BOLETÍN SI-IDM

SOBRE LA SIMBOLIZACIÓN EN EL ÁLGEBRA.

APLICACIÓN AL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LAS DESIGUALDADES EN EDUCACIÓN SECUNDARIA

Director de tesis: Dr. Félix E. Gómez Jiménez.

Colaborador en la dirección: Dr. Guy Brousseau.

La tesis consta de siete capítulos.

I. Introducción. Aproximación al problema.

II. De las letras y su significación

III. ¿Signos o símbolos?

IV.Cuestionario sobre el uso y la interpretación de las letras.

V. Cuatro estudios estadísticos.

VI. Análisis sobre la elaboración del cuestionario.

Vll, Elementos de Técnica y Metodología Didácticas (Ingeniería Didáctica).

I. En el primer capítulo hago una aproximación al problema estudiando:

El concepto de Álgebra:

a.- Culturalmente.

b.- Según los profesores de Educación Secundaria.

e.- Históricamente.

Algunas posiciones actuales representativas en la Enseñanza del Álgebra.

El tratamiento de las Incógnitas en Aritmética y en Álgebra.

La noción de obstáculo en Didáctica (según Brousseau). Las ecuaciones como obstáculo didáctico para las inecuaciones.

II. En el segundo capitulo estudio diferentes usos e interpretaciones de las letras en Álgebra:

a.- La letra como parámetro.

b.- La letra como incógnita-

e.- La letra como variable.

En su aspecto histórico. En los textos didácticos y en las concepciones de los alumnos.

Estudio de la variable en las inecuaciones como objeto de enseñanza y la dificultad de su aprendizaje, con lo que justifico la. necesidad de un aprendizaje sistemático del uso de las letras y en particular del uso de la letra como variable.

III. En el tercer capítulo profundizo en el análisis de los Signos y los Símbolos. Su consideración en Semiología, Lingüística, Psicología, Matemáticas, Enseñanza de las Matemáticas.

Con este análisis busco la forma de abordar la enseñanza del uso de esos símbolos que son las letras identificando las dificultades que pueden tener, tanto el alumno para su adquisición a nivel psicológico y personal, como el profesor- para preparar su enseñanza.

IV. En el capítulo cuarto presento un cuestionario sobre el uso y la interpretación de las letras. Hago un análisis "a priori" del cuestionario en el que explico cómo ha sido elaborado y el por qué de cada una de las cuestiones planteadas a los alumnos. Expongo la clasificación de las cuestiones según los caracteres de cada una de ellas y elaboro, con estos caracteres, una "matriz a priori" que describo y que presento como un instrumento de análisis didáctico. Estudio las posibilidades que ofrece esta matriz a priori para analizar el cuestionario en cuanto a:

La pertinencia de las cuestiones planteadas.

La utilidad y congruencia de las preguntas escogidas.

Las posibilidades de reducción del cuestionario sin pérdida de su eficacia.

También presento los elementos que utilizo para elaborar la "matriz de comportamientos o matriz de datos que es una "matriz a posteriori". Ambas matrices: matriz a priori y la matriz a posteriori, forman la base para los estudios estadísticos del cuestionario que hago en el capitulo siguiente.

V. Este capítulo recoge los análisis estadísticos hechos al cuestionario. En él se aprecian las distintas posibilidades de cada uno de ellos y la manera en la que he resuelto las diferentes dificultades que cada uno de ellos presenta para su aplicación en Didáctica.

Los análisis aplicados son:

Uso de la hoja de cálculo Open Access II plus.

Dos tests no paramétricos: Test de c ² y test de aleatoriedad.

Paquete STATITCF: Análisis Factorial de Correspondencias. Análisis en Componentes principales. Círculos de correlaciones. Utilización de individuos suplementarios.

Paquete BMDP: Análisis descriptivo. Análisis de varianza (Análisis comparativos tanto entre preguntas diferentes como entre alumnos diferentes).

VI. El capítulo sexto estudia el uso didáctico que se puede hacer de los cuestionarios. Tipos de cuestionarios:

De calificación.

Como parte de un estudio de concepciones.

Como precuestionarios.

En particular presento algunos resultados sobre el propio cuestionario de la tesis obtenidas mediante la aplicación del análisis estadístico Statitcf

Este capítulo presenta tres nuevas lecciones para el aprendizaje de las inecuaciones siguiendo la Teoría de Situaciones (Brousseau) y Situaciones de Debate. Incluye:

Descripción de las lecciones.

Descripción de su elaboración.

Consignas para el profesor y los alumnos.

Tiempos previstos.

Descripción de su reacción con dos tipos de alumnos diferentes-. Alumnos de Primero de BUP y alumnos de Primero de Reforma.

Observación didáctica del desarrollo de la lección incluyendo grabación en cinta magnetofónica y vídeo.

Conclusiones didácticas sobre su desarrollo.

Zaragoza, Febrero de 1995.

(Universidad de Jaén)

Presentamos una breve propuesta cuyo fin es configurar un "marco general" desde donde poder iniciar una reflexión conjunta sobre las materias y los contenidos fundamentales que deben integrar la formación matemática y didáctica de los futuros maestros de educación primaria.

La dificultad de identificar el conocimiento que puede ser necesario para un profesor que deba enseñar Matemáticas se pone de manifiesto al observar las diferentes aproximaciones y propuestas realizadas desde distintas perspectivas científicas y técnicas.

