La investigación que hemos desarrollado en torno a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración matemática es una consecuencia de la confluencia de dos intereses complementarios. Por una parte, de nuestra preocupación por el bajo nivel de razonamiento matemático de nuestros alumnos, observado en nuestra experiencia como profesor durante más de 20 años. Por otra, de nuestro interés por los fundamentos epistemológicos de la matemática y su didáctica.

Ha sido realizada en el marco del Proyecto de Investigación, dirigido por el profesor Díaz Godino, "Significados personales e institucionales de los objetos matemáticos".

Aunque inicialmente nos orientamos hacia el estudio del razonamiento matemático, posteriormente preferimos centrarnos en la demostración matemática, que no presenta ese significado psicológico, mentalista, difícil de operativizar, que desde ciertas perspectivas, puede tener el razonamiento.

Además, nos dimos cuenta de que es, precisamente, en las situaciones de validación matemática, particularmente en las demostraciones matemáticas, donde con más evidencia se ponen en juego las capacidades de razonamiento matemático.

Todas estas consideraciones nos llevaron a orientar, definitivamente, nuestro trabajo hacia el área de investigación didáctica que se ocupa de la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración matemática, sobre la cual existe una extensa literatura.

Hemos organizado nuestro trabajo en tres partes. La primera parte se ocupa del área problemática, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis y metodología de investigación. La segunda parte del marco teórico, de carácter semiótico-antropológico, al que se acoge nuestra investigación. La tercera la constituyen cuatro estudios de carácter experimental centrados en la exploración de los esquemas personales de demostración matemática de estudiantes de primer curso de la Universidad de Córdoba, tratando de aportar una posible interpretación cognitiva de dichos esquemas y de indagar las posibilidades explicativas de nuestro enfoque semiótico-antropológico acerca de las dificultades de los estudiantes con la demostración matemática.

Desde el punto de vista metodológico, en nuestra investigación hemos combinado diversas técnicas y enfoques, de acuerdo con las distintas facetas de nuestro estudio, y dependiendo del tipo de problema analizado en cada caso. Así hemos utilizado el enfoque documental para el desarrollo del marco teórico; el análisis estadístico, para el estudio de los esquemas personales de demostración; y el estudio de casos, para la interpretaciones cognitiva y semiótica de dichos esquemas.

El objeto central de nuestra investigación ha sido la demostración matemática.

La demostración es un objeto de notable interés matemático y didáctico. Para autores como Hanna y Jahnke (1996), "la demostración es una característica esencial de la matemática y como tal debería ser un componente clave de la educación matemática".

Las orientaciones curriculares oficiales de distintos países destacan como un objetivo fundamental de la educación matemática el desarrollo de la capacidad de razonamiento matemático y, más en particular, de la capacidad de efectuar demostraciones matemáticas.

Sin embargo, este realce institucional del papel educativo de la demostración matemática contrasta con las dificultades reales de los estudiantes para asimilar y desarrollar demostraciones matemáticas, de acuerdo con los estudios de investigadores de distintos países. Lo que indica que la enseñanza y el aprendizaje de la demostración matemática representan un problema de cierta relevancia que procede estudiar en profundidad, como nosotros hemos hecho.

Una parte de las investigaciones efectuadas en este campo se han orientado al esclarecimiento del significado epistemológico y didáctico de la demostración matemática. Otras investigaciones se han orientado a estudiar las relaciones de la demostración con otros instrumentos validativos, como la argumentación, la prueba, el razonamiento, etc.

Como resultado de estas investigaciones, la demostración matemática aparece como un objeto complejo, con variadas finalidades, con diferentes significados institucionales y personales, con cierto solapamiento semántico respecto a otros instrumentos validativos. Aparece sin un marco teórico suficientemente elaborado, capaz de integrar adecuadamente sus aspectos matemáticos y didácticos.

Es por ello que hemos planteado nuestra investigación como una aproximación epistemológica al concepto de demostración matemática, buscando el esclarecimiento de su significado como objeto matemático y como objeto didáctico, como objeto institucional y como objeto personal, pensando que nuestra investigación puede representar un paso previo para otros posibles estudios posteriores, más centrados en una problemática de aula.

Ese objetivo central da lugar a los siguientes objetivos e hipótesis parciales:

O.1. Analizar el campo conceptual de la argumentación matemática, mostrando la complejidad de dicho campo y su dependencia de los contextos institucionales, en el marco de la teoría de los significados institucionales de los objetos matemáticos, desarrollada por Godino y Batanero (1994, 1998).

