Reconstrucción de las
 Organizaciones Matemáticas 
en las Instituciones  Didácticas 
Cecilio Fonseca y Josep Gascón 
(Versión del 23 de marzo de 2000)

1. Despersonalización y matematización de la problemática 

	El trabajo que presentamos aquí debe ser considerado como el primer informe de progreso de un proyecto de investigación que se encuentra en la fase inicial de desarrollo. Las cuestiones que constituyen el punto de partida de este trabajo podrían describirse como sigue en la terminología de la problemática docente (Gascón, 1999b):

 ¿Cómo suavizar o disminuir las enormes dificultades que tienen los alumnos para pasar de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad? ¿Cómo podrían superarse las crecientes dificultades con las que tropiezan los profesores del primer ciclo universitario  para llevar a cabo su trabajo?

Estas dificultades se materializan, entre otras cosas, en un fracaso escolar que en el primer curso de determinadas licenciaturas de ciencias supera actualmente el 80% del total de los créditos cursados por los estudiantes. 
El Programa Cognitivo en didáctica de las matemáticas plantea este problema en términos científicos sin dejar de centrarse en los aspectos cognitivos y motivacionales   de los sujetos. En este Programa de Investigación se acepta como hipótesis básica (esto es, como hipótesis provisionalmente no cuestionable por decisión metodológica) que los fenómenos relativos a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (y, en particular, los fenómenos indeseables relativos al denominado “fracaso escolar”) pueden ser explicados a partir de las características individuales de los sujetos (actitudinales, cognitivas, motivacionales, psicológicas, lingüísticas, etc.) y que éstas constituyen la principal puerta de entrada para actuar sobre ellos. Así, por ejemplo, en el ámbito del Advanced Mathematical Thinking  (que representa una de las lineas más sofisticadas del Programa Cognitivo) se reformula dicho problema en términos del paso del Pensamiento Matemático Elemental al Pensamiento Matemático Avanzado.
	En el Programa Epistemológico y, más en concreto, desde la perspectiva de la Teoría Antropológica de lo didáctico en la que explícitamente nos situamos, se asume como hipótesis básica una despersonalización de la problemática didáctica que comporta plantearla en terminos “institucionales”. Postulamos, en contraposición al Programa Cognitivo y, sobre todo, en contra del punto de vista psicopedagógico dominante, que la ignorancia de las causas de origen matemático-didáctico imposibilita un tratamiento matemático de la problemática, lo que perpetúa las contradicciones   entre las respectivas organizaciones  y no hace más que agravar sus consecuencias. Para precisar mejor nuestro punto de partida y clarificar los presupuestos que asumimos provisionalmente, explicitaremos a continuación dos hipótesis básicas de este trabajo:  

H1: Muchos de los fenómenos didácticos (esto es, relativos al estudio de las matemáticas) que aparecen en el  primer ciclo universitario (incluyendo los más “visibles” asociados al “fracaso escolar”), poden ser explicados en términos de contradicciones y cambios bruscos entre las organizaciones matemático-didácticas de Secundaria y de la Universidad. 

H2. El conocimiento de las relaciones entre las dos organizaciones nos  proporcionará criterios fundamentados para actuar sobre ellas y, de esta manera, empezar a modificar algunos de los fenómenos indeseables que se producen.

Es   muy probable que, en algunos casos, nuestro análisis nos lleve a reconocer las dificultades –e incluso la imposibilidad– de actuar en una dirección determinada y desde una institución concreta o, más en particular, desde un determinado nivel de una institución particular. Este tipo de resultados, aparentemente negativos, pueden ser muy útiles para fijar el nivel desde el cual puede ser tratado cada problema (aula, departamento, facultad, universidad, instituto, sociedad) y para empezar a delimitar las responsabilidades   personales   y, sobre todo, las responsabilidades   institucionales.

2. ¿Cómo cambian las organizaciones matemáticas de S a U?

	En lo que sigue denominaremos S y U a las organizaciones matemáticas  escolares construidas, respectivamente, en Secundaria y en la Universidad. En relación a la diferente naturaleza de dichas organizaciones matemáticas, formularemos una conjetura general provisional haciendo servir algunas nociones del modelo de la actividad matemática elaborado por la Teoría Antropológica en didáctica de las matemáticas. 
	Antes  de formular esta conjetura describiremos de una manera muy simplificada la dinámica de las organizaciones matemáticas mediante la noción de “praxeología matemática”. No diremos lo que “es” una organización matemática, pero daremos un esbozo de su estructura y de su dinámica interna. La primera noción primitiva que haremos servir es la de tipo de tareas matemáticas, T. Se trata de una noción muy general que incluye cualquier tarea que sea considerada como “matemática” en la institución de referencia. Son ejemplos de tipos de tareas matemáticas en U: resolver una ecuación diferencial; buscar una base de un espacio vectorial; descomponer un número entero en factores primos; modelizar un sistema físico o biológico mediante un modelo matemático; axiomatizar una teoría matemática; etc. 
	Postulamos que la realización de cualquier tipo de tareas, T, requiere poner en funcionamento una técnica , esto es, una “manera de hacer” que puede depender de la institución en que nos situemos. Tenemos así un bloque práctico-técnico que denotaremos mediante el símbolo [T/] y que está formado por un tipo de tareas, T, y una técnica, , que la institución considera pertinente para llevar a cabo las tareas de este tipo. Es importante subrayar que, normalmente, cada técnica concreta sólo permite realizar un pequeño subconjunto de las tareas del tipo T a la cual es relativa, fracasando en la realización de las restantes tareas de ese tipo. Todos los tipos de tareas matemáticas citados anteriormente son ejemplos evidentes de la limitación de las técnicas matemáticas habituales. Así, por ejemplo, las técnicas para descomponer un número entero en factores primos se hacen rápidamente impracticables para números “grandes” y las técnicas que permiten buscar una base en el caso de espacios vectoriales   de dimensión finita, no siempre son aplicables al caso de espacios vectoriales de dimensión infinita. Estos mismos ejemplos muestran que una técnica matemática  no es, excepto rarísimas excepciones, ni algorítmica ni casi-algorítmica. Ninguna de las técnicas citadas es  propiamente algorítmica y, entre ellas, las que sirven para modelizar matemáticamente un sistema o para axiomatizar una teoría son prototipos de técnicas no algorítmicas. 
	El bloque práctico-técnico [T/] no puede vivir aisladamente en una institución. Requiere la existencia de un “discurso racional” (logos) que justifique la técnica (tekhnè) y muestre su pertinencia para llevar a cabo el tipo de tareas T. Llamaremos tecnología de  a este discurso, que es un discurs matemático, y lo designaremos con el símbolo . Así, por ejemplo,  el principio de inducción puede hacer el papel de elemento tecnológico (esto es, componente de la tecnologia) de la técnica que se utiliza habitualmente para realizar ciertas demostraciones matemáticas. Otras funciones de la tecnología son: explicar el funcionamento de la técnica, hacerla inteligible, relacionarla con otras técnicas y, lo que es más importante, producir nuevas técnicas. En este punto queremos remarcar un fenómeno importante: la sub-explotación de las tecnologías matemáticas disponibles  en las instituciones docents, tanto desde el punto de vista de la justificación como de la explicación y, sobre todo, de la producción de nuevas técnicas. Es muy habitual, por ejemplo, que cada institución reconozca únicamente un pequeño número de técnicas y excluya otras técnicas alternativas que pueden existir en otras instituciones. 
	El discurso tecnológico contiene siempre afirmaciones más o menos explícitas que pueden requerir justificación en una institución determinada. Se pasa entonces a un nivel superior de justificación-explicación-producción (en este caso de tecnologías), el de la teoría de , que designaremos mediante el símbolo . La teoría juega, respecto a la tecnologia, el mismo papel que ésta hacía respecto a la técnica. Así, por ejemplo, el principio de inducción, considerado como un elemento tecnológico, puede ser justificado a su vez en una teoría axiomática de los naturales que contenga el axioma: “Todo subconjunto no vacío de números naturales  tiene un primer elemento”.  
Postulamos que esta descripción en tres niveles (técnico/tecnológico/teórico) es suficiente para modelizar la actividad institucional, teniendo en cuenta que la distinción entre dichos  niveles no es “intrínseca” sinó únicamente funcional. Un mismo objeto puede tener una función técnica, tecnológica o teórica, según cual sea el papel que juegue en cada actividad matemática concreta. 
	Junto al bloque práctico-técnico [T/] tenemos así, dentro de las organizaciones matemáticas institucionalizadas, un segundo bloque tecnológico-teórico [/]. El sistema formado por los cuatro componentes constituye una praxeología matemática que designaremos mediante [T/ ; / ]. Postulamos que las organizaciones matemáticas pueden modelizarse mediante esta estructura y que toda actividad matemática institucional se puede analizar en términos de praxeologías matemáticas de complejidad creciente: 

