“Gran N”, nº 50, pp. 65 a 87, 1991-92

EL PESO DE UN RECIPIENTE
ESTUDIO DE LOS PROBLEMAS DE LA MEDICIÓN EN CM*

Guy BROUSSEAU
Laboratoire de Didactique des Sciences 
et des Techniques, Université Bordeaux I
Nadine BROUSSEAU
Centre d'Observation et de Recherche 
sur l'Enseignement des Mathématiques
Ecole Jules Michelet, Talence

Traducción: Juan D. Godino
(Revisada por Marianna Bosch)

Entorno de las dos lecciones

	Las dos actividades que se describen a continuación forman parte de una secuencia de 30 lecciones sobre la medida en CM1. Son las sesiones 15ª y 16ª de esta secuencia.

1. Las catorce primeras se refieren a las medidas de longitudes, masas y tiempos (la medida de capacidades y de superficies se han dejado para el CM2).
	Se trata esencialmente, en estas primeras lecciones, de desarrollar las prácticas de medición en ámbitos nuevos, con instrumentos nuevos y con unidades nuevas.
	Se trata también de hacer apreciar:
-	el interés de disponer de un sistema de escrituras para representar, controlar y anticipar mediante el cálculo, las manipulaciones de las magnitudes,
-	la necesidad práctica de utilizar para una misma magnitud unidades diferentes,
-	el interés de disponer de una escritura canónica simple para cada cantidad de magnitud, y por tanto la ventaja de elegir, entre las unidades, razones constantes enteras y universales.
	Tradicionalmente, estos estudios son la ocasión de volver a tratar y reforzar los conocimientos sobre el sistema decimal de numeración de los naturales mediante la presentación del sistema decimal de medida. No es inútil para esta visita utilizar nuevos recorridos.
	Efectuar una medición consiste en la realización concreta de una secuencia de tipos de divisiones en las que los divisores sucesivos son las unidades decrecientes utilizables y en las que los dividendos son los restos sucesivos. Esta representación es totalmente útil para comprender los cambios de unidades y de relaciones entre el tamaño de las unidades elegidas para una medición y el de los números obtenidos.
	De este modo, estas catorce secciones permiten repasar, tanto el estudio de las unidades legales, como las bases de la numeración de posición y los principios de los cambios de unidades y de las conversiones. Permiten de igual modo introducir casi paralelamente la base 10 y la base 60, como aplicación de esta reflexión fundamental.

2. Las lecciones que siguen a estas dos actividades van a permitir ampliar las concepciones obtenidas en relaciones efectivas de los alumnos con un “microespacio” a la concepción de medidas directas o indirectas de objetos de gran tamaño (longitud: dm, hm, km; peso: quintales, toneladas) y a escalas de orden de magnitud mucho mayores: de 1 a 108 para las longitudes, de 1 a 1011 para los pesos. 
 	La coma se introduce tres lecciones más tarde como notación que permite escribir una medida indicando para ella solamente una “unidad”.  No se trata, claramente, de creer que el uso de estas escrituras de medidas con coma dispensa a los alumnos de una verdadera construcción de los decimales. En la escuela Jules Michelet, la construcción de los decimales como conjunto de números, de razones y de aplicaciones lineales se efectúa en el CM2 mediante una secuencia de lecciones que siguen un proceso bien conocido.
	Las tres últimas lecciones de esta progresión se dedican a la comparación y al orden de estas medidas decimales.
	El estudio se termina en CM1 con lecciones clásicas en las que se proponen a los niños problemas de adición, de multiplicación por un entero, y de sustracción. (El informe se encuentra en "Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire" de N. y G. Brousseau -actividades 1, 2, 3 del módulo 6, de la página 100 a la 106).
	
3.  Las dos lecciones descritas a continuación tienen dos objetivos:
(a)	El primero consiste en hacer que los niños encuentren el peso de un recipiente vacío, conociendo el peso del recipiente lleno y el del contenido. Habíamos observado, en el transcurso de numerosos ejercicios y durante varios años, que muchos niños de este nivel tienen dificultades para resolver este problema en el caso muy particular en el que el recipiente es indisociable de su contenido: por ejemplo, un vaso lleno de agua, y de manera más general cualquier recipiente que contenga un líquido, granulados, arena, ...
Los resultados de la segunda etapa de la actividad 15 nos han confirmado esta idea.
Es evidente que el problema es diferente para los niños cuando se pueden pesar los objetos independientemente del continente (por ejemplo manzanas en un cesto). En el curso de esta experiencia, los niños han tenido bastante dificultad en disociar el recipiente vacío de agua y en tomar en consideración el peso del recipiente.
(b)	El segundo objetivo, más general, consiste en presentar a los alumnos el problema de la desviación entre:
-	de una parte, las manipulaciones y las observaciones,
-	de otra, las previsiones y los cálculos numéricos.
Esta desviación entre las previsiones calculadas de una medida y el resultado efectivo de la medición correspondiente es un índice a tener en cuenta en una situación de acción. Para el sujeto, la cuestión que se plantea es la siguiente: ¿esta desviación pone en entredicho o no mi modelo de acción y las decisiones que se derivan de él?
Lo examinaremos después como un problema de validación: “un hecho curioso que se debe explicar o ignorar”.	Este examen debería tener lugar bastante antes que la construcción de los decimales no permita descalificar la cuestión y evitarla mediante la huida habitual.	Se permite a los alumnos pensar que, puesto que se pueden expresar con los decimales diferencias tan pequeñas como se quiera, los errores (de medida, de redondeo) se pueden hacer también tan pequeños como sea necesario hasta ser despreciables (la expresión decimal representa a la vez la medida y su precisión).	Esta cuestión no debería poder ser evitada en un proceso de aprendizaje adidáctico.
	En la secuencia de actividades, se encuentra el esquema, ya clásico, de las situaciones adidácticas con las fases	- de acción (aquí situaciones de medición, de anticipación),	- de comunicación (que ponen en evidencia estrategias),	- de comparación y de elección de estrategias que llevan a la validación de los resultados obtenidos,	- de institucionalización, en el curso de las cuales la maestra revela a los niños el carácter cultural de los saberes de los que ellos ya se han apropiado (en el curso de las diferentes experiencias que se han hecho) y que deben utilizar de aquí en adelante.	Estos métodos permiten establecer progresivamente los mecanismos de la medición y del cálculo, aprendizaje que debe ser acompañado de reflexión y de razonamientos.