Creemos que la Didáctica de la Matemática cobra plenamente su sentido en su vertiente práctica, pero esta aplicación no basta con que sea intuitiva y experimental, sino que debe ser racional y enlazada con la teoría didáctica; por ello, la docencia dirigida al profesorado en formación, o en activo, no puede desligarse del proceso de producción de conocimientos didácticos:"La formación debe capacitar a los profesores para utilizar la investigación. Es necesario para ello, darles los conocimientos necesarios sobre los útiles de la investigación y sobre los conceptos fundamentales que pone en funcionamiento" (Cornu, 1989, p.302). Así pues, tanto las teorías sobre desarrollo curricular, como los estudios e investigaciones específicas, centradas especialmente en el diseño y puesta en práctica de situaciones didácticas, o las teorías de modelización y análisis de los fenómenos de enseñanza -aprendizaje, proporcionan una base segura y eficaz para incidir sobre un campo decisivo de aplicación: la formación del profesorado.

Una de las preocupaciones de cualquier institución dedicada a la formación de profesores de Matemáticas será asociar lo más estrechamente posible una formación en Matemáticas, con una reflexión sobre la enseñanza de esta disciplina en el nivel correspondiente, de tal manera que ponga en funcionamiento muchas de las aportaciones de investigaciones llevadas a cabo en el campo de la Didáctica de la Matemática. De este hecho se desprende que las cuestiones que plantea la investigación en Didáctica de las Matemáticas, sus problemáticas, sus métodos, y, sobre todo sus resultados, deban tener impacto en la formación de profesores.

Las producciones desarrolladas en el marco de la Didáctica Fundamental marcan esencialmente una determinada concepción del aprendizaje y de la enseñanza de la Matemática que provocan cambios en la relación profesor-alumno, profesor-saber y alumno-saber (relaciones didácticas en el interior del sistema didáctico).

Se acepta, desde este marco, que el aprendizaje es una modificación del conocimiento, que el propio alumno lo debe producir, y el maestro debe solamente tratar de provocarlo. Por lo tanto para "hacer funcionar" los conocimientos del alumno, el profesor deberá buscar situaciones apropiadas, que sean realmente situaciones de aprendizaje matemático.

Brousseau (1987), teniendo en cuenta lo anterior, considera que las funciones más significativas que debe gestionar el profesor en situación de enseñanza serían:

Es evidente que si un maestro ha de organizar todas las tareas anteriores, e incluso muchas más, necesariamente ha de conocer y poner en práctica fundamentos teóricos y metodológicos de la Didáctica de la Matemática.

La formación de los futuros maestros, según Cornu (1989, p. 301-302), tiene por objeto hacerles capaces de poner en práctica coherentemente los resultados de la investigación, para ello no es necesario que sean expertos en Didáctica, sino simplemente conducirlos, desde ella, hacia reflexiones sobre la enseñanza de la Matemática que les permitan: tener conciencia de que existen parámetros y variables que rigen y controlan las situaciones de enseñanza, conocer la existencia de concepciones, de representaciones en los alumnos, y conocer los efectos de estas concepciones; saber que los obstáculos en el aprendizaje no provienen todos de los propios alumnos, sino frecuentemente del propio concepto a enseñar, o de las elecciones didácticas llevadas acabo por el propio profesor, tomar conciencia de sus propias representaciones y concepciones y de su posible influencia en la enseñanza, conocer, o al menos tratar de aproximarse, a la explicación de los errores de los alumnos, acercarse a lo que estos errores muestran sobre la estructura cognitiva de los alumnos, saber lo que nos pueden pedir a los investigadores en Didáctica, etc.

En este sentido, desde la Didáctica Fundamental de la Matemática, en su intento de analizar y teorizar los fenómenos de enseñanza - aprendizaje en la comunicación de los saberes matemáticos, podemos encontrar una fundamentación básica en Didáctica de la Matemática para la formación de profesores.

Las investigaciones en Didáctica Fundamental han producido un cierto número de conceptos base, alrededor de los que se articulan todos los trabajos actuales. Se construyen progresivamente modelos teóricos para estudiar, analizar y prever el funcionamiento de la enseñanza y de los aprendizajes.

En este punto juegan también un papel muy significativo los conocimientos que desde la epistemología de la Matemática podamos ofrecer a nuestros alumnos, ya que en su labor docente les permitirá desprenderse de la "transparencia" del saber matemático (no siempre ha sido como se conoce en nuestros días) y de la "transparencia" de la comunicación didáctica (todo lo que transmite el profesor no lo aprende el alumno del mismo modo). Además, estos concimientos les permitirán comprender la dialéctica que se establece entre los aspectos "útil y objeto" de todo saber matemático, y que serán imprescindibles en el diseño de situaciones de enseñanza.

Como vemos, debe existir una interconexión, evidentemente obvia, entre los saberes didácticos y los saberes matemáticos, una zona de encrucijada, desde cuya plataforma nos proponemos fundamentar este "marco general".

En la configuración de los programas que a continuación presentaremos, hemos considerado, siguiendo terminología de Chevallard (1991), dos tipos de saberes: "saberes fundamentales" y "saberes operatorios".

