las teorías conceptualizará algunos de estos hechos y una parte de la problemática asociada, hipotetizando la existencia de diferentes "fenómenos" y construirá, presumiblemente, "problemas didácticos" distintos. Podemos esperar que los resultados que se obtengan al abordar dichos problemas sean contrastables entre sí y permitan comparar el alcance y las limitaciones de las diferentes teorías en lo referente al esclarecimiento de la problemática particular.

(ii) Partir de un problema didáctico concreto construido por una teoría y buscar posibles reformulaciones, aunque sean parciales, en todas o algunas de las restantes teorías.

Lo anterior plantea hacer un ejercicio de reformular los problemas que aborda cada uno de nuestros proyectos parciales en términos de las restantes teorías. De nuevo deberíamos poder comparar los resultados obtenidos, por las diferentes teorías cuando tratan reformulaciones de un "mismo" problema.

Ambas formas de relacionar los problemas didácticos tratados por las diferentes teorías requieren que se disponga de un "vocabulario" común.

Hasta aquí no se ha planteado la posible integración de las citadas teorías. Ésta es una problemática difícil de abordar y de naturaleza diferente a los problemas planteados anteriormente.

A fin de intentar enunciar el problema en sus justos términos, introduciremos la noción de programas de investigación rivales -o teorías rivales- que son aquellos que teniendo el mismo núcleo firme proponen diferentes heurísticas positivas. Según Lakatos, cuando dos Programas de Investigación son rivales existen criterios de comparación entre ellos que permiten decidir cuál es más progresivo. En particular se podrán comparar las potencias respectivas de sus heurísticas positivas.

La noción de "teorías rivales" es relativa ya que depende de la mayor o menor coincidencia entre los núcleos firmes respectivos. Así, por ejemplo, podemos postular que la teoría de situaciones y la teoría antropológica son potencialmente rivales, dado que ambas tienen como núcleo firme un modelo epistemológico de la actividad matemática (lo que permite, al menos, que los núcleos firmes sean comparables) y, por lo que parece, ambas proponen heurísticas positivas diferentes. La integración de estas dos teorías requeriría, en primer lugar, una comparación detallada de los correspondientes núcleos firmes con objeto de analizar las posibilidades de que éstos se unificaran en un núcleo firme común. En segundo lugar habría que revisar la coherencia de las correspondientes heurísticas positivas con el nuevo núcleo firme unificado.

Existe otra noción epistemológica general que podemos introducir aquí para describir la situación en que se encuentran dos teorías que no pueden compararse de ninguna forma, se trata de la noción de teorías inconmensurables. Kuhn la utiliza para referirse al abismo entre las tradiciones científicas normales anteriores y posteriores a una revolución científica. Las correspondientes comunidades de investigación "practican sus profesiones en mundos diferentes". En particular, dos teorías inconmensurables están en desacuerdo respecto a:

Puede decirse que entre dos teorías inconmensurables, o mejor, entre las correspondientes comunidades científicas, existe un malentendido radical que no puede resolverse por medio de pruebas.

Con objeto de estudiar la posible integración de las teorías didácticas citadas, deberíamos mostrar hasta qué punto pueden ser consideradas como teorías rivales y, por otro lado, en qué aspectos pueden ser consideradas como teorías inconmensurables. Así por ejemplo, ¿hasta qué punto pueden considerarse como teorías rivales la teoría de situaciones y la teoría de los campos conceptuales? ¿en el conjunto de las cuatro teorías que estamos considerando, existen pares de teorías inconmensurables?

Volviendo a retomar el lenguaje de Lakatos y considerando ahora cada teoría didáctica como el germen de un potencial Programa de Investigación, se impone la necesidad de explicitar los principales elementos que lo caracterizan.

Supongamos que ya disponemos de un vocabulario mínimamente común o, al menos, de una forma de interpretar los términos que se utilizan en las diferentes teorías. En esta situación podremos empezar a relacionar, en los dos sentidos descritos anteriormente, los problemas didácticos abordados por las diferentes teorías.

Partimos del conjunto de "hechos" didáctico-matemáticos relativos a la problemática espontánea del profesor respecto de la "demostración" (en sentido amplio) y sus funciones en las instituciones didácticas.