(a) Una praxeología se llama puntual si hace referencia a un único tipo de tareas T y a una única técnica matemátca, , con “pequeñas” variaciones. 

(b) Es local si se obtiene como resultatado de la integración flexible de diversas  praxeologías puntuales. Cada praxeología local está caracterizada por una tecnologia, , que sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las praxeologías  puntuales que la integran.

(c) Es regional si se obtiene mediante la integración, alrededor de una teoría matemática común , de diversas  praxeologías locales. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las diferentes tecnologías j de las praxeologías  locales que integran la praxeología regional. 

Con ayuda de la noción de “praxeología matemática” (puntual, local y regional), podemos expresar ahora la anunciada conjetura general provisional, en los siguientes términos:

(A) Las praxeologías matemáticas que se estudian en Secundaria son praxeologías  matemáticas puntuales y muy rígidas. La rigidez de una praxeología se manifiesta en múltiples características del bloque “práctico-técnico” [T/] así como en la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico [/] sobre la actividad matemática concreta.

 (B) Una de las consecuencias  más importantes de esta rigidez de las praxeologías  puntuales consiste en dificultar, e incluso impedir, el estudio de praxeologías  matemáticas locales en Secundaria. La reducción del Bachillerato a dos años no facilitará que esta situación se  modifique en un futuro próximo.

(C) Ignorando la ausencia de praxeologías  locales en Secundaria, la organización matemática Universitaria propone, desde un principio, el estudio de praxeologías  matemáticas regionales. Este “vacío” en la actividad matemática escolar constituye un importante obstáculo epistemológico de origen didáctico y provoca graves disfunciones en el proceso de estudio que propone la institución universitaria. 

	Las  conjecturas  particulares que formularemos a continuación pueden interpretarse como la concreción de algunos aspectos de esta conjetura general provisional. Así, las cinco primeras  conjecturas  (CM1 a CM5) explicitan algunos de los aspectos  de la rigidez de las praxeologías  puntuales que se estudian en S; las tres siguientes (CM6, CM7 y CM8) hacen referencia al cambio de las funciones  de las definiciones  y las demostraciones al pasar de una praxeología matemática puntual rígida (donde la actividad matemática es “mostrativa”) a una praxeología matemática regional (forzosamente “demostrativa”); las tres  últimas  conjecturas que formularemos (CM9, CM10 y CM11) presentan un carácter más genérico y pretenden mostrar, en el caso de la geometría, el álgebra y el cálculo, respectivamente, algunas de las restricciones institucionales que hacen muy difícil poder llevar a cabo, en S, el estudio de una praxeología local.

3. Conjeturas  relativas  a los cambios en la organización matemática 

CM1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica

	En U se  considera que la “nomenclatura” es irrelevante y que un simple cambio de los símbolos que se utilizan no puede representar una modificación importante de la actividad. Pero en S la rigidez de las praxeologías matemáticas puntuales puede llevar a identificar y confundir la técnica con los medios semióticos (símbolos, gráficos, palabras, …) que constituyen su soporte material. Basta pensar, por ejemplo, en el desarrollo del cuadrado de un binomio; en la fórmula para resolver las ecuaciones  de segundo grado o en las reglas  de derivación de funciones.

CM2. Aplicar una técnica en S no incluye la interpretación del resultado

Debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las praxeologías  matemáticas que se estudian (reconstruyen), en S no se exije interpretar adecuadamente el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha técnica ha estado “correctamente” utilizada. Así, por ejemplo, el uso escolar de las técnicas para cálcular límites de funciones y la forma habitual de utilizar muchas de las técnicas para resolver ecuaciones (por ejemplo, las ecuaciones irracionales) no incluye ninguna “interpretación” de los resultados obtenidos.
CM3. Inexistencia de dos  técnicas diferentes para una misma tarea

En U se  necesita que determinadas  praxeologías  matemáticas puntuales no sean problemáticas para los estudiantes (esto es, se precisa que formen parte de su medio matemático) y, por tanto, se presupone que podrán utilizarse de manera flexible a lo largo del proceso de estudio universitario. En particular se actúa como si el paso entre dos  técnicas “elementales” matemáticamente equivalentes (como, por ejemplo, la manipulación de sumatorios en lugar de manipular los términos  de una suma) fuese no problemática para los estudiantes. Pero, como ya hemos dicho, en S se utilizan técnicas aisladas y muy rígidas y se deja en manos del alumno la responsabilidad de utilizarlas  de manera variada y funcional. Muy raramente se dispone en S de dos técnicas diferentes para un tipo de tareas, de tal manera que forme parte de la responsabilidad matemática del alumno decidir para cada tarea concreta cual de las dos técnicas es la más pertinente.  Ejemplo de la resolución de inecuaciones (Boero, 1998). 

CM4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa

	Uno de los aspectos  más importantes de la rigidez de las praxeologías  puntuales que se estudian en S se manifesta en la no reversión de las técnicas matemáticas corresponentes. En otros términos, en S lo que se considera institucionalmente como “dominar una técnica” no incluye poder invertirla para realizar la tarea inversa (o, más en general, no incluye poder modificarla de manera adecuada para llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea inicial). Ejemplo: ausencia de técnicas para pasar de la gráfica de una función elemental a la expresión analítica de ésta. 

