Nº 3 (1993)

 SUMARIO:

La transposición didáctica habitual relativa al número entero conduce a un estado de enseñanza que no da los resultados esperados. Ante esta situación se han producido diferentes aportaciones, casi todas ellas en una línea de "mejorar" dicha enseñanza, en las que, frecuentemente, se subestima la dificultad de modificar un proceso de enseñanza sobre una cuestión fundamental. La realidad, en este caso concreto, es que se produce una sobredeterminación de los efectos, es decir, la enseñanza de los enteros es el resultado de un conjunto muy variado de fenómenos y su análisis es necesario para comprender cómo reacciona el sistema y para permitirnos preparar nuevas proposiciones de ingeniería didáctica.

En un primer momento, para elegir, con vistas a su estudio, aquellos fenómenos o procesos que pudieran resultar más relevantes, se hizo necesario realizar una exploración que nos permitiera encontrar indicios sobre los que basar dichas elecciones. La exploración inicial consistió en: lectura de la bibliografía referente a la epistemología y didáctica del número entero, observación en varias aulas del proceso de enseñanza relativo a dicho concepto, análisis de libros de texto tanto actuales como antiguos, conversaciones informales con profesores acerca de la enseñanza del número entero, experimentación de una secuencia didáctica para poner de manifiesto determinados fenómenos, etc.

Esta exploración inicial nos ha permitido detectar ciertos hechos:

- Los obstáculos que la enseñanza de la aritmética plantea a la introducción del número negativo: concepción del número como resultado de una medida, consideración del cero como cero absoluto, utilización sesgada y prematura del signo igual y de los signos aritméticos que representan operaciones, etc.

- Los obstáculos que el modelo implícito del profesor, tanto en lo que se refiere a la epistemología de las Matemáticas como a la metodología utilizada en el aula, produce en la enseñanza del tema: consideración de las matemáticas como un cuerpo de doctrina dogmático e invariable, concepción del aprendizaje basada en la metáfora del recipiente que se va llenando poco a poco, visión de la tarea del profesor como intermediario entre el libro de texto y el alumno, necesidad de encontrar un modelo físico introductorio de cada concepto como forma de legitimar su enseñanza, necesidad de una práctica repetitivo y desligada de contexto de los algoritmos de cálculo para garantizar, ante todo, la rápida automatización de los mismos, técnicas para esconder el fracaso escolar, etc.

- La utilización abusiva que se hace de Z, pues, una vez introducido, en las secuencias didácticas habituales se usan, implícitamente, Q, R y R' como si fueran extensiones triviales que no necesitan explicación.

- El hecho de que los modelos físicos utilizados habitualmente en la enseñanza del número entero justifican, en el mejor de los casos, la estructura aditiva de dichos números, pero no la multiplicativa.

- El hecho de que las definiciones formales de suma y resta de números enteros obstaculizan las prácticas de cálculo habitual y no sirven para corregir los errores, ni aumentan el rigor del cálculo, su inteligibilidad ni su velocidad.

- El uso implícito de los signos aritméticos como signos operativos, en unos casos, o predicativos en otros, tanto en la manipulación de expresiones numéricas como literales, sin que esta distinción llegue a formularse con claridad.

El conocimiento de estos primeros hechos aislados nos permite poner de manifiesto un conjunto de fenómenos que son muy significativos, no sólo para la comprensión del proceso de enseñanza de los números enteros, sino también para la comprensión de los procesos de enseñanza en general. Estos fenómenos pueden descomponerse en dos grandes apartados:

a) Efectos generales de la transposición didáctica: obsolescencia, didactificación, etc., que se explican, en parte, por necesidades ergonómicas del alumno y del profesor, en parte, por la ideología pedagógica y epistemológica del profesor, y, por último, por razones históricas.

b) Efectos específicos ligados a la concepción del número como medida, a la introducción precoz de notaciones algebraicas en un entorno aritmético, a la dificultad de simetrización y de inmersión de una estructura en otra (estos últimos fenómenos aparecen también en la enseñanza de Q), etc.

