Análisis didáctico del artículo
“El peso de un recipiente.
 Estudio de los problemas de la medición en CM” 
en el marco de la teoría antropológica 

Grupo BAHUJAMA
VERSIÓN del 21 de marzo de 2000

1. Comentario metodológico

	El análisis de las dos sesiones de clase presentadas en este artículo requiere, como cualquier análisis didáctico, que se parta de un “modelo epistemológico de referencia” sobre el contenido matemático objeto de enseñanza. Dado que nuestro análisis se sitúa en el marco de la teoría antropológica, el modelo epistemológico del que partiremos se formulará en términos de organizaciones o praxeologías matemáticas. 
	A pesar de que la didáctica de las matemáticas cuenta con algunas aportaciones valiosas sobre lo que podríamos llamar el “universo de la medida”, no disponemos en el marco de la teoría antropológica de una descripción completa y suficientemente detallada de dicho “modelo epistemológico de referencia”. Debemos pues, como una primera etapa de nuestro análisis, concretar qué es la “medida de magnitudes” en el sentido amplio de “actividad matemática en torno a la medición de magnitudes”: qué “tipos de problemas de medición” y de “técnicas de medición” pueden considerarse, cómo se articulan y relacionan entre sí, qué dinámica basada en qué cuestionamiento permite establecer una evolución entre ellos, qué discurso tecnológico acompaña esta dinámica, qué elementos teóricos permiten organizar el conjunto de la actividad, etc. 
	Después de la descripción de dos sesiones de clase, el artículo que analizamos propone algunos elementos que, según los autores, deberían ser ingredientes fundamentales de cualquier organización matemática construida en torno a la actividad de la medida. Podemos pues, en esta primera etapa de nuestro análisis, reformular, completar y reestructurar dichos elementos para proponer una primera versión de nuestro modelo epistemológico de referencia. Este modelo deberá ser suficientemente amplio como para servir de referencia a todas las posibles organizaciones matemáticas en torno a la medida de magnitudes y, a la vez, debe permitir describir con precisión cada una de las organizaciones concretas.
En una segunda etapa de nuestro análisis pondremos a prueba la pertinencia, el grado de adecuación y la potencia de nuestro modelo epistemológico de referencia utilizándolo para describir las organizaciones presentes en las dos sesiones de clase descritas en el artículo. Esta descripción deberá tomar en cuenta que estas dos sesiones presentadas en el artículo forman parte de una organización didáctica más amplia que consta de 30 sesiones de clase. Las dos sesiones descritas son pues únicamente un pequeño fragmento del proceso didáctico global que los autores presentan como particularmente interesantes o “paradigmáticas”, sin especificar en qué consiste dicho interés. Uno de nuestros objetivos debería consistir en mostrar y explicar el papel que desempeñan estas dos sesiones dentro del proceso didáctico global.
Partiremos pues aquí de las “indicaciones” epistemológicas que proponen los autores del artículo para esbozar un primer “modelo epistemológico de referencia” que nos proporcionará los elementos necesarios para describir, interpretar y analizar el fragmento de organización matemática que se construye en las dos sesiones y, en la medida de lo posible, el correspondiente fragmento de organización didáctica que establece las condiciones de dicha construcción.

2. Elementos para un “modelo epistemológico de referencia”

	En el artículo que queremos analizar (G. y N. Brousseau, 1991-92), los autores afirman: 

“el universo de la medida y de la medición pone en presencia al menos dos dominios bastante separados para los alumnos, aunque lo que les distingue permanezca difuso:
 el ámbito de los objetos concretos y de las magnitudes con su entorno de propiedades y manipulaciones, 
 el ámbito de los números y el entorno de cálculo”. (p. 84) 

Más adelante, refiriéndose a las relaciones entre los dos ámbitos citados, concluyen:

“ ...(dichas relaciones) no parecen tratadas de manera conveniente y no son objeto de verdaderos análisis didácticos” (p. 84).

	Como hemos comentado previamente, para llevar a cabo el análisis didáctico que los autores sugieren sería necesario describir “el universo de la medida y de la medición”. Si, además, nos situamos en el marco de la teoría antropológica, dicha descripción debería hacerse en términos de praxeologías o, con más precisión, en términos de la génesis, la evolución y las interrelaciones que se establecen en las diferentes instituciones entre determinadas praxeologías matemático-didácticas.
	Una primera propuesta para iniciar nuestro análisis consiste en explorar la posibilidad de describir el “ámbito de los objetos concretos y de las magnitudes” con la ayuda de praxeologías en las que por no intervenir el “ámbito de los números y el entorno de cálculo” denominaremos “praxeologías cualitativas en torno a la medida de magnitudes”. Habría que empezar por describir tipos de tareas y de técnicas de “medición efectiva” de una magnitud concreta e integrarlas en praxeologías cada vez más complejas y “completas”. La primera cuestión que nos plantearemos será, entonces, la del papel que pueden jugar las citadas praxeologías “cualitativas” como instrumentos de ayuda al proceso de estudio de la medición efectiva y, más en general, como medios mecesarios para elaborar técnicas didácticas útiles en el proceso de estudio de la medida de magnitudes. Correlativamente, nos preguntaremos por las condiciones que han de cumplirse para que dichas praxeologías cualitativas puedan vivir en una institución determinada.
	La segunda cuestión que nos plantearemos, y que no pretendemos separar de la primera, consistirá en analizar hasta qué punto el “ámbito de los números y el entorno de cálculo”, cuando éstos se refieren al resultado de realizar medidas de magnitudes de objetos concretos, puede describirse adecuadamente utilizando únicamente la praxeología que constituye un modelo matemático universal de todas las magnitudes escalares continuas.
Queremos saber, en particular, hasta qué punto esta segunda organización matemática contiene a la primera, o bien puede considerarse relativamente independiente de ella. Y, lo que es didácticamente más importante, queremos analizar la incidencia que tiene sobre el proceso de estudio de dichas praxeologías el hecho de que, en una institución docente determinada, se presenten ambas organizaciones confundidas o manteniendo una relación difusa. 
	Pretendemos, en resumen, precisar y delimitar los componentes de cada uno de los dos ámbitos citados utilizando la noción de “praxeología” para estructurar los diferentes componentes (objetos concretos, números y cálculo, etc.) que intervienen en los problemas de medida y originan lo que los autores designan como la “complejidad del concepto de medida”. También pretendemos, utilizando la noción de “modelización matemática de una praxeología”, explicitar las relaciones que se dan y las que se podrían dar entre ambos ámbitos, así como sus consecuencias didácticas.
	Partiremos de la hipótesis previa (todavía poco elaborada) de que la separación radical entre magnitud (o cantidad de magnitud) y medida es artificial, sobre todo cuando esta separación se entiende como una anterioridad ontológica de la primera sobre la segunda. Porque, aunque podamos definir las magnitudes sin vincularlas necesariamente a la actividad de medida, aunque podamos pensar y construir efectivamente, por ejemplo, un concepto de superficie (o de inteligencia, o de calor) fuera de toda problemática de medición, las prácticas humanas institucionalizadas habituales con magnitudes no pueden desvincularse de ella: todas suponen siempre la comparación de cantidades de magnitud –que es, de hecho, la medición “cualitativa” de la que hemos hablado–. Cabe tener en cuenta, además, que fuera de las magnitudes más elementales (longitud, peso, tiempo, etc.), la mayoría de magnitudes que se utilizan no son más que “magnitudes secundarias”, es decir, magnitudes que se definen a partir de nuevas operaciones de medida. 
3. Reestructuración de los objetos que intervienen en los problemas de medida de una magnitud m
	
Partimos de los ocho tipos de “objetos” que, según el análisis presentado en el apartado B de la parte titulada “Problemas de didáctica de la medida”del artículo que estamos analizando, intervienen en los problemas de medida respecto de una magnitud cualquiera. A continuación describimos dichos objetos explicitando, ampliando y completando la estructura de algunos de ellos. 