Descripción de las dos actividades

LA MEDIDA: 15ª ACTIVIDAD
ENCONTRAR EL PESO DE UN RECIPIENTE VACIO (1ª parte)

I. MATERIAL
- 1 balanza Roberval,
- 1 cubo lleno de agua,
- 1 recipiente vacío y ligero de plástico (aproximadamente de 60 g)
   (una caja transparente comprada en el comercio)
- 1 caja de pesas de metal,
- 1 vaso.

II. PREPARACIÓN DE LA CLASE

1. La pizarra.
Antes de la lección, la maestra prepara la pizarra de este modo:
Cálculo sobre las pesas	Nº de        Peso
vasos        total
de agua	Explicación esquemática	Previsiones	
100g
hg	10g
dg	1g
g	Total	1 ....

2 ....
3 ....		1.-- - 
2.-- - 
3.-----------
4.-----------	

							

2. El material se dispone delante de los niños:
* sobre una mesa delante de los alumnos, la maestra ha colocado:
- la balanza de Roberval y los pesos,
- el recipiente de plástico,
- el vaso.
* en el suelo, el cubo lleno de agua.

III. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
	Comprende cuatro etapas:

1. Primera etapa

Consigna
“Tenéis que adivinar el peso de un recipiente con agua”.
La maestra toma el recipiente vacío y el vaso, que llena de agua. Vacía el agua del vaso en el recipiente.
“Vamos a pesar el recipiente. ¿Qué peso pensáis que vamos a encontrar? Escribid vuestra previsión en el cuaderno”

Desarrollo

	- Previsión (el recipiente y el vaso de agua).
	Cada niño hace su previsión y la escribe en su cuaderno.

	- Verificación
	Cuando todos los niños han terminado, la maestra pide a uno de ellos venir a realizar la pesada con la balanza Roberval y los pesos de metal, delante de los compañeros.
	Cuando la balanza está en equilibrio, el niño que acaba de hacer la pesada lee el resultado (enumerando la relación de pesas en la pizarra) a un compañero que marca estos pesos en la parte izquierda de la pizarra preparada con ese fin: “cálculo sobre las pesas”.
Ejemplo
Cálculo sobre las pesas	
100 g
hg	10 g
dg	1 g
g	Total	
2	2	8	228 g	

- Recogida y presentación de las estimaciones
La maestra escribe 228 g y pregunta:
“¿Quién ha encontrado el valor exacto?”.
“¿Quién ha encontrado más? ¿Quién ha encontrado menos?”,
y escribe ella misma los valores dados por los niños en la parte derecha de la pizarra: “previsiones”, línea 1, en un orden creciente, así como el número de niños que han previsto estos valores.

Ejemplo

Previsiones
_____________________________________________________
	25 g	80 g		125 g			450 g
1     ____|_______|________________|___________________|___________
          1         3                    5                                       2  
2     ______________________________________ 	
3     ______________________________________
4     ______________________________________

“¿Quién había previsto entre 80 g y 125 g?” (5 niños).
“¿Quién había previsto entre 125 g y 450 g?” (2 niños) ...

	Estos números indican los extremos de los valores propuestos por los niños
	25g		80 g		125g			450 g
     _____|______________|_______________|____________________|______________
         1                3                            5                              2
	Estos números indican el número de niños que han respondido en estos intervalos

línea 1
Observación. Los niños han quedado sorprendidos en esta primera etapa: en efecto, dicen que les ha sido muy difícil, casi imposible, encontrar el peso del recipiente con agua y que han dado un número al azar.

2. Segunda etapa
	Esta segunda etapa se desarrolla como la primera: la maestra llena de nuevo el vaso (es necesario que esté bien lleno) y lo vacía en el recipiente que contiene aún el primer vaso de agua.

Consigna
“¿Qué peso prevéis ahora para el recipiente? Anotad este peso en vuestro cuaderno”.

Desarrollo
- Previsión (el recipiente y dos vasos de agua).
Los niños escriben sus previsiones.

- Recogida y presentación de las estimaciones.
Como en la etapa precedente, la maestra recoge las estimaciones (antes del control de la pesada):
“¿Cuánto has encontrado tú?” pregunta a uno de los niños.
“¿Quién ha encontrado menos? ¿Cuánto?”
“¿Quién ha encontrado más? ¿Cuánto?”
y escribe los números en la parte derecha de la pizarra, línea 2 (debajo de la línea 1 anterior).

línea 1

		25g		80 g		125g			450 g
   _____|______________|_______________|_____________________|______________

línea 2
	__|____________|____________|__________________|____________

Se obtiene de este modo una especie de histograma.