La variedad de los fenómenos señalados en el primer apartado, muestra que no podemos ambicionar más que hacer una contribución a la comprensión de algunos de estos fenómenos. No podemos, por tanto, en el estado en que se encuentra la investigación, enumerar todas las hipótesis que podrían ser investigadas. En consecuencia, presentamos algunas hipótesis como ejemplo del tipo de hipótesis posibles:

a) La transposición didáctica ha conducido progresivamente, a través de 'mejoras locales', a formas de enseñanza que provocan obstáculos epistemológicos y didácticos difíciles de remontar. b) La construcción formal de los números enteros, aun cuando legitima al número entero como objeto matemático, impide la legitimación de las prácticas habituales de cálculo con números enteros.

c) Los modelos físicos habitualmente usados en la introducción de los enteros y, más generalmente, el hecho de que los números enteros se introduzcan en un contexto aritmético, obstaculiza la comprensión de la estructura multiplicativa de los enteros, e incluso de la aditiva.

Desde un punto de vista metodológico la contrastación de estas hipótesis supone en primer lugar la revisión de la noción de obstáculo.

En la primera parte se establece que en la relación didáctica, el razonamiento natural (R.N.) de los alumnos es solicitado por los enseñanzas de diferentes maneras, pero el contrato didáctico prohibe habitualmente que dicho razonamiento sea un objeto de enseñanza. Un ejemplo de ésta situación paradójica es presentado y analizado.

Un análisis teórico de los diversos funcionamientos (oficial, público, privado) del razonamiento en la relación didáctica completa esta primera parte. Diferentes modelos de representación de dicha relación didáctica y de sus elementos -tomados de la "teoría de situaciones didácticas"-, son la base de dicho análisis teórico, principalmente:

En la segunda parte se estudia la posibilidad de mejorar este razonamiento natural por una iniciación al análisis clasificatorio. Este análisis permite una explicitación parcial del R.N., lo que modifica su papel en la relación didáctica.

La ingeniería didáctica elaborada, supone tanto un instrumento fenomenotécnico (de observación del problema descrito en la primera parte) como un instrumento didáctico de actuación y modificación de las condiciones habituales de enseñanza (generadores del problema).

La familia de situaciones didácticas propuesta, -su situación fundamental, sus variables y sus variantes- está basada en la iniciación a la clasificación, siendo la agregación de datos (el análisis tipológico) el concepto matemático utilizado como instrumento didáctico.

Distintos autores destacan la relevancia de la noción de significado desde los puntos de vista epistemológico, psicológico y didáctico. Por ejemplo, Bruner (1991) afirma que "el concepto fundamental de la psicología humana es el de significado y los procesos y transacciones que se dan en la construcción de los significados" (pag. 47). Dumett (1991) vincula la noción de significado a la comprensión: 'una teoría del significado es una teoría de la comprensión" (pag. 372), y también para Sierpinska (1990) "comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar su significado" (pag. 35). Balacheff (1990), asimismo, sitúa el significado en el centro de la problemática didáctica y Brousseau (1986) se pregunta si existe una "variedad didáctica" del concepto de sentido, desconocida en lingüística, psicología o en matemáticas.

A pesar de su importancia, el término significado aparece usado con frecuencia de un modo intuitivo en los estudios didácticos. Sin embargo, el análisis teórico de esta noción desde una perspectiva matemática, antropológica y psicológica, esto es, una teoría explícita del objeto matemático, puede ser útil para establecer conexiones entre distintas aproximaciones a las cuestiones de investigación en Didáctica de la Matemática.

El punto de partida de nuestra teorización es la formulación de una ontología de los objetos matemáticos que tiene en cuenta el triple aspecto de la matemática como actividad de resolución de problemas, socialmente compartida, como lenguaje simbólico y sistema conceptual lógicamente organizado. Por este motivo la noción de problema matemático es considerada como la noción más primitiva. A partir de esta noción definimos los conceptos teóricos de práctica, objeto (personal e institucional) y significado, con el fin de hacer patente y operativo, por un lado, el triple carácter de la matemática a que hemos aludido, y por otro, la génesis personal e institucional del conocimiento matemático.