CM5. Ausencia de situacionas  abiertas  que requieren un trabajo de modelización

Los problemas  escolares se  presentan, tanto en S como en U, con enunciados muy cerrados en los que figuran como “datos” todos los que se necesitan (exactamente) para resolver el problema. Raramente se  presenta una situación abierta donde el estudiante deba decidir cuales son los datos que se necesitan para formular correctamente un problema matemático. Pocas veces  la resolución de un problema se toma como punto de partida para plantear nuevos problemas. La ausencia de técnicas explícitas  de modelitzación comporta que, en U, se  tienda  a considerar que las modelizaciones  matemáticas que se  realizan en S son triviales (se considera, de hecho, que no son propiamente “modelizaciones” matemáticas sinó simples “cambios de lenguaje”). Ejemplo: los problemas de combinatoria y de probabilidad se tratan como si las relaciones entre el sistema y el modelo fueran transparentes. 

CM6. Cambio en el papel de las definiciones  (de “descriptivo” a “constructivo”)

El papel y las funciones  que se asigna a las definiciones  cambia radicalmente al pasar de S a U. Mientras que en S las definiciones hacen un papel esencialmente descriptivo con la finalidad de precisar ciertas  características de objetos  supuestamente conocidos, en U las definiciones sirven para construir  objetos  nuevos (incluso en el caso que se defina un objeto ya “conocido” por el alumno). En S es muy difícil que el alumno cambie su “relación a un objeto” por una simple definición formal. Dado que, según el contrato didáctico vigente en S, los conceptos matemáticos se construyen de la misma manera que los “conceptos espontáneos”, es de esperar que el alumno tienda a considerar cualquier definición matemática como una precisión bastante innecesaria y, por tanto, prescinda de ella en la práctica. Ejemplo: definición de rombo.

CM7. De las matemáticas “mostrativas” a las matemáticas “demostrativas”

El papel y las funciones  que se asignan a las demostraciones  también cambia radicalmente al pasar de S a U. Mientras que en S las demostraciones hacen un papel meramente “decorativo”, ya que las propiedades y los resultados se muestran, en U se  descalifica la argumentación “ostensiva”: la figura, el esquema o el ejemplo particular que “muestran” una propiedad, dejan de tener valor “demostrativo” (Gascón, 1997). 
En U, debido a la necesidad institucional de estudiar praxeologías  matemáticas regionales aparecen, bruscamente, problemas  absolutamente nuevos y que determinan completamente la nueva actividad matemática: (a) qué es en cada momento lo que está definido y lo que no está definido; (b) cuáles son los terminos  exactos de una definición; (c) cuáles son las hipótesis necesarias y cuáles son superfluas para demostrar una propiedad; (d) qué conocimientos podemos utilizar (independientemente de su “evidencia”) para hacer una demostración determinada. En definitiva, la matemática universitaria tiene carácter “demostrativo”. Ejemplo: demostrar que 1>0.

CM8. De los problemas  “por resolver” a los problemas  “por demostrar”

En el lenguaje de Polya (1954,1957), puede decirse que se pasa de una gran preponderancia de los “problemas  por resolver” (en los que se trata de construir el “objeto incógnita”) en S, a una presencia mayoritaria de los “problemas por demostrar” (donde se trata de conectar lógicamente dos proposiciones) en U. Correlativamente aparecen otros objetivos de la actividad de resolución de problemas, diferentes al de “construir el objeto incógnita” (ya sea éste un número, una función, un conjunto o una gráfica). Entre estos nuevos objetivos podemos citar: (a) demostrar la validez de un determinado resultado; (b) justificar una técnica; (c) determinar su dominio de validez; (d) describir las condiciones que ha de satisfacer un problema para tener solución; (e) explicitar la estructura del conjunto de las soluciones  de un tipo de problemas.  

CM9. La geometría escolar es “intrafigural” y trabaja con nociones  “absolutas”

(1) En S, en coherencia con el estadio “intra-figural” (Piaget y García, 1982), se estudian relaciones “internas” entre los diferentes elementos de figuras geométricas concretas (como, por ejemplo, las relaciones entre los elementos característicos de una elipse). En U, por el contrario, plenamente inmersos en el estadio “inter-figural, aparecen nuevos objetos de estudio: el espacio mismo, las transformaciones de este espacio y las relaciones  entre diferentes clases de figuras (como, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre las clasificaciones proyectiva, afín y métrica de las cónicas). 
(2) Las nociones  “absolutas” en S (como, por ejemplo, la métrica, la unidad de superficie y el sistema de referencia) pasan a ser “relativas” en U.

CM10. La matemática escolar presenta un fuerte carácter prealgebraico en S 
	 y una abrupta algebrización al inicio de la enseñanza universitaria

(1) En S las ecuaciones  y las fórmulas  se utilitzan principalmente como algoritmos  de cálculo (esto es, para calcular la incógnita de una ecuación o el valor numérico de una fórmula, para valores prefijados de las variables), lo que es propio del estadio “intra-operacional”. En U no se  hace una distinción radical entre fórmulas  y ecuaciones  paramétricas; unas  y otras se utilizan como modelos algebraicos (Gascón, 1999a).
 (2) En U se  pasa muy rápidamente a los estadios “inter-operacional” (estudio de tipos de ecuaciones, condiciones de compatibilidad, relaciones entre diferentes tipos de ecuaciones, estructura de las soluciones) y “trans-operacional” (estudio de las estructuras  algebraicas).
(3) En S el lenguaje funcional está completamente separado del lenguaje algebraico, mientras que en U las fórmulas  algébricas se interpretan a menudo como funciones  de varias  variables. 

CM11. El cálculo en S no estudia familias de funciones ni integra las técnicas

(1) El estudio de las propiedades de funciones  aisladas  (o de parejas  de funciones  relacionadas de una manera muy especial como, por ejemplo: seno-coseno y exponencial-logarítmica) propio de S y del estadio “intra”, da paso al estudio de tipos de funciones, successiones  de funciones  y de relaciones  generales entre funciones  en U (propio del estadio “inter”). Más adelante se llega hasta el estadio “trans” (estudio de espacios de funciones). 
 (2) Tanto en el caso del álgebra como, todavía más claramente, en el caso del cálculo, el paso de S a U comporta una fuerte integración de las técnicas de las diferentes disciplinas matemáticas (aritmética, geometría, álgebra y cálculo) que en S estaban muy separadas y en U tienden a acumularse muy rápidamente de una manera muy “naturalizada”, aunque no se presenten articuladas explícitamente. Ejemplo: utilización simultánea de técnicas algebraicas, analíticas y geométricas en la resolución de ecuaciones en U.

4. Objectivos de la Prueba Inicial

	Para contrastar empíricamente cada una de las anteriores conjeturas hemos elaborado una Prueba Inicial cuyos objetivos resumimos a continuación: 

1. Con esta prueba no pretendemos cuantificar ni analizar los conocimientos matemáticos de los estudiantes ni individualmente ni colectivamente. Tampoco nos interesa aquí analizar el tipo de errores que cometen ni cuales son sus conocimientos más débiles. De hecho, una muestra “ideal” de sujetos de esta Prueba estaría formada por “buenos alumnos  de Secundaria” en el sentido de alumnos  bien adaptados a dicha institución con un buen expediente matemático. 

2. No se trata tampoco de hacer una “encuesta” de conocimientos previos, destinada a constatar que los estudiantes “no tienen el nivel mínimo” imprescindible para empezar a estudiar matemáticas en la Universidad. 