O.2. Introducir una tipología de entidades matemáticas y de relaciones entre ellas (funciones semióticas) que permita el análisis de los procesos interpretativos puestos en juego en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, contribuyendo a desarrollar el modelo de Godino y Batanero (1994, 1998) sobre el significado de los objetos matemáticos.

O.3. Caracterizar los esquemas personales de demostración matemática de los estudiantes que inician sus estudios en la Universidad de Córdoba y aportar criterios para su evaluación, por medio de sus prácticas argumentativas matemáticas.

El objetivo O.3. se plantea acompañado de la siguiente hipótesis:

Hipótesis: Los estudiantes que inician sus estudios universitarios en la Universidad de Córdoba tienen importantes dificultades en el desarrollo de demostraciones matemáticas de carácter deductivo, incluso en demostraciones elementales, existiendo entre ellos una variedad de esquemas personales de demostración matemática.

O.4. Estudiar la influencia de diversos factores condicionantes de los esquemas personales de demostración matemática de estudiantes universitarios.

El objetivo O.4. se plantea acompañado de las siguientes hipótesis:

Hipótesis1: El contenido matemático de los problemas de demostración (aritmético, geométrico) no influye en los esquemas personales de demostración matemática de los estudiantes.

Hipótesis2: Los esquemas personales de demostración matemática evolucionan significativamente si a los estudiantes se les informa previamente de las características exigidas a las demostraciones matemáticas.

O.5. Indagar las posibilidades de dar una interpretación cognitiva a los esquemas personales de demostración de estudiantes universitarios.

O.6. Indagar las posibilidades de aplicar un enfoque semiótico-antropológico a la didáctica de las matemáticas para explicar las dificultades de estudiantes universitarios con la demostración matemática.

Nuestra investigación se acoge al marco teórico que Godino y Batanero (1994, 1998) vienen desarrollando, en torno al significado de los objetos matemáticos.

Godino y Batanero nos proponen que cuando nos interroguemos por el significado de los objetos matemáticos pensemos en los sistemas de prácticas de donde tales objetos sobrevienen. Por práctica matemática entienden ellos toda actuación realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros las soluciones, validarlas y generalizarlas a otros problemas y contextos. El objeto matemático se concibe como un emergente de tales sistemas de prácticas y se le atribuye una naturaleza dual: personal (cognitiva, mental) e institucional (social, compartida).

En nuestro trabajo hemos tratado de aplicar este modelo considerando la demostración matemática como objeto institucional y como objeto personal. Como objeto institucional nos ha interesado estudiar los distintos significados que la demostración matemática muestra en diferentes contextos institucionales. Como objeto personal nos ha interesado estudiar la variedad de esquemas personales de demostración matemática exhibidos por estudiantes de nuestra universidad.

Para estudiar los significados institucionales de la demostración matemática hemos analizado la diversidad de formas argumentativas, particularmente matemáticas, que aparecen en los contextos institucionales siguientes: vida cotidiana, ciencias experimentales, matemática profesional, lógica y fundamento de las matemáticas, y educación matemática. Pasamos seguidamente a describirlas brevemente.

La argumentación propia de la vida cotidiana es la argumentación informal, cuyas principales características han señalado Carretero y cols. (1995). Polya (1953) ha estudiado la argumentación informal en matemáticas, con el nombre de argumentación plausible. Sus bases, según Polya, son la inducción, la generalización, la especialización y la analogía. Pese a la elementalidad que la argumentación informal presenta en sus casos más simples, puede considerarse, siguiendo a Garuti, Boero y Lemut (1998), que la argumentación informal es un primer modo de demostración matemática.

La argumentación científica pretende tener un sentido validativo de más largo alcance. Pretende ser una argumentación más objetiva, con un sometimiento continuo al tamiz de la prueba experimental.

El desarrollo de las teorías científicas implica un método de argumentación que es a la vez inductivo y deductivo. Mediante argumentos inductivos se hacen generalizaciones, que se comprueban en casos particulares; y mediante argumentos deductivos se encadenan esas generalizaciones, que representan leyes científicas, para hacer surgir nuevas generalizaciones, nuevas leyes, que se pueden comprobar luego experimentalmente.