Las nociones que introducimos se inspiran estrechamente en las de práctica, objeto y relación al objeto propuestas por Chevallard (1989, 1992). Respecto de las ideas de práctica y objeto consideramos necesario precisarlas y explicitar su conexión con la actividad de resolución de problemas matemáticos. Por otra parte, se propone un primer nivel de desagregación de la noción de relación al objeto, aportando una definición de significado que destaca los aspectos puramente epistémicos y semióticos de dicha relación de otros como los actitudinales.

PRACTICAS, OBJETOS Y SIGNMCADOS

(1) Llamamos práctica a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos. Esta resolución incluye buscar lo esencial entre contextos, situaciones, problemas, procedimientos, .... simbolizar, formular, validar, generalizar, ...; en definitiva, matematizar (Freudenthal, 1991). En las prácticas matemáticas intervienen objetos materiales o abstractos, los cuales pueden estar representados en forma textual, oral, gráfica o incluso gestual. Chevallard (1991) llama praxemas a estos objetos ligados a prácticas.

(2) En lo que sigue centraremos el interés en los tipos de prácticas, esto es, en los invariantes operatorios puestos de manifiesto por una persona en su actuación ante situaciones problemáticas, no en las muestras particulares de las misma. Llamaremos a estos invariantes prácticas prototípicas.

(3) Sistema de prácticas personales asociadas a un campo de problemas:

Está constituido por las prácticas prototípicas que una persona realiza en su intento de resolver un campo de problemas C. Representamos este sistema por la notación PP(C)

(4) Diremos que una práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si para la persona esta práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la solución y generalizaría a otros contextos y problemas. Las prácticas significativas conllevan un carácter organizativo, esto es, constituyen una praxis en el sentido de Morin (1977).

Es un emergente (Morin, 1977) del sistema de prácticas personales significativas asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de PP(C). La emergencia del objeto es progresiva a lo largo de la historia del sujeto, como consecuencia de la experiencia y el aprendizaje. Estos objetos son los constituyentes del conocimiento subjetivo (Emest, 1991).

Desde nuestro punto de vista, la noción de objeto mental comprendería la noción de concepción del sujeto (Artigue, 1990) y las de concepto y teorema en acto (Vergnaud, 1990»

(6) Una institución (1) está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. Llamaremos institución matemática (M) a las personas que en el seno de la sociedad están comprometidas en la resolución de problemas matemáticos.

Está constituido por las prácticas consideradas como significativas para resolver un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución I. Como tipos de tales prácticas sociales citamos: descripciones de problemas o situaciones, representaciones simbólicas, definiciones de objetos, enunciados de proposiciones y procedimientos que son invariantes característicos del campo de problemas, argumentaciones, Representaremos a este sistema por la notación P_I (C)

Es un emergente del sistema de practicas sociales asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de P_I(C). Esta emergencia es progresiva a lo largo del tiempo. En un momento dado el objeto es reconocido como tal por la institución, pero incluso después de esta etapa sufre transformaciones progresivas según se va ampliando el campo de problemas asociado. El objeto institucional puede conceptualizarse también como signo de la unidad cultural constituida por P_I(C).

Los objetos institucionales son los constituyentes del conocimiento objetivo (Emest, 1991).

Hay que destacar que de un campo de problemas pueden emerger diversos objetos que, como consecuencia, están mutuamente relacionados. Asimismo, los objetos institucionalmente reconocidos son fuente de nuevos problemas y pueden ser usados como herramientas en la resolución de otros. (Dialéctica útil-objeto formulada por Douady (199l).

Los objetos son nombrados y descritos mediante ciertas prácticas (intensivas) que suelen considerarse como definiciones del objeto (incluso se identifican con el objeto mediante un fenómeno metonímico). Si la institución 1 es la institución matemática M, el objeto institucional recibirá el nombre de objeto matemático (pueden ser conceptos, proposiciones, teorías, ...)

La noción de objeto institucional asimilaría a la de concepción en su acepción epistemológica (Artigue, 1990), ya que ésta puede considerarse como un emergente de ciertos subconjuntos de prácticas sociales asociadas a subcampos de problemas de un campo dado.

Es el sistema de prácticas sociales asociadas al campo de problemas de las que emerge 0, en un momento dado. Se trata de un constructo relativo a la institución y dependiente del tiempo.

Simbólicamente, para un tiempo t y una institución l: S(Oi) = P_I(C).