3. Utilizaremos las respuestas  de los estudiantes para caracterizar la organización matemática en Secundária, S y, en particular, el tipo de actividad matemática que es posible llevar a cabo en esta institución. Queremos relacionar las características principales de esta organitzación con la correspondiente organitzación matemátco universitária, U y con el tipo de actividad matemática que ésta posibilita. 

4. El objetivo principal de la Prueba Inicial es empezar a contrastar las conjecturas enunciadas anteriormente y poner de manifiesto la existencia y la naturaleza de determinados obstáculos epistemológicos que dificultan el desarrollo del proceso de estudio de las matemáticas en el paso de Secundaria al primer ciclo de  la Universidad. 

5. Para cada una de las once conjeturas  hemos seleccionado un pequeño conjunto de tareas matemáticas que deberían permitir contrastar la conjetura en cuestión. Con todas  estas tareas  hemos elaborado una Prova Inicial (ver ANEXO). La primera versión de esta prueba ha sido pasada a principios del curso 1999-2000 a una amplia muestra de estudiantes que empezaban sus estudios universitarios. 

5. Elaboración de la Prueba Inicial

A finales de Septiembre de 1999 pasamos una prueba piloto a un grupo pequeño de alumnos gallegos y catalanes que permitió detectar defectos de forma,  imprecisiones en la formulación de los enunciados de algunas preguntas, grado de dificultad excesivo en otras, duración total inadecuada de la prueba, etc. La prueba sufrió de esta forma algunas modificaciones  no solo en la forma, sino también en el contenido de algunas preguntas y en su extensión.
	En su versión actual la prueba es un cuestionario formado por 11 bloques. En cada uno de ellos hay un número de items que oscilan  entre dos y seis, figurando un total de cuarenta items, que intentan contrastar las 11 conjeturas, a las que nos hemos referido anteriormente. La corrección de cada ítem acepta únicamente tres calificaciones diferentes:  1= no correcta; 2 = en blanco y  3 = correcta.
La  Prueba Inicial (P.I.) fue pasada a finales de Octubre, cuando los estudiantes habían tenido unas pocas semanas de clase. Los  estudiantes que realizaron la P.I. están matriculados en la Universidad Autónoma de Barcelona o en la Universidad de Vigo.  De la primera elegimos la Diplomatura de Estadística y la Licenciatura de Matemáticas y de la segunda la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial y  la  Escuela Superior de  Ingeniería  Industrial. En cada una de las Facultades se explicó a los alumnos, el objetivo de la investigación y la forma en que debía ser contestada la prueba, respondiendo a cuantas preguntas fueron suscitadas al respecto. Las variables utilizadas en este primer estudio exploratorio, así como los valores que pueden tomar son los siguientes: 
§	Estudios Universitarios (U):
o	EST	Diplomatura de Estadística
o	ETS	Escuela Superior de  Ingeniería  Industrial  
o	EUITI	Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial
o	MAT	Licenciatura de Matemáticas
§	Estudios en Secundaria  (S):
o	LOGSE
o	COU
o  FP

La prueba fue realizada por 336 alumnos, distribuidos de la siguiente forma:
 	EST	ETS	EUITI	MAT	Total	
COU	23	60	110	38	231	
FP	15	 	38	 	53	
LOGSE	6	4	9	33	52	
Total	44	64	157	71	336	

	REPETIDORES		
E.Secundaria	NO	SI	Total	
COU	184	47	231	
FP	38	15	53	
LOGSE	46	6	52	
Total  	268	68	336	

6. Análisis de los primeros resultados obtenidos con la Prueba Inicial

	Para analizar cada una de las conjeturas, utilizaremos los resultados obtenidos en el bloque correspondiente (ver, en el ANEXO, los enunciados de la Prueba Inicial). Para cada una de las conjeturas hemos elejido una pequeña muestra de tareas matemáticas entre un universo mucho más amplio de tareas posibles. Este hecho, por lo demás inevitable, constituye una importante limitación cuando se pretende contrastar conjeturas que, al referirse a la organización matemática de Secundaria, son forzosamente generales. Para ampliar la base empírica de estas conjeturas sería preciso elaborar para cada una de ellas una prueba con, al menos, una veintena de items. Lo anterior debe servir para relativizar los resultados que presentaremos a continuación y para no olvidar que éstos constituyen principalmente un acicate para proseguir una investigación que, tanto en la vertiente teórica como en la experimental, no ha hecho más que comenzar. 
	Las tablas que se ofrecen a continuación son matrices de doble entrada en las que figura el porcentaje de respuestas de cada tipo (“incorrectas”,  “en blanco” y “correctas”), para cada ítem del bloque. En algunos casos utilizaremos, además, resultados que hemos obtenido y que no figuran en las tablas.

CM1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 
(Bloque 1: Items 1.1; 1.2a; 1.2b y 1.2c )
En este primer bloque  nos planteamos qué ocurre en S cuando trabajamos con variables designadas con símbolos no habituales para el alumno. Hemos elegido dos tipos de  tareas presuntamente rutinarias: resolver una ecuación de segundo grado y calcular derivadas de funciones exponenciales y potenciales. Los resultados figuran en la Tabla 1. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 1.1.	21,13	7,74	71,13	
Ítem 1.2.a	74,11	16,37	9,52	
Ítem 1.2.b	34,82	22,32	42,86	
Ítem 1.2.c	54,17	22,92	22,92	
Tabla 1: Resultados del Bloque 1

El ítem 1.1 tiene un alto porcentaje de respuestas correctas (71,13). Podría parecer que un cambio de nomenclatura no representa en este caso un problema grave, pero debemos subrayar que casi el 30% de los estudiantes no resuelven correctamente la ecuación de segundo grado, cuando la incógnita se llama “a”. La pregunta 1.2.b también es “rutinaria” en S (derivar una función potencial), y sin embargo, el porcentaje de respuestas correctas (42,86) no refleja del todo este hecho debido a que la variable respecto de la que se debe derivar se llama “y” y la constante se llama “x”. 
 	Comparamos a continuación los resultados de 1.2.a y 1.2.c, cuya tarea es, en ambos casos,  derivar una función exponencial. Puede verse que la 1.2.c la contestan 77 alumnos (22,92 %), y de éstos, menos de la mitad 32 (9,52%) contestan bien la 1.2.a, cuando la única diferencia es un cambio de la variable x  por la variable a. Lo rutinario en S es derivar 3x respecto de x, pero no derivar xa respecto de la variable a. Si nos restringimos a los alumnos que derivan correctamente 3x respecto de x, observamos que únicamente el 40,3% de dichos alumnos (31 de 77) derivan correctamente xa respecto de la variable a. Los datos parecen confirmar, por tanto, nuestra primera conjetura. 