	- Verificación
	Como en la primera etapa, la maestra pide a uno de los niños venir a pesar el recipiente mientras que otro escribe en la parte de la derecha de la pizarra (cálculo con las pesas) las pesas enumeradas por su compañero.
	Estos pesos se marcan debajo de los de la primera pesada, en la primera etapa.

Ejemplo
Cálculo sobre las pesas	
100 g
hg	10 g
dg	1 g
g	Total	
2	2	8	228 g	
3	8	3	383 g	
Comportamientos observados. Muchos niños han duplicado el primer peso (2282), pero otros tratan de corregir su previsión. Ningún comentario... la pesada indica esta vez 383 g. Comparación con las previsiones de los alumnos... algunos convencidos dicen: “¡Ya lo he entendido!”.

Observación. La maestra no resalta ninguno de los comentarios de los niños. Les dice: “No digáis nada, cada uno va a tratar de hacer una buena previsión. ¡Dejad a los demás el placer de descubrir y comprender por sí mismos! Al comienzo, esto era una adivinanza, pero pronto, vais a poder prever exactamente. ¡Continuemos!”

3. Tercera etapa
	El desarrollo es el mismo que el de la segunda etapa:
a)	La maestra vierte un tercer vaso de agua en el recipiente.
b)	Los niños hacen previsiones que se recogen en la parte derecha de la pizarra (línea 3).

Comportamientos observados
i) Ya en esta ocasión, una decena de alumnos restan el primer resultado del segundo y le añaden la diferencia:
383 - 228 = 155
155 + 383 = 538

ii) Otros “manipulan sus números”.
iii) Dos o tres multiplican de modo imperturbable por 3 el primer valor.
 
c) Verificación mediante la pesada.
	Un niño acaba de hacer la pesada indicando las pesas y el total en la parte izquierda de la pizarra, línea 3: ¡553 g!
	Los niños que habían hecho los cálculos i) anteriores y que estaban casi seguros de haber calculado bien se asombran, y se decepcionan. Tienen un sentimiento de injusticia.
	Un alumno ha propuesto el valor exacto; los otros le presionan para que diga cómo lo ha hecho:
“He visto que la aguja estaba más bien por allá, así que he reflexionado …”
¡Es el mejor, ha ganado! La maestra resiste la tentación de imponerle “la explicación”.
	El juego de adivinanza continúa.

4. Cuarta etapa
a) La maestra vierte un cuarto vaso de agua en el recipiente.
b) Los niños hacen previsiones escritas.
c) Recogida de previsiones
	La maestra recoge una primera previsión de un niño y pregunta: “¿habéis previsto todos el mismo peso?”.
	Recoge una segunda previsión de otro niño. “¿Quién hizo una previsión parecida?”
d) Debate
	Antes de recoger las restantes estimaciones, la maestra pregunta a los niños quienes están seguros de su previsión y por qué han elegido ese número.
	Les propone discutir, para tratar de saber quien tiene razón, y de exponer su método antes de hacer la pesada. Les dice igualmente que después del debate, podrán cambiar su previsión si quieren. Los niños discuten: en este momento, muchos han encontrado UNA previsión, un número único por un razonamiento correcto, y saben explicarlo. Pero cierto número de niños  (muy pocos) no están convencidos: dicen todavía que hacen la previsión al azar y que “eso marcha” y que no se quieren dejar convencer por el razonamiento de sus compañeros.

e) Rectificación de las previsiones
     La maestra detiene la discusión: los niños que lo desean rectifican el peso que habían marcado sobre su cuaderno.

f) Verificación
	Un niño viene a hacer la pesada y a escribir las pesas y el total en la parte izquierda de la pizarra, línea 4.

Observación. Los alumnos comprenden progresivamente que el cálculo no da forzosamente el valor dado por la balanza. Los alumnos que han utilizado este método de previsión lo explican y se sublevan por no tener éxito. Una alumna tiene en cuenta todos los elementos esenciales del problema de una manera que parece racional, se comunica bien. 
	Los alumnos que no lo habían encontrado, lo utilizan para comparar, la comprenden.

5. Previsión del peso del recipiente vacío
a)	La maestra propone en primer lugar vaciar un quinto vaso para los niños que deseen utilizar el método enunciado anteriormente por sus compañeros... (mismo proceso)
b) “Ahora, voy a vaciar el agua y a pesar el recipiente. ¿Qué es lo que voy a encontrar?”
	Los niños hacen su previsión sobre su cuaderno.
Pero el recipiente no se pesa: no hay verificación en esta sesión.
	Algunos están ya seguros de su previsión; la convicción de los otros niños se logrará paso a paso en el transcurso de la actividad siguiente y no es hasta ese momento que podrán verificar su previsión. Para concordar el resultado del razonamiento y el de la medición, es necesario explicitar el funcionamiento de los errores y de las aproximaciones, pero los alumnos no han tomado conciencia todavía de esto.

LA MEDIDA: 16ª ACTIVIDAD
ENCONTAR EL PESO DEL RECIPIENTE VACIO: DESAFÍO
(2ª parte)

I.	RECOGIDA DE LAS PREVISIONES

   	La maestra recoge las previsiones (peso del recipiente vacío) que los niños habían hecho al final de la actividad anterior.

			4 (niños)		3 (niños)
_________|______________|_________|___________|_____________
	valor		valor 			valor 

 	Estas previsiones se escriben a la derecha de la pizarra. La profesora coloca una barra en la región propuesta e indica el número de niños que han previsto el mismo valor:

"¿Quién ha encontrado menos?"
"¿Quién ha encontrado más? etc.".

II. LISTADO DE LOS "MÉTODOS"

	Los alumnos que han utilizado métodos de previsión mediante cálculo los explican a los compañeros. La maestra los enumera. Hay dos.