Como se ha expresado anetriormente, creemos que nuestros alumnos deben iniciarse en el conocimiento de las principales aportaciones de la Didáctica de la Matemática a través del estudio y teorización de sus propios conceptos y de su articulación funcional. Este bloque de conocimientos se consideraría como saberes fundamentales, ya que permiten fundamentar la significación y asegurar el control del uso de los saberes operatorios (saberes destinados a la enseñanza).

Existe una determinada dialéctica entre los saberes fundamentales y los operatorios en la formación de profesores. Esta conceptualización no es absoluta, sino relativa. Así, en el marco de la Didáctica, un saber fundamental para nuestros alumnos (p. e. la teoría de situaciones de Brousseau) puede llegar a ser un saber operatorio en su práctica de enseñanza, por ejemplo, cuando quiera analizar las acciones o las formulaciones de los niños en una situación escolar de división. Y, recíprocamante, un saber operatorio en la formación de nuestros futuros profesores como puede ser, la multiplicación como isomorfismo de medidas (es un saber para la enseñanza que permite dar operatividad a los saberes fundamentales), puede llegar a ser un saber fundamental en su práctica docente (los saberes operatorios en esta situación serían los útiles didácticos).

Además de adecuar su formación a través de bloques de contenido que incluyan saberes fundamentales y operatorios, es imprescindible que iniciemos a nuestros alumnos en la práctica del análisis didáctico, ya que constituye un factor fundamental en su futuro trabajo profesional: "El análisis didáctico es el corazón en la formación del maestro" (Chevallard, 1991).

El análisis didáctico se llevará a cabo a través del estudio reflexivo de las diversas actuaciones y tareas que debe llevar a cabo en su profesión. Para realizar este trabajo proponemos la configuración de "talleres para la acción" en los que se llevarán a cabo "tareas" tales como simular actuaciones, discutir todo tipo de cuestiones y poner en funcionamiento las teorías y conocimientos establecidos en las clases. A través de su trabajo en los talleres, los alumnos podrán estimar sus necesidades, tanto de saberes fundamentales, como de saberes operatorios.

La propuesta que hacemos la vamos a centrar en dos asignaturas en la formación de Maestros de Educación Primaria:

Curso: 1º

Curso: 2º

Estas dos asignaturas, básicas en la formación de maestros, están ligadas entre sí, de forma que la primera se constituye en fundamento de trabajo y operatividad para la segunda.

Tal y conforme hemos propuesto anteriormente, los contenidos de la materia "Matemáticas y su Didáctica en la Educación Primaria" (curso 1º) han de ser contenidos fundamentales que se constituirán, a su vez, en contenidos operatorios para la materia "Didáctica de la Matemática", al tenerles que dotar de funcionalidad operatoria en el estudio y análisis didáctico de situaciones y secuencias de enseñanza-aprendizaje para la Educación Primaria. Creemos que, proyectando y organizando la docencia de ambas materias, le damos total sentido a nuestra concepción de la Didáctica de la Matemática en la formación de maestros de Educación Primaria.

En el desarrollo que realizamos del temario, hemos de señalar que en la asignatura "Matemáticas y su Didáctica" de 1º curso, en muchas de las tareas que proponemos a los alumnos empleamos términos didácticos tales como estrategias, situación-problema, variable didáctica, etc. sin dar, previamente en los contenidos del tema, una definición formal de los mismos. Es nuestra intención que los alumnos, en este primer curso, se familiaricen con esta "jerga" didáctica, si bien su carácter será de "útil" (en el sentido de Douady, 1984), para posteriormente, en el curso siguiente, en la materia "Didáctica de las Matemáticas" darles el carácter de "objetos" de la Didáctica, enmarcándolos dentro de una teoría formal. Estableceremos, así, una dialéctica útil-objeto que creemos será muy válida para nuestros alumnos y dará mayor significación a los contenidos de su formación matemática y didáctica. La dialéctica anterior responde asimismo a la organización conceptual de ambas materias. La asignatura "Matemáticas y su Didáctica" (1º curso) la hemos configurado atendiendo a la epistemología de los saberes matemáticos, así hemos distribuido la materia en varios bloques de contenido:

- Aritmética,

- Magnitudes y su medida,

- Geometría y

- Tratamiento de la Información,

organizando cada uno de ellos según la progresión del conocimiento matemático. En la asignatura "Didáctica de las Matemáticas" la organización se ha realizado según la epistemología propia de la Didáctica de la Matemática, los bloques de contenido se enmarcan en la organización científica de esta materia:

- Fundamentos de Didáctica de la Matemática,

- El Currículum matemático en la Educación Primaria,

- Los alumnos y la adquisición del saber matemático.

Así, en esta asignatura, nociones tales como situación -didáctica, variable didáctica, procedimientos, concepciones, etc. adquirirán su estuto de saberes didácticos fundamentales, pasando del carácter de "útil" con el que se habían familiarizado nuestros alumnos en el curso 1º, al de "objeto" de la Didáctica. Será en este 2º curso donde los saberes estrictamente matemáticos (numeración, fracciones, transformaciones geométricas, etc.) se utilizarán como "herramientas" para el trabajo didáctico sistemático (se considerarán en esta materia como saberes operatorios).

REFERENCIAS.