CM2. Aplicar una técnica en S no incluye la interpretación del resultado 
( Bloque 2: Items 2.1.a; 2.1.b; 2.2.a; 2.2.b; 2.3.a  y  2.3.b)
Lo primero que nos llama la atención es  que ningún alumno contesta bien a todo el  bloque (ver Tabla 12). Hay que destacar también que de los 336  alumnos, tan sólo 18 manejan bien las dos  técnicas:  resolución de ecuaciones y  cálculo de limites, pero no existe ningún alumno que sea capaz de interpretar las dos técnicas.
Observamos que mientras que el 34,23% de los estudiantes (115) utilizan correctamente la primera técnica  (ítem 2.1.a), tan sólo el 5,95 % del total (15) la interpretan correctamente (ítem 2.1.b). Si nos restringimos a los 115 alumnos que utilizan correctamente esta primera técnica, observamos que únicamente el 4,5% de ellos la interpreta correctamente. Una parte importante de los alumnos confunde la interpretación de la técnica con substituir las posibles soluciones en la ecuación irracional y comprobar que sólo x = 4 es solución de la ecuación inicial. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 2.1.a	54,76	11,01	34,23	
Ítem 2.1.b	47,92	46,13	5,95	
Ítem 2.2.a	26,49	11,01	62,50	
Ítem 2.2.b	43,75	11,90	44,35	
Ítem 2.3.a	66,07	13,39	20,54	
Ítem 2.3.b	61,31	32,44	6,25	
Tabla 2: Resultados del Bloque 2

Las preguntas 2.2.a y 2.2.b son ambas interpretaciones de resultados que obtiene habitualmente el alumno (desde primero de ESO en adelante) cuando resuelve determinadas ecuaciones elementales (por ejemplo, de primer grado). Partiendo de la hipótesis que todos ellos saben manipular ese tipo de ecuaciones hasta llegar a una ecuación de la forma ax = b, nos encontramos con que únicamente la mitad pueden interpretar correcta y simultáneamente expresiones del tipo 0 x = 8 o bien 0 x = 0.
La matriz de incidencia muestra que de entre los alumnos que manejan correctamente la técnica de cálculo del límite de un cociente de funciones (ítem 2.3.a) únicamente son capaces de interpretarla correctamente (ítem 2.3.b) el 10,2%. Otra vez  el uso “correcto” de la técnica (20,54) está muy por encima de su interpretación (6,25). Para muchos estudiantes la interpretación de la técnica se reduce a la comparación de los grados de los polinomios. Tenemos, en definitiva, que los datos parecen confirmar este segundo aspecto de la rigidez de las técnicas matemáticas. 

CM3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para una misma tarea 
( Bloque 3: Items 3.1.a; 3.1.b; 3.2.a  y  3.2.b )
El bloque completo tiene un porcentaje muy pequeño de respuestas correctas (2,98%) que equivale a 10 alumnos que responden correctamente a todos los ítems del bloque (ver Tabla 12). De hecho, todos los items del bloque tienen un porcentaje muy bajo de respuestas correctas, tal como se observa en la Tabla 3. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 3.1.a	60,42	22,02	17,56	
Ítem 3.1.b	22,92	61,90	15,18	
Ítem 3.2.a	35,12	58,04	6,85	
Ítem 3.2.b	27,68	61,31	11,01	
Tabla 3: Resultados del Bloque 3

Los resultados reflejan que los alumnos se atreven a contestar la pregunta 3.1.a, que presenta un número importante de respuestas incorrectas (60,42), cosa que no hacen con la 3.1.b, donde destacan las respuestas en blanco (61,90). Creemos que puede ser debido a que en la 3.1.a se propone la técnica del manejo de las desigualdades (que es la que se  presenta en la mayoría de los libros de texto como la técnica “natural” para resolver inecuaciones), mientras que la técnica a aplicar en 3.1.b (que requiere utilizanr la gráfica de la función asociada) es una técnica con la que el alumno parece que no está familiarizado. Únicamente el 9,52% del total de los estudiantes utilizan correctamente las dos técnicas para resolver una inecuación. Si nos restringimos a los estudiantes que utilizan correctamente la técnica algebraica para resolver la inecuación, observamos que únicamente el 54,2% de dichos estudiantes utilizan, también, la técnica gráfica.
El alto porcentaje de respuestas en blanco que presentan  los items 3.2.a (58,04) y 3.2.b (61,31) pone de manifiesto que la tarea de buscar la mediatriz de un segmento es poco conocida. La matriz de incidencia mostraba, en este caso, que únicamente el 4,76% de los estudiantes conocía las dos técnicas para resolver esta tarea. Si nos restringimos a los estudiantes que calculan correctamente la mediatriz como lugar geométrico (ítem 3.2.a), observamos que únicamente el 69,5% de  éstos calculan la meditriz como perpendicular por el punto medio (ítem 3.2.b). En este caso tiene sentido preguntarse, recíprocamente, ¿de entre los alumnos que utilizan correctamente la técnica de la perpendicular por el punto medio (ítem 3.2.b), qué porcentaje utiliza correctamente la técnica de la mediatriz (ítem 3.2.a)? La respuesta es el 43,24%. 
De nuevo los datos obtenidos y, en especial, los bajísimos porcentajes de estudiantes que poseen dos técnicas diferentes para cada una de las tareas propuestas, parecen confirmar nuestra tercera conjetura.

CM4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa 
(Bloque 4: Items 4.1  y  4.2)
El alumno está acostumbrado en S a tratar  como tareas rutinarias buscar las raíces de un polinomio de segundo grado y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, pero aquí le planteamos las tareas inversas. Los resultados que aparecen en la Tabla 4 muestran que el porcentaje de alumnos que puede invertir correctamente cada una de dos técnicas muy elementales es extraordinariamente bajo: (7,74) en el caso del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y (45,24) en el caso del polinomio de segundo grado que tiene dos raíces dadas. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 4.1	20,54	34,23	45,24	
Ítem 4.2	27,68	64,58	7,74	
Tabla 4: Resultados del Bloque 4
	Creemos que también es muy significativo el altísimo porcentaje de respuestas en blanco. Podrían interpretarse como la “respuesta” a una tarea desconocida o “extraña”. Estos datos parecen confirmar la conjetura relativa a este aspecto de la rigidez de las técnicas que se usan en S.

CM5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización 
(Bloque 5: Items 5.1; 5.2.a  y  5.2.b)
Planteamos al alumno dos tareas de modelización, en las que lo situamos como protagonista, buscando un  cierto compromiso en las respuestas. Los resultados figuran en la Tabla 5.

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 5.1.	32,74	34,82	32,44	
Ítem 5.2.a	62,20	14,29	23,51	
Ítem 5.2.b	52,68	33,93	13,39	
Tabla 5: Resultados del Bloque 5

La situación que se propone en 5.1. se modeliza mediante dos funciones afines. La mayoría de las respuestas o bien no llegan a construir el modelo matemático, o bien no lo utilizan de manera pertinente. La tarea que se propone en los items 5.2.a y 5.2.b combina un descuento y un impuesto. Los datos muestran claramente que los estudiantes no manejan con soltura la  modelización de situaciones muy elementales y, por tanto, parecen confirmar nuestra quinta conjetura. Hay que destacar que en una modalidad que tiene como meta la formación práctica de los estudiantes, como es la FP, sólo responde correctamente el 5,7 % de alumnos. 

CM6. Cambio en el papel de las definiciones: de “descriptivo” a “constructivo”
 (Bloque 6: Items 6.1.a; 6.1.b; 6.2.a; 6.2.b; 6.3.a  y  6.3.b)
Los resultados correspondientes a los items 6.1.a y 6.1.b muestran que únicamente el 10% de los estudiantes utiliza efectivamente una definición correcta de rectángulo para responder simultáneamente a ambos items. La mayoría de las respuestas incorrectas en el primer ítem ponen de manifiesto que los alumnos utilizan una “imagen” de la forma del “rectángulo” como (pseudo)definición: “ningún rectángulo puede ser un rombo porque el rectángulo tiene 4 ángulos rectos y el rombo tiene dos ángulos obtusos”.

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 6.1.a	70,24	18,75	11,01	
Ítem 6.1.b	45,54	14,58	39,88	
Ítem 6.2.a	52,08	32,14	15,77	
Ítem 6.2.b	52,68	34,23	13,10	
Ítem 6.3.a	11,61	15,77	72,62	
Ítem 6.3.b	23,51	14,58	61,90	
Tabla 6: Resultados del Bloque 6

En los items 6.2.a y 6.2.b se debía utilizar la definición de sucesión divergente y los resultados son muy parecidos (ver Tabla 6). Los porcentajes de respuestas correctas son muy bajos; la mayoría de las respuestas incorrectas están basadas en la idea intuitiva de “divergir hacia infinito” y en respuestas que no parten de la definición. En el ítem 6.2.a muchas de las respuestas incorrectas identifican el crecimiento con la  divergencia. En el 6.2.b las respuestas incorrectas giran alrededor de  “no, porque los términos impares se acercan a cero y los impares a infinito”. 
Los items 6.3.a y 6.3.b ofrecen un mayor porcentaje de respuestas correctas (ver Tabla 6) debido, probablemente, al fuerte predominio del aspecto “descriptivo” de la definición de distancia vertical entre dos puntos (ver la definición en el ANEXO).
En resumen, los datos parecen confirmar de nuevo nuestra conjetura: en Secundaria las definiciones sirven para describir objetos ya conocidos, no sirven para construir objetos nuevos. En rigor esto es lo que parecen sugerir los datos si nos restringimos a las definiciones particulares de “rectángulo” y de “sucesión divergente”. Postulamos que esta sería en todo caso la tónica general. 

CM7. De las matemáticas “mostrativas” a las matemáticas “demostrativas”	 (Bloque 7: Items 7.1.a; 7.1.b  y  7.2) 
En general, los resultados del bloque 7 (ver Tabla 7) avalan el predominio del bloque Práctico-Técnico sobre el bloque Tecnológico-Teórico, en la actividad matemática que se lleva a cabo en Secundaria. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 7.1.a	65,18	30,06	4,76	
Ítem 7.1.b	20,24	23,81	55,95	
Ítem 7.2	51,5	14,6	33,9	
Tabla 7: Resultados del Bloque 7

El ítem 7.1.a (que pedía una justificación de la validez de un argumento) tiene un nivel de respuestas correctas muy bajo (4,76), a diferencia del 7.1.b (que sólo requería comprobar si el resultado de la aplicación de dicho argumento era válido) y presenta un porcentaje 11 veces mayor (55,95) de respuestas correctas. Los alumnos confunden ambas preguntas  y afirman que “el argumento no es valido porque x = 2 no es solución de las ecuaciones”. 
En la pregunta 7.2 la gran mayoría de alumnos muestran graves dificultades para llevar a cabo un razonamiento hipotético (decidir si tres desigualdades implican o no una cuarta desigualdad). La mayoría de las respuestas no son ni siquiera pertinentes (independientemente de que sean incorrectas); parece que la demanda de “justificar la validez de un argumento” es una tarea que los estudiantes no identifican como susceptible de estar bajo su responsabilidad. 
 Los datos, de nuevo, parece que confirman nuestra conjetura de que la actividad matemática en Secundaria es esencialmente “mostrativa”, aunque hay que subrayar, de nuevo, las limitaciones que comporta la utilización de tan pocos items para una hipótesis tan general.

CM8. De los problemas “por resolver” a los problemas “por demostrar” 
(Bloque 8: Items 8.1.a; 8.1.b; 8.2.a  y  8.2.b)
Para contrastar esta conjetura hemos elegido tareas relacionadas con las  ecuaciones lineales. En la primera parte del bloque se requiere la utilización de una técnica para obtener unas pocas o todas las soluciones de una ecuación diofántica elemental. En el segunda parte del bloque, por el contrario, la tarea requiere demostrar que los sistemas de ecuaciones de un tipo determinado tienen soluciones con ciertas caracteríaticas generales. Los resultados figuran en la Tabla 8. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 8.1.a	19,64	10,71	69,64	
Ítem 8.1.b	55,95	25,30	18,75	
Ítem 8.2.a	55,95	26,19	17,86	
Ítem 8.2.b	61,90	31,25	6,85	
Tabla 8: Resultados del Bloque 8

El paso de la tarea que consiste en escribir tres soluciones concretas de una ecuación (ítem 8.1.a), a describir el conjunto de todas las soluciones (ítem 8.1.b), presenta una caida muy significativa del porcentaje de respuestas correctas (del 69,64 al 18,75). El alumno está acostumbrado a dar siempre soluciones particulares de una  ecuación  y cuando se le pide la solución general, supone que está en R, porque en la actividad matemática de Secundaria las ecuaciones se resuelven habitualmente en el campo real. La respuesta incorrecta mayoritaria es del tipo (3y/2, y). Aparece aquí otro aspecto de la rigidez de las técnicas y que tiene relación con la dificultad de delimitar el ámbito de aplicabilidad de una técnica.
Con los items 8.2.a y 8.2.b la dificultad aumenta todavía más debido a que se pasa de un “problema por resolver” a un “problema por demostrar” que, además, trata sobre todo un tipo de sistemas de ecuaciones. La mayoría de respuestas incorrectas  ponen de manifiesto que el alumno no responde de manera pertinente a la demanda de “justificar la respuesta”. De nuevo, con las limitaciones inevitables de la elección forzosamente arbitraria de técnicas y tipos de problemas, podemos afirmar que  los datos parecen confirmar la conjetura que postula una escasa presencia, en Secundaria, de problemas por demostrar. 

CM9. La geometría escolar es “intrafigural” y trabaja con nociones “absolutas”
(Bloque 9: Items 9.1  y  9.2)
	El ítem 9.1 pretende contrastar la hipótesis de que en Secundaria no se estudian las relaciones entre figuras y el 9.2 que en Secundaria se utiliza la noción absoluta de unidad de superficie identificándola con un cuadrado de lado unidad. Los resultados del bloque 9 figuran en la Tabla 9.

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 9.1	47,32	33,33	19,35	
Ítem 9.2	57,74	25,89	16,37	
Tabla 9: Resultados del Bloque 9

La mayoría de respuestas incorrectas al ítem 9.1. afirman que si dos figuras tienen ángulos respectivamente iguales, son semejantes (no ponen ejemplos). El ítem 9.2 aporta un resultado de respuestas correctas aún menor. Los alumnos presentan graves dificultades para utilizar el triángulo equilátero como unidad de superficie. En resumen, con las limitaciones habituales, parece confirmarse nuestra conjetura relativa a determinados aspectos de la organización escolar de la geometría.