1. Cálculo con los dos primeros números obtenidos en la pesada

R: recipiente

228    -   155   =   73
                        
R+1V -   1V          R

383    -   228   =  155
                        
R+2V     R+1V   1V

V: vaso

La maestra escribe estas operaciones y fórmulas en la pizarra sin comentario. Los alumnos comprenden perfectamente su sentido por las necesidades de la lección.

2. Cálculo con el primero, el segundo y el tercer número obtenidos por la pesada

228    -   170   =   58
                        
R+1V     1V         R

553    -   383   =  170
                        
R+3V     R+2V   1V

Los pesos son diferentes ¡73 g en un caso, 58 g en el otro! Los niños quedan muy sorprendidos y frustrados y no comprenden sino muy progresivamente que el cálculo no da forzosamente el valor indicado por la balanza. La maestra les pide entonces que traten de encontrar otros métodos de cálculo que permitan encontrar el peso del recipiente vacío. Y, animándoles de este modo, proponiéndoles desafíos, los lleva poco a poco a buscar otros métodos que son elaborados en común y anotados en la pizarra.

3. Cálculo con el primer y el tercer número obtenido por la pesada

	Los niños comprenden que es necesario encontrar la mitad de 325 para obtener el peso de un vaso.
	Proceden por descomposición pues se trata de una división por 2. No sienten la necesidad de plantear la operación. Seguramente hubiera sido de otro modo si hubiera sido necesario dividir por 3, 4, 5, ...
La mitad de 300  150
La mitad de 20   10
La mitad de 5  2 1/2
La mitad de 325  162 1/2

228    -   162  1/2  =  65 1/2
                               
R+1V      1V               R

4. Otros cálculos con el tercer número:

383    -   228   =  155 (ref. al cálculo 1)
                        
R+2V     R+1V   1V

3 x 170  =    510
                                    
 1V              3V  

2 x 170  =    340
                                      
      1V            2V  

553    -   383   =  170 (ref. al cálculo 2)
                        
R+3V     R+2V   1V

5. Otros cálculos con los números tercero y segundo

553    -   465   =   88 g
                        
R+3V     3V         R

155 x 3  =   465
                                                 
                   3V     

383    -   340   =    43
                             
R+2V      2V          R

553    -   510   =    43
                               
R+3V      3V  

III. INVENTARIO DE LAS EXPLICACIONES SOBRE LAS DESVIACIONES

	Los niños comparan todos los resultados obtenidos para el peso del recipiente.
R: 73 g, 58 g, 43 g, 65 1/2 g, 43 g, 88 g.
	La maestra les pregunta si pueden dar explicaciones y encontrar las razones de estas diferencias. Dicen lo siguiente:

"¡la balanza no está bien ajustada!"
"¡la aguja no estaba siempre exactamente en la mitad!"
"¡el vaso no estaba siempre lleno de la misma manera!"
"¡las pesadas no eran bastante precisas!"

Van cada vez más lejos en el análisis de los errores de la medida.

Observación. Hay medios de parar esta cadena de razonamientos. Basta sustituir el agua por arena seca, y la balanza de Roberval por una balanza de resorte: la precisión de la lectura es del orden del gramo y el peso de los vasos de arena, de una pesada a otra, varía menos de un gramo.

IV. DEBATE SOBRE LA RESPUESTA "AL AZAR"

1.	La maestra plantea a continuación la previsión de los niños que alardean de haber dado la respuesta al azar.
Hace observar a todos los alumnos que, en el conjunto de estas previsiones, muy pocos uno o dos solamente cada vez se aproximan a los resultados obtenidos mediante el cálculo y que no son siempre los mismos alumnos los que lo consiguen.
	A pesar de esto, algunos niños que habían calculado bien comienzan a dudar de la eficacia de su método y preguntan a sus compañeros cómo han hecho para dar su resultado. Por supuesto, estos últimos no pueden mostrar un método de previsión y por tanto tratan de impresionarles con una seguridad exagerada. De hecho, no dan su resultado al azar sino que utilizan intervalos para disminuir la incertidumbre.

2.	La maestra lanza a continuación un desafío:

“Vamos a hacer un gran número de pesadas (una quincena) con otro recipiente y cada vez, haréis una previsión:
-	bien siempre mediante el cálculo,
-	bien siempre al azar.
Anotaré para cada uno de vosotros las previsiones que hayáis hecho. Después pesaremos el recipiente vacío. Contaremos a continuación el número de previsiones que sean las más precisas del peso. ¡Aquellos cuyo número total de previsiones se aproximen lo más posible al peso habrán ganado!”
“¿Quién prevé mediante el cálculo?”
“¿Quién prevé al azar?”
Estupefacción en la clase: nadie quiere prever al azar.