(1) Un sistema S(m) de objetos Oi “soportes” del carácter que se quiere medir.

(2) La noción general de “magnitud”, de la cual cada magnitud concreta m no es más que un caso particular. Cada magnitud está determinada por un conjunto de objetos “medibles” S(m) en el que puede definirse una operación de “adjuntar” dos o más objetos para obtener un nuevo objeto medible y en el que se establece una relación de equivalencia entre objetos (respecto a la magnitud m).

(3) La cantidad de la magnitud m que se le asigna a cada objeto Oi, antes de cuantificarla. Este objeto puede ser representado por la clase de equivalencia a la que pertenece Oi en la relación de equivalencia que define m en el conjunto S(m) de objetos “soportes”.

(4) La familia de funciones medida asociadas a cada magnitud m. Son aplicaciones aditivas del conjunto de los objetos en los reales positivos. Para cada elección de un objeto como unidad de dicha magnitud (esto es, un objeto cuya imagen es 1), se obtiene una función medida diferente asociada a la misma magnitud m. Esto significa que, dados un conjunto de objetos S(m) y una magnitud m, cada elección de una unidad de medida determina unívocamente una función medida asociada.

(5) La imagen de una función medida concreta aplicada a un objeto Oi concreto. Es un número real positivo. 

(6) La medida concreta de una clase (de equivalencia) de objetos. Viene dada por una clase de pares equivalentes. Cada par viene dado por un número real positivo y una unidad de medida (de la magnitud en cuestión) que determina una función medida particular. Un ejemplo de medida concreta es: 3 cm = 0,03 m = 30 mm = .... 

(7) La operación material de medir o método que permite determinar efectivamente para un objeto concreto Oi y una magnitud concreta m, una medida concreta aproximada, esto es, una medida concreta más un intervalo de incertidumbre. Por ejemplo, la longitud de la mesa es 1,35 m  0,002 m. 

(8) La evaluación de la medida es una especie de juicio o de “medida” sobre la medida que hace referencia a la rareza, la calidad, la precisión de la medida, etc. Sirve como medio de control (y de interpretación) de las actividades de medición, en los cálculos y en las comparaciones. 
	
Parece claro que cualquier intento de describir una praxeología cualitativa en torno a la medida de magnitudes debería modelizar, al menos, los “objetos” (1), (2), (3), los aspectos cualitativos de (8) y, además, dos nuevos “objetos” que completarían (3):

(3’) La operación material para comparar dos objetos respecto de la magnitud m, antes de que dichas cantidades tengan asociado ningún número. Es decir, el método efectivo que permita decidir si dos objetos son o no son equivalentes respecto de la magnitud m, (y, en caso de no ser equivalentes, el método debe permitir decidir el sentido de la asimetría). 

(3’’) La operación material que permite “adjuntar” dos o más objetos respecto a la magnitud m, antes de que dichos objetos tengan asociado ningún número relativo a la “cantidad” de magnitud m. 

3.1. La praxeología S(m) en torno a la medida de una magnitud continua m

	Partimos del sistema S(m) = {Oi} formado por un conjunto de objetos potencialmente susceptibles de ser medidos respecto de la magnitud m (que pueden ser objetos físicos o ya matematizados), así como por un conjunto de acciones hipotéticamente realizables con dichos objetos: construir un nuevo objeto, medible respecto de m, adjuntando dos o más objetos; comparar dos objetos respecto de la magnitud m de manera que podamos concluir si son o no son equivalentes respecto de m, decidir la dirección de la asimetría entre dos objetos que no sean equivalentes respecto de m y evaluar algunos aspectos de la medición de los objetos respecto de m mediante juicios relativos a la rareza, la calidad o la precisión de la medida. Se trata, como puede observarse, de un sistema bastante mal delimitado, incluye (1), (2), (3), (3’), (3’’) y los aspectos cualitativos de (8). 
Podemos suponer que las acciones citadas constituyen tareas que responden a determinadas cuestiones (relativas, por ejemplo, al tema de la comparación o de la determinación de objetos equivalentes a uno dado). Supondremos también que, para determinadas magnitudes m y para determinados conjuntos S(m) de objetos, existen técnicas efectivamente (materialmente) realizables para llevar a cabo dichas tareas. En algunos casos, dichas técnicas estarán estrechamente vinculadas a un instrumento de medición, que impondrá ciertas condiciones a las técnicas: casos límite, fiabilidad de las comparaciones, interpretación de los resultados con un determinado margen de error potencial, etc. Aunque para simplificar nos referiremos únicamente al sistema de objetos S(m), cabe tener en cuenta la existencia de un instrumento I de comparación (que, en el caso que examinamos es la balanza). 
Lo anterior nos permite hablar de una praxeología (todavía no matematizada y, en general, bastante incompleta) en torno a la medida de una magnitud. El estudio de esta praxeología-sistema requiere la construcción de un modelo matemático que, como tal modelo, será forzosamente simplificativo y reducirá el sistema a algunos aspectos del mismo. 

3.2. Modelos matemáticos “cualitativos” CS(m) del sistema S(m)

	Denominaremos modelo cualitativo de S(m), y lo designaremos con el símbolo CS(m), a un modelo matemático de S(m) construido de la siguiente manera: 

(1) Modelizamos cada objeto Oi de S(m) por su cantidad de magnitud pi (sin ninguna referencia numérica) y consideramos CS(m) como el conjunto generado por dichos símbolos:
CS(m) =  pi 

(2) Existe una suma formal definida en CS(m) que permite construir elementos nuevos a partir de dos o más símbolos. Esta suma formal puede considerarse como la modelización de la operación de “adjuntar” que existía en S(m). Dado que un mismo símbolo puede repetirse un número (natural) cualquiera de veces, podemos considerar que los elementos de CS(m) son de la forma (donde el número de sumandos es finito): 

(3) La suma formal definida en CS(m) es una operación interna conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro (que podemos identificar con la suma formal cuyos coeficientes sean todos nulos). CS(m) tiene, pues, estructura de semi-módulo sobre N.

(4) La relación “tener la misma cantidad de la magnitud m” es una relación de equivalencia en CS(m). Esto quiere decir que los elementos de CS(m) (esto es las sumas formales con coeficientes naturales) son representantes de clases de equivalencia, módulo dicha relación. Así, dos sumas formales diferentes pueden ser equivalentes. Es importante subrayar que las limitaciones del instrumento de medida o las restricciones en el proceso efectivo de medir la cantidad de una magnitud con un instrumento concreto pueden ocasionar que únicamente puedan conocerse directamente algunas de estas equivalencias, de manera que en CS(m) puede constituir un problema no rutinario la cuestión de si dos sumas formales concretas son o no son equivalentes.   

(5) En CS(m) se define una relación de orden total “<” compatible con la suma formal anterior que verifica el axioma de Arquímedes. Obtenemos así un semi-módulo totalmente ordenado y arquimediano.

(6) Podemos considerar diversas extensiones de CS(m). Por ejemplo, si definimos la división de un elemento p de CS(m) por un número natural n mediante: 

p/n  q  p  nq

y añadimos a CS(m) todos los elementos que puedan obtenerse de esa forma (incluyendo las combinaciones lineales de ellos con coeficientes naturales), tendremos una extensión de CS(m) que tendrá una estructura que puede asimilarse a un semimódulo sobre los racionales positivos, Q+. Si, además, añadimos todos los elementos necesarios para que la relación de orden verifique el axioma del supremo, entonces tenemos una nueva extensión propia del semimódulo que, en este caso, es sobre R+. 
Hasta aquí no hemos hecho más que formalizar el conjunto de objetos y las propiedades del sistema S(m), con la ventaja que dicha formalización nos proporciona un sistema de escritura para designar los elementos de S(m) –las cantidades de magnitud– sin necesidad de la escritura numérica de su medida.
	El paso de S(m) a CS(m) también nos permite, en principio, resolver tareas problemáticas en S(m) sin necesidad de realizar manipulaciones efectivas con los objetos de S(m). Los axiomas establecidos permiten “simular” el trabajo en S(m) mediante un trabajo simbólico realizado por escrito.
Es probable que este trabajo de comparación de cantidades dentro de CS(m) nos conduzca a considerar (o a buscar) un conjunto de elementos u1, u2, ..., uk que funcionen como “sistema de cantidades de referencia”, de tal modo que todo elemento de CS(m) se pueda escribir como combinación lineal de estos elementos (con determinados coeficientes). Se trata, en cierto sentido, de plantear la necesidad de la medida como medio canónico de comparación o caracterización de las cantidades. 
Se puede plantear también, en este contexto, el problema de la unicidad de la escritura de los elementos de CS(m) como combinación lineal de los ui o, lo que es lo mismo, el establecimiento de relaciones entre las cantidades ui de referencia. La elección de un solo elemento como “base” del conjunto CS(m) (que corresponde, de hecho, a la elección de una unidad de medida) constituirá el primer paso hacia la construcción del 

“modelo cuantitativo” CS(m)[u] de S(m), que también es un modelo de CS(m).

3.3. Modelo cuantitativo CS(m)[u] de la praxeología S(m) y de los CS(m)

	Se puede demostrar que todos los semimódulos definidos en el apartado anterior son isomorfos a un subsemimódulo de R+ y que la última de las completaciones es un semimódulo isomorfo al propio R+. La construcción efectiva de estos isomorfismos conduce a la definición de una medida sobre CS(m). Se demuestra en efecto que, fijada una unidad u de medida, es decir un elemento particular uCS(m), existe un único isomorfismo algebraico y de orden que permite identificar CS(m) con los reales positivos (provistos de la suma y la relación de orden habituales). Lo que hace, por tanto, es identificar cada cantidad de magnitud de CS(m) con la medida de dicha cantidad tomando como unidad el elemento u.
	Notemos que, en el caso de una magnitud continua, la construcción progresiva de este isomorfismo partiendo de los elementos de S(m) supone una modificación importante de la praxeología inicial y, en particular, de las condiciones de realización de la comparación de cantidades. Supongamos por ejemplo que S(m) está compuesto de un conjunto de objetos {Oi} que modelizamos en CS(m) por combinaciones lineales formales de los pi. Es evidente que la posibilidad de elegir un solo objeto como base de medición (o un conjunto muy reducido de generadores) es una posibilidad “teórica” que no siempre se podrá realizar en la práctica con el instrumento concreto de comparación de que se dispone en S(m) (por ejemplo, cuando alguno de los objetos sea inconmensurable con u). Esto conduce a la noción matemática de “medida aproximada” (inseparable de la de “grado de aproximación”), noción que resulta del trabajo dentro del modelo CS(m) y no de la manipulación de objetos en S(m). 
Dicho en otras palabras, la necesidad de disponer de un sistema simple y manejable de “cantidades de referencia” conduce a la construcción de una nueva relación de equivalencia en CS(m) menos “exigente” que la inicial. Resulta así que la progresiva matematización del sistema S(m) inicial conduce, también, a una progresiva modificación de la noción de “cantidades equivalentes” hacia la noción de “cantidades aproximadamente equivalentes”. Esta nueva noción puede expresarse en las praxeologías cualitativas intermedias CS(m) con mucha más precisión que en el sistema inicial S(m) y es, por tanto, en ellas donde se plantean las primeras cuestiones que constituirán posteriormente la “razón de ser” de la praxeología que responderá a la problemática de la aproximación de la medida y del error.
Es importante determinar entonces el papel que juegan las técnicas de comparación de S(m) en estas progresivas modificaciones de la actividad de medición: qué margen de error se acepta inicialmente para admitir que dos cantidades son equivalentes, cómo varía y cómo se reformula y se precisa este margen cuando en CS(m) se asume la existencia de una base de unidades, cómo se toma en consideración este margen de error, etc.

4. Análisis antropológico de algunas praxeologías concretas en torno a la medida de magnitudes 

	Según lo anterior, nuestro análisis de una situación de medida de magnitudes dependerá de los elementos siguientes: 

•	La magnitud m que se considere en cada caso; 
•	El sistema S(m) que elijamos, especialmente en lo que hace referencia a las limitaciones y restricciones que impongamos a la posibilidad efectiva de medir objetos, adjuntar objetos para obtener nuevos objetos y comparar efectivamente la medida de objetos; 
•	Las relaciones entre los elementos de CS(m) que se supongan conocidas y, en definitiva, la naturaleza de la unidad u de medida tomada y del papel que se suponga que juega dicha unidad en la determinación de las citadas relaciones. 

Teniendo en cuenta todas estas variables, deberíamos poder describir el proceso didáctico del trabajo completo de G. y N. Brousseau partiendo del marco general (y todavía provisional) anterior. Habrá que ver cómo actúan los objetos materiales en cada nivel S(m), CS(m) y CS(m)[u] y cómo se relacionan con los objetos matemáticos que se van construyendo: qué validación proporcionan o pueden proporcionar, cómo inciden en la elección de u, cómo influye sobre el proceso didáctico la naturaleza de las diferentes praxeologías matemáticas que se van construyendo, etc.

4.1. La praxeología en torno a la medida de longitudes

	Llevaremos a cabo una breve descripción de algunas de las praxeologías ligadas a las actividades de medida de longitudes que aparecen en el texto de Brousseau (1992, p.1-8). 	En nuestro análisis tendremos en cuenta los modelos S(m), CS(m) y CS(m)[u], siendo m = longitud = l  y u = cm, que describiremos como sigue: 

•	S(l) = {Bi}

Los Bi son los objetos “soporte” del carácter que se quiere medir (longitud). Se trata, en concreto, de bandas de longitudes: 32, 40, 42, 51, 57, 64 cm. y de una “banda de referencia” u de 12 cm. La relación de equivalencia, simbolizada por ~, consiste en colocar una banda al lado (o encima) de la otra, haciendo coincidir un extremo y observando si coinciden los otros extremos. Si no coinciden, la banda que sobrepasa la otra es la de mayor longitud. Además,  Bi  S(l), Bi > u, y  Bi  S(l), la longitud de Bi  no es múltiplo de u.
S(l) es, por tanto, el sistema formado por un conjunto de objetos Bi susceptibles de ser medidos respecto de la magnitud longitud l, así como por un conjunto de acciones hipotéticamente realizables con dichos objetos: construir un nueva banda medible respecto a l; adjuntar dos o más bandas; comparar dos bandas respecto de su longitud, de manera que podamos concluir si son o no equivalentes; decidir la dirección de la asimetría entre dos bandas que no sean equivalentes respecto de l; y evaluar algunos aspectos de la medición de los bandas respecto de l mediante juicios relativos a la rareza, la calidad o la precisión de la medida. Para llevar a cabo estas acciones (tareas), existen técnicas efectivamente realizables sobre los objetos Bi. 