CM10. La matemática escolar presenta un fuerte carácter prealgebraico en S 
             y una abrupta algebrización al inicio de la enseñanza  universitaria
 (Bloque 10: Items 10.1.a; 10.1.b; 10.2.a  y  10.2.b) 
	Entre las respuestas a los items de este bloque aparece un importante porcentaje de respuestas en blanco (Ver los resultados en la Tabla 10). 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 10.1.a	27,00	53,00	20,00	
Ítem 10.1.b	20,90	54,80	24,30	
Ítem 10.2.a	16,67	56,55	26,79	
Ítem 10.2.b	26,79	61,90	11,31	
Tabla 10: Resultados del Bloque 10

Postulamos que estos los datos relativos a los items 10.1.a y 10.1.b, reflejan la ausencia en S de tareas que involucren a todo un tipo de ecuaciones (o inecuaciones). 
Con los items 10.2.a y 10.2.b pretendemos contrastar la hipótesis de la ausencia de la actividad matemática que utiliza las funciones como modelos matemáticos dinámicos, flexibles y manipulables. La primera parte de la tarea (ítem10.2.a) comporta únicamente escribir la fórmula de la generatriz del cono en función del radio (nivel estático) y ha resultado relativamente más sencilla. La segunda parte de la tarea (ítem 10.2.b) requiere considerarla como una función y manipularla como tal (derivarla). El porcentaje de respuestas correctas (11,31) muestra bien a las claras el extraordinario aumento de la dificultad.  
Los datos muestran de manera concluyente que muchos de los alumnos que obtienen la fórmula de la generatriz del cono en función del radio, no la utilizan como un modelo algebraico del cono cuya manipulación debería permitir obtener conocimientos sobre éste. 

CM11. El cálculo en S no estudia familias de funciones ni integra las técnicas
(Bloque 11: Items 11.1  y  11.2) 
	El ítem 11.1 pretendía mostrar que en Secundaria un conjunto de funciones con propiedades comunes muy remarcables (por ejemplo, tres funciones cuadráticas cuyas gráficas son parábolas obtenidas por traslación) no se asocian a una familia de funciones. Los resultados figuran en la Tabla 11. 

	INCORRECTAS	EN BLANCO	CORRECTAS	
Ítem 11.1	62,20	27,38	10,42	
Ítem 11.2	40,48	50,00	9,52	
Tabla 11: Resultados del Bloque 11

La mayoría de las respuestas incorrectas a el ítem 11.1 se producen porque representan las parábolas sin relacionarlas entre sí, sin considerarlas como una familia de funciones. Otra parte pequeña (pero importante) de estudiantes representan las parábolas utilizando una tabla de valores arbitraria, pero sin calcular correctamente el vértice. Todas las técnicas útiles para representar gráficas de funciones quedan al margen, parece como si éstas sólo fuesen aplicables a funciones polinómicas de grado mayor que dos, funciones racionales, irracionales , etc. 
La respuestas al ítem 11.2. ponen claramente de manifiesto la poca integración de la técnica gráfica con la analítica y la algebraica. Remarcando, de nuevo, las limitaciones inherentes a la elección de los items elegidos, los datos parecen confirmar nuestra conjetura relativa a determinados aspectos de la organización del cálculo escolar. 

7. Algunas conclusiones provisionales
Lo dicho hasta aquí constituye un análisis muy provisional de los primeros resultados obtenidos con la Prueba Inicial (figura íntegra en el ANEXO). Esperamos completar este análisis en un futuro trabajo introduciendo, en particular, algunos datos del rendimiento matemático de los estudiantes en su primer año de estudios universitarios. Aún así, queremos presentar algunas conclusiones significativas:

(a) Empezaremos destacando bajísimo porcentaje de alumnos que han respondido correctamente a la totalidad de los items de cada uno de los bloques (estos datos figuran en la Tabla 12). 
BLOQUE	Número de alumnos	%	
1	16	4,76	
2	0	0,00	
3	10	2,98	
4	20	5,95	
5	33	9,82	
6	5	1,49	
7	9	2,68	
8	6	1,79	
9	16	4,76	
10	5	1,49	
11	11	3,27	

	
Tabla 12: Porcentajes de aciertos por bloques

	El porcentaje tan bajo de respuestas correctas que caracteriza a cada uno de los bloques parece confirmar globalmente nuestras conjeturas relativas a la rigidez y la atomización de las praxeologías puntuales que constituyen la organización matemática en  Secundaria. 

(b) La correlación entre la “calificación obtenida en esta prueba” (entendida como el número de respuestas correctas) y la nota de acceso a la Universaidad, es muy próxima a cero. Este resultado sugiere que la rigidez que muestran los estudiantes de Secundaria en su actividad matemática no depende de su nota de acceso a la Universidad, y pone de manifiesto que el problema que estamos detectando radica en el choque entre las organizaciones matemáticas de las dos instituciones. 

(c) Si analizamos el comportamiento de los estudiantes según su procedencia de Secundaria, observamos que el mejor comportamiento lo tienen los alumnos que proceden de COU, después los alumnos que provienen de la LOGSE (aunque en bastantes preguntas no arrojan diferencias significativas con los alumnos de COU) y finalmente, a mucha distancia, los alumnos que provienen de FP. 

(d) El bloque numero cinco, refleja un dominio muy débil de las técnicas de modelización matemática más elementales (9,82 % de respuestas correctas). Problemas que se plantean a diario, como el cálculo del tanto por ciento, arrojan porcentajes muy bajos de respuestas correctas. Este hecho es muy significativo si se tiene en cuenta que se trata de alumnos que han estado estudiando  matemáticas durante  12 años. Habría que preguntarse si en la organización matemática universitaria se mitiga o se agrava este problema. Quizá habría que plantear la necesidad o la conveniencia de que en toda Praxeología Matemática Local, se integre una Praxeología  Puntual generada por un tipo de “problemas de modelización”. 

(e) En la Prueba Inicial los estudiantes muestran dificultades especialmente graves en aquellas cuestiones en las que interviene el bloque tecnológico-teórico; es decir, en aquellas cuestiones en las que interviene la dimensión del estudio que hace referencia a la necesidad de explicar y justificar la actividad.  Esto se pone de manifiesto en preguntas como la 2.1.b, 2.3.a, 4.2, 6.1.a, 6.2.b, 7.2, 9.2, 11.1 y 11.2, todas ellas con porcentajes de respuestas correctas que están por debajo de un 15 %. Los primeros exámenes que estos alumnos hagan en la Universidad, confirmarán probablemente esta cuestión. Así, por ejemplo, es de esperar que el fuerte carácter algebraico de la organización matemática universitaria provoque un obstáculo importante en su proceso de estudio y tenga un coste didáctico muy fuerte tanto para la institución universitaria como para los propios estudiantes. 

(f) Aunque la Prueba Inicial, como decíamos, no pretendía medir el nivel de conocimiento de los alumnos en el momento de iniciar sus estudios matemáticos universitarios, también proporciona algunos datos al respecto. Así, por ejemplo, cuando queremos mostrar que el estudiante no posee dos técnicas para una misma tarea elemental nos encontramos con que la mayoría de estudiantes no dominan ni siquiera una y, cuando queremos mostrar que las técnicas dependen de la nomenclatura asociada, nos encontramos con que un porcentaje muy importantante de estudiantes no sabe derivar la función exponencial ni siquiera cuando el nombre de las variables es el habitual en Secundaria. En este sentido aparecen indicios bastante alarmantes que deberían ser analizados con otro tipo de prueba.