Es previsible que si una teoría didáctica tematiza (determinados aspectos de) dicha problemática, construirá fenómenos y problemas didácticos específicos. La primera de las líneas de investigación que proponemos tiene por objeto:

(1) Contrastar la potencia heurística (capacidad de proponer y abordar problemas) de cada una de las teorías didácticas cuando intentan interpretar y explicar las leyes que rigen las prácticas escolares que involucran algún tipo de "demostración". Por ejemplo en la tesis de Patricio Herbst (dirigida por Jeremy Kilpatrick): What Works As Proof in the Mathematics Class (1999), se distinguen hasta nueve tipos de "prácticas escolares de validación": ejemplo genérico, ejemplo aislado, experimento crucial, ostensión, justificación pseudomatemática, metáfora, (argumentos de) simetría, cálculo simbólico y prueba oficial.

(2) Analizar la posible complementariedad de los resultados obtenidos por las diferentes teorías, en el supuesto de que éstos sean "conmensurables".

Describiremos a continuación algunos aspectos de las investigaciones que estamos llevando a cabo en los diferentes subproyectos y que podrían relacionarse razonablemente con la problemática de la demostración.

(a) En el marco del subproyecto de Granada, tenemos el trabajo de Ángel Martínez Recio, en Teoría del Significado: "Una aproximación semiótico-epistemológica a la enseñanza y aprendizaje de la demostración matemática", dirigido por Juan Díaz Godino y que ha sido presentado en este Seminario.

(b) En el marco del subproyecto de Castellón-Pamplona, podemos considerar la investigación de Pilar Orús en Teoría de Situaciones, interpretando las técnicas clasificatorias y, en particular, la utilización sistemática de tablas booleanas como un instrumento genérico de la actividad matemática que podemos denominar argumentación o razonamiento matemático. Dicho instrumento va evolucionando paralelamente a la evolución de la matemática escolar a través de los diferentes niveles educativos. Podría postularse que el tipo de argumentación matemática que se utiliza en las instituciones "escolares" se va acercando progresivamente al modelo que proporciona la lógica de predicados.

Se trata de un postulado que, una vez precisado, podría ser objeto de contraste empírico. El problema didáctico involucrado (que también debería ser precisado) es el de dar cuenta de las leyes que rigen la evolución de la naturaleza y de las funciones de la argumentación matemática a lo largo del proceso didáctico.

(c) En un reciente artículo de André Antibi y Guy Brousseau: "La dé-transposition des connaissances scolaires de la démonstration" (1999, pendiente de publicación), los autores toman precisamente la práctica de las demostraciones en la enseñanza como un campo -favorable por diversas razones- para el estudio de los fenómenos que emergen en la evolución de los conocimientos enseñados y aprendidos.

En este trabajo se utiliza la teoría de situaciones para analizar las diferentes funciones (roles) escolares de la demostración y se analizan las consecuencias especialmente negativas de la confusión de estas funciones.

(d) En el marco del enfoque epistemológico Brousseau propone interpretar la demostración como un objeto didáctico cuya matematización modificó históricamente las organizaciones matemáticas especialmente en lo que hace referencia a su estudiabilidad.

En las instituciones didácticas actuales, la demostración -además de intervenir en diferentes formas y con funciones diversas en múltiples prácticas matemáticas- puede ser utilizada como una técnica didáctica, esto es, como un instrumento que puede ser utilizado por el sistema enseñante para abordar determinados problemas relativos a la enseñanza-aprendizaje (o, en general, al estudio) de las matemáticas.

En el marco del subproyecto de Barcelona-Zaragoza, interpretamos el proceso de algebrización como un proceso que transforma profundamente la estructura y la dinámica interna de las organizaciones matemáticas. Simultáneamente, la algebrización de una organización matemática modifica esencialmente las posibles formas de estudiar dicha organización. Es por esta razón que decimos que la algebrización constituye una técnica didáctica y, por tanto, puede ser utilizada (de manera más o menos explícita) como tal.

Uno de los indicadores del grado de algebrización de una organización matemática hace referencia a la posibilidad de plantear y abordar problemas relacionados con la descripción, la interpretación, la justificación y el alcance (o dominio de validez) de las técnicas matemáticas integradas en dicha organización. Resulta, por tanto, que en las obras matemáticas algebrizadas las técnicas matemáticas se sitúan a un nivel tecnológico respecto a la organización matemática original (que hace el papel de sistema a modelizar).

Asimismo, la mayor o menor integración entre los niveles técnico y tecnológico (que está muy relacionada con la posibilidad de integrar las "demostraciones" en la práctica matemática) constituyen otro de los indicadores del grado de algebrización de una organización matemática.