V. PESO DEL RECIPIENTE

Las pesadas no se han realizado: el tiempo de la actividad se ha terminado. Sin embargo, se procede solemnemente a la pesada del recipiente. Dos niños vienen a hacer la pesada delante de sus compañeros: ¡entre 51 y 52 gramos!
Los niños que han encontrado 58 g muestran su contento (ver el cálculo 2 del apartado II; listado de métodos). Los que han encontrado 73 g vuelven a dar las explicaciones del apartado III. Son los mismos aproximadamente que están seguros de que su método es correcto.
	La maestra propone volver a hacer la actividad sustituyendo el agua por arena fina (esta experiencia no se realiza por falta de tiempo).
	Pero mientras tanto, formulan las conclusiones que se pueden extraer de estas experiencias: “parece que el peso del recipiente está comprendido probablemente entre 43 y 88 gramos”.
	Manipulaciones más cuidadosas deberían permitir tener desviaciones menos enormes (desde un valor hasta su doble). Pero siempre habrá un cierto error. “Si se toman dos medidas solamente, y se las supone exactas, el cálculo que habéis aprendido da una respuesta, que también se supone exacta”

Observación. En el desarrollo de estas actividades y debates, el modelo matemático se ha utilizado implícita y explícitamente como medio de previsión, como medio de comparación de resultados, como argumento en el debate y, finalmente, como evidencia lógica por todos los alumnos, en repetidas ocasiones. Sin formulación excesiva, las bases de una escritura algebraica han sido incluso introducidas por la maestra. Quedaría por institucionalizar su uso mediante pequeños problemas de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas conforme a los ejemplos que acabamos de mostrar.
	Ejemplo: un camión cargado con doce cajas pesa 7 toneladas. Después de haber descargado 6 cajas, pesa 4 toneladas. ¿Cuál es el peso de una caja y del camión vacío?. Este tipo de situaciones ha sido bien presentado en un artículo de Grand N nº 37 "Les aimants" (A. Bessot, M. Eberhard y C. Chevrot).

VI. RESULTADOS

	Los objetivos pretendidos se han logrado: la mayor parte de los niños ha sabido resolver más tarde los problemas clásicos de determinación del peso del contenido o del peso del recipiente.
	También han tomado conciencia de las desviaciones entre los resultados de las manipulaciones y los cálculos numéricos, han aceptado tomarlas en consideración y han sabido comentarlas.
	Muchos de los alumnos eran capaces de encontrar un intervalo y de dar un valor central, de elegir valores próximos, de rechazar los valores demasiado alejados y sobre todo de aceptar los de sus compañeros cuando eran diferentes de los suyos pero tenían desviaciones razonables.

VII. COMENTARIOS SOBRE LOS RESULTADOS DE LAS ACTIVIDADES 15 Y 16

Contrariamente a la idea que se podría tener, los niños de este nivel tienen una fuerte tendencia a olvidar que el continente pesa, en el caso en que este continente es inseparable del contenido (líquido, polvo, ...). Y para algunos de ellos, no es suficiente que piensen en ello para manipular el peso del continente sin errores (lo cuentan dos veces en las sumas). En las explicaciones, no es del todo evidente para los niños que sea necesario quitar el peso del recipiente vacío para obtener el peso del contenido (agua, arena, ...)
	Este fenómeno nos ha parecido suficientemente general y resistente (casi un obstáculo epistemológico; ver en la página siguiente la parte "Problemas de didáctica de la medida: Ejemplos de algunas dificultades importantes") para merecer las dos lecciones que nosotros les hemos dedicado.
1.	Esta actividad ha permitido a cada uno tomar conciencia de que todo pesa en el platillo de la balanza: el recipiente y el agua. En los ejercicios posteriores, recordaremos este principio en casos similares, por ejemplo, el saco y la harina que contiene, e incluso en casos más difíciles, el globo vacío y lleno de aire.
Este hecho ha sido explicitado y se ha convertido en un saber de la clase.
2.	Se estima que después de esta experiencia, los alumnos estarán mejor capacitados para resolver y comprender los problemas de funciones afines, es decir, los problemas en los cuales las sumas (o los productos) se realizan sobre elementos compuestos de dos partes en la que una se repite y la otra no: bajada de bandera y coste por kilómetro en un taxi, abonos fijos y tarifa progresiva, etc.
3.	En el conocimiento de la medida, los alumnos han confirmado su intuición de que un valor observado (obtenido en una medición) está afectado de un error; es decir que se le puede asociar un cierto intervalo de tal manera que:
-	en su interior, los restantes valores de este intervalo podrían ser observados por otra persona que midiera y, por tanto, deben ser aceptados como valores teóricos de la medida,
-	y en el exterior de este intervalo, estará justificado suprimir los valores que se observen.
4.	Este error no es completamente desconocido: se puede estimar, a priori, que será inferior a un cierto valor. Por ejemplo, cuando se mide la longitud de la mesa, se puede estimar que el error será inferior a 1cm. Se puede verificar esta estimación mediante una estadística: conjunto de medidas hechas, bien por un mismo alumno, bien por todos los alumnos.

Observación. Habitualmente, los profesores eligen un valor central en este intervalo y continúan el problema con este valor único, lo que no da a los alumnos ningún medio de prever lo que supondrá este error en los cálculos que se deben hacer. Esto supone eliminar el problema del error.

	Por el contrario, nosotros hemos atraído la atención de los niños a fin de que consideren que se acepta a priori toda la distribución de las medidas de un cierto intervalo. Como consecuencia, esta idea será constantemente retomada hasta el esclarecimiento de las diferentes fuentes de errores (errores debidos a la imprecisión del aparato, una falta de fiabilidad, error de lectura, error absoluto, relativo, ¿qué consecuencias tiene el error en las sumas y en los productos?).
	Hemos utilizado subrepticiamente una representación de la distribución de los errores. Esta imagen será explotada en la introducción de la noción de media. Se podrá utilizar si se quiere introducir los conocimientos más elementales de la estadística: recorrido, mediana, etc.

5.	Los niños han tomado conciencia también que cuando se hace una teoría o un método para prever u obtener un resultado, no basta que su aplicación tenga éxito una vez o incluso dos para que sea aceptado como verdadero o válido. Es necesario que “funcione" en todos los casos, lo que sólo se puede establecer mediante un razonamiento. También es necesasario que permita mantener los errores, en el transcurso de las experiencias, en el interior de intervalos determinados.
Por tanto, es necesario al menos que sea reproducible, efectuable, explicitable, comunicable a los demás e inteligible para ellos.