La argumentación matemática presenta en los dominios científicos connotaciones de prueba. Las teorías matemáticas son consideradas como verdaderas porque independientemente de su demostrabilidad axiomática, formal, sus aplicaciones pueden ser comprobadas de forma experimental. Para autores como Kline (1980), "La corrección de las matemáticas debe ser juzgada por su aplicabilidad al mundo físico... Son correctas en la medida que funcionan y cuando no funcionan deben ser modificadas".

Esta impregnación que experimenta la argumentación matemática de modos argumentativos propios de los ámbitos científicos motiva la aparición de dos formas de argumentación matemática: la prueba empírico-inductiva y la prueba deductiva informal. La primera acude a la comprobación en casos particulares como medio de validación de los teoremas (por ejemplo, la comprobación del teorema de Pitágoras en diferentes ternas pitagóricas). La segunda es una argumentación de carácter deductivo, pero con una fuerte base intuitiva (por ejemplo, la demostración de teoremas sobre funciones de variable real mediante argumentaciones deductivas, apoyada en intuiciones sugeridas por la representación gráfica de las funciones, por la "curva").

La argumentación estrictamente matemática, la que desarrollan los matemáticos en su quehacer profesional, es la demostración deductiva, de carácter axiomático, formal. Una formalización que en lógica y fundamentos de las matemáticas se lleva a niveles extremos, haciendo aparecer la demostración como mera derivación simbólica, sintáctica, realizada de acuerdo a reglas preestablecidas de transformación de expresiones, sin apelación alguna a la intuición.

Así pues, podemos considerar diversos tipos de demostración matemática, dándole al termino 'demostración' un sentido amplio: demostración informal, empírico-inductiva, deductiva informal y deductiva propiamente dicha; formas de demostración que emergen de sistemas de prácticas desarrolladas en contextos institucionales diferentes. Sin duda podemos apreciar algunos rasgos comunes en esos variados modos argumentales, lo que permite hablar de la 'demostración' en sentido general; pero sin que ello oculte la rica y compleja variedad de significados que presenta dicho concepto, derivada de su uso en contextos institucionales diferenciados.

En educación matemática, en la clase de matemáticas, la demostración aparece "contaminada" de las diferentes modalidades de argumentación, matemática y no matemática, que los estudiantes encuentran en diferentes contextos institucionales: vida cotidiana, clases de ciencias experimentales, clases de matemática, clases de lógica. Por lo que parece razonable aceptar que los estudiantes tengan algún grado de dificultad en discriminar el uso respectivo de cada tipo de argumentación. En consecuencia, la existencia de diferentes significados institucionales de la demostración matemática puede aparecer como un factor explicativo de las dificultades de los estudiantes con la demostración matemática.

Al ser la demostración matemática un objeto social, compartido, hay que considerar también los aspectos semióticos, inherentes a todo proceso de comunicación, como otro posible factor explicativo de las dificultades de los estudiantes con la demostración matemática. Por lo que hemos considerado necesario ampliar el marco teórico de referencia, incorporando al enfoque antropológico algunos factores semióticos.

Hemos introducido una tipología de entidades matemáticas elementales, tres tipos de objetos matemáticos elementales: notacionales, fenomenológicos y conceptuales, que hemos relacionado mediante nuestra propia interpretación del triángulo epistemológico de Steinbring (1997). Hemos considerado también los nueve tipos de relaciones posibles entre ellos, con el nombre de "funciones semióticas", las cuales permiten destacar diferentes aspectos de la actividad matemática. Conceptualizando la demostración matemática como cadena de funciones semióticas, adquiere la demostración una complejidad ontológica y semiótica, como muestran los ejemplos de aplicación expuestos en la memoria, que ayuda a explicar las dificultades de los estudiantes con la demostración matemática.

Además de los factores antropológicos y semióticos considerados, hay otros factores que pueden, también, contribuir a explicar las dificultades de los estudiantes con la demostración matemática, derivados del significado personal que la demostración tiene para cada individuo particular.

En nuestro modelo antropológico, los significados institucionales de la demostración matemática inducen diferentes significados personales de la misma. Harel y Sowder (1996) han introducido la idea de esquema personal de demostración matemática, que nosotros utilizamos dándole la significación de invariante operatorio, de categoría cognitiva.

Nuestra hipótesis de trabajo es que los estudiantes que inician sus estudios universitarios en la Universidad de Córdoba tienen importantes dificultades en la comprensión y elaboración de demostraciones matemáticas de carácter deductivo, existiendo entre ellos una variedad de esquemas personales de demostración.

Para tratar de validar esta hipótesis aplicamos, en el curso 1994-95, una prueba escrita a 429 estudiantes que cursaban alguna asignatura de matemáticas en el primer curso de las diferentes facultades o escuelas de la Universidad de Córdoba. La prueba consistió en la resolución de dos problemas elementales de matemáticas, uno de aritmética y otro de geometría, que ponen en juego capacidades de demostración matemática. Los problemas fueron seleccionados por su simplicidad y operatividad para discriminar entre las capacidades de demostración inductiva y deductiva, detectadas en aplicaciones previas de dichos problemas y otros similares.

Las respuestas dadas por los estudiantes a los problemas fueron clasificadas en cinco categorías elaboradas a partir de ensayos pilotos previos realizados con estudiantes de estos niveles:

Respuestas muy deficientes.

Comprobación con ejemplos.

Comprobación con ejemplos, afirmando la validez general del teorema contenido en el enunciado del problema.

Justificación lógica del teorema mediante procedimientos intuitivos.

Justificación deductiva del teorema.

Estos tipos de respuestas, que nosotros interpretamos como esquemas personales de demostración, guardan cierta relación con los diferentes significados institucionales de la demostración.

Las respuestas de tipo 1 indican una incapacidad básica para efectuar las demostraciones solicitadas, por variadas razones (por ejemplo, incomprensión del enunciado de los problemas).

Las respuestas de tipo 2 corresponden a modos informales de argumentación matemática de tipo explicativo: el sujeto se explica a sí mismo, mediante ejemplos particulares, el enunciado del problema.

Las respuestas de tipo 3 corresponden a formas empírico-inductivas de argumentación matemática, sirviendo los ejemplos particulares para justificar la validez general del correspondiente teorema.

Las respuestas de tipo 4 corresponden a demostraciones deductivas informales, y las de tipo 5 a demostraciones deductivas.

El estudio cuantitativo de las respuestas indica que sólo 141 de los 429 estudiantes, menos de un 33%, fueron capaces de resolver correctamente ambos problemas y de alcanzar lo que hemos denominado "nivel básico de demostración matemática deductiva".

La existencia de un alto grado de asociación estadística entre las puntuaciones obtenidas por los estudiantes en los dos problemas, aritmético y geométrico, asociación que hemos medido a partir del coeficiente Gamma de Goodman y Kruskal -que se utiliza para variables ordinales-, registrando un valor de 0,71, nos confirmaba nuestra hipótesis, en las condiciones concretas de esta prueba, de que el contenido matemático de los problemas de demostración (aritmético, geométrico) no influye significativamente en los esquemas personales de demostración matemática de los estudiantes, pareciendo responder más a una capacidad personal de los mismos. Al realizar un contraste de diferencias de medias entre dichas variables encontrábamos igualmente la no significatividad de la influencia del contenido matemático de las tareas sobre los esquemas personales de demostración matemática.

Para tratar de confirmar desde otra perspectiva la consistencia de los esquemas personales de demostración, decidimos volver a aplicar la misma prueba del curso 1994-95, otra vez a comienzos del curso 1997-98, con 193 alumnos de nuevo ingreso en la Universidad de Córdoba, en condiciones similares a la primera experiencia. El enunciado de los problemas era análogo al caso anterior, si bien a 99 estudiantes se les complementó con una nota que aclaraba el significado deductivo que la demostración posee para la institución matemática, tratando de estudiar el efecto sobre los estudiantes de esa aclaración.

Para estudiar la posible influencia de la variable binaria "ayuda" (haber recibido o no la advertencia acerca del significado deductivo de la demostración matemática), sobre los esquemas personales de demostración matemática, realizamos un análisis de la varianza, resultando de dicho análisis la no significatividad de la influencia de la variable ayuda.

Decidimos analizar, finalmente, si era posible considerar conjuntamente las dos muestras de estudiantes de los cursos 1994-95 y 1997-98, para obtener una muestra más extensa, efectuando un análisis de la varianza de la puntuación total (suma de las puntuaciones aritmética y geométrica) según el factor "año" de aplicación de la prueba, resultando factible partir de la muestra conjunta.

El resultado global es que algo menos del 30% de los estudiantes fueron capaces de resolver correctamente ambos problemas y alcanzar lo que hemos denominado nivel básico de demostración matemática deductiva.

Para intentar una interpretación cognitiva de los esquemas personales de demostración matemática, como estructuras de pensamiento, de acuerdo con teorías como las de Piaget o van Hiele, decidimos efectuar un estudio de casos con siete alumnos de la especialidad de Psicopedagogía, en la Facultad de Educación de la Universidad de Córdoba. Frente a la validez y fiabilidad del estudio estadístico, preferimos las posibilidades interpretativas del estudio cualitativo.

El estudio se desarrolló en el contexto de una asignatura cuatrimestral denominada "Intervención didáctica en el área de matemáticas", que incluía el estudio de la demostración matemática. Se aplicó la prueba anteriormente comentada, compuesta por los problemas aritmético y geométrico, a comienzos y final del cuatrimestre. También al final del cuatrimestre el profesor sostuvo una entrevista semiestructurada en torno a problemas de geometría que se trataba de resolver con ayuda del programa informático CABRI. Se trataba con estas pruebas estudiar, de forma cualitativa, la posible relación entre esquemas personales de demostración, niveles de razonamiento geométrico van Hiele y concepciones personales acerca de la demostración matemática.

El estudio mostró la existencia de una correspondencia significativa, en las circunstancias concretas de la prueba, entre esquemas personales de demostración matemática, niveles de razonamiento geométrico van Hiele y concepciones generales acerca de la demostración matemática de los estudiantes.

Podría aceptarse, en este contexto, una interpretación de los esquemas personales de demostración matemática como niveles potenciales de demostración, que el sujeto alcanzaría en situaciones problemáticas sencillas -como la correspondiente a la experiencia desarrollada-, donde no haya dificultades conceptuales especiales que lleguen a bloquear el curso de la argumentación.

Ahora bien, se nos ha planteado posteriormente el interrogante acerca de la funcionalidad de los esquemas personales en situaciones problemáticas en las que el sujeto no es suficientemente experto.

Las investigaciones, procedentes del campo de la Psicología, sobre diferencias de razonamiento entre "novatos" y "expertos" se orientan a una dependencia del contenido de la tarea, de forma que la capacidad para efectuar demostraciones, en dominios de conocimiento no familiares, no sería estrictamente una capacidad cognitiva, sino que dependería también del contenido de la tarea.

Para estudiar la importancia del contenido de la tarea en la realización de demostraciones matemáticas, decidimos realizar en el curso 97-98 un nuevo estudio de casos, con estudiantes de la especialidad de Psicopedagogía. La experiencia consistió en el desarrollo de tres sesiones de trabajo con un grupo de alumnos de Psicopedagogía, con resolución de tres problemas geométricos, relacionados con la noción de ángulo.

El primer problema estaba directamente centrado sobre la noción de ángulo. Esta noción tiene varios significados elementales: como inclinación de una recta sobre otra, como par de semirectas, como región angular y como rotación. El hecho más destacable del correspondiente episodio didáctico fue la búsqueda infructuosa de una definición universal de ángulo, por incomprensión de la pluralidad de usos del término ángulo en contextos fenomenológicos distintos.

El segundo problema servía de puente entre los otros. Pretendía inducir la consideración de teoremas relativos a relaciones de igualdad entre ángulos de rectas paralelas cortadas por una secante.

Con el tercer problema se pretendía estudiar específicamente la importancia del conocimiento previo de los elementos conceptuales implicados en la demostración. En el episodio didáctico aparecieron varias pruebas informales, tales como la justificación del teorema mediante manipulación física de triángulos recortados en papel. Y sólo una demostración deductiva, desarrollada por el único alumno (alumna, en realidad) que tenía los conocimientos previos necesarios, sobre relaciones de igualdad entre ángulos de rectas paralelas cortadas por una secante, asociadas a posibles movimientos geométricos de las figuras.

Se ponía así de manifiesto la dependencia que la capacidad para efectuar demostraciones presenta respecto al contenido de la tarea. Las dificultades para efectuar demostraciones matemáticas no se pueden explicar sólo en términos cognitivos, sino que exigen también la consideración de factores semióticos. Hay que tener presente la complejidad semiótica del dominio conceptual en cuestión.

Esta experiencia nos ha inducido a buscar otras herramientas teóricas que nos ayuden a describir y explicar los fenómenos observados. Nos ha llevado, en concreto, a incorporar a nuestro marco teórico, todavía de una manera parcial e incipiente, la teoría de los momentos didácticos, de Chevallard y cols (1995).

Presentamos a continuación nuestras conclusiones finales, mostrando en que medida se han cumplido las expectativas iniciales de nuestra investigación. Describimos también algunas cuestiones abiertas que, ante la complejidad del campo abordado, requerirían el diseño y desarrollo de nuevas investigaciones, tanto teóricas como experimentales. Dado el compromiso ineludible de la didáctica de las matemáticas con la práctica de la enseñanza nos atrevemos a presentar algunas recomendaciones que se derivan de nuestra investigación para la mejora de la enseñanza de la demostración en la clase de matemáticas.

OBJETIVO1:

El estudio realizado ha mostrado que la argumentación y la demostración matemática -como un tipo especial de argumentación- adquieren connotaciones particulares en distintos contextos institucionales en los cuales se pone en juego.

El estudiante de matemática debe aprender en el seno de la clase de matemáticas las características notacionales, conceptuales y fenomenológicas de la demostración. Pero cada estudiante es miembro -y está sujeto, por tanto a las influencias- de distintos contextos institucionales: particularmente no puede evitar participar como ciudadano en la vida cotidiana y emplear todos los recursos característicos del razonamiento informal; es también alumno de las clases impartidas sobre ciencias experimentales, donde es inducido a pensar en términos empíricos e inductivos; en las clases de matemáticas recibe, por otra parte, diferentes modelos de demostración matemática. La influencia de estos diferentes modos de razonar condicionan su comprensión y dominio de la demostración matemática.

La manera particular de interactuar esos distintos modos de argumentación en las clases de matemáticas precisaría diseñar investigaciones clínicas y etnográficas pormenorizadas.

Herbst (1998) ha caracterizado con detalle "lo que cuenta como demostración en la clase de matemáticas", mostrando que incluso el ejemplo aislado, la ostensión, la analogía y la metáfora, entre otros procedimientos no deductivos, son aceptados como herramientas de validación. En esta dirección nos debemos preguntar cuestiones como las siguientes: ¿En qué medida se usan de manera legítima las técnicas argumentativas en los momentos exploratorios del estudio de los problemas matemáticos? ¿En qué grado depende la elaboración de las demostraciones deductivas matemáticas de los resultados de las restantes formas argumentativas puestas en juego en los momentos exploratorios?. Son cuestiones que dejamos abiertas para futuras investigaciones.

OBJETIVO2:

El modelo descrito en nuestro trabajo, que postula la puesta en juego en la actividad matemática de tres tipos de entidades elementales (notacionales, fenomenológicas y conceptuales) y la adopción de la noción de función semiótica como entidad relacional básica, nos permite explicar, al menos en parte, las dificultades y bloqueos de los sujetos en la elaboración de las argumentaciones matemáticas. Su aplicación al análisis de un episodio didáctico nos ha permitido mostrar la complejidad ontológica y semiótica de la actividad matemática, incluso ante tareas elementales como la estudiada. Pensamos que esta clase de análisis puede ayudar a superar una cierta ilusión de trasparencia ante los procesos de abstracción y razonamiento en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, al mostrarnos la multiplicidad de códigos que se ponen en juego. Esto nos permitirá identificar los puntos críticos, los factores condicionantes de los actos de semiosis y prever acciones didácticas para afrontarlos.

OBJETIVO3:

Caracterizar los esquemas personales de demostración matemática de los estudiantes que inician sus estudios universitarios en la Universidad de Córdoba y aportar criterios para su evaluación, por medio de sus prácticas argumentativas matemáticas.

HIPÓTESIS O3:

Los resultados obtenidos han confirmado esta hipótesis. En nuestro estudio, sólo 186 de 622 estudiantes de la Universidad de Córdoba analizados, algo menos del 30% de ellos, alcanzaron un nivel básico de demostración matemática deductiva.

Los estudiantes manifiestaron, además, una variedad de esquemas personales de demostración, situadas en torno a dos formas básicas de argumentación, empírico-inductiva y deductiva, siendo destacable la proporción de estudiantes que no superan las primeras. Este hecho es congruente con los descritos al respecto por diversos autores, como Fischbein (1982), Senk (1985) o Martin y Harel (1989), en distintos países.

Ese dato puede ser importante, porque, partiendo de esta realidad, es conveniente articular, en los distintos niveles de enseñanza, esas dos formas básicas de argumentación, propiciando en los estudiantes el desarrollo progresivo de los conocimientos, la capacidad discriminativa y la racionalidad necesarios, para que puedan progresar de una a otra forma de argumentación.