•	CS(l) = < li >

CS(l) es el conjunto generado por los símbolos li y constituye una modelización del sistema S(l), ya que cada banda Bi está representada por su cantidad de longitud li. Cada li puede aquí expresarse (aproximadamente) como una combinación lineal de la banda de referencia u y de partes de u (por ejemplo: u/qn, donde qn = 2n, n  N):

li = ni u +  1/qj  u,	ni  N, 	qj = 2j (j  N)

Existen tareas (problemas) en S(l) que se pueden resolver en CS(l) sin necesidad de realizar manipulaciones efectivas sobre los objetos de S(l). Otras tareas, sin embargo, necesitan poner en funcionamiento técnicas de resolución que han de llevarse a cabo manipulando los objetos de S(l). En el sistema CS(l) tenemos definida una suma formal (modelización de la operación de adjuntar definida en S(l)), así como el producto por un racional Q+ de la cantidad de longitud de los objetos Bi.
Al variar los li se generan diferentes modelos matemáticos CS(l) = < li > del sistema S(l). Teóricamente, si se incluyen todas las longitudes conmensurables con u, CS(l), puede llegar a tener estructura de semi-módulo sobre los racionales positivos Q+, totalmente ordenado y arquimediano.

•	CS(l)[u]  donde u = 1 cm	

La elección de un solo elemento como “generador” del conjunto CS(l), en este caso, la elección del cm como unidad de medida, constituye el primer paso hacia la construcción del modelo “cuantitativo” universal CS(l)[cm] que, a su vez, contiene a todos los CS(l) intermedios (identificamos cada cantidad de magnitud de CS(l) con la medida de dicha cantidad tomando como unidad el cm). CS(l)[u] es entonces un semimódulo isomorfo a R+.

En el texto de Brousseau (1992, p.1) se propone la división de los alumnos de la clase en dos grupos, emisores y receptores, proponiéndoles a ambos la siguiente tarea:

:      Dado un objeto Bi y dada una banda de referencia u, escribir un mensaje que exprese la medida de su longitud, para que otra persona (que tiene también u), una vez leído e interpretado dicho mensaje, pueda construir un objeto Bj que sea equivalente a Bi respecto a su cantidad de longitud.

Esta tarea consta, en realidad, de dos problemas:

•	Uno a cargo de los “emisores”:

1: 	Formular un mensaje escrito que exprese la medida de la longitud del objeto Bi empleando la unidad de referencia u.

•	Otro a cargo de los “receptores”: 

2: Interpretar el mensaje anterior y, por medio de él, construir un objeto Bj que sea equivalente a Bi  respecto a su cantidad de longitud.

e plantea, además, otro tercer problema, aunque no aparezca explícitamente en el texto de Brousseau (1992): 

3: Determinar si dos mensajes diferentes, que expresan la medida de la longitud de un mismo objeto Bi son equivalentes.

Para solucionar los problemas del tipo 1, los emisores han de poner en funcionamiento técnicas que se apoyan en acciones llevadas a cabo en el sistema S(l), manipulando los objetos Bi, pasando al sistema CS(l) cuando han de formular su “mensaje”, ya que han de comunicar por escrito el resultado de la medida de la longitud de las bandas, tomando como unidad de referencia u. Por el contrario, los receptores, para resolver los problemas del tipo 2, comenzarán trabajando en el sistema CS(l), ya que parten de un modelo simbólico (“mensaje”) que han de interpretar (o descodificar), pasando posteriormente al sistema S(l) en el que, mediante manipulaciones efectivas, podrán emitir sus propuestas. 
	En la fase de validación, tanto emisores como receptores, han de trabajar en el sistema S(l). Cabe señalar que en esta fase se irá modificando progresivamente la noción de “cantidades de longitud equivalentes” hacia la relación: “cantidades de longitud aproximadamente equivalentes”. Comenzarán a aparecer los problemas ligados a la aproximación, margen de error, etc.
	Los problemas del tipo 3 se pueden resolver mediante un trabajo con técnicas propias del sistema CS(l), ya que por medio de operaciones con las escrituras simbólicas que modelizan la longitud de los objetos Bi se podrá determinar la equivalencia entre dos mensajes. 
Cabe señalar que existe una restricción muy fuerte en la consigna dada por el maestro a los alumnos: no pueden usar en sus “mensajes” como unidad de medida el cm. Sin embargo, en el caso descrito por Brousseau (1992, p. 2-3), los alumnos contravienen esta consigna y emplean el cm en la formulación de sus mensajes. Los alumnos utilizan técnicas que reproducen icónicamente (por estimación) los cm en la unidad de referencia u y, mediante la reiteración de ésta, expresan su medida como: “n cm”.
	Hemos de destacar, por lo tanto, la imposibilidad manifestada por los alumnos para trabajar en el modelo S(l). En consecuencia, postulamos que la elección de un sistema S(l) demasiado vinculado al modelo CS(l)[cm], muy familiar para los alumnos, imposibilita el trabajo en el modelo cualitativo CS(l). 
En el texto de Brousseau (1992) no se proponen tareas en el interior del sistema CS(l)[cm] ya que, según se muestra en las producciones de los alumnos, este modelo constituye un obstáculo para el trabajo en las praxeologías intermedias CS(l). Al ser el sistema S(l) culturalmente muy cercano a los alumnos, está excesivamente vinculado al modelo CS(l)[cm]. Es evidente que la naturaleza de los objetos Bi incide muy directamente en la preferencia del cm como unidad de medida.
Puesto que el trabajo en el sistema CS(l) se hace prácticamente imposible, Brousseau (1992, p. 9) opta por trabajar con otra magnitud soporte, eligiendo problemas relativos a la medida de masas. Como se verá a continuación, la elección de esta nueva magnitud permitirá que los alumnos puedan trabajar no sólo en el sistema S(p) de mediciones efectivas y en el modelo matemático universal CS(p)[g], sino también en las praxeologías intermedias CS(p). La pertinencia de estas praxeologías radica en que las cuestiones problemáticas a las que responde el sistema CS(p)[g] surgen y se expresan por medio de estas praxeologías intermedias.

4.2. Las praxeologías en torno a la medida de pesos. 
Análisis del caso CS(p) =  u1, u2, u3, u4, , u5 

En las lecciones siguientes del texto de Brousseau (1992), de la 3 a la 9, se elige un sistema menos familiar S(p) donde p es la magnitud m = p = peso, del que se propone inicialmente una base “de referencia” (u1 = clavo mini; u2 = clavo pequeño; u3 = clavo mediano; u4 = clavo grande; y u5 = placa) y se llega así a la construcción de un modelo CS(p). 
	
	Empezaremos describiendo las praxeologías S(m), CS(m) y CS(m)[u] usadas en estas actividades: 

 Según la descripción del material (sesión 3), el sistema S(p) estará compuesto por cantidades de arena, objetos familiares para ser pesados (diccionario, libro, plumier), clavos de 4 tamaños distintos y placas de metal (todas iguales). La operación de adjuntar objetos es trivial en este sistema y la comparación y la “evaluación de la medida” se puede llevar a cabo gracias a la existencia de una balanza de Roverbal.

 La primera praxeología intermedia CS(p) que podemos considerar sería una modelización de S(p) generada por los clavos y las placas: CS(p) =  u1, u2, u3, u4, u5 . Por consiguiente, la cantidad de magnitud peso de cualquier otro objeto se expresará como una combinación lineal de estos cinco.