"TALLERES PARA LA ACCIÓN": PROPUESTA algunos ejemplos de TAREAS que se podrían DESARROLLAR CON LOS ALUMNOS

1. realizar un análisis didáctico de diferentes SITUACIONES DE ENSEÑANZA -APRENDIZAJE DEL NÚMERO PROPUESTAS EN: ERMEL (1990) (Les situations, p. 60-163) destacando:

- análisis epistemológico (nociones matemáticas implicadas)

2. Realizar un análisis de la transposición didáctica que realizan varios manuales escolares de las nociones tratadas en la unidad didáctica: Introducción al número y sistema de numeración, determinando:

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACION PRIMARIA (2º Curso)

- Una aproximación sistémica a la Didáctica de la Matemática:

polo del saber matemático; polo del alumno; polo del profesor

- Relaciones didácticas que se establecen entre los tres polos anteriores:

- relaciones pedagógicas,

- relaciones de los alumnos al saber matemático,

- relaciones de los profesores al saber matemático y a su enseñanza.

- Una aproximación a la determinación de las variables que pueden condicionar la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas escolares:

- variables ligadas al saber matemático

- variables ligadas al control del profesor (variables de situación, de contrato, de transposición)

- variables ligadas al desarrollo genético de los alumnos.

- Hechos contingentes y fenómenos didácticos.

- El Sistema Didáctico y el Sistema de Enseñanza. Factores internos y externos que inciden en su evolución y desarrollo.

- Presentación global de los temas a estudiar durante el curso. Sus relaciones e implicaciones.

- Las aportaciones de Piaget y sus sucesores,

- Las aportaciones de la escuela soviética

- Diferentes concepciones sobre el aprendizaje:

- concepciones empiristas

- concepciones cognitivistas

- concepciones constructivistas

- el aprendizaje por adaptación

Su implicación en el aprendizaje de las Matemáticas escolares.

- despersonalización y personalización de los saberes

- autonomización

- programabilidad

- complexificación

- transaccionalidad

- Epistemología y obstáculos en la evolución histórica de la Matemática.

- Fenómenos didácticos ligados al control de la transposición didáctica.

- Diseño y desarrollo de los currículos de Matemáticas

- Elementos del diseño curricular matemático:

- Contenidos: hechos, técnicas y destrezas

- Conceptos y campos conceptuales

- Estrategias generales.

- acción

- formulación

- validación

- institucionalización

- Las situaciones a-didácticas y la devolución del problema a los alumnos.

- La función del error en el aprendizaje de la Matemática

- Análisis de errores

- Errores aleatorios y errores persistentes y resistentes

- Análisis didáctico de los errores de los alumnos:

- concepciones previas

- dominio de validez

- La evaluación: concepto y finalidad.

- La coherencia entre el desarrollo del currículo y los métodos de evaluación.

3. Estudiar la influencia de las concepciones científicas en la estructura del saber escolar: El caso de las Matemáticas modernas. Utilizar el texto de Defior (1990). (La Reforma y las Matemáticas: Análisis comparativo. Cuadernos de Pedagogía, 182, 14-17).

4. Análisis de un caso de "transposición didáctica": la notación matemática. Ventajas de la notación algebraica actual frente a la notación sincopado o la notación de los "cosistas". Utilizar el documento Pérez de Moya (1 5 73) y los manuales escolares actuales.

5. Análisis de la fluctuación de la terminología geométrica en los cuestionarios oficiales de diferentes reformas: Su Influencia en el saber matemático. Utilizar los programas de 1954 y 1992.

6. A partir de las transcripciones (Rico y col. 1988, p. 187-212) de los diálogos entre profesor y alumnos en situación de resolución de problemas, determinar:

7. Corrección de producciones de los niños de Primaria (por ej. operaciones y ordenación de números decimales). Determinación de los errores que cometen. Clasificación de los mismos e identificación de los obstáculos. Emplearla en una sesión de Prácticas escolares. Análisis de resultados.

8. Diseño y construcción de situaciones para provocar la superación de los obstáculos. La incidencia del "medio" como factor de desequilibrios en el aprendizaje por adaptación. Analizar las "respuestas" que deben obtener de la situación para que a través de ellas evolucionen sus estrategias hacia la solución óptima.

9. A partir del documento Brousseau (1 99 l) (Plan de travail et liste des documents sur I'observation. IREM de Bordeaux). Construir una tabla en la que se indiquen los aspectos pertinentes que se pueden observar en una situación de enseñanza-aprendizaje (en el profesor y en el alumno).

Departamento de Matemáticas

Universidad de Zaragoza

En este trabajo presentamos una lección de Matemáticas para maestros. Empezamos por situarla en la organización docente de la Escuela de Magisterio de la Universidad de Zaragoza para pasar después a describir su contenido y metodología.

1. Distribución de las asignaturas del área de Didáctica de las Matemáticas en las Diplomaturas de Maestro

En la Universidad de Zaragoza se imparten las siete especialidades de la Diplomatura de Maestro. En todas ellas existen ocho créditos obligatorios distribuidos en dos asignaturas cuatrimestrales, de cuatro créditos cada una, llamadas Matemáticas y su Didáctica I y Matemáticas y su Didáctica II y situadas, respectivamente, en el primer y segundo cuatrimestre del primer curso de cada especialidad.

Además, la especialidad de Educación Primaria cuenta con otra asignatura obligatoria de ocho créditos llamada El currículo de Matemáticas en la Educación Primaria, que se imparte en segundo curso, y la especialidad de Educación Infantil con una asignatura obligatoria de seis créditos llamada El currículo de Matemáticas en la Educación Infantil, también en segundo curso.