Si I= M, hablaremos del significado matemático de un objeto.

Esta noción de significado permite introducir en la problemática epistemológica y didáctica el estudio de la estructura de los sistemas de prácticas sociales de los que emergen los objetos matemáticos, así como de su evolución temporal y dependencia institucional. El análisis semiótica de los objetos institucionales implica la consideración de las situaciones problemáticas y los objetos que intervienen en las actividades de resolución correspondientes.

Es el sistema de prácticas personales que manifiesta la persona p para resolver el campo de problemas del que emerge el objeto 0 en un momento dado.

Depende, por tanto, del sujeto y del tiempo. Simbólicamente, S(O_p) = P_p(C)

Es el sistema constituido por las prácticas personales asociadas a un campo de problemas que son consideradas en I como adecuadas y características para resolver dichos problemas.

En consecuencia, de un mismo campo de problemas C que en una institución I ha dado lugar a un objeto 0_I, con significado S(O _I), en una persona puede dar lugar a un objeto O_p con significado personal S(O_p). La intersección de estos dos sistemas de prácticas es lo que desde el punto de vista de la institución se consideran manifestaciones correctas, esto es, lo que la persona "conoce" o "comprende" del objeto 0, desde el punto de vista de I.

La atribución hecha anteriormente de significación (o sentido) a una práctica si desempeña una función en una situación problemática se corresponde con la conceptualización presentada por Eco (1991) para un sistema de significación. Asimismo, supone una semiótica pragmática según la cual el significado de una expresión viene dado por el uso o función que esa expresión tiene en el correspondiente juego de lenguaje (Wittgenstein, 1953).

La consideración de la noción de significado de un concepto como una entidad compuesta no es nueva. Así, por ejemplo, Putnam (1991) presenta el significado como un "vector" o sucesión finita de componentes. Bunge (1985) define la significación de un concepto por medio de un par constituido por la intensión (las notas esenciales que caracterizan el concepto) y extensión (conjunto de objetos a los cuales se aplica o refiere el concepto).

Douady (1991) atribuye a los conceptos matemáticos un carácter no unitario, identificando dos polos o dimensiones principales de los mismos: el aspecto objeto (cultural, impersonal e intemporal), plasmado en definiciones y propiedades características y el aspecto útil o herramienta para resolver problemas. Douady no propone una definición de significado aunque comparte que "el significado de un concepto se deriva del contexto en que está aplicado" (pag. 116).

La formulación que presentamos de la noción de objeto y significado personal es compatible con la expuesta por Vergnaud (1990): "El sentido de la adición para un sujeto individual es el conjunto de esquemas que puede poner en práctica para tratar las situaciones a las cuales es confrontado, y que implican la idea de adición' (p. 158).

Nuestra distinción entre significado personal e institucional se corresponde con la realizada por Ausubel y cols (1983), quienes distinguen entre significado psicológico y significado lógico, aunque conceptualizados de manera diferente.

La consideración del significado de los objetos matemáticos como sistemas y la distinción entre distintos tipos de significado (personal e institucional), implica la introducción en la problemática didáctica del estudio de la estructura y caracterización de esta clase de constructos, así como de su dinámica estocástica y dependencia institucional. Permite, asimismo, poner de manifiesto el carácter muestras del proceso de selección de situaciones de enseñanza y evaluación, así como de las manifestaciones o comportamientos de los alumnos, ayudando a superar la ilusión de transparencia determinista que con frecuencia se adopta al considerar estas cuestiones.

Asimismo, la conceptualización de las nociones de objeto) matemático y significado presentada en este trabajo puede ayudar a relacionar la aprobación antropológica a la Didáctica (Chevallard, 1992) con las perspectivas psicológicas (Vergnaud 1990) y epistemológicas (Brousseau, 1986; Artigue, 1990).

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En este trabajo nos interesamos por el problema de la evaluación de los conocimientos matemáticos de los sujetos, entendida en el sentido de Webb (1992): "el informe comprensivo sobre un sujeto o grupo respecto de las matemáticas o en la aplicación de las matemáticas" (p. 662).