PROBLEMAS DE DIDÁCTICA DE LA MEDIDA

A.	Ejemplos de algunas dificultades importantes

El concepto de medida sólo ha sido esclarecido con gran dificultad y muy tardíamente en la historia de la humanidad. Además presenta todavía zonas de penumbra (la medida en las ciencias humanas por ejemplo). Se trata sin embargo de un concepto muy antiguo y universalmente utilizado. Se tiene, por tanto, tendencia a creer que es simple y consecuentemente a rehusar incluso clarificar las dificultades encontradas en la práctica o en la enseñanza, si esto implica utilizar construcciones matemáticas modernas; los pedagogos razonan como si existiera un paraíso original donde la medida se comprendiera sin misterio con “ideas concretas”. “La medida” es un objeto complejo como dejaremos entrever más adelante al enumerar las distintas nociones que pone en juego. Pero su carácter universal y familiar ha conducido a una proliferación de términos comprometidos en usos ambiguos y anárquicos que dan lugar a contradicciones culturales perjudiciales para la enseñanza: no es posible hacer coincidir las definiciones matemáticas necesarias y los usos. (Basta por ejemplo pensar en los diferentes sentidos de las palabras “superficie” y “área”).
Este carácter familiar y primitivo de la noción constituye pues un obstáculo cultural casi infranqueable para una clarificación del concepto según los usos de los niveles de enseñanza obligatoria. Numerosas concepciones de la medida se constituyen en obstáculos epistemológicos (por ejemplo, la commensuración contra la partición de la unidad) o contra obstáculos epistemológicos (la estructura de álgebra de Boole de los espacios medibles se establece con la estructura jerárquica y unívoca utilizada con preferencia para las comunicaciones). La génesis psicológica de la medida en los niños exige experiencias numerosas y una maduración lenta.
Ahora bien, la complejidad de la realización efectiva de las mediciones, las dificultades materiales y conceptuales ligadas a estas prácticas de todo tipo, han conducido rápidamente a los profesores a renunciar a la mayor parte de las actividades efectivas de medición (en particular las que son difíciles de controlar en situación escolar) restringiéndose al uso de situaciones simplificadas o metafóricas y a actividades de cálculo. Esta circunstancia, aunque tiende a simplificar el acto de enseñanza, no favorece el dominio del concepto de medida ni la representación de las matemáticas como medio eficaz y simplificador para la realización y el control de actividades efectivas.

B.	Complejidad del concepto de medida

Podemos distinguir al menos ocho “objetos” distintos en los problemas de medida:

1.	Los objetos “soportes” de los caracteres a medir: objetos concretos (una mesa, un pájaro) o ya “matematizados” (un rectángulo, su “longitud” o su “anchura” en tanto que segmentos, el conjunto de puntos que constituyen su superficie) o “conceptualizados” (por ejemplo una envergadura).

2.	La magnitud, concepto que permite aprehender “lo que puede hacerse más grande o más pequeño”, relativamente a objetos del tipo (1). La magnitud es un conjunto de propiedades comunes a varios (tipos de) magnitudes particulares: el área, la masa, la capacidad, el débito, por ejemplo.
(Observación: la longitud y la anchura de un rectángulo son segmentos –objetos del tipo 1– de los que se puede apreciar la magnitud “longitud”).
	Una estructura matemática (semimódulo, módulo, etc.) explicita estas propiedades comunes y describe lo que es susceptible de medir, un conjunto medible: los objetos (conjuntos, sucesos, segmentos, superficies, etc.) que pueden ser objeto de una medida en el sentido 4 que se indicará después. Esta estructura enumera el tipo de operaciones a las cuales se deben ajustar estos elementos (unión, complementario, intersección, ...) y, si ha lugar, indica una invarianza respecto de ciertas transformaciones (desplazamientos, particiones, etc.) de manera que permita hacer comparaciones.

3.	El valor particular de esta magnitud, relativo a un objeto preciso, sin tener en cuenta el sistema utilizado para cuantificarla, en particular sin tener en cuenta las unidades.
Ejemplos:
La masa de un cuerpo determinado por el efecto que produce en un sistema físico, la longitud de un segmento en tanto que lugar ocupado en el espacio.
Este valor puede ser representado por una clase de equivalencia (módulo la transformación evocada en 2).
	Ejemplos:
-	la longitud de un segmento es entonces la clase de todos los segmentos que pueden coincidir con él por isometrías (traslaciones, rotaciones, ...),
-	la clase de equivalencia de la superficies planas “superponibles” por isometrías constituye una superficie medible.
-	La clase de equivalencia de las masas determinadas por una balanza de Roberval uno de cuyos platillos contiene una carga fija constituye una masa.

4.	Una medida (medida-función) es una aplicación aditiva y positiva de un conjunto medible en R. Hace corresponder a cada elemento de un conjunto medible (un segmento, una superficie, un suceso, una masa, ...) un número real positivo.
En este sentido, la unidad, en tanto que [cantidad de] magnitud, cambia con la medida: es el objeto cuya imagen es 1.
               m(a)
       a  		3		0,3
 |               |						m(a)  m'(a)
				m’(a)
			
5.	El valor de esta medida (medida-imagen) de un objeto de (3) es el número positivo (natural, decimal, racional o real) que la medida en el sentido (4) hace corresponder a un objeto (1) en el cual se interesa. Esta “medida” no comporta ninguna traza de la aplicación medida: 3 es solamente un número (3 es la imagen por la medida en centímetros de tal segmento).