Por último, tenemos seis asignaturas optativas, todas ellas de seis créditos, repartidas entre las distintas especialidades: Adaptaciones curriculares en Matemáticas, Ampliación de Matemáticas, Didáctica de las Matemáticas para niños con necesidades educativas especiales, Geometría, Arte y Educación, Juegos educativos matemáticos, y Laboratorio de Matemáticas

- que el alumno que cursa estas asignaturas modifique su relación con los objetos matemáticos que se enseñan en Primaria, acercándose a la relación que los matemáticos establecen con ellos e incorporando elementos epistemológicos, fenomenológicos, culturales e institucionales.

- que adquiera unos conocimientos didácticos que le permitan, cuando se encuentre en posición de profesor, analizar con eficacia lo que sucede en la clase de matemáticas y realizar gestos profesionales precisos y adecuados a cada situación.

2.2. De acuerdo con estos objetivos el contenido se distribuye de la siguiente manera:

Matemáticas y su Didáctica I.- revisión del número natural, número entero e introducción al

álgebra (40 horas).

Matemáticas y su Didáctica II: revisión de la geometría (40 horas).

El curriculum de Matemáticas en Educación Primaria: revisión de la medida, número racional e irracional (20 horas). Transposición didáctica de las Matemáticas en Primaria: el texto del saber, el saber enseñado el saber aprendido. Propuestas didácticas (60 horas).

El curriculo de Matemáticas en Educación Infantil: transposición didáctica de las Matemáticas en Infantil: el texto del saber, el saber enseñado el saber aprendido. Propuestas didácticas (60 horas).

El contenido de las asignaturas Matemáticas y su Didáctica I y matemáticas y su Didáctica II es común para todas las especialidades. A los alumnos que cursan especialidades distintas de Primaria e Infantil y que están interesados en la enseñanza de las Matemáticas se les recomienda que se matriculen en El curriculo de Matemáticas en Educación Primaria a través de la libre elección.

3.2. Para cada tema se presentan:

- una o varias situaciones introductorias que se resuelven mediante trabajo individual o en pequeños grupos

- clases magistrales

- clases de problemas

Además los alumnos disponen de:

Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar. Técnica de recuento para obtener cardinales. Técnicas auxiliares del recuento. Técnicas de recuento para obtener ordinales. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos. Técnicas de recuento sin palabras. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras. Estatuto actual de las técnicas de recuento. Magnitud y medida. Evolución histórica de las magnitudes. Las técnicas de medir. Número y cantidad. Recuentos aproximados.

4.2. El tiempo dedicado al tema es de 6 horas de clase distribuidas en:

- situaciones introductorias: 1 hora y media

A continuación se desarrollan los epígrafes correspondientes a las técnicas de contar.

¿Cuántos puntos hay en el dibujo?

Describe la conducta seguida para contestar a la pregunta anterior.

5.2. Respuestas de los alumnos

Los alumnos cuentan correctamente el número de puntos (la tarea se realiza individualmente) y al describir la conducta seguida se refieren a los distintos métodos utilizados para controlar la correspondencia uno a uno entre los puntos y la sucesión numérica. Aparece una gran variedad de respuestas (en Zaragoza los grupos tienen alrededor de cien alumnos): tachar los puntos a medida que se cuentan, seguir un camino imaginario, unir los puntos mediante líneas, descomponer el conjunto de puntos en subconjuntos y hacer recuentos parciales, tapar el rectángulo e ir contando a medida que se destapan los puntos, etc.

5.3. Intervención del profesor

Una vez acabada la actividad el profesor pide a algunos de los alumnos que expongan sus contestaciones y escribe en la pizarra un pequeño listado con los diferentes tipos de respuestas.

Después de eso llama la atención de los alumnos sobre los siguientes hechos:

- Para responder a la pregunta ¿cuántos hay? es necesario poner en marcha unas determinadas conductas, unas técnicas: las técnicas de contar.

- Estas técnicas de contar son un "saber hacer" construido por la sociedad y constituyen los cimientos del concepto de número natural.

- La técnica depende de la existencia de unas palabras numéricas que es obligatorio recitar siempre en el mismo orden y comenzando por la primera (la mayor parte de los alumnos, al describir la conducta seguida, omiten la referencia a este aspecto). - La parte más difícil de la técnica es el control de la correspondencia uno a uno entre los objetos a contar y la sucesión numérica lo que exige, en función de las características de la colección de objetos a contar, la utilización de diferentes estrategias como las descritas por los alumnos.

Las técnicas de contar y medir son técnicas universales, es decir, se han encontrado en casi todas las sociedades estudiadas hasta ahora. Son además las técnicas que han dado origen al concepto de número y a la Aritmética. En particular, las técnicas de contar surgen ligadas a la necesidad de:

- comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos

(cardinal de la colección).

- indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de

objetos (ordinal del objeto).

En las sociedades prehistóricas de tipo cazador y recolectar se plantea ya, aunque sólo a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta ¿cuántos hay? o ¿cuántos son? y también, ligado al desarrollo de rituales sagrados, aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?, ¿quién interviene en segundo lugar?, etc.

A partir de esas necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas.

Descripción de la técnica:

- Se recita una sucesión de palabras a las que llamaremos palabras numéricas: uno, dos, tres, etc.

Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo una. Cada una de esas palabras es el ordinal del elemento correspondiente.

- Se repite, una vez acabada la fase anterior, la última palabra numérica adjudicada a un elemento del conjunto contado haciendo referencia con ella a toda la colección. A esta palabra se le llama cardinal del conjunto o de la colección.

En primer lugar, somos capaces de contar porque nos sabemos de memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc., y las recitamos. En segundo lugar viene la parte más complicada de los recuentos: adjudicar a cada objeto del conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Esta tarea lleva implícita la de definir un orden total en el conjunto contado, orden que el individuo que efectúa el recuento puede definir a su arbitrio sin que eso modifique el resultado final. Todo esto requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista que en muchos casos necesita de técnicas auxiliares. Por último, hay que ser consciente de que la última palabra dicha hace referencia, no sólo al último objeto señalado sino también a todo el conjunto, es una propiedad que se predica de todo el conjunto. Es decir, hay que entender que cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble sentido: es el ordinal del elemento correspondiente y es el cardinal del conjunto formado por los objetos ya contados.

Son técnicas que permiten controlar el que a cada elemento del conjunto le corresponda una palabra numérica y sólo una. Para ello se necesita distinguir en todo momento el subconjunto ya contado del no contado.

Las técnicas auxiliares dependen de:

- el número de elementos del conjunto contado.

- la configuración geométrico del conjunto.

- el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado - la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano, objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente). - la movilidad de los objetos.

Son las siguientes:

Todas estas técnicas auxiliares tienen que ir precedidas de una primera coordinación entre la mano o la vista y la emisión de la palabra. Es decir, hay que aprender a emitir cada palabra al mismo tiempo que la atención se fija en un objeto.

6. 4. Técnicas de recuento para obtener ordinales

En las técnicas de recuento para obtener el ordinal de un elemento se utiliza la sucesión de palabras numéricas ya mencionada anteriormente o la sucesión de palabras: primero, segundo, tercero, etc. a la que a partir de ahora llamaremos sucesión de palabras numéricas ordinales. El resultado del recuento se expresa indistintamente mediante unas u otras palabras. Se dice de un elemento que es el décimo quinto o que es el quince. A medida que se avanza en la sucesión de palabras numéricas se utilizan cada vez menos las palabras numéricas ordinales.

Primera técnica:

Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto:

- Se recita una de las sucesiones de palabras numéricas

- Se adjudica una palabra distinta, y sólo una, a cada uno de los elementos del conjunto siguiendo el orden establecido hasta llegar al elemento en cuestión.

- La palabra que corresponde a dicho elemento es su ordinal.

En esta técnica el orden ya no es discrecional sino que viene fijado de antemano

Segunda técnica:

Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto:

- Se utiliza la técnica de recuento para obtener el cardinal del conjunto formado por todos los elementos anteriores al que nos interesa.

- El ordinal del elemento es la palabra siguiente al cardinal de dicho conjunto.

Esta segunda técnica permite reordenar a voluntad el conjunto de los elementos anteriores al dado.

Hasta ahora hemos visto que para contar se necesitan unas palabras numéricas, pero ¿estas palabras han existido siempre? ¿Existen técnicas de recuento que no se basen en palabras? A continuación mostraremos como resuelven o han resuelto diferentes culturas el problema de responder a la pregunta ¿cuántos hay?

En primer lugar, parece que el hombre tiene una capacidad innata para reconocer ciertos cardinales de conjuntos sin necesidad de efectuar un recuento. Esta capacidad recibe el nombre de "subitación" y permite reconocer cardinales de conjuntos de hasta cuatro objetos. Esto justifica la existencia de culturas que poseen alguna manera de comunicar mediante el lenguaje el cardinal de un conjunto sin técnicas de contar. Por ejemplo:

- Existen sociedades que sólo han inventado las dos primeras palabras numéricas: una para indicar la unidad, otra para indicar la pareja. Ejemplos de estas sociedades son los zulúes y pigmeos en Africa, los aranda y kamilarai en Australia, los bocotudos de Brasil y los aborígenes de las islas Murray.

- Varias tribus de Oceanía declinan los nombres de las cosas en singular, dual, trial, cuatrial y plural, del mismo modo que nosotros declinamos los nombres en singular y plural. Tienen por tanto la posibilidad de indicar el cardinal de un conjunto de hasta cuatro objetos pero no tienen palabras para contar.

En segundo lugar, muchas sociedades han desarrollado técnicas de contar sin palabras, técnicas que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo: el rosario (pasando las bolitas del rosario con los dedos llevarnos la cuenta de las avemarías), llevar la cuenta de los votos a favor y en contra trazando palotes, mostrar los dedos para indicar un cardinal u ordinal (está técnica se utiliza mucho con los niños pequeños), utilizar palillos, trozos de papel o fichas para llevar la cuenta de las partidas ganadas en un juego de cartas, utilización de ábacos en las escuelas, etc. En nuestra cultura estas técnicas son marginales y se mezclan con las técnicas de recuento con palabras, que son las predominantes. Sin embargo, existen y han existido sociedades que contaban sin palabras de modo habitual.

Ejemplos:

- Todavía no hace mucho los pastores trashumantes antes de partir con el ganado inscribían en un palo una muesca por cada cabeza de ganado que se llevaban. Después cortaban el palo longitudinalmente y una parte se la quedaba el pastor y otra el dueño del rebaño. A la vuelta unían los dos trozos de palo y recontaban el ganado.

- Se han encontrado también huesos prehistóricos con muescas grabadas que se supone indican el número de piezas cobradas por el cazador al que perteneciera el hueso.

- Determinadas tribus del Africa Central cuentan su ganado haciéndolo desfilar y ensartando una cuenta en un collar por cada cabeza de ganado que pasa. La utilización de collares con fines contables ha sido muy frecuente y de ahí el nombre de "cuentas" que reciben los objetos que se ensartan en el collar.

- En la civilización inca se llevaban las cuentas mediante cuerdas en las que se hacía un nudo por cada objeto contado.

- En Abisinia cada guerrero, antes de salir de expedición, depositaba un guijarro en un lugar convenido. A la vuelta cada guerrero recogía uno de dichos guijarros. Los sobrantes indicaban el número de bajas que se habían producido en la batalla.

- La utilización de guijarros para contar o realizar operaciones fue habitual en la civilización romana y ha dado lugar a la palabra "cálculo" que proviene de la palabra latina "calculus" que significa "piedra pequeña".

- Los papúes de Nueva Guinea cuentan utilizando las partes del cuerpo humano (ver G. Ifrah: Las cifras. Alianza Editorial. 1988. pp. 33-38).

Suponen la existencia, en sustitución de las palabras, de objetos físicos que sirven como objetos numéricos y que podemos clasificar en:

Se caracterizan por:

- A cada elemento del conjunto contado se le asocia un objeto numérico distinto y sólo uno.

- Se construye así un subconjunto de objetos numéricos y su presentación es la respuesta a la pregunta ¿cuántos hay?

Esto pone de manifiesto que lo que subyace en un recuento, la parte común a todos ellos, es el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre el conjunto contado y un subconjunto del conjunto numérico de referencia, tanto si los elementos de este último son objetos físicos, como partes del cuerpo humano o palabras o gestos, etc.

Parece que las técnicas actuales de recuento con palabras se construyeron en distintas sociedades y en distintas épocas a partir de recuentos sin palabras. A continuación vamos a dar una explicación de cómo pudo producirse este proceso. Esto no significa que todas las culturas hayan pasado por todas las etapas indicadas por nosotros, ni en el orden que nosotros establecemos. La evolución cultural es un tema de enorme complejidad y nosotros hacemos una simplificación para poner de relieve aquellos aspectos que son significativos para la didáctica.

- Comparación del conjunto acerca del cual se desea comunicar el tamaño con un conjunto de referencia formado por objetos visibles o evocables por los demás. Partiendo de comparaciones iniciales groseras se establece la correspondencia uno a uno.

- Comparación con un conjunto de referencia ordenado (el cuerpo humano, objetos de diferentes colores o tamaños, cuentas ensartadas en un collar, muescas en hilera, etc.) para poder establecer el orden de intervención en una sucesión temporal de los diferentes actores de un ritual o de los participantes en una estrategia de caza.

- Utilización de los conjuntos numéricos ordenados tanto en contextos cardinales como

ordinales. Cada uno de los objetos numéricos recibe un nombre distinto.

- Descubrimiento de que basta nombrar el último elemento del conjunto numérico ordenado con el que se ha establecido la correspondencia uno a uno para transmitir información tanto en contextos cardinales como ordinales.

Llega un momento en que algunas sociedades se dan cuenta de que si utilizan un conjunto numérico ordenado ya no es necesario presentar al interlocutor todo el conjunto con el que se ha establecido la correspondencia, ni enumerarlo. Con hacer referencia al último objeto es suficiente pues el interlocutor puede evocar todos los elementos anteriores. No todas las culturas han sido capaces de llegar a este punto. Por ejemplo, los papúes de Nueva Guinea para indicar el cardinal "siete" hacen el gesto de tocar con su mano izquierda, sucesivamente, los dedos de la mano derecha, la muñeca y el codo. Si se hace delante de ellos el gesto único de tocar el codo no le encuentran sentido. Vestigios de esta incapacidad cultural se encuentran en los niños pequeños que preguntados sobre cuántos hay cuentan y dicen: uno, dos, tres, cuatro, y ante la pregunta insistente del adulto: si pero ¿cuantos hay? vuelven a decir: uno, dos, tres y cuatro.

- El conjunto de referencia es simplemente un conjunto de palabras desligado de objetos físicos. Cada palabra se convierte en una palabra numérica (palabra que sirve para contar). En muchas sociedades primitivas algunas de esas palabras siguen evocando partes del cuerpo humano.

En particular, nuestro conjunto numérico habitual es un conjunto ordenado de palabras: uno, dos, tres, cuatro, etc. Si decimos que tenemos cinco objetos nuestro interlocutor entiende la información porque se imagina un objeto para el uno, otro para el dos, otro para el tres, otro para el cuatro y otro para el cinco. Es decir la transmisión de dicha información numérica está dependiendo del hecho de tener almacenada en nuestra memoria esa sucesión de palabras, de forma que cuando nos dicen una de ellas somos capaces de recordar todas las anteriores. Si una persona no es capaz de evocar las palabras numéricas anteriores a la que se le dice no puede entender esa información numérica.