Por todo lo anterior, podemos afirmar que nuestras investigaciones respecto a la algebrización de las organizaciones matemáticas pueden relacionarse de diversas formas con la problemática de las prácticas demostrativas escolares.

Algunos de estos fenómenos han sido analizados en la tesis de Carmen Chamorro: "Estudio de las situaciones de enseñanza de la medida en la escuela elemental" (1997), cuyo marco de referencia teórico intenta compatibilizar la teoría de situaciones y la teoría de los campos conceptuales. El núcleo de este trabajo no es otro que la descomposición del saber de referencia -la medida de magnitudes- en ocho "entornos". Esta "descomposición" podría ser reinterpretada como un modelo epistemológico de cierta organización matemática escolar y descrito en los términos de la teoría antropológica.

Por otro lado, el subproyecto de Madrid-Jaén : "Determinación de los invariantes operatorios y de las praxeologías asociadas en el estudio de las magnitudes", trata, como el mismo título pone de manifiesto, de empezar a integrar algunos elementos de la teoría de los campos conceptuales con otros de la teoría antropológica en el caso de la problemática de las magnitudes.

De hecho, en una perspectiva más general, Vergnaud (1991) define un concepto C como un trío de conjuntos:

s: conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia).

I: conjunto de invariantes sobre los que descansa la operatividad de los esquemas (el significado).

S: conjunto de formas de representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos útiles para tratar dichas situaciones (el significante).

Esta definición, junto a la identificación explícita que hace Vergnaud de su noción de "situación" y la noción de "tarea" (para distinguirla de la "situación didáctica" de la teoría de situaciones), permite postular que será posible enunciar algunas relaciones entre estas nociones y las que propone la teoría antropológica, especialmente la noción de praxeología.

En este mismo subproyecto se pretende analizar y describir, utilizando los instrumentos que proporciona la teoría antropológica una organización matemática escolar concreta en la que se relacionen varias magnitudes. Se pretende, asimismo, analizar las condiciones y restricciones ecológicas, tanto de origen matemático como de origen didáctico, bajo las que estas organizaciones matemáticas podrían vivir y ser estudiadas en una institución escolar determinada. Se trata de un objetivo fuertemente relacionado con el de trabajos llevados a cabo en el marco de la teoría antropológica.

Por ejemplo, la tesis de Marianna Bosch: "La Dimensión ostensiva de la actividad matemática: el caso de la Proporcionalidad" (1994), se analizan las restricciones ecológicas impuestas a la modelización matemática escolar de las magnitudes. Dichas restricciones están relacionadas con la ausencia cultural e institucional (en la institución escolar) de una elaboración adecuada -en el triple nivel técnico, tecnológico y teórico- de las nociones de "magnitudes compuestas" y "unidades compuestas".

Pero, además, en la medida en que el tratamiento escolar de una organización matemática en la que se relacionan varias magnitudes presupone la modelización funcional algebraica de dicha organización (Luisa Ruiz y José Luis Rodríguez, 1993), el trabajo de describir una organización matemática escolar en la que se relacionen varias magnitudes entronca con las investigaciones relativas al proceso de algebrización de las organizaciones matemáticas que estamos llevando a cabo en el subproyecto de Barcelona-Zaragoza.

De hecho, en las dos problemáticas citadas el tratamiento "normal" de la teoría de las situaciones es en términos de "concepciones" (Brousseau habla explícitamente de "las concepciones escolares de la demostración y en términos de "obstáculos"). Postulando una "concepción escolar inicial de la demostración", se trata de investigar hasta qué punto y en qué sentido dicha concepción inicial constituye un obstáculo epistemológico a su evolución posterior.

Análogamente se habla de "concepciones de la medida de magnitudes" y de "concepciones de las magnitudes", (como la que lleva a identificar "área" y "perímetro") que constituyen un obstáculo epistemológico (el cual, a su vez, puede ser reforzado por el tratamiento escolar habitual de la magnitud "superficie").

Aparece la necesidad de considerar las matemáticas como una actividad, postulado fundamental del Enfoque Epistemológico. Sea ésta material (no sólo mental), cooperativa (no sólo individual) e institucional.

B. En las distintas teorías utilizadas por nuestro proyecto de investigación, se aborda el estudio de la actividad docente con distintas conceptualizaciones basadas en terminologías también distintas. Existe sin embargo "algo" que parece común: