El “medio” en la Teoría de Situaciones, 
como instrumento de análisis didáctico del artículo 
“El peso de un recipiente”.

Pilar Orús Báguena y Teresa Bort Martinez,
Universidad Jaume-I de Castellón.

XIV Jornadas del SIIDM (7-9 de Abril de 2000)
Cangas do Morrazo

INTRODUCCION
	El trabajo adjudicado inicialmente al grupo de Castellón, para efectuar el análisis didáctico a partir de la Teoría de Situaciones (Brousseau, 1970-2000) presentaba una dificultad intrínseca evidente, ya que el artículo en sí mismo, está escrito por el propio G. Brousseau, y por tanto en términos de la Teoría de Situaciones. 
	Ante esta coyuntura, el grupo decidió elegir un concepto teórico propio de la Teoría de Situaciones, y diferenciador respecto a otras aproximaciones metodológicas, como es la noción de “medio” para realizar el análisis didáctico encomendado. 
	Dada la complejidad del instrumento a utilizar, parecía también necesario incluir algunas definiciones y elementos teóricos propios del método elegido, para mostrar después su funcionamiento en el análisis de las lecciones de “El peso de un recipiente”.
	
 PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DEL GRUPO
No obstante el análisis realizado por los miembros del grupo, incluye también una primera aproximación al tema desde la problemática del profesor, y por lo tanto será abordado desde una doble perspectiva: el enfoque de un enseñante de secundaria (T. Bortt) y el enfoque de un investigador en didáctica de las matemáticas (P. Orús).

El esquema de la ponencia que presenta este trabajo, es el siguiente:

PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DEL GRUPO

A. Aproximación desde la problemática del profesor: ¿Tiene interés realizar estas lecciones?
A1.- Según el curriculum oficial.
A2.- Según los estándares curriculares y de  evaluación para la educación matemática (NCTM).
A3.- Conclusiones

B.	Aproximación desde la didáctica fundamental (teoría de situaciones)
B0.- Elección del “medio” como instrumento de análisis,
•	Con la utilidad metodológica que G. Brousseau le atribuye
•	Como instrumento de investigación y de análisis en el marco de la Teoría de Situaciones: compromiso con el grupo del SIIDM
B1.- Presentación del instrumento didáctico.
B2.-  Aplicación en el análisis del artículo “peso de un recipiente”.
B3.- Consideraciones didácticas
C. Conclusiones
C1.- Limitaciones en el análisis global de las lecciones.
C2.- Conclusiones del análisis realizado.
A.	
Aproximación desde la problemática del profesor
La pregunta que se plantearía un profesor, después de leer el artículo propuesto sería: ¿ Tiene interés realizar estas lecciones?
Para intentar contestarla, recurriría normalmente al curriculum oficial ymenos frecuentemente a los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática (NCTM)

A1. Según  el curriculum oficial
¿Qué contenidos del curriculum oficial se trabajan?
•	MEDIDA:
            Utilización de instrumentos
            Unidades de medida (SMD). Cambio de unidades
            Estimación. Orden de magnitud
•	NÚMEROS:
             Sistema de numeración decimal posicional
             Cálculo mental
•	ÁLGEBRA:
             Introducción al planteamiento y resolución de sistemas lineales
•	ESTADÍSTICA:
Iniciación a la recogida y presentación de datos ( intervalos,                     frecuencia absoluta, tabla)

La metodología utilizada en las lecciones observadas es coherente con la propuesta metodológica de la LOGSE (constructivismo).

A2.  Según los  estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática( NCTM)
Tal como se define en la introducción de los estándares, ESTANDAR es una afirmación-declaración que:
•	Juzga la calidad de un curriculum
•	Establece los principios sobre lo que tiene valor educativo
•	Pretenden: asegurar la calidad, explicitar objetivos, propiciar cambios
•	Define los siguientes objetivos de la educación matemática, respecto del alumno:
•	valoración de las matemáticas
•	seguridad matemática
•	capacidad de resolución de problemas
•	capacidad de razonamiento

Resumiendo, SABER MATEMÁTICAS ES “USAR” LAS MATEMÁTICAS.
En particular en los niveles 5-8 (3º a 6º de Primaria), proponen cambios en el contenido y en el énfasis en las matemáticas. Hemos subrayado aquellos contenidos que se trabajan en las lecciones estudiadas.
MERECEN MAS ATENCION:
•	RESOLUCION DE PROBLEMAS
•	Dedicarse a problemas abiertos y tareas ampliadas de resolución de problemas.
•	Investigar y formular preguntas a partir de situaciones de problema.
•	Representar situaciones de forma verbal,numérica, gráfica, geométrica o simbólica.
•	COMUNICACIÓN
•	Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas.
•	RAZONAMIENTO
•	Razonar en contextos espaciales.
•	Razonar con proporciones.
•	Razonar a partir de gráficas.
•	Razonar inductivas y deductivamente.
•	CONEXIONES
•	Conectar las matemáticas con otras materias y con el mundo fuera del aula.
•	Conectar temas dentro de las matemáticas.
•	Aplicar las matemáticas.
•	NUMEROS/ OPERACIONES/ CALCULOS
•	Desarrollar el sentido numérico.
•	Desarrollar el sentido operacional.
•	Crear algoritmos y procedimientos.
•	Usar la estimación tanto para la resolución de problemas como para comprobar lo razonable de los resultados.
•	Exploras las relaciones entre representaciones de números naturales, fracciones, decimales, números enteros y números racionales y sus operaciones.
•	PATRONES Y FUNCIONES
•	Identificar y usar relaciones funcionales.
•	Desarrollar y usar tablas, gráficas y reglas para describir situaciones.
•	Realizar una interpretación entre diferentes representaciones matemáticas.
•	ALGEBRA
•	Desarrollar estructuras conceptuales para variables, incógnitas, expresiones y ecuaciones.
•	Utilizar toda una gama de métodos para resolver ecuaciones lineales e investigar de manera informal inecuaciones y ecuaciones no lineales.
•	ESTADISTICA
•	Utilizar métodos estadísticos para describir, analizar, evaluar y tomar decisiones.
•	PROBABILIDAD
•	Crear modelos experimentales y teóricos de situaciones que impliquen probabilidades.
•	GEOMETRIA
•	Desarrollar estructuras conceptuales para objetos y relaciones geométricas.
•	Utilizar la geometría para la resolución de problemas.

•	MEDICION
•	Hacer estimaciones y realizar mediciones para resolver problemas.
•	RECURSOS METODOLOGICOS
•	Implicar de forma activa a los estudiantes por separado y en grupos en la exploración, elaboración de conjeturas, análisis y aplicación de las matemáticas tanto en un contexto matemático como en un contexto del mundo real.
•	Usar tecnología apropiada para los cálculos y la exploración.
•	Usar materiales concretos.
•	Ser un facilitador del aprendizaje.
•	Evaluar el aprendizaje como parte integrante de la docencia.
Como se ha podiddo observar , las dos lecciones analizadas serían un ejemplo paradigmático  de los cambios propuestos en los estándares. En tan solo dos sesiones de clase ,  se abordan la mayoría  de estándares propuestos para toda la etapa educativa.

A3. CONCLUSIONES
•	Interes a priori de la realización
•	El profesor se plantearía también:
•	¿ Cómo desarrollar la situación?
•	¿ Cómo analizar a posteriori el desarrollo observado?
•	¿ Qué dificultades puede presentar la situación para el alumno y para  el profesor?
•	¿ Cómo superarlas?
•	El profesor carece de instrumentos para realizar el análisis de la situación descrita, partiendo de los elementos y valoraciones oficiales utilizadas en el apartado  A  ( curriculum y estándares).
•	La cuestión de fondo que le plantea a la Didáctica es:
¿ La Didáctica fundamental le puede ofrecer al profesor algún instrumento de análisis?

B. Aproximación desde la didáctica fundamental (teoría de situaciones)
B0.- Elección del “medio” como instrumento de análisis,
	La dificultad intrínseca evidente para realizar el análisis didáctico en términos de la Teoría de Situaciones, que el artículo presentaba en sí mismo, ya ha sido señalado en la introducción, así como la decisión de utilizar la noción teórica de “medio” para realizar dicho análisis. 
Por tanto la elección inicial de nuestro trabajo, como compromiso con el grupo del SIIDM para estas Jornadas, identifica al “medio”:  
•	Como instrumento de investigación y de análisis, en tanto que concepto teórico propio de la Teoría de Situaciones, y diferenciador respecto a otras aproximaciones metodológicas. .
Las conclusiones de la primera aproximación a las lecciones realizadas desde la problemática del profesor,  que acabamos de presentar en el apartado precedente, muestran una necesidad de instrumentos de análisis didácticos, por parte de los enseñantes. Creemos que el “medio” puede ser uno de estos instrumentos, y nuestro trabajo pretende mostrar esta caracteristíca del “medio””:
•	Como instrumento de descripción/ comprensión del desarrollo de la situación y ayuda en la gestión, para los profesores
La utilidad metodológica que Brousseau (1986) atribuye a este instrumento, será ilustrada a lo largo de nuestro trabajo, y contrastada en nuestras conclusiones:
•	Para mostrar en cada momento de la relación didáctica, las condiciones de aceptación por los alumnos del juego propuesto por el enseñante
•	 Para mostrar las etapas del “contrato didáctico”

B1. NIVELES DE ESTRUCTURACION DEL MEDIO
B1.1.- El modelo
	Los diferentes papeles del profesor y del alumno, así como los diferentes funcionamientos del saber o de los conocimientos en juego en la relación didáctica son representados por G. BROUSSEAU, en su aproximación sistémica, a partir de la distinción de diversos niveles de estructuración del subsistema “medio”.

Representación de la estructuración del “medio” didáctico: Esquema-I

                           SITUACION OBJETIVA (M5 – S5)  M4

                                      SITUACION DE REFERENCIA (M4 – S4 ) M3  
                                        
                           SITUACION A-DIDACTICA (M3 – S3)  M2

                           SITUACION DIDACTICA ( M2 – S2/P2)   M1

                           SITUACION META-DIDACTICA (M1- S1/P1)                                   

		

M5

S5

M4

S3

S1

S4

M3

P1

M2

S2

  P2

M1

M5: MEDIO MATERIAL                                   S5:SUJETO ACTOR
M4: MEDIO OBJETIVO                                    S4: SUJETO ACTUANTE
M3: MEDIO DE REFERENCIA                        S3: SUJETO EPISTEMICO
M2: MEDIO DE APRENDIZAJE                      S2: SUJETO ALUMNO  
                                                                            P2:PROFESOR 
M1: MEDIO DIDACTICO                                 S1: SUJETO UNIVERSAL
							     P1: PROFESOR

											
Vamos a utilizar básicamente esta representación y el esquema propuesto por BROUSSEAU (1986), con el detalle por niveles hecho por J. CENTENO, para tratar de identificar los diferentes elementos que caracterizan la noción de “medio”, en cada uno de esos niveles; si bien esta representación ha sido retomada por el propio G. Brousseau posteriormente (1988, 1989, 1991) introduciendo algunos ligeros cambios de nomenclatura y algunas precisiones que también pueden aparecer en nuestro análisis, puesto que se han ido integrando en la noción de medio completándola y precisándola. sin embargo no tendremos en cuenta la reformulación y el cambio de representación del medio en forma de tabla de doble entrada, propuesta por Margolinas (a partir de 1993). 

•	Una primera caracterización de la noción de “medio”, según Brousseau.
Antes de analizar los diversos elementos que constituyen la representación del medio, vamos a citar dos referencias de Brousseau, que creemos presenta una primera aproximación a la noción de “medio”, que no exige de ninguna otra noción teórica para su comprensión, y nos va servir como introducción y presentación de este complejo concepto teórico.

“El medio como conjunto de condiciones exteriores en las cuales vive y se desarrolla un individuo humano, juega un papel importante en la determinación de los conocimentos que el sujeto, su antagonista, debe desarrollar para controlar una situación de acción. Las teorias modernas le asignan un rol fundamental en los aprendizajes” (Brousseau, 1988) 

“El medio, sea físico, social, cultural u otro juega un papel en la utilización y el aprendizaje de los conocimientos por el enseñante o por el alumno, se le solicite o no en la relación didáctica. (...). La teoría de situaciones no toma como objeto “medio” el universo en su conjunto: esta ambición holística absoluta sería evidentemente condenada de antemano. Modeliza solamente el entorno específico de un saber o de uno de sus aspectos. Pero esta modelización es necesaria porque los conocimientos de los alumnos y de los profesores funcionan manifiestamente de forma diferente de los saberes sabios correspondientes.” (Brousseau, 1988)

•	Elementos del modelo en la aproximación sistémica.
Vamos a presentar en este subapartado algunos de los elementos más representativos de la modelización de la relación didáctica en la teoría de situaciones, y particularmente del “medio”. 
La relación didáctica es decrita habitualmente por Brousseau, como una relación entre dos “partenaires” - el enseñante y el alumno -, y un saber. El enseñante y el alumno pueden ser identificados como subsistemas del sistema fundamental sus relaciones con el saber serán determinadas por sus interacciones y  éstas son modelizacidas por Brousseau en términos de la teoría de juegos, como “la actividad de uno de los subsistemas”  a partir de las definiciones de juego formal, partida, estrategia,  etc. 
No vamos a insistir en todas estas definiciones formales, solo vamos a identificar algunos elementos de este modelo: los “conocimientos”, la “situación” y el  “medio”.
“Los  “conocimientos” del jugador aparecen, en las estrategias y en los cambios de estrategias, como medios de ganar las partidas o de mejorar la solución. Una decisión del jugador puede ser interpretada por un observador:
-	como el resultado de una antigua estrategia elegida: haya sido ésta aprendida espontaneamente, o haya sido enseñada al jugador.
-	o como una improvisación nueva, sea al azar, sea el resutado de una reflexión y/o de una información exterior contemporanea de la decisión.(...)
Una “situación” es una “interacción Juego-Jugador-Conocimiento”. 
“ El “medio” es un juego o una parte del juego que se comporta como un sistema no finalizado. (...) [Esta es la definición de “milieu” dada por Borusseau (1988), pero queremos añadir a continuación, algunas explicaciones suyas que la completan]
Es un sistema antagonista (respecto al jugador) que modifica los estados del juego de manera no controlada por el jugador. Este sistema, es tanto para el jugador como para el observador, una modelización del entorno y de sus respuestas pertinentes para el aprendizaje en curso. No es más que una parte de la situación.”
Veremos más adelante, al aplicar la noción de medio en el análisis didáctico, como se aplican estas definiciones.
Por último, vamos a reproducir la semántica que Brousseau le atribuye a este modelo, como un elemento más de aproximación a esta modelización:
“ Con estos elementos se quiere construir modelos: se trata de representar de manera más o menos precisa y realista la evolución de una relación de aprendizaje o de enseñanza, es decir la sucesión “histórica” contigente, de los hechos considerados como pertinentes y en los que están implicados los actores de esta situación. 
Los modelos “deben” establecer interacciones entre los actores, enseñantes y enseñados ( por el modelo minimal), y los conocimientos (y los saberes) “en juego” aparecen como las condiciones del desarrollo optimal estable (reproductible) de la interacción.” (Brousseau, 1988)

B1.2.- Consideraciones respecto del modelo y de su representación.
Retomando la representación del Esquema-I, de la estructuración del medio didáctico, queremos establecer unas consideraciones previas al análisis pormenorizado de cada nivel.

•	Diferenciación entre medios didácticos y medios no didácticos. Diferentes medios, diferentes sujetos que interaccionan con ellos
Una primera diferenciación aparece entre los diversos niveles, en función de la presencia o ausencia del profesor (representado por P1 o P2) interaccionando con ellos: niveles de funcionamiento didáctico (M2, M1) y niveles de funcionamento no didactico (M5, M4, M3).
 Esta presencia (o ausencia) es uno de los elementos básicos en el análisis didáctico para identicar tambien, el funcionamiento didáctico o no didáctico del sujeto-alumno, que sólo lo identificaremos, en este modelo, como tal alumno, cuando se halle en presencia del profesor, interaccionando ambos sobre un mismo nivel del medio (S2 y S1). 
Hay que señalar que frecuentemente la intervención del profesor re-envia al alumno a otras posiciones no didácticas  del medio (como sujeto S5, S4 o S3).
Por lo tanto, en la modelización, los sujetos Si que interaccionan con cada uno de los niveles del medio Mi, corresponden a posiciones o interacciones diferentes del alumno, con estos diferentes niveles del medio representados por Mi .
	
•	La dialéctica entre medio y situación
En la representación del modelo, la situación viene definida por las intreracciones de un sujeto Si (el sujeto-alumno en posición Si) con un medio Mi determinado, y se representa por tanto como el  binomio (Mi-Si), pudiendo aparecer tambien el profesor Pi, como hemos señalado anteriormente. 
Este binomio-situación (Mi-Si) se convierte a su vez en un nuevo nivel del medio, que se representa por Mi-1, siempre que sobre ella interaccione un sujeto Si-1. Por tanto, en presencia de Si-1, la situación (Mi-Si) se identifica con el medio Mi-1 . Si  no se considera ningun sujeto interaccionando con ella, sino que se quiere analizar dicha situación en sí misma, se sigue considerando como el  binomio (Mi-Si). 
Y a su vez, el medio Mi se puede considerar o analizar  como elemento sobre el que interacciona Si , en el marco de una situación que le engloba (Mi-Si).
En consecuencia, podríamos definir un determinado nivel del medio (por abuso de lenguaje “un medio”) como una situación sobre la que interacciona un determinado sujeto, y que a su vez puede ser considerado en el interior de otra situación  que lo engloba como elemento constitutivo de su definición-binomio.

B2. Identificación de cada nivel del medio, y aplicación práctica en el análisis de las lecciones del “Peso del recipiente”.
La caracterización teórica de cada uno de los niveles del medio, y de cada una de las situaciones que se pueden considerar como elementos diferenciados en una relación didáctica, la vamos a presentar y a analizar a partir de la definición del medio Mi en el seno de una situación que la engloba y que representa el nivel i-1. 
A su vez el esquema gráfico de representación mostrará la definición del medio Mi  mediante la identificación de la situación (Mi+1-Si+1), al actuar sobre ella Si.
Esta elección pretende reforzar la comprensión de la dialéctica medio-situación que acabamos de señalar.

•	El medio material y la Situación objetiva

  S5

M5

M5: MEDIO MATERIAL					S5: SUJETO ACTOR

El medio material : M5
Es la situación propuesta al alumno, y cuya solución es el saber oficial, el saber cultural institucionalizado, pero que aparece re-contextualizado en una situación concreta para unos alumnos concretos (en el sentido que Brousseau utiliza el termino “re-contextualización” para identificar la transposición didáctica, a través del trabajo matemático del alumno y del profesor en la relación didáctica).
	
El medio material en la 1ª lección observada
	En un instante t0, , en el instante previo, antes de comenzar la lección, el medio material  M5 es la situación que se le va a presentar al alumno, y que en este caso consta de los siguientes elementos:
-	Las consignas:  tal y como estuvieran preparadas en la ficha didáctica de elaboración de la lección (C1 y C2)
-	Actos o acciones del profesor: Preparar la tabla de recogida de datos, previones y pesadas, de los alumnos. Está escrita en la pizarra antes de comenzar la lección.
-	El material: 1 balaza Roberval, 1 cubo lleno de agua, 1 recipiente vacio ligero de material plástico (alrededor de 60gr. de peso)

En un instante t1, una vez iniciado el desarrollo de la actividad prevista, en el medio material  M5  encontramos:
-	Consignas:  tal y como estuvieran dichas por la profesora en la lección observada.  (C1 y C2). 
C1: “Teneis que adivinar el peso de un recipiente con agua”
C2: “Vamos a pesar el recipiente ¿qué peso pensais que vamos a encontrar?”
En este caso son las consignas que conocemos, y que constan en la transcripcción de la observación, y lo que desconocemos es la redacción de las consignas en la ficha de preparación de la lección.
-	Actos 1: “Coger un vaso, llenarlo de agua y vaciarlo en un recipiente.

El sujeto "actor" del medio material: S5
 	Es el sujeto presente en este medio material: es el actor de la situación o del problema.
	Sus razonamientos están fijados por el contexto dado, por la lógica interna de la situación, por lo tanto están condicionados por las necesidades de los conocimientos matemáticos en juego, pero a la vez deben ser comprensibles para los alumnos a los que la situación va destinada, y permitir así su devolución.
Incluso cuando los actores de la situación son niños y simulan el funcionamiento de los razonamientos infantiles, se trata siempre de razonamientos matemáticos en la lógica interna de la situación y en función de las necesidades didácticas de la comprensión de la situación.

El sujeto "actor"  S5 del medio material de la 1ª lección observada
	Es el actor virtual, que cuando el enseñante prepara su lección debe tener en cuenta, para conseguir la devolución o aceptación por parte del alumno de la situación (en el proceso de personalización de la transposición). 
	S5 interacciona con la consigna C2 y el Acto 1 efectuados por el profesor : es el sujeto genérico que tiene que adivinar el peso del recipiente con 1 vaso de agua.

M5 - S5 : La Situación objetiva
Las interacciones del binomio (Medio material- actor material) constituyen la situación objetiva, siempre bajo el control del saber matemático oficial, ya que la situación es justamente la modelización del saber matemático a “enseñar” y a “aprender”.

 La Situación objetiva de la 1ª lección observada
	Las interacciones M5 - S5  : “El alumno virtual que tiene que adivinar el peso a través de C2 y de Acto 1. Tiene que dar una respuesta.”
	Es una situación de acción, en el marco de una situación didáctica, ya que Acto 1 y C2 son efectuados por el profesor P y es el profesor el exige una respuesta del alumno

Primeras consideraciones didácticas
	 Tras esta primera identificación de la lección realizada, nos han surgido  una serie de interrogantes:
-	¿Qué rol juega la consigna C1 en el medio material  M5 ?
-	¿Es necesaria? ¿Podría considerarse un efecto Jourdain?
-	¿Qué persigue el enseñante con la consigna C1? ¿Anuncia a los alumnos el objetivo global de la lección? ¿ Cúal es ese objetivo?
Hipótesis 1: El enseñante apunta la existencia de un posible método general. Pero ese método:
-	¿Se refiere a la modelización matemática, o posibles métodos matemáticos?
-	¿o al método científico?

•	El medio objetivo y la Situación de referencia

		

S5

  M5

M4

  S4

M4: MEDIO OBJETIVO						S4: SUJETO ACTUANTE

El medio objetivo: M4
	Es la situación objetiva, que pasa a considerarse medio objetivo, cuando interviene sobre ella un actor particular S4, interaccionando ambos en el marco de una nueva situación, que denominaremos situación de referencia.

El medio objetivo de la 1ª lección
	La situación objetiva (M5 - S5) en el instante t1 de la lección, se convierte en el medio objetivo, el nuevo medio antagonista, sobre el que actuará un nuevo sujeto, esta vez el sujeto S4 , el alumno en posición de sujeto actuante. 

El sujeto "actuante" sobre el medio objetivo: S4
Es el actor particular, que fundamentalmente actúa sobre la situación o el medio objetivo en interacción con él, pero que también aprende.
	
El sujeto "actuante" de la 1ª lección
	Es el alumno que escribe su estimación. Es el momento en el que debe funcionar la devolución, pudiendo observarsse distintas posibilidades:
-	El alumno no da ninguna respuesta (no existe devolución alguna de la situación).
-	El alumno da una respuesta: 
-	Al azar: ha aceptado la devolución del carácter de juego de la situación.
-	Realizando una estimación: lo que exige una cierta movilización de los conocimientos del alumno sobre las unidades de medida, el orden de magnitud y el sistema de numeración decimal posicional.
Este alumno, en posición de sujeto actuante, no tiene elementos de control sobre la situación objetiva con la que interacciona y que se ha convertido en su medio objetivo: el azar será la estrategía de base esperada.

M4 - S4 : La Situación de referencia 
Las interacciones del binomio M4 - S4, constituyen la situación de referencia, donde los saberes oficiales presentes en el nivel precedente (en la situación objetiva), coexisten ahora con los saberes y los conocimientos existentes en los niños ( el “sujeto actuante”). 
	Para actuar el niño compromete en la acción sus saberes y conocimientos personales: se trata del razonamiento en tanto que producción personal y que moviliza los saberes y los conocimientos aprendidos por el niño, tanto en la escuela (conocimientos y saberes oficiales) como fuera de ella.

La Situación de referencia de la 1ª lección.
	En el instante t3 hay una nueva acción, esta vez de un alumno que realizada la pesada del recipiente con un vaso de agua y anota en la pizarra el resultado. 
El profesor reaparece, esta vez en clara posición de P2, :
-	Introduciendo una nueva consigna C3: “¿Quién ha encontrado el valor exacto?, ¿quién ha encontrado más?, ¿quién ha encontrado menos?”
-	Realizando nuevas acciones: anotando en la pizarra, los valores propuestos por los alumnos, en un pseudo-histograma de frecuencias..
Estamos de nuevo en una situación didáctica, que cambia el medio material M5 de la situación con la que el alumno genérico debe seguir interactuando: en este nuevo medio M5, se encuentra el medio material anterior al que hay que añadir la consigna C3 y las acciones del profesor. 
Sin embargo el sujeto material S5 no varia, sigue siendo el alumno virtual que debe ejecutar la situación.  
El nuevo binomio (M5 - S5), define una nueva situación objetiva que se convierte en un nuevo medio objetivo M4 con el que el sujeto actuante S4 debe interaccionar.
 En este instante t3 el sujeto actuante S4 es el alumno que compara su resultado, su previsión inicial con la pesada realizada. 
Esta comparación define una nueva situación de referencia (M4 - S4) que puede marcar la aparición de una nueva posición del alumno, como sujeto S3  epistémico, en interacción con el nuevo medio de referencia  M3, en el que se ha convertido la situación de referencia.

•	El medio de referencia y la Situación a-didáctica

		

M5

S5

M4

 S3

S4

M3

M3: MEDIO DE REFERENCIA			S3: SUJETO EPISTÉMICO

El medio de referencia : M3 
	Es  la situación de referencia (M4 - S4), que se convierte en el medio sobre el que actúa el sujeto epistémico S3, en el marco de la situación de aprendizaje a-didáctica.

El sujeto "que aprende" sobre el medio de referencia: S3
	S3 se imagina actuando sobre el medio objetivo M4, entrevé las acciones de S4, es el “sujeto que aprende“, es el resolutor de problemas, pero también tiene relaciones más reflexivas sobre la Situación: sea para comunicar sus informaciones sobre la acción, sea para debatir su adecuación (situaciones de formulación o de prueba). 

M3 - S3 : La Situación a-didáctica
Las interacciones del binomio M3 - S3, constituyen la situación a-didáctica, en la cual el sujeto “aprende”: resuelve problemas, busca la comunicación de la acción realizada  y/o establece su validez, frente a los otros sujetos “que aprenden”.
Pero  los razonamientos de formulación y de validación, están todavía movilizados a un nivel privado. Será en el próximo nivel del medio - en la Situación de enseñanza - cuando estos razonamientos perderán su carácter privado, y deberán ser confrontados a los razonamientos oficiales que el enseñante tiene el deber de enseñar.

El medio de referencia y la situación a-didáctica de la 1ª lección
La comparación establecida por el alumno, ha definido una nueva situación de referencia (M4 - S4),  que puede marcar la aparición de una nueva posición del alumno, como sujeto S3  epistémico, como sujeto que puede “aprender” como resultado de esa comparación, interacción con el nuevo medio de referencia  M3, en el que se ha convertido la situación de referencia. 
¿Qué aprende, o qué puede aprender S3 en el instante t3 de la 1ª lección?: las ordenes de magnitud y las unidades
	El binomio (M3 -S3) define un posible momento a-didáctica de la lección, si el sujeto reflexiona despues de la comparación realizada y provoca una modificación de sus previsiones, de sus estimaciones, ajustando el orden de magnitud y/o las unidades de sus previsiones.

•	El medio de aprendizaje y la Situación didáctica

		

M5

S5

M4

S3

S4

M3

M2

P2

S2

M2: MEDIO DE APRENDIZAJE				S2: SUJETO ALUMNO
							P2: PROFESOR

El medio de aprendizaje :M2 
	La situación a-diáctica se convierte en este nivel, en el medio de aprendizaje. Es el medio sobre el que actúan de manera conjunta el profesor P2, y el alumno S2, en el seno de una situación didáctica. 
El sujeto “alumno” S2,, y el profesor P2, sobre el medio de aprendizaje  
	El sujeto “que aprende” se convierte en alumno, que reconoce lo aprendido, ante la presencia en este nivel  del profesor que es un actor que representa el texto del saber oficial, pero que debe tener en cuenta los conocimientos descubiertos por los alumnos, en la situación a-diáctica precedente.

M2 - S2 / P2  : La Situación didáctica
	La situación didáctica es el conjunto de interacciones S2 / P2 con M2, es decir, las interacciones con la situación de aprendizaje a-didáctica (es decir con el medio de aprendizaje), constituyendo una situación de enseñanza. 
	Este nivel didáctico está determinado por la presencia del profesor, lo que produce el paso a-didáctico/didáctico en la situación. 
 Por un lado:
•	El sujeto S2 se convierte en alumno, al ser reenviado por el profesor a la posición de sujeto epistémico en confrontación con la solución oficial, con el saber constituido.
•	El profesor marca el aprendizaje: es él quien tiene el proyecto de enseñanza, la responsabilidad de enseñar el saber oficial, solución de la situación de aprendizaje propuesta.
•	Es el contrato didáctico el que regula las obligaciones recíprocas entre los dos “partenaires” del juego didáctico - el alumno y el profesor - alrededor del saber, saber “a aprender” y saber “a enseñar”  respectivamente.

 El medio de aprendizaje y la Situación didáctica de la 1ª lección
	La lección que estamos observando, podría ser caracterizada como una situación didáctica con momentos a-didácticos, de los que acabamos de describir uno, ya que la presencia del profesor P2, está marcando los momentos de aprendizaje del alumno reenviándole constantemente de su posición como alumno S2, a posiciones S4 y S3, de sujeto actuante y aprendiz, provocando en él, nuevas estimaciones, comparaciones entre las pesadas realizadas y los valores propuestos por cada uno de ellos y posibles reflexiones y/o modificaciones de esas estimaciones, a través de sus consignas y sus acciones.
	En instantes posteriores ti se podrá observar este carácter didáctico de la lección.

Más consideraciones didácticas
La consigna C3 del enseñante en el instante t3 [ “¿Quién ha encontrado el valor exacto?, ¿quién ha encontrado más?, ¿quién ha encontrado menos?”]  muestran la confusión del profesor entre “valor exacto” y “valor medido” .
¿Qué quiere decir con valor exacto, cuando se refiere a una medida realizada?
Hipótesis 2: La pregunta, parece llevar implicito un error conceptual del enseñante sobre la medida:
Por su parte, la recogida de respuestas del profesor, anotando en la pizarra los valores propuestos por los alumnos, en un pseudo-histograma de frecuencias, utilizando la tabla diseñada en t0: ¿qué aporta en el desarrollo de la situación, al alumno y al profesor?
Hipótesis 3:  Para el profesor, la tabla es un instrumento de gestión didáctica de recogida de las respuestas de los alumnos.
Hipótesis 4: Para los alumnos, no aporta a priori ningun elemento nuevo para el desarrollo de la situación, pero puede inducir a error al confundir la respuesta correcta con la más frecuente.

•	El medio didáctico y la situación meta-didáctica

		

M5

S5

M4

S3

S1

S4

M3

P1

M2

P2

M1

S2

M1: MEDIO DIDÁCTICO					S1: SUJETO UNIVERSAL

								P1: PROFESOR

El medio didáctico : M1 
	Está constituido por la situación didáctica, al ser objeto de un trabajo reflexivo sea por parte del profesor P1, sea por parte del alumno S1.

El sujeto “alumno” S1,, y el profesor P1, sobre el medio didáctico
	El profesor P1, en este nivel, prepara, observa, juzga, etc. el medio didáctico, es decir realiza los análisis a priori y a posteriori de la situación didáctica. 
	El alumno S1, puede también observar, analizar, juzgar, etc. su propio aprendizaje o toda la dinámica de la situación didáctica; este análisis puede hacerse de una manera conjunta con el profesor.

M1 - S 1 /  P1 : La Situación meta-didáctica
	Las interacciones de la pareja P1/S1 actuando sobre el medio didáctico M1, definen la situación meta-didáctica.
	El tipo de trabajo que caracteriza este nivel del medio, es un trabajo reflexivo. Distinguiremos dos momentos diferenciados: la preparación del curso (por parte del profesor) y el análisis conjunto profesor-alumno de una situación didáctica vivida.

La Situación meta-didáctica de la 1ª lección 
	El momento de análisis conjunto profesor-alumno de la lección, no se recoge en esta observación. 
	El momento de la preparación del curso, en el que el profesor, en posición P1:
-	debe diseñar la situación
-	debe crear o imaginar S5, el sujeto actor de la situación y debe tener en cuenta las condiciones de ese alumno virtual al que va dirigida la lección, para hacer posible la devolución
-	proponer acciones para el alumno en posición de sujeto actuante S4, identificando a priori las estrategias de base de la situación
-	debe identificar las variables de la situación para poder provocar momentos de aprendizaje a-didáctico (independientes de la voluntad del enseñante, y producidos por las variables elegidas para el desarrollo de la situación) reenviando al alumno en posición S3 y permitiendo las modificaciones de las estrategia de base, y las adquisiciones de los nuevos conocimientos que el profesor 
-	y todo ello debe materializarlo en consignas y acciones, que serán las que pueden ser observadas, tanto a priori en la ficha didáctica, si existe, como a posterio. 
El análisis que acabamos de realizar en los ejemplos anteriores de los diferentes medios y situaciones de la lección observada, hemos podido identificar alguno de estos momentos, pero el análisis global de la situación debe tener en cuenta otros momentos ti  que aún no hemos descrito y que completarán la identificación de la lección.
Así mismo es en este nivel meta-didáctico de la situación, en que el profesor, en su práctica habitual de preparación de lecciones, toma en consideración los elementos que hemos expuesto en el apartado A de “Aproximación desde la problemática del profesor”.

2.- El “medio” como instrumento de análisis didáctico de las lecciones sobre la medida en CM.
Hemos utilizado los tres primeros momentos diferenciados de la situación ( ti , 1 = i = 3) , para poder utilizar como ejemplo los diversos niveles del medio. 
No obstante este primer ejercicio de reconocimiento de los diversos niveles del medio y las posiciones diferenciadas del alumno, según los medios con los que interactua, ya nos ha permitido realizar algunas consideraciones didácticas que hemos apuntando. 
Vamos a continuar nuestro análisis de la 1ª lección, no de modo tan rígido como hemos venido haciendolo por la necesidad didáctica que imponía la presentación del instrumento de análisis, sino marcando sólo los momentos direnciados, en que nuevas acciones o consignas del enseñante provocan cambios en los diversos niveles del medio y las consideraciones didácticas que se deriven del análisis.
En el momento t4: El profesor añade 2 vasos de agua y se repite el proceso descrito anteriormente.
M5: Añade al medio material del momento t3 , la comparación efectuada por el alumno por indicación del  profesor, y la presencia de doble cantidad de agua en el recipiente que en t1. 
M4: Permite la aceptación de la devolución del juego más rápida y facilmente (tiene un elemento de referencia, que es la pesada realizada con un vaso de agua).
S4:El sujeto actuantettiene más elementos para tomar una decisión y producir su respuesta. su estimación estará más acotada.
Se prevé la utilización del modelo proporcional como estrategia de base.
M4-S4: La nueva situación de referencia, marca la pérdida del carácter de juego de la situación y exige una primera modelización matemática.

	En el momento t5  : Nueva pesada de un alumno (con los dos vasos de agua en el recipiente), con presencia del profesor y nueva recogida de datos en la tabla. 
P2: El profesor está presente y dirige este momento, que nuevamente reenvia S2 a posiciones S4 y S3.
S4: Vuelve a realiza una comparación entre el valor hallado en la pesada y su nueva estimación 
S3: El alumno, en medio a didáctico producido por la comparación realizada, puede reubicarse en posición de sujeto que aprende, pudiendo cuestionar el modelo proporcional y puede empezar el proceso de ruptura de este modelo.

	En los momentos ti  , i = 5 : Se realizan nuevas pesadas con 3, 4 vasos de agua y repetición de los procesos.
 	Se supone que el aumento del número de comparaciones entre las estimaciones y las medidas, va a provocar la posición del alumno en S3, como sujeto que aprende, cuestionando el modelo proporcional, buscando, ensayando y aprendiendo nuevos métodos.
	Se carece de información en la transcripción de la lección , sobre los resultados de las estimaciones y la posible evolución de las estrategías y los momentos de ruptura del modelo proporcional. El pseudo–histograma con las estimaciones de los alumnos, no se retoma en cada momento de la transcripción.
	Si se ven aparecer en algunos alumnos, según la trnscripción, métodos que deberían proporcionar respuestas exactas, pero siguen sin proporcionar éstos resultados que coincidan con las pesadas realizadas, con el consiguiente desconcierto y disgusto de estos alumnos, que aparecen bastante seguros de su método y no entienden donde puede estar el fallo.
	Queremos resaltar diferentes actuaciones del profesor P2, que refuerzan a identificación del carácter didáctico de la situación, en constante dialéctica con momentos a didácticos que gestiona el enseñante:
P2:  Corta los comentarios de algunos alumnos, en la situación didáctica, sobre la necesidad de cambiar de estrategia, al ver aparecer en otros alumnos algunos métodos de resolución. 
Esta actuación del enseñante marca su voluntad de querer prolongar el carácter a didáctico de la situación y los momentos de búsqueda de soluciones y aprendizajes individuales de los alumnos, reenviadolos desde sus posiciones de alumnos en S2 a las posiciones S4 y S3 una vez más, sin más informaciones adicionales que sus propias reflexiones.
P2 : Anuncia que existe un método para poder predecir el peso exacto: la situación didáctica deja definitiivamente de ser, en ese momento, un juego.
 	P2, con esta nueva consigna, refuerza la idea de que el encontrar un método “correcto” va a proporcionar la coincidencia entre la estimación y la pesada.
P2: Conduce una fase de debate sobre las diferencias entre las estimaciones calculados con fórmulas y métodos diversos y los resultados de las pesadas, pero este debate no resuelve los conflictos.

C. Conclusiones

C1. Conclusiones del análisis Didactico realizado
•	El instrumento elegido nos ha permitido identificar diferentes momentos de la devolución de la situación y algunas posibles rupturas de contrato

Respecto la identificación de M5 en un instante t0 y el cuestionamiento de la consigna inicial, tras el análisis realizado, podemos plantear los siguientes elementos de respuesta:
•	El conocimiento matemático que la situación modeliza, es la función afín (a través de la ruptura de la estrategia de base del modelo proporcional)
•	La experimentación funciona, para el enseñante, como una estrategia didáctica para provocar la ruptura
•	Existen dificultades, para el enseñante, en la gestión de la experimentación, atribuida por éste a los errores de medida

El análisis y caracterización de los diferentes niveles del medio pone de manifiesto:
•	Que la experimentación planteada, no es solo una esrtategia de aprendizaje, sino un conocimiento que exigiría su transposición y modelización en la situación, junto a la del contenido matemático en juego.
•	 el método científico, el error de la medida es algo que forma parte de su propia estructura. No se trata de evitarlo, si no de racionalizar su magnitud.
•	La situación debería modelizar, por tanto, el funcionamiento del método científico. (Ver esquema Método científico).

ESQUEMA METODO CIENTIFICO

					     MODELIZACION 
					     MATEMATICA

      METODO CIENTIFICO
										INSTRUMENTOS
										(Tecnologia)
					       METODO
					        EXPERIMENTAL

										TRATAMIENTO
										DEL ERROR
										(Estadística)

				       						
•	Una posible solución a estas dificultades exigiría:

Diseñar esta modelización del método cientifico, en la situación didáctica, como juego de interacciones entre modelo teórico y resultados experimentales, suponiendo un tratamiento matemático del error (mediante la estadística)

Las dificultades de gestión respecto al error en la relación didáctica, reproducen las dificultades históricas en la génesis del método científico: la reducción de los datos experimentales a leyes o la dedución de leyes desde primeros principios, constituyen dos esferas de actividad que solo van a fundirse cuando la exactitud de las medidas, pueda ser abordado mediante un tratamiento matemático del error, no resoluble mediante el aumento de la precisión de los aparatos de medida.

Una adecuación de la situación para alumnos de la ESO con conocimientos de funciones y de estadística que podría utilizar la recta de regresión, como ajuste de los datos experimentales obtenidos al modelo de la función afín, podría proporcionar una posible solución.

C2.. Limitaciones en el análisis global de las lecciones.

La complejidad del instrumento ha supuesto:

•	una presentación previa, que ha limitado la utilización como ejemplo

•	una limitación del análisis a una sola de las lecciones

•	una limitación del análisis de las estrategias a priori de los métodos de los alumnos en posición de actor S4 y sus modificaciones/aprendizajes en posición S3 (de sujeto epistémico), que sería necesario para completar un análisis desde la teoría de situaciones

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