6.	La medida a veces llamada concreta o número concreto: par formado por la imagen en el sentido (5) (el número) y por la función (medida en el sentido 4), representada por una “unidad”:
Ejemplo: 	3 cm		0.03 m
En tanto que objeto, un tal elemento es identificable con una de las clases de equivalencia (sentido 2): 3 cm es la misma clase que 0.03 m mientras que 0.03  3. Pero su forma le confiere propiedades muy útiles en física y en la práctica (tratamiento de ecuaciones con dimensiones).

7.	La medida. La palabra designa la operación material o el método que permite determinar efectivamente, para un objeto de tipo (1), un número y un intervalo (o una familia de intervalos) de incertidumbre (o de confianza). 
La palabra designa también su resultado (como en (4) y (5)).
Ejemplo:
-	la longitud de la mesa es (tal segmento tiene por longitud) 1’35 m  0’002.
Los procedimientos que permiten medir el espesor de una chapa, la anchura de una fisura, la distancia entre dos paredes son medidas de longitudes.
-     la capacidad de esta botella es 0’75  0’01.

	La ciencia de la medición es la metrología. Se interesa por la metodología de la medida (la medición), por la determinación de los errores de diferentes tipos, por el efecto de estos errores sobre los resultados de los cálculos, la determinación de patrones y de sistemas de unidades, el estudio de los aparatos y de las técnicas de medición de magnitudes de todo tipo (eléctricas, magnéticas, acústicas, mecánicas, ópticas, térmicas, ...). Durante bastante tipo ha sido un objeto importante en la enseñanza primaria (la quinta parte del tiempo en 1947).

8.	La evaluación de las medidas: una especie de juicio o de “medida” sobre la medida, sobre su expresión, que representa el tamaño, la magnitud relativa, la rareza, la calidad, la precisión, etc., y que sirve como medio de control en las actividades de medición, en los cálculos o las comparaciones.

Ejemplos:
-	el orden de magnitud de una medida,
-	el tamaño de un número,
-	el número de cifras significativas,
-	el porcentaje de objetos del mismo tipo más grandes que el objeto considerado (la rareza relativa) permite comparar tamaños relativos: un ratón de 10 cm (sin contar la cola) es más grande (en el sentido de más raro, menos frecuente) que un elefante de 2 m.

Cada uno de estos “objetos” pertenece a entornos (medios) diferentes, siguen reglas diferentes y serían definibles mediante situaciones diferentes. Son “conocidos” en instituciones diferentes que les han llamado de maneras diversas. Todos intervienen en la concepción y la práctica de las medidas.
Sería sin duda prematuro enseñar todas las nociones evocadas anteriormente a los alumnos de la escuela elemental, pero renunciar a ello completamente conduce a abstenerse de tratar correctamente tanto los problemas prácticos como las nociones teóricas. Para “evitar” contradicciones, errores y dificultades locales, la enseñanza tiene tendencia a ignorar las actividades efectivas y a dejar para más tarde las aclaraciones teóricas, restringiéndose a un saber escolar débilmente utilizable. Como reacción, la aceptación sin discernimiento de todas las actividades “naturales” y de su vocabulario como objeto de enseñanza refuerza la confusión y hace imposible las adquisiciones matemáticas o culturales fundamentales.
Lo menos que se puede pedir es que el propio profesor distinguiera estos objetos y que reconociera su importancia cultural mediante una cierta vigilancia. En una palabra, que se asegure, por medio de un uso flexible de la lengua, la precisión y la pertinencia del pensamiento del alumno sobre estos temas.

C.	Compromisos educativos de la enseñanza de la medida

Por encima de los objetivos clásicos de esta enseñanza, adaptación a las prácticas sociales de numerosos oficios y preparación de los aprendizajes matemáticos posteriores, se puede distinguir una apuesta educativa.
El universo de la medida y de la medición pone en presencia al menos dos dominios bastante claramente separados para los alumnos, aunque lo que les distingue permanezca difuso:
-	el ámbito de los objetos concretos y de las magnitudes con su entorno de propiedades y de manipulaciones,
-	el ámbito de los números y el entorno de cálculo.
Las relaciones entre estos dos ámbitos juegan un papel importante en las representaciones epistemológicas escolares de las matemáticas. Sirven de soporte a una concepción cultural sobre las relaciones entre la teoría y la práctica enseñada implícitamente en la escuela (y que asigna entre otros a las matemáticas un cierto lugar en las actividades humanas). Los alumnos se determinan psicológicamente con relación a estas relaciones “oficiales” y a las relaciones personales que establecen con ocasión de las actividades de este tipo.
Ahora bien, estas relaciones no parecen tratadas de manera conveniente y no son objeto de verdaderos análisis didácticos. Sería por tanto útil interrogarse al menos sobre el estatuto de los errores y de las desviaciones y sobre las condiciones de discusión de una declaración o de una teoría.