OBJETIVO 4:

HIPÓTESIS O4.1:

La investigación realizada para contrastar esta hipótesis ha permitido corroborarla, en circunstancias como las de la prueba planteada, con problemas conceptualmente asequibles para los estudiantes. El estudio de la asociación de las puntuaciones en ambos problemas indica que, en las condiciones de la prueba, el contenido matemático de los problemas planteados (aritmético, geométrico) no influyó en los esquemas personales de demostración de los estudiantes, lo que nos ha permitido considerar la idea de un nivel básico de demostración matemática deductiva, característico del sujeto individual, independiente del contenido matemático de las tareas, al menos para esta clase de problemas elementales.

En todo caso, la investigación experimental realizada se puede ampliar en el futuro, incorporando en el cuestionario escrito otras tareas que tengan en cuenta una gama más amplia de tipos de tareas argumentativas y de contenidos matemáticos. También sería de interés investigar mediante un diseño experimental riguroso el efecto de la variable "especialidad cursada", sobre el nivel básico de demostración matemática deductiva de los estudiantes, así como su evolución con los años de estudio.

HIPOTESIS O4.2:

La investigación realizada para confirmar esta hipótesis no ha confirmado esta hipótesis. El hecho de informar por escrito, a una parte de los estudiantes, de las características de la demostración matemática no ha mejorado el tipo de esquemas de demostración de los estudiantes, y por tanto, no hemos encontrado diferencias significativas en las puntuaciones de la prueba según esta variable de la tarea.

El uso de los esquemas de demostración empírico-inductivos está tan fuertemente arraigado en una parte de los estudiantes que una explicación meramente discursiva sobre qué se considera una demostración matemática válida resulta ineficaz para superar dichos esquemas.

OBJETIVO5:

La independencia (en el contexto de la prueba planteada) de los esquemas personales de demostración matemática respecto a factores como el contexto matemático o la intervención incidental del profesor nos sugirió la hipótesis de que esos esquemas, objetos personales resultantes de la experiencia pasada de los sujetos, son consistentes, muestran una persistencia temporal, de forma que se precisa una acción docente prolongada para poder inducir cambios permanentes en ellos.

La hipótesis puede ampliarse más y llevarnos a interpretar los esquemas personales de demostración como estructuras intelectuales estables durante periodos dilatados de tiempo, en la línea de las teorías psicológicas que analizan la evolución del pensamiento por niveles, como las teorías de Piaget (1964) o de Van Hiele (1986).

Para contrastar esta hipótesis hemos realizado un estudio de casos con estudiantes alumnos del último curso de la carrera de Psicopedagogía de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Córdoba, habiendo podido constatar la estabilidad de los esquemas personales de demostración, sus vinculaciones con las estructuras generales de pensamiento geométrico de los estudiantes y la coherencia de los esquemas con las concepciones personales de los alumnos acerca de la demostración.

OBJETIVO6:

Aunque hemos podido constatar, en el contexto de nuestro estudio, la independencia de los procesos de demostración respecto del contenido matemático de las tareas, cuando éstas son elementales, nos hemos preguntado también por el significado de los esquemas personales de demostración en situaciones más problemáticas, ante las que el sujeto no es suficientemente experto.

Nuestra conclusión al respecto es que no tiene sentido concebir los esquemas de demostración como estructuras exclusivamente cognitivas, determinadas por el nivel de competencia alcanzado por el sujeto, consecuencia de su evolución personal, fruto de su madurez biológica o resultado de un proceso de instrucción, que se manifiestan de forma estable una vez alcanzada dicha competencia. El proceso de demostración es un proceso que está determinado por el contenido semiótico del campo de problemas al que pertenece la demostración, siendo necesaria no sólo una determinada competencia cognitiva para poder llevarlo a término, sino también el conocimiento de conceptos y procedimientos propios del campo de problemas en cuestión, de forma que la evolución en los esquemas de demostración aparece ligada a la adquisición de esas técnicas instrumentales.

REFERENCIAS

Carretero, M. y cols. (1995). Razonamiento y comprensión. Madrid: Trotta.

Chevallard y col. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barceolona: ICE-Horsori.

Polya, G. (1953). Matemáticas y razonamiento pluasible. Madrid: Tecnos [1966].