Más adelante se formulará una tabla de equivalencia en la que la cantidad de magnitud de cada objeto de CS(p) se cuantificará en términos de los “clavos mini”, con lo que las escrituras de las cantidades de magnitud de los objetos tratados se expresarán como combinación lineal sólo de los “clavos mini”. Se constituye así otra praxeología intermedia, que denotaremos por CS(p)[u1], todavía muy ligada a CS(p) =  u1, u2, u3, u4, u5 ,  pero más próxima al modelo matemático universal.

 Por último, se tomará el gramo como unidad legal, dando lugar al sistema CS(p)[g] y, con las equivalencias adecuadas, al sistema métrico decimal.

	La clase queda dividida en emisores y receptores y se propone un primer problema, que en realidad está compuesto por dos problemas distintos:

1: Dado un objeto al equipo de emisores, pesarlo con la ayuda de los clavos y las placas y expresar el resultado, en forma de mensaje, en una hoja que pasarán al equipo 

2: Con la ayuda del mensaje anterior, tomar una cantidad de arena que pese tanto como el objeto pesado por los emisores.

En las técnicas desarrolladas para abordar cada problema se observa una primera transición entre el sistema S(p) y su modelización CS(p). En efecto, las técnicas desarrolladas por los emisores se llevan a cabo en S(p) (pesadas) sin embargo, la necesidad de comunicar por escrito el resultado de la pesada, les obliga a codificar lo obtenido en la manipulación concreta y, por consiguiente, a utilizar un sistema CS(p). A su vez, los receptores reciben un mensaje en el modelo CS(p) que deben descodificar y que les permitirá llevar a cabo ciertas acciones en S(p). Observamos que sobre el sistema CS(p) no se realiza, en un primer instante, ningún trabajo específico (suma formal de objetos, producto de objetos por un natural, comparación de objetos, etc.).
La validación se lleva a cabo en S(p): se sitúa el objeto, pesado por los emisores, en un platillo de la balanza y la arena vertida por los receptores en el otro, comprobando su equilibrio. En este instante es muy probable que la balanza no dé un “equilibrio exacto” (debido a pequeños errores de medición así como a la falta de exactitud de la balanza) pero que la desviación del fiel sea tan poca que, de hecho, se consideren como equivalentes. Implícitamente se está produciendo una evolución de la noción de “cantidades equivalentes” hacia otra de “cantidades aproximadamente equivalentes”. Aunque en este instante este hecho sea irrelevante, será el causante de ciertas situaciones problemáticas que veremos a continuación, cuando se quiere comprobar la equivalencia de dos escrituras distintas del peso de un mismo objeto.
En efecto, la aparición del sistema CS(p) provoca, casi de inmediato, la ampliación del campo de problemas: 

3: ¿Cómo podríamos demostrar que dos escrituras distintas para un mismo objeto designan el mismo peso? Tratar de encontrar un método que pruebe que ambos pesos son equivalentes.

Este problema se puede resolver en S(p) (situando en cada platillo de la balanza los objetos indicados en cada uno de los mensajes), sin embargo, la praxeología intermedia CS(p), que ya generó el problema, permite a su vez el desarrollo de nuevas técnicas, más generales que la anterior, y que de nuevo provocarán la ampliación del campo de problemas. 

	En el artículo de Brousseau (p. 16) se esboza una primera técnica movilizada por los alumnos: intentar equilibrar cada clavo de una categoría con clavos de una categoría inferior y sólo una. Esta técnica es, a priori, válida para resolver el problema ya que permitiría expresar, mediante un trabajo en CS(p), las dos escrituras usando sólo algunas clases de clavos, y comparar su número para deducir si las escrituras son equivalentes. Así, por ejemplo, en un caso sencillo como es el del plumier:

1er mensaje: 6 placas, 1 clavo grande, 3 medianos, 2 pequeños
2º mensaje:  5 placas, 3 clavos grandes,  	          2 pequeños

La idea sería expresar los pesos de 1 placa, 1 clavo grande y 3 medianos en términos de clavos medianos y comprobar que se obtiene lo mismo que si expresáramos los 3 clavos grandes en función de los clavos medianos.
Sin embargo, en el mismo texto (Brousseau, p.16) se expresa que la técnica fracasa, ya que, al no ser los pesos de los clavos múltiplos entre sí, no es posible llegar a las equivalencias deseadas. Ante esta dificultad algunos niños formulan la posibilidad de equilibrar un clavo de cada tipo con los clavos más pequeños (los “mini clavos”), pero la tarea no se lleva a cabo hasta que lo sugiere el maestro, dando lugar a una nueva técnica, que podemos suponer una evolución de la anterior: equilibrar el peso de un clavo de cada categoría con mini clavos, construyendo una tabla de equivalencias; a partir de ella, transformar ambos mensajes en otros de la forma [nº, mini clavos], con lo que la comparación entre escrituras se habrá convertido en una comparación aritmética.
	Esta técnica consta de dos partes bien diferenciadas: una primera parte, desarrollada en S(p), en la que se construye la tabla de equivalencias y una segunda parte, en CS(p), en la que se realiza la reformulación de los mensajes en términos de los mini clavos y se comparan los números obtenidos. En este instante, nos encontramos entre los modelos CS(p) = u1, u2, u3, u4, u5  y CS(p)[u1], en la medida en que hemos expresado las escrituras anteriores en función de un solo elemento de la base de CS(p) y hemos comparado simplemente números para determinar la equivalencia de las dos escrituras.
	Aparece entonces un nuevo problema: los errores de medida. En efecto, aún cuando se sabe que las dos escrituras corresponden al peso del mismo objeto, cuando se formulan en términos de “mini clavos”, los números no coinciden, evidenciándose los errores inherentes a todo proceso de medida.
Por otro lado, todo el trabajo desarrollado en los problemas anteriores en torno a las diferentes escrituras del peso de un objeto, a partir de los elementos de la base de CS(p), pone de manifiesto la conveniencia de contar con una escritura lo más simple posible, es decir, que use el menor número posible de clavos. Por consiguiente, se formula un nuevo problema: dada una escritura del peso de un objeto, transformarla en otra que sea equivalente pero que tenga el menor número posible de mini clavos. 
Este problema se resuelve, de nuevo, mediante diferentes técnicas desarrolladas en CS(p) y en las que juega un papel fundamental la tabla de equivalencia anteriormente construida. La validación se vuelve a situar en esa tenue frontera que separa CS(p) y CS(p)[u1] ya que se trata, de nuevo, de un problema del tipo 3.

	En las actividades octava y novena, vuelven a aparecer problemas que ya se han realizado anteriormente, pero en el contexto de la suma. Así, la clase se divide en grupos que, a su vez, se dividen en subgrupos. Los primeros realizan pesadas de objetos por separado (problema del tipo 1) para luego sumar los resultados obtenidos. Los segundos realizan la pesada de todos los objetos juntos (otro problema de tipo 1). Posteriormente, se pasa a la comparación de los dos resultados obtenidos, que corresponde a un problema del tipo 3.
	Como se observa, los primeros subgrupos realizan, inicialmente, un trabajo en S(p) y, posteriormente, una suma formal en CS(p) mientras que, los segundos subgrupos, realizan la suma directamente en S(p). Por tanto en estas actividades se pretende poner en evidencia la equivalencia entre la adjunción en la praxeología S(p) y la suma formal en la praxeología CS(p) o, mejor dicho, la quasi-equivalencia, pues como sabemos, los pequeños errores de medición, precisión de la balanza, etc. hacen que los dos mensajes no sean exactamente equivalentes.
	Lo único relevante de estas actividades sería la aparición de una nueva técnica para abordar los problemas del tipo 3, que supone una evolución de la técnica dada anteriormente. En efecto, dados dos mensajes para el peso de un mismo objeto, en vez de transformarse en dos nuevos mensajes en términos de mini clavos, se procede a compensar, en cada mensaje, el menor número de clavos de un tipo por el mayor de otro tipo, de manera que ambos mensajes se puedan reformular con el mismo número de clavos salvo, si acaso, el número de mini clavos. La equivalencia se decide en función de la diferencia de mini clavos que haya entre un mensaje y el otro.