Consideramos que el conocimiento conceptual y procedimental de un sujeto, sus concepciones, intuiciones, representaciones, ... o sea la trama de objetos personales (Godino y Batanero, 1993) construida en un momento dado, es una totalidad organizada y compleja. La evaluación del conocimiento subjetivo, conceptualizado desde este paradigma de complejidad sistémica, lleva a la necesidad de desarrollar un nuevo marco teórico para la "medición" educacional y psicológica que supere las limitaciones del enfoque psicométrico clásico. Este nuevo enfoque debe atender a las múltiples manifestaciones del conocimiento subjetivo, esto es, a los distintos componentes de los significados personales de los objetos y sus interrelaciones.

La determinación de los conocimientos subjetivos precisa necesariamente de procesos de inferencia a partir de los sistemas de prácticas o respuestas observadas en situaciones de evaluación, cuya validez y fiabilidad hay que garantizar. La complejidad de este proceso de inferencia se deduce del hecho de que no sólo existen interrelaciones entre los conocimientos referidos a diferentes objetos matemáticos, sino que, incluso para un objeto matemático dado, el conocimiento de un sujeto sobre el mismo, no puede reducirse a un estado dicotómico (conoce o no conoce) ni a un grado o porcentaje unidimensional (conoce x por ciento), lo que hace difícil aplicar a la evaluación de los conocimientos las teorías clásicas psicométricas de maestría de dominio o del rasgo latente (Webb, 1992; Snow y Lohman, 1991). En los apartados que siguen analizamos con más detalle las cuestiones señaladas, desde una perspectiva metodológica.

2. ESTRUCTURA DE LOS CONOCIMIENTOS Y SU RELACION CON LAS VARIABLES DIDACTICAS

El término estructura se deriva del análisis de los sistemas, definidos como "unidad global organizada de interrelaciones entre elementos, acciones o individuos" (Morín, 1977, p. 124). Herman (1990) describe diferentes aprobaciones al estudio de los sistemas. El estudio de la variación en la composición y estructura de tal sistema, en función de las variables relevantes, conduciría gradualmente al enfoque sistémico. El estudio de la interacción en los sistemas complejos nos lleva a la determinación de la estructura relacionar entre sus elementos. A su vez, hablar de relación entre dos o más variables, supone plantear el problema de la causalidad.

En las ciencias sociales, la noción estricta de causalidad es una hipótesis excesiva, por lo que es preferible aplicar el concepto de orden causal débil, empleado en las técnicas estadísticas de análisis causal, como los modelos de estructuras covariantes (Bollen, 1989). Esta definición implica la posibilidad de existencia de más de una causa (débil) para una variable dada, y la no coincidencia, en general, de la correlación con la causación. Por otro lado, la definición tiene naturaleza probabilística.

Como se ha indicado, los conocimientos de un sujeto sobre un objeto matemático deben ser considerados como un sistema complejo. Por ello creemos que el estudio de las relaciones de ¡aplicación entre las diferentes variables que influyen sobre las respuestas explicitadas en la resolución de una tarea y entre las respuestas a las diferentes tareas puede ser adecuadamente modelizado mediante una estructura de orden causal (débil) entre las variables intervinientes. Entre estas variables deben figurar, no sólo las derivadas de los problemas (tareas propuestas), sino también las variables del sujeto, del contexto o situación didáctica.

Como consecuencia, la descripción de los componentes y niveles de los conocimientos de los sujetos requiere un proceso sistemático de recogida de datos y transformación de los mismos. La variedad de fuentes posibles de recogida de datos y formatos de respuesta plantea el problema del análisis de las mismas más allá de una simple puntuación sumativa. La consolidación de la información recogida es un paso crucial en cualquier evaluación y lleva a la aplicación de las técnicas del análisis cualitativo de datos (Miles y Huberman, 1984).

En cualquier caso, en el proceso de evaluación de los conocimientos matemáticos de los estudiantes, se deben realizar inferencias sobre constructos inobservables a partir de un conjunto de indicadores empíricos, esto es, se plantea un problema de medición (Carmines y Zeller, 1979; Sax, 1989; Dane, 1990). La medición es entendida aquí, no en su acepción psicométrica o matemática estricta, sino en un sentido general de asignación de un código a las categorías de variables tanto cuantitativas como cualitativas .