	(g) Los resultados de la Prueba Inicial muestran, en definitiva, la imperiosa necesidad de poner en marcha un trabajo didáctico-matemático serio para empezar a coordinar las organizaciones matemáticas de Secundaria y de la Universidad. Es previsible que dicho trabajo requiera efectuar cambios importantes en ambas instituciones. 

				Cangas do Morrazo-Barcelona, 23 de marzo de 2000

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ANEXO: PRUEBA INICIAL (Octubre, 1999)

Nom i cognoms: 

Estudis Secundària: 
Indica si has fet COU, FP o Batxillerat LOGSE (en aquest cas, indica la modalitat)

Nota d’accés:

Estudis Universitaris durant el curs 1999-2000:
Indica la Universitat i el nom de la Llicenciatura o Diplomatura

Ets repetidor/a?

1.1. Resol l’equació   x2a2 + 2xa + 1 = 0,   on la incògnita és a i on x és un nombre real conegut (diferent de zero).  

1.2. Deriva les funcions següents:  

(a)   f(a) = xa   (respecte la variable a)

(b)   g(y) = y x+2  (respecte la variable y)

(c)   h(x) = 3x  (respecte la variable x)

2.1. Considera la següent resolució d’una equació irracional:

elevant al quadrat els dos membres i simplificant s’obté l’equació: x2 - 40 x + 144 = 0
Aquesta darrera equació té les solucions  x = 4  i  x = 36.
a. ¿Són solucions de l’equació irracional inicial?
b. Interpreta el resultat que has obtingut en l’apartat anterior.  

2.2. (a) En la resolució d’una equació arribes a l’expressió  0  x = 8, com interpretes aquest resultat? 
(b) En la resolució d’una equació arribes a la conclusió que és equivalent a  0  x = 0. Quines solucions té l’equació?

2.3. Les funcions  f(x) =  3x4 + x    i    g(x) = x3 - 100 x2   tendeixen a zero quan x tendeix a zero i tendeixen a infinit quan x tendeix a infinit. 
(a) Calcula el límit de la funció quocient: f(x)/ g(x) quan x tendeix a zero i quan x tendeix a infinit.
(b) Quina de les dues funcions creus que tendeix més ràpidament a infinit quan x tendeix a infinit? Quina tendeix més ràpidament a zero quan x tendeix a zero? Justifica la teva resposta. 

3.1. Resol la inequació 
(x-1)2 – 4 < 0

(a) Fent servir les propietats de les desigualtats, sense fer servir cap gràfica.
(b) Fent servir la gràfica de la funció associada. 

3.2. Escriu l’equació de la mediatriu del segment AB, on A=(0, 1) i B=(1, 0):
(a) Com a lloc geomètric dels punts que equidisten d’A i B.
(b) Com a recta perpendicular al segment AB pel seu punt mitjà.

4.1. Escriu un polinomi de grau 2 en la variable x que s’anul.li per a  x=2 i x=3. 

4.2. Construeix un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tingui el punt  (-5, 4) com a solució única. Explica com ho fas.

5.1 Com compararies les següents ofertes de treball per repartir propaganda electoral? (1) Et paguen una quantitat fixa de 50.000 ptes. més 10 ptes. per cada papereta dipositada en una bústia. (2) Et paguen 30.000 ptes. fixes més 15 ptes. per papereta. 

5.2. En uns grans magatzems fan el 10% de descompte en tots els articles i després carreguen el 16% d’I.V.A. 
(a) Com calcularies el cost final d’un article que inicialment val x ptes? 
(b) Pots calcular el cost final aplicant a x una única operació?

6.1. (a) Existeix algun rectangle que sigui un rombe?  Justifica la teva resposta.
(b) Existeix algun rectangle que sigui un quadrat?. Justifica la teva resposta.

6.2. Recordeu que una successió és divergent cap a més infinit si satisfà la següent condició: Donat un nombre real K qualsevol, existeix un terme de la successió a partir del qual tots els termes de la successió són més grans que K. Digueu si les següents successions són o no són divergents cap a més infinit. Explica-ho.

(a)   1, 10, 2, 100, 3, 1000, 4, 10000, 5, 100000, 6, ...

(b)   1, 10, 1/2, 100, 1/3, 1000, 1/4, 10000, 1/5, 100000, 1/6, ...

6.3. Anomenarem distància vertical entre dos punts del pla al valor absolut de la diferència entre les seves segones coordenades:    d((a, b), (c, d)) = b - d

(a)	Posa exemples de punts diferents que estan a distància vertical igual a zero.
(b) Quin punt està més pròxim a l'origen (respecte a la distància vertical): el (4; 0.5), el (1;1) o el (-2; -1)? Justifica la teva resposta. 

7.1. En un examen figura la següent pregunta: “¿Hi ha algun número real x que satisfaci simultàniament les equacions   x3 + 2x = 5   i   x3 - 2x = -3?”
Un company teu dóna la següent resposta: “Restant les dues equacions trobem que x ha de satisfer l’equació  4x = 8  i, per tant, resulta  x = 2”.
(a) Justifica la validesa  d’aquest argument (o explica perquè no és vàlid).
(b) Digues si és vàlida la solució trobada. 

7.2. Tenim tres nombres a, b i  c que satisfan les desigualtats:  5 < a, :  5 < b  i  b < c. Podem deduir d’aquí que a < c?  Justifica la teva resposta. 

8.1. (a) Escriu 3 parelles de nombres enters que siguin solució de l’equació:

12x = 18 y

(b) Descriu el conjunt de totes les parelles (x, y) d’enters que són solució d’aquesta equació.

8.2. Si un sistema d’equacions lineals té més incògnites que equacions: 
(a) Podem assegurar que no té cap solució? Justifica la teva resposta.
(b) Podem assegurar que té infinites solucions? Justifica la teva resposta. 

9.1. Si dos quadrilàters diferents tenen els angles respectius iguals, són necessariament semblants? Explica-ho i posa exemples. 

9.2. Prenent com a unitat de superfície l’àrea d’un triangle equilàter de costat una unitat de longitud, quina és l’àrea d’un triangle equilàter de costat dues unitats? 

10.1. (a) Existeixen inequacions polinòmiques de primer grau amb una incògnita:
 ax + b  0  que no tinguin cap solució? Posa un exemple, si existeix, d’inequació de 
primer grau sense cap solució. 
(b) I de segon grau: ax2 + bx + c  0? Posa un exemple, si existeix, d’inequació de segon grau sense cap solució. 

10.2. L’àrea total S d’un con recte de generatriu g i radi de la base R, ve donada per la fòrmula:  
	S = R (g + R)

(a) Escriu la funció  g = f (R)  que relaciona la generatriu g amb el radi de la base R, quan l’àrea total S del con és igual a 1. 
(b) Calcula la derivada d’aquesta funció. 

11.1. Quina relació hi ha entre les gràfiques de les funcions següents: 

y = x2;    y = (x + 3)2;      y = x2 – 5     

11.2. L'equació    4x - x4 = 4   no té cap solució. Justifica-ho utilitzant el màxim de la funció  f(x) = 4x - x4.