	En resumen, podemos decir que incialmente las técnicas se desarrollan principalmente en S(p), apareciendo la praxeología CS(p) como necesaria únicamente para comunicar las acciones realizadas en S(p) y poco más. Pero la misma aparición de las praxeologías intermedias CS(p), así como la construcción de la tabla de equivalencias entre los distintos objetos que forman la base de CS(p) (construcción llevada a cabo en  S(p)), permite ampliar el campo de problemas a la vez que produce una transformación en las técnicas, que abandonan la praxeología S(p), para llevarse a cabo en CS(p) que, puede interpretarse como una “ampliación” de S(p) y que sigue ampliándose hacia CS(p)[u1], quedando la praxeología inicial, si acaso, para validaciones eventuales.

4.3. El peso de un recipiente. Análisis del caso CS(p) = R + V    R, V 

	El siguiente análisis corresponde únicamente a las actividades 15 y 16 de la secuencia total. Describiremos los tipos de problemas según el orden de aparición en el texto de Brousseau y, para cada uno de ellos, formularemos a continuación la técnica o técnicas asociadas, tanto si aparecen en el citado texto, como si no son mencionadas explícitamente. Como hemos hecho anteriormente, empezaremos describiendo brevemente las praxeologías situadas en los tres niveles de nuestro modelo epistemológico de referencia que aparecen en este caso particular:

  S(p)

		Sistema formado por el recipiente y el agua contenida en vasos (completos). Se trata de objetos reales susceptibles de ser medidos respecto de su peso. Se pueden adjuntar varios vasos de agua y el recipiente, vertiéndolos en este (acción de adjuntar) y, gracias a la balanza de Roverbal, se pueden comparar dos objetos respecto de su peso así como evaluar algunos aspectos de la medición respecto de la magnitud peso.

  CS(p) = R + V   < R , V > 

		Constituye una modelización del sistema S(p), en el que denotaremos por R la cantidad de magnitud peso del recipiente y por V la cantidad de magnitud peso del agua contenida en un vaso completo. En este sistema tenemos definida una suma formal así como el producto, por un número entero, de la cantidad de magnitud del agua contenida en un vaso completo. Toda cantidad de magnitud peso usada en la praxeología descrita se podrá expresar, bien en la forma R + n·V (con n  0), bien en la forma k·V (con k > 0). Por consiguiente, la praxeología que vamos a describir estaría estrictamente contenida en el sistema cualitativo < R , V > .

  CS(p)[g]

		Fijado el gramo como unidad, obtenemos el modelo cuantitativo del peso, en el que cada cantidad de magnitud de p se expresará mediante un número real positivo, en virtud del isomorfismo que, una vez fijada la unidad, puede definirse de manera unívoca entre CS(p)[g] y R+.

Usaremos en lo que sigue la siguiente notación:

•	

R: recipiente;	V: vaso de agua.
•	R + n·V: recipiente con n vasos de agua.
•	

pR: peso del recipiente;	 pV: peso del agua contenida en el vaso.
•	pn: peso del recipiente con n vasos de agua.

	Aparece un primer problema:

1 : Hacer una previsión de la medida concreta del peso  del recipiente con un vaso de agua.

	Puesto que en este instante no se conoce ningún dato, lo más que se puede hacer es adivinar este peso:

t11 : Dar una medida concreta al azar.

t12 : Estimar la medida concreta por comparación perceptiva con el peso, conocido, de algún objeto familiar.

	En este primer instante, se toma un objeto de S(p) y se pide su medida concreta en CS(p)[g], por lo que el sistema CS(p) no aparece de momento.El segundo problema es similar, pero con dos vasos de agua:

1’: Hacer una previsión de la medida concreta del peso  del recipiente con dos vasos de agua, conocido el peso  del recipiente con un vaso de agua.

	En este instante ya conocemos un dato, que fue la pesada anterior. Las técnicas de estimación t11 y t12 vuelven a aparecer para abordar este problema. Pero aparece una nueva técnica consistente en duplicar el peso conocido y que, como volverá a aparecer más adelante, la podemos formular de manera general como sigue:

t13 : Conocido el peso p1 de R + V, el peso pn de R + n·V será:     pn = n·p1

	Como se observa, esta técnica fracasa en su objetivo, ya que nos daría el peso de n recipientes y del agua contenida en n vasos. Sin embargo, en la medida en que crece n (se añaden más vasos), este error es cada vez menos significativo, de manera que el valor obtenido por esta técnica puede ser admitido como un posible peso del R + n·V dentro de un margen de error aceptable y difícilmente disociable de otros errores. Sin embargo, aún cuando las demás causas de error son formuladas más adelante, ésta se deja de lado incluso cuando se propone determinar el peso de R + 15 V.

	Hasta este instante, hemos formulado dos problemas similares; en el primero, la ausencia total de datos obligaba a la estimación del resultado y, en el segundo, la insuficiencia de datos también nos llevaba, bien a conjeturar el resultado, bien a movilizar una técnica que fracasa. Los problemas que aparecen a continuación son, en esencia similares, pero con la particularidad de que ya conocemos datos suficientes para poner en práctica técnicas efectivas de resolución. De manera general, los podemos formular como sigue:

1”: Hacer una previsión del peso  del R + n·V (n < 2), conocido el peso  de R + i·V  con 1  i  n – 1.
		
En el artículo de Brousseau se sigue un riguroso orden, planteándose primero el caso R + 3V, luego R + 4V para acabar en R + 5V, aunque, como ya hemos comentado, luego también se plantea el caso de R + 15V. Además de las técnicas anteriores, la presencia de los datos relativos a los dos casos inmediatamente anteriores nos permite poner en funcionamiento una nueva técnica:

t14 : 
Puesto que pn–1 corresponde al peso de R + (n – 1)·V y pn–2 al de R + (n – 2)·V, la diferencia entre ambos nos dará como resultado el peso de:
 [R + (n – 1)·V] – [R + (n – 2)·V] = V, esto es, pV. 
Por lo tanto: pn = pn–1 + pV  (ya que R + (n – 1)·V + V = R + n·V).

	Hemos denotado los sucesivos tipos de problemas con el mismo subíndice ya que cada uno supone una evolución del anterior, en el sentido en que posibilita la creación de nuevas técnicas, hasta llegar a 1” que da lugar a la “técnica canónica” para esta organización matemática puntual.
	Es importante señalar que, hasta la técnica t13, el trabajo lo hemos realizado básicamente en CS(p)[g] puesto que hemos manejado datos relativos a medidas en gramos de distintos objetos. Sin embargo para poner en marcha la técnica t13 es necesario un trabajo dentro de la praxeología CS(p) en un doble sentido:

(a) Por un lado, este trabajo en CS(p) crea la técnica, ya que el trabajo sobre las escrituras R + (n – 1)·V  y  R + (n – 2)·V nos permite prever las operaciones a realizar, en CS(p)[gr], con los datos numéricos que tenemos.