Como consecuencia, es preciso tener en cuenta las características esenciales que postulamos para el sistema de indicadores empíricos de los conocimientos matemáticos de los alumnos:

(1) Multidimensionalidad, ya que el conocimiento subjetivo sobre un objeto matemático tiene un carácter sistémico. metaforicamente, el conocimiento se asemeja más a un árbol que a una escalera o rampa ascendente.

(3)Importancia de las interacciones: las interacciones entre los diferentes componentes del significado, es un aspecto esencial, porque nos revela posibles variables sobre las que actuar si queremos lograr una evolución de estos conocimientos

Si se quiere profundizar en el estudio de la estructura de los sistemas cognitivos de los alumnos y en el de su evolución, se debería tratar globalmente el conjunto formado por cada una de las respuestas de un mismo sujeto y respetar su carácter cualitativo. Esto requiere el uso de una variedad de situaciones y contextos de evaluación, así como nuevas técnicas de análisis de los datos.

Un primer grupo de técnicas de clasificación ( Lerman, 1981; Celeux y cols, 1989) permiten agrupar individuos y variables mediante algoritmos de tipo muy diverso (análisis "cluster' de sujetos o variables; jerárquico o no jerárquico; ascendente o descendente). La proximidad entre ítems señalará la semejanza de respuestas respecto a estos ítems por parte de los sujetos, o lo que es lo mismo, la presencia de similitudes en componentes del conocimiento relacionadas con la resolución de estos ítems (análoga interpretación tiene la proximidad entre sujetos).

Por otro lado, las técnicas factoriales como el análisis factorial, escalamiento multidimensional, análisis de correspondencias simple y múltiple, ( Escofier y Pages, 1988) usan las propiedades de los espacios vectoriales euclídeos para determinar las posibilidades de reducción de la dimensión de los datos y facilitar una representación gráfica de los mismos que permita una síntesis global. El hecho de que este sistema complejo pueda o no estructurarse en unas pocas dimensiones básicas, y que las características de la estructura puedan variar por la acción de variables del sujeto o instruccionales puede ser explorado con ayuda de estas técnicas. La posibilidad de proyectar sobre los ejes obtenidos los individuos o las variables suplementarias permite conocer la correlación con los factores de cualquier otra variable de interés, incluso no perteneciente al dominio estudiado (Escofier y Pagés, 1988). El papel de las variables suplementarias consiste en ampliar el contexto de interpretación.

En particular, en el análisis factorial de correspondencias es posible el trabajo con variables cualitativas y sus propiedades de equivalencia distribucional y representación dual lo hacen un instrumento especialmente valioso.

Finalmente, citarnos la técnica de análisis implicativo, puesta a punto recientemente por el equipo de R. Gras y sus colaboradores. A partir de la noción de cuasi-implicación, medida por una intensidad, y la de grafo de implicación (Gras y Larher, 1993), este método permite representar, en el seno de una familia de variables, el orden (preorden) parcial que lo estructura. Mientras que las técnicas de análisis 'cluster" y de correspondencias se basan en las nociones de similaridad y distancia, que son simétricas, la implicación entre variables es una relación asimétrica.

Un aspecto a destacar en la evaluación matemática es que ésta se realiza desde el punto de vista de una institución dada. Por tanto, para analizar las cuestiones de validez de los instrumentos, y en general del diseño de las investigaciones, nos parece esencial la distinción entre conocimiento subjetivo (personal) e institucional. Las instituciones escolares constituyen, según esta conceptualización, formaciones epistemológicas diferenciadas en las que los saberes "sabios" -considerados habitualmente como el conocimiento objetivo- sufren adaptaciones o transposiciones didácticas (Chevallard, 1991); estos conocimientos institucionales servirán de punto de referencia para la organización de los procesos de instrucción y la fijación de las pautas de evaluación de los conocimientos de los alumnos. En términos de la teoría estadística del muestreo, podemos expresar esta problemática diciendo que las "poblaciones objetivo" que se tratan de alcanzar mediante el estudio inferencial realizado en la evaluación son diferentes.