1.	Las desviaciones y los errores

La naturaleza y el origen de los errores permanecen para los alumnos, no solamente misteriosos sino amenazantes pues se confunden con una falta.
Sería útil y posible distinguir entre:
-	las desviaciones debidas a la elección del sistema numérico de referencia. Por ejemplo, la utilización de la medida natural (con números enteros) no permite diferenciar ciertas “magnitudes” consideradas diferentes en el entorno. El problema es el mismo cuando se utilizan los decimales con un número limitado de cifras después de la coma (2 por ejemplo), que es con frecuencia el único uso práctico de los decimales.
La elección de la unidad permite a los alumnos y a los maestros utilizar números decimales, por ejemplo 13’21 (1/100) para expresar a la vez la medida y el error tratando el número como un natural:
-	los errores ligados al cálculo: errores de redondeo.
-	las incertidumbres debidas a la imprecisión del instrumento de medida, a su falta de fidelidad, a su falsedad.
-	las incertidumbres ligadas a la inestabilidad del objeto medido (la envergadura de un pájaro por ejemplo) o a las condiciones de medida.
-	las faltas: errores de procedimiento o de cálculo que hacen el resultado inaceptable.
Los alumnos pueden aprender a identificar y a controlar el efecto de estos errores. Es uno de los objetivos de las investigaciones de ingeniería de las que se han extraídos las dos lecciones que se han presentado anteriormente.

2.	La discusión de un hecho o de una teoría

Es muy importante saber en qué niveles se puede poner en entredicho la verdad de un hecho. La medición es un modelo excelente de toda la actividad científica. Es la ocasión de precisar precozmente las relaciones que es necesario establecer entre la contingencia y la necesidad:
•	¿Qué error es aceptable, de modo que justifique el examen crítico del modelo teórico? ¿Cuándo es necesario dudar de la contingencia?
Las lecciones propuestas se refieren esencialmente a las relaciones sociales que permiten gestionar más o menos bien la verdad.
•	¿Qué relación debe mantener el discurso científico con lo que ocurre en la realidad?
El alumno forma su relación al saber tanto público como privado en el curso de estos aprendizajes, bastante antes que los estudios formales (científicos y filosóficos) ulteriores. La manera en que se gestionan la verdad y el conocimiento en el curso de este aprendizaje (individualmente y/o colectivamente), la manera de aceptarlos, de ponerlos en duda o de rechazarlos juega, por tanto, un papel esencial. La práctica de la verdad puede ser aprendida antes de la exposición académica de sus instrumentos cognitivos y culturales.
	M. J. PERRIN ha mostrado en su tesis (página 101) que los alumnos encuentran grandes dificultades en superar las contradicciones que pueden aparecer entre lo que ven y lo que calculan.

D.	Las prácticas didácticas corrientes

Las prácticas didácticas corrientes no satisfacen las condiciones evocadas anteriormente.

1.	Las necesidades del dominio de los objetos no se toman en cuenta. Por ejemplo, las correspondencias “semánticas” entre las manipulaciones de los objetos y las operaciones sobre los números: poner extremo con extremo para “sumar” longitudes, poner en el mismo platillo para “sumar” pesos, yuxtaponer para concretizar la “suma”.
No son efectivamente realizadas en las situaciones de acción; si a veces se enseñan, es con un estatuto falseado. De hecho, la práctica del alumno está invertida con relación al discurso del maestro: la medición considerada como “concreta” no es nunca, de hecho realizada bajo control, ni practicada. Hay un estatuto de saber escolar “teórico” mientras que las manipulaciones familiares al alumno son las de los cálculos y de los números.
	Los alumnos están inmersos en “situaciones” y entornos institucionales en las que ni ellos, ni los maestros, pueden siempre fácilmente aprehender o controlar el desfase con relación a las diferentes exigencias: conocimientos teóricos “sabios”, conocimientos escolares, situaciones “objetivas” escolares oficiales, situaciones efectivas, ...
	Las interpretaciones de estas situaciones son, por el contrario, exigidas por los profesores como evidencias, como aportes intuitivos del alumno, como resultado de su desarrollo o de sus aprendizajes espontáneos.

2.	Las relaciones entre el saber y lo “concreto”, entre las actividades y el discurso, la práctica y la teoría, la verdad y el error, ..., no son tratadas como objetos de enseñanza ni explícitos ni implícitos.

3.	La articulación macrodidáctica de los saberes obedece a reglas de economía que impiden los esclarecimientos y las adaptaciones.
Por ejemplo, es habitual ignorar los errores cuando son visibles y molestos (cuando se utilizan sólo los racionales) y de no evocar acotaciones cuando esto sería sin embargo funcional, “porque no se acota nada” en tanto que no se hayan construido los racionales o los reales, como lo señalaba Lebesgue. El estudio teórico se envía por tanto a más tarde. Pero la introducción de los decimales conduce esencialmente a “despreciar” estos errores que se pueden hacer, gracias a ellos, “tan pequeños como se quiera” (¿?) y además insignificantes. Los alumnos continúan utilizando el modelo de la medida natural sin plantearse ninguna cuestión, ni sobre el problema a resolver ni sobre la estructura matemática construida, ni sobre las desviaciones que podrían subsistir por otras razones. El saber ha sido simplificado pero también desfuncionalizado. Los saberes así simplificados no son siempre buenos puntos de apoyo para los aprendizajes posteriores, tanto si son orientados hacia la práctica o hacia la teoría.

4.	Estas condiciones corresponden a una desmatematización de los medios puestos en obra por los sujetos para controlar su actividad al precio de una matematización creciente del medio (aparatos, saberes, instituciones) perfectamente legítima para las instituciones ordinarias. Esta tendencia contraría los esfuerzos de las instituciones de enseñanza pues es necesario rematematizar o matematizar un conocimiento en el curso de su aprendizaje para que su control aparezca como el fruto de una responsabilidad consciente y cognitiva del sujeto. ¿Hasta qué punto es necesario rematematizar los actos elementales más complejos de la vida?

Los profesores no son ni libres ni están en condiciones de modificar a su voluntad las condiciones culturales, las significaciones y los funcionamientos de los saberes. La didáctica debe en primer lugar determinar lo que es posible hacer a propósito de la medida antes de proponer modificaciones profundas.

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