(b) Además, dicho trabajo permite justificar la técnica, en el sentido de que los datos que tenemos de las anteriores medidas no distinguen entre recipiente y vasos y, por consiguiente, la diferencia pn – pn–1 nos da un número que, a priori, no tiene ningún sentido para nosotros. Debemos subrayar que, como era de esperar, no son los niños los que movilizan por sí mismos estas escrituras en CS(p), sino que es la profesora la que las escribe bajo las operaciones que realizan.

Para cada una de estas situaciones problemáticas, se plantea una validación de la conjetura hecha por los alumnos. Esta validación la podemos interpretar dentro de la praxeología como un nuevo tipo de problemas y la técnica asociada:

2: Pesa efectivamente sobre la balanza de Roberval el recipiente con cierto número de vasos de agua.

t21 : Pesa por sucesivos ensayos con pesas de g, dg y hg, observando el equilibrio de la balanza.

	Para la validación cambian completamente los dos primeros sistemas. Así, el sistema de objetos concretos estará formado por pesas de un hectogramo, de un decagramo y de un gramo; su modelización (modelo cualitativo) consistirá en las escrituras hg, dg y g. El modelo cuantitativo sí será el mismo CS(p)[g]. Observamos que las tablas, como la que aparece en la página 5 de la traducción, permiten la articulación entre las praxeologías intermedias y el modelo matemático universal evitando, en este momento, un trabajo efectivo en el primero:

Cálculo sobre las pesas	
100 g	10 g	1 g	Total	
hg	dg	g		
2	2	8	228 g	

Una vez realizado el trabajo con el peso de hasta 5 vasos (R + 5V), el tipo de problema cambia:

3 : Hacer una previsión del peso pR del recipiente, conocidos los pesos pn de R + n·V con 1  n  5.

	En el artículo se presentan hasta tres técnicas distintas, aparte de la estimación, para resolver este problema. En común tienen el trabajo de tipo pre-algebraico realizado sobre CS(p), aunque cada uno con su particularidad:

t31 : A partir de cualquier pn-1 y pn como antes, podemos obtener el peso del agua de un vaso:
pn – pn–1 = pV	 [pues R + n·V – (R + (n – 1)·V) = V] 
Como  corresponde al peso de R + V, obtenemos que pR = p1 – pV.

t32 : Como antes: pn – pn–1 = pV Entonces, como pk corresponde al peso de R + kV, pk = pR – kpV , de donde obtenemos que:
pR = pk – kpV

t33 : A partir de un pn y un pn-k, podemos obtener que: pn – pn–k = pkV	 (dado que R + n·V – (R + (n – k)·V) = kV). 
De donde: pV = pkV /k.   Por consiguiente: pR = p1 – pV.

	De nuevo se observa como el trabajo sobre CS(p) es fundamental para el desarrollo y la justificación de estas técnicas, podríamos decir que es en este modelo donde surgen las tecnologías algebraicas que avalan las técnicas empleadas.
	Aunque el artículo se queda aquí, faltaría otro problema: ¿cómo determinar el peso de la “materia” contenida en un recipiente cuando es imposible manejarla sin recipiente? (caso del agua). No obstante, debemos observar que, aunque el problema no se platea como tal, en las técnicas descritas sí se determina el peso pV del agua contenida en un vaso.

Los cálculos indicados arriba llevan a diferentes valores para pR, algo que se usa para poner en evidencia los errores que se pueden cometer en todo proceso de medición. En este sentido, se plantean algunos problemas:

4: Dados los resultados del peso del recipiente (73g, 58g, 43g, ...) ¿qué explicaciones puedes dar a estos resultados?

5: ¿Qué consecuencias tiene el error en las sumas y en los productos?

Para el primer problema no vemos una técnica clara de resolución mientras que, el segundo, queda simplemente planteado y su resolución sería bastante compleja (dadas dos cotas del error, una para cada medida, obtener a partir de ellas una cota del error para la suma y otra para el producto).
	En suma, podemos considerar que en estas dos sesiones se lleva a cabo un proceso de estudio de una praxeología matemática puntual en torno al peso. Esta organización puntual viene generada por una técnica que podemos describir, en general, como sigue:

t: Conocidos ciertos pesos (del recipiente con los correspondientes vasos de agua), manipular “algebraicamente”, en CS(p), las simbolizaciones de los objetos de los que conocemos los pesos, para determinar las operaciones a realizar en CS(p)[g] con los pesos dados.

	En efecto, en torno a esta técnica aparecen los problemas 1” y 3. Ya comentamos que se podría formular un último problema: determinar el peso del agua contenida en un vaso (conocidos los pesos anteriores) y que también se podría resolver con esta técnica. Como se observa, esta técnica se desarrolla entre CS(p) y CS(p)[g]. Sin embargo, esta técnica no permite abordar los problemas 1 y 1’ y, de hecho, estos problemas sólo se pueden resolver mediante la pesada efectiva en la balanza de Roverbal con pesas de gramo, decagramo y hectogramo, lo que supone volver a la manipulación de objetos, para pasar a la medida concreta en CS(p)[g] mediante una tabla que simplifica el trabajo formal en CS(p) = <g, dg, hg>. La justificación tecnológica de estas técnicas se sigue llevando a cabo, sin embargo, en las  praxeologías intermedias CS(p).
	Observamos, por fin, que esta técnica es bastante rígida, esto es, no provoca una ampliación del campo de problemas ni tampoco se desarrolla para dar origen a otras técnicas, por lo que podemos concluir que la praxeología que genera es, además de puntual, relativamente rígida. La rigidez de esta praxeología contrasta con la mayor completitud y flexibilidad de las praxeologías en torno a la magnitud peso que han sido presentadas en las lecciones anteriores. Destacamos, en particular, el caso en que una de las praxeologías intermedias CS(p) estaba generada por cinco objetos y se trabajaba con cualquier tipo de combinación lineal formada con estos generadores. Esto permitía tanto la existencia de un campo de problemas más amplio como el desarrollo de un conjunto de técnicas más potentes, flexibles e interrelacionadas.
	Por todo lo anterior, parece lógico pensar que la razón de ser de la praxeología CS(p) = R + V , así como su introducción en este proceso de estudio, está más ligada a la problemática de la función lineal y afín que a la medida de magnitudes propiamente dicha (Brousseau, 1992, p.71, punto 2/ apartado VII) .

5. Primeras conclusiones

	El grueso de estas conclusiones provisionales hacen referencia a la pertinencia y adecuación del modelo epistemológico de referencia que hemos construido como puerta de entrada de nuestro análisis didáctico. Se trata de subrayar en qué aspectos dicho modelo epistemológico permite describir e interpretar la ingeniería didáctica que se describe en el trabajo que estamos analizando y hasta qué punto amplía y profundiza la problemática didáctica en torno a la medida de magnitudes. 
El aspecto más novedoso de nuestro modelo epistemológico de referencia reside en la construcción de las praxeologías CS(m) intermedias entre la praxeología inicial S(m) y la praxeología cuantitativa CS(m)[u]  R+ que también hemos denominado “modelo matemático universal” de toda magnitud escalar continua. Otros aspectos importantes son la estructura explícita de praxeología que adjudicamos a cada uno de dichos modelos (y al sistema inicial S(m)) y las relaciones que postulamos entre ellas. Hemos descrito estas relaciones, que dependen de la naturaleza cambiante de S(m) y de CS(m), en términos de modelización matemática de una praxeología por otra praxeología. 
Recordemos que, inicialmente (ver sección 2.), nos planteábamos dos tipos de cuestiones: la primera hacía referencia al papel que juegan las praxeologías “cualitativas” como instrumentos de ayuda al proceso de estudio de la medida de magnitudes y la segunda (inseparable de la primera) se refería a la “suficiencia o insuficiencia” del modelo matemático universal (como modelo epistemológico) para explicar los fenómenos didácticos que emergen en el proceso de estudio de la medida de magnitudes. Intentaremos en lo que sigue empezar a responder a estas cuestiones.