La construcción de los instrumentos de evaluación, que garanticen la validez de contenido para una finalidad especifica, debe partir, por tanto, de un análisis pormenorizado de los significados institucionales de los objetos correspondientes. Por otra parte, como señala Messick (1991), la validez no es una propiedad exclusiva del instrumento de recogida de datos, sino de todo el proceso de inferencia. Afecta pues a la falta de sesgo en la muestra de sujetos empleada (validez externa) en el análisis estadístico de datos (validez estadística), al instrumento (validez de construcción) y al control adecuado de las variables intevinientes (validez interna) (Cook y Campbell, 1979).

Otro problema de diseño del muestreo de las situaciones de evaluación sería la determinación de las variables de tarea y valores de las mismas que maximicen la varianza de las respuestas de los alumnos entre estratos, con objeto de conseguir, no sólo la representatividad muestras, sino la máxima reducción del error de muestreo. Aunque, como hemos indicado, es posible efectuar un análisis a prior¡ de tales variables, sólo mediante el estudio experimental sobre los sujetos concretos a quienes va dirigida la prueba podremos confirmar las hipótesis generadas en el análisis a prior¡, relativas a la variabilidad de los tipos de respuestas.

La fiabilidad o precisión de las inferencias dependerá de la magnitud del error aleatorio (Feldt y Brennan, 1991), que puede ser debido a diferentes facetas o componentes: variabilidad entre sujetos, variabilidad entre preguntas, etc. Por tanto, consideramos que el marco más adecuado para el análisis de estas facetas lo ofrece la teoría de la generalizabilidad (Brenan, 1983).

El enfoque clásico en el estudio del efecto de las variables de tarea e instruccionales sobre las respuestas de los alumnos ha sido el experimental comparativo. En un extremo opuesto podemos situar los estudios etnográficos interpretativos, basados principalmente en la observación naturalística de casos y, por tanto, en la ausencia de control y manipulación de las situaciones.

En el enfoque sistémico, cuasiexperimental e inductivo que proponemos para los estudios didácticos, en gran medida concordante con la denominada en Francia metodología de ingeniería didáctica (Artigue, 1989), el análisis y control de las variables es también el ideal que nos permitirá obtener la representatividad a que hemos hecho alusión al hablar de los procesos de muestreo implícitos.

Como hemos indicado, el enfoque experimental ha estado asociado al análisis confirmatorio de los datos, basado en el contraste de hipótesis. Gras (1992) señala limitaciones del método experimental confirmatorio. Por su parte Chatfield (1988) discute la distinción entre análisis confirmatorio y exploratorio de datos y prefiere hacer una distinción entre las técnicas iniciales de análisis de datos (IDA) y "análisis definitivo" de los datos. En el IDA incluye tanto el EDA , la estadística descriptiva clásica y las técnicas multivariantes exploratorias, como el empleo informal de métodos inferenciales.

Desde nuestro punto de vista, los principios básicos del diseño experimental: control, replicación - y cuando sea posible la aleatorización- deben ser, en lo posible, utilizados en la investigación sobre los conocimientos de los alumnos y su evolución. Proponemos, sin embargo, sustituir los métodos inferenciales clásicos de análisis de datos por un análisis en dos etapas: En primer lugar, un análisis inicial de datos (IDA), potenciando en particular el empleo de técnicas multivariantes y técnicas de análisis de datos cualitativos. Si el resultado obtenido lo permite, deberíamos progresivamente irnos acercando a la construcción de modelos (lineales o no lineales, univariantes o no) empleando el enfoque confirmatorio en sucesivos conjuntos de datos.

CONCLUSIONES

La perspectiva sistémica en los estudios didácticos, junto con las nuevas tecnologías de análisis de datos disponibles, implican no solo un cambio en los métodos de recogida y transformación de los datos sino en la propia problemática de investigación. Esta se puede enfocar hacia la búsqueda de la estructura relacionar en los distintos subsistemas de los sistemas didácticos y hacia la caracterización de su dinámica, siguiendo las pautas de la denominada ingeniería didactíca (Artigue, 1989). También implican cambios profundos en el paradigma de evaluación de los conocimientos matemáticos llevada a cabo con fines de investigación didáctica. Particularmente se deben analizar las cuestiones de validez de las investigaciones y la precisión de las mediciones educacionales, teniendo en cuenta la multiplicidad de fuentes de variación e interacción entre variables puestas en juego.

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