Hasta ahora hemos hecho una descripción de diferentes técnicas de recuento y de su génesis y evolución histórica. Estas técnicas no se originaron en instituciones específicas sino que siempre han formado parte del patrimonio cultural de toda la sociedad. Actualmente la institución depositaria de este saber y la que, por tanto, legitima su práctica sigue siendo toda la sociedad. Esto quiere decir que los matemáticos no se sienten responsables ni de la definición y principios de la técnica de contar ni de sus condiciones de uso. A pesar de que es la técnica a partir de la cual surgió el concepto de número natural, base de todas las matemáticas, los matemáticos la consideran una técnica elemental común a toda la sociedad y no específicamente matemática. Sólo los aspectos más sofisticados de la técnica (combinatoria, estadística) son controlados por la instituciones de matemáticos. Además, al ser un saber no especializado, un saber que "vive" en la sociedad, la escuela, en general, no se ocupa de él. Da por supuesto que los niños conocen las técnicas de contar y les exige que las pongan en práctica cuando se necesita pero no organiza una enseñanza específica de dichas técnicas.

Tesis doctoral realizada por,

Dpto de Didáctica de las Matemáticas (Universidad de Granada)

Dirección: Dr. Juan Díaz Godino

RESUMEN

La tesis doctoral se ha centrado en la evaluación del razonamiento combinatorio de los alumnos de secundaria en el proceso de resolución de problema combinatorios simples y en la identificación de factores condicionantes del mismo. Como objetivo primordial se fijó el estudio del efecto de la variable que se ha denominado modelo combinatorio implícito en el enunciado del problema sobre la dificultad de los mismos, sobre las estrategias y errores en el proceso de resolución y de la interacción de esta variable con otras variables de tarea, así como con la instrucción. La Memoria se ha dividido en tres capítulos:

En el capítulo I se centra la parte teórica de la Tesis, así como la descripción del problema y metodología empleada, Este estudio se ha realizado con objeto de situar la investigación en un marco más amplio y justificar la relevancia de la variable principal, modelo combinatorio implícito. Este capítulo se ha dividido en tres secciones: l) En la primera de ellas, se realiza un análisis matemático de la Combinatoria elemental, estructurado en los siguientes aspectos: a) desarrollo histórico y la descripción de las aplicaciones actuales del tema, b) un análisis de los tipos de problemas combinatorios, c) la modelización de los problemas combinatorios simples de enumeración y recuento, y d) un estudio de los libros de texto, con objeto de mostrar que los diferentes modelos combinatorios no siempre figuran en las definiciones de las operaciones combinatorias presentadas por los autores, ni en los enunciados de los ejercicios propuestos a los alumnos. 2) Se continúa con dos secciones dedicadas, respectivamente, a describir los principales conceptos teóricos utilizados en la parte experimental y los antecedentes de la investigación en este campo. 3) Finalmente, y como consecuencia del estudio teórico realizado, se formulan los objetivos y el enfoque metodológico de la investigación.

En el Capítulo II se aborda el proceso de construcción de los cuestionarios de evaluación empleados en la fase piloto, así como el análisis de las entrevistas efectuadas a una muestra intencional de alumnos. Se finaliza con la descripción del diseño y depuración del cuestionario y las conclusiones obtenidas

En el Capítulo III se describe el estudio de evaluación llevado a cabo con el citado instrumento, sobre una muestra de 720 alumnos de primer curso de Bachillerato, con y sin instrucción en el tema, comparando los procesos de resolución. Esta evaluación ha permitido construir una categorizaci6n de errores, sus asociaciones y su estructura. Los tipos de problemas considerados en esta investigación han sido los de enumeración y recuento; las variables de tarea han sido: modelo combinatorio (selección, distribución y partición), tipo de operación combinatoria y contexto, consideradas como independientes; el tamaño de los parámetros m y n y el tipo de ayuda suministrada se han tratado como variables controladas.

Para el análisis de los datos se ha efectuado un análisis multivariante. Para comprobar la significación estadística de las diferencias entre las medias de estas dos muestras de alumnos, y su dependencia de las diversas variables de tarea incluidas en el cuestionario, se ha realizado un Análisis de la Varianza. Con objeto de estudiar las interrelaciones entre los diferentes ítems, se ha efectuado un Análisis Cluster, un' Análisis Factorial y un Análisis Implicativo. Y con el fin de estudiar las asociaciones entre los errores y la influencia sobre los mismos de las variables de tarea consideradas, se ha realizado un Análisis de Correspondencias. Así mismo, se han efectuado una serie de entrevistas clínicas a los alumnos con dificultades en el terna, El análisis de éstas ha permitido profundizar en las estrategias de resolución de los problemas y en la comprensión de los conceptos combinatorios por parte de los alumnos.

Como consecuencia del diseño de la investigación y del análisis de los datos recogidos hemos logrado probar el carácter de variable didáctica del modelo combinatorio implícito en el enunciado de los problemas, por su influencia en los índices de dificultad, y en los procedimientos de resolución, debiendo, por tanto, ser tenida en cuenta en la planificación de la enseñanza de la Combinatoria. Asimismo, se proporciona como resultado de la investigación una prueba válida y fiable que puede ser usada por los profesores como instrumento de diagnóstico y evaluación del razonamiento combinatorio de los estudiantes de secundaria.