(a) Dado que CS(m)[u]  R+ no depende esencialmente ni de m, ni de S(m), ni de u, postulamos que es insuficiente para describir y analizar la actividad matemática que emerge de la problemática de la medición efectiva de magnitudes. En nuestra construcción, las praxeologías intermedias CS(m) dependen fuertemente no sólo de m, del número y del tipo de los objetos Oi que forman S(m) y de las relaciones que se establecen entre ellos, sino también de las restricciones que puedan imponerse en cada caso a la medición efectiva de una magnitud (restricciones que pueden ser “voluntarias” o “involuntarias”) y que pueden depender, entre otras cosas, del instrumento de medida y de las condiciones de la medición. Dichas restricciones pueden modificarse a lo largo de la actividad de medición. Por esta razón postulamos que, tal como hemos empezado a mostrar en este trabajo, las citadas praxeologías intermedias permitirán modelizar las actividades en torno a la medida de magnitudes de una manera mucho más pertinente y con una mayor adecuación al sistema S(m) que la praxeología final CS(m)[u]. 

(b) En la ingeniería que estamos analizando, el trabajo con las longitudes de las bandas en S(l) = {Bi} y con el peso de ciertos objetos en S(p), se lleva a cabo para gestionar el sentido de las actividades de medición efectiva de una magnitud así como el sentido de la aproximación y el error de la medida. Las actividades relativas al peso de un recipiente pretenden contribuir a los mismos objetivos y, además, ayudar a franquear el obstáculo que supone la función lineal (o la relación de proporcionalidad) frente a la función afín. Desde la perspectiva de la teoría antropológica podemos interpretar esta secuencia de actividades de medición diciendo que las correspondientes praxeologías intermedias CS(l) y CS(p) constituyen la razón de ser de las correspondientes praxeologías finales CS(l)[cm] y CS(p)[g] respectivamente. Lo anterior significa que las cuestiones problemáticas a las que responde en cada caso la correspondiente praxeología final, esto es, las cuestiones problemáticas cuya respuesta es la praxeología CS(m)[u], surgen y pueden formularse únicamente en dichas praxeologías intermedias. Con lo anterior estamos describiendo o interpretando la noción de “sentido de un conocimiento matemático”, que es central en la teoría de las situaciones didácticas, mediante la noción de “razón de ser” o de “cuestiones problemáticas a las que responde” una praxeología matemática. Un análisis más completo pondría de manifiesto que, en realidad, el “sentido de un conocimiento matemático” y la “gestión del sentido” pueden interpretarse y describirse más adecuadamente si utilizamos la noción de (in)completitud de una praxeología matemático-didáctica (Gascón, 2000), una de cuyas componentes, pero no la única, está formada por las cuestiones problemáticas a las que la praxeología responde.

(c) En las dos lecciones relativas al “peso del recipiente”, se lleva a cabo un proceso de estudio de una praxeología puntual y muy rígida en torno al peso. Que la praxeología sea puntual significa que está generada por una sola técnica y un único tipo de tareas con muy pocas variaciones. Que sea rígida hace referencia a que dicha técnica no evoluciona a lo largo de la actividad, esto es, no se desarrolla en manos de los estudiantes para dar origen a nuevas técnicas, ampliar el tipo de tareas y provocar nuevas necesidades tecnológico-teóricas. Por esta razón creemos que la praxeología del peso del recipiente no es la más adecuada para el estudio de la medida del peso. Postulamos que su inclusión en este punto del proceso de estudio global responde más al objetivo de franquear el obstáculo que supone la función lineal (o la relación de proporcionalidad) frente a la función afín y, también, al objetivo de modificar la noción de medida como asignación de un número exacto a favor de la noción de medida como asignación de un intervalo de valores.

(d) Postulamos que para “gestionar el sentido” de la problemática de la aproximación de la medida y del error o, en términos más generales, de las relaciones entre la realidad empírica y los modelos matemáticos, es imprescindible permitir que vivan como praxeologías (con toda la actividad matemática que generan), los modelos intermedios CS(m) que constituyen progresivas modelizaciones del sistema S(m), hasta desembocar en el modelo matemático universal. Sólo de esta forma, y gracias a las sucesivas modificaciones de la actividad de medición, se podrá relativizar la noción misma de “medida” y empezar a manipular los “errores” como objetos matemáticos, en lugar de intentar eliminarlos como meras “equivocaciones”. 

(e) Nuestro análisis en términos de praxeologías que modelizan otras praxeologías permite describir ciertas técnicas didácticas que aparecen en la ingeniería que estamos analizando, así como los correspondientes problemas didácticos que aquellas pretenden abordar. Citemos, por ejemplo, el problema didáctico que aparece debido a la dificultad de hacer vivir una actividad de medida de longitudes sin utilizar el doble decímetro. El problema cristaliza entonces en el siguiente: “¿Cómo hacer vivir las praxeologías intermedias CS(l) para “dar sentido” a la actividad de medir longitudes?”. El intento de resolver este problema proporcionando un patrón no graduado y prohibiendo el uso del doble decímetro graduado está abocada al fracaso puesto que proporciona una solución insuficiente y poco estable. Para resolver el problema didáctico planteado se parte de un sistema S(p), en torno a la medida de masas, con un instrumento (la balanza de Roberval) que no es familiar para los niños y utilizando masas no marcadas (diferentes clases de clavos y placas), elegidas de manera que no tengan pesos que sean múltiplos de una de ellas. Con esta técnica didáctica se consigue hacer vivir en buenas condiciones las praxeologías intermedias CS(p). 
Otro tipo de técnicas didácticas que podemos describir gracias a las praxeologías intermedias CS(m), son las relativas a la necesidad didáctica de ampliar el campo inicial de problemas que podían formularse en S(m) (como, por ejemplo, los tipos de problemas 1, 2 y  3 que amplían la problemática de S(l) y  1,  2 y 3 que amplían la de S(p)) así como las relativas a la necesidad de evaluar e institucionalizar las técnicas matemáticas que se están utilizando en S(m) o, incluso, en CS(m)[u]. No es descabellado suponer que la profundización de este análisis permitirá diseñar un proceso de estudio (describible en términos de momentos didácticos) en torno a la medida de magnitudes.

(f) Hemos mostrado, en resumen, que las sucesivas praxeologías intermedias CS(m) no son independientes de S(m) ni del modelo “cuantitativo” universal al que tienden y, al  mismo tiempo, que ninguno de los tres ámbitos –el de los “objetos concretos”, el de las “medidas cualitativas y las expresiones formales” y el de los “números y el cálculo”- es autosuficiente para llevar a cabo el estudio de la medida de magnitudes. De esta manera se confirma y, sobre todo, se precisa y se amplía, nuestra hipótesis previa que afirmaba que la separación radical de “magnitud” y “medida” es artificial. También sería artificial un proceso de estudio que confundiese o que no delimitase con precisión las funciones de las sucesivas organizaciones matemáticas que deben elaborarse forzosamente para estudiar la medida de una magnitud.  

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