Nº 2 (1992)

 RESUMEN:

En Matemáticas se utilizan numerosas representaciones gráficas: figuras de geometría, diagramas, representaciones cartesianas de diferentes figuras (por ejemplo las cónicas), ecuaciones algebraicas en el plano y en el espacio, etc. Nuestro objeto de estudio son las gráficas cartesianas de funciones reales en el plano, puesto que son probablemente las más utilizadas para expresar la relación entre dos variables y las más presentes en la cultura en general.

Los alumnos de la enseñanza secundaria y los de otros niveles superiores (incluso universitarios), así como los adultos en general, parecen encontrar dificultades en la lectura de curvas, en su interpretación y en la detección de las propiedades de la función. Al mismo tiempo, muchos profesores utilizan las gráficas como medio de explicación "per se", como si ignorasen que una parte considerable de los alumnos no son capaces de extraer conclusiones que ellos encuentran evidentes.

La primera pregunta que nos planteamos se refiere a la utilidad y la necesidad de los gráficos en la enseñanza obligatoria. Habría que saber por qué la representación gráfica es indispensable para los alumnos: ¿Existe una comprensión espontánea de una serie de fenómenos, mediante las gráficas, que prepara ya nociones matemáticas posteriores? ¿Precisan las gráficas la noción de variable? ¿Juegan un papel las gráficas en los procesos de comunicación y de apropiación de la noción de variable? Para poder contestar a estas preguntas, junto a una primera prospección experimental llevada a cabo en Junio de 1990 en el Colegio Público "María Ana Sanz" de Pamplona, en aulas de 8º curso de EGB (alumnos de 14 años), hemos llevado a cabo un análisis previo del funcionamiento didáctico de las gráficas, cuyos primeros pasos, junto con el análisis de los resultados del trabajo citado, han sido ya publicados en el IREM (Institut de Recherche pour l'Enseignement des Mathématiques) de la Universidad de Burdeos I en Francia.

  El papel de la didáctica fundamental en nuestro proyecto de investigación.

Hemos centrado el problema de didáctica en una noción matemática, pero queremos que los resultados de nuestro trabajo se refieran sobre todo a los fenómenos a los que da lugar la comunicación de la noción elegida. Nuestro objetivo general es que la producción o la mejora de los medios de enseñanza que conciernen a las gráficas de funciones encuentren en nuestro trabajo un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias, dispositivos y métodos.

Para llevar a cabo esta tarea, no bastan la observación y el análisis de los programas, del trabajo del maestro y de los alumnos. En nuestra perspectiva, si queremos romper las limitaciones actuales del papel que juegan las gráficas en la enseñanza de las funciones, tendremos que enfocar forzosamente el proceso de conjunto en el que intervienen el grafo y las gráficas. En consecuencia, hemos tratado de identificar y estudiar los procesos didácticos como medio de entender los fenómenos, iniciando un análisis a priori del sistema, de lo que nos hace falta desde el punto de vista teórico, con el objeto de mejorar el rendimiento de las observaciones que hagamos.

El objeto del estudio didáctico

El tema a tratar es pues el funcionamiento didáctico del sistema de enseñanza en relación con las gráficas. Se trata de analizar el saber en cuestión, lo que el alumno ha de tomar como información, la actividad del profesor y, finalmente, el papel del medio didáctico (escolar u otros).

 RESUMEN:

Previamente a la sesión de "Preguntas a los autores", se había puesto a disposición de los miembros del seminario el corpus formado por los siguientes documentos:

1. CHEVALLARD, Yves (1991) Un problema de ingeniería didáctica de los sistemas de formación: las prácticas en matemáticas, curso impartido en el Seminario de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la UAB.

2. BOSCH, Marianna i GASCON, Josep (1991) Prácticas en matemáticas: el trabajo de la técnica, comunicación presentada al "Tercer Simposio Internacional en Educación Matemática", Valencia, junio 1991.

3. GASCON, Josep (1991) Análisi de les funcions de les práctiques en els actuals sistemes d'estudi: el cas de la llicenciatura de matemátiques. Curso impartido en el Seminario de Didáctica de les Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la UAB.

4. GASCON, Josep (1991b) Desenvolupament i producció d'algunes técniques d'estudi del camp de problemes de les successions recurrents. Curso impartido en el Seminario de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Matemáticas de la UAB.

5. BOSCH, Marianna (1992) Séries de poténcies i equacions diferencials, material de prácticas de Análisis I, documento interno.

- CEDO, Ferran (1992) Forma canónica de Jordan, material de prácticas de Algebra I, doc. interno.

- NART, Enric (1992) Equacions diofantines lineals, material de prácticas de Algebra I, doc. interno.

En los documentos se recogen los diferentes momentos de la elaboración de un proyecto de ingeniería didáctica que tiene por objetivos el diseño de una nueva actividad docente llamada prácticas en matemáticas y su incorporación a los actuales sistemas de enseñanza. El proyecto nació de un encargo realizado por el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona al Seminario de Didáctica de las Matemáticas de dicho departamento, al decidirse introducir unos talleres de prácticas en los nuevos planes de estudio de la licenciatura, al lado de las tradicionales clases de teoría y de problemas.

El trabajo de ingeniería didáctica presentado tiene como punto de partida una importante elaboración teórica iniciada por Yves Chevallard (cf. 1). En ella se analiza la actividad matemática como actividad de estudio de campos de problemas, poniendo de manifiesto la carencia, en los actuales sistemas de enseñanza, de dispositivos adecuados para la existencia del llamado trabajo de la técnica. En los documentos 4. i 5. se presentan "materiales de prácticas" que han sido experimentados durante los cursos 90/91 y 91/92 con estudiantes de primero y segundo curso de licenciatura.

La fundamentación teórica de este proyecto, junto con los análisis que se desprenden del diseño y evaluación de las experimentaciones, parecen indicar que su alcance va mucho más allá de la de un mero trabajo de ingeniería, y que nos encontraríamos ante la emergencia de un nuevo programa de investigación en didáctica de las matemáticas.

Los autores presentes en el seminario contestaron a las preguntas de los miembros del seminario, especialmente a las de Eva Cid, Tomas Sierra y José Luis Rodríguez, que habían sido nombrados para esta función.

El trabajo expuesto es un resumen del realizado bajo la dirección del profesor Guy Brousseau en el cuadro de la tesis doctoral. Se trata, por tanto, de una investigación en curso y de ahí que lo expuesto aquí debe considerarse como provisional y revisable.

No incluye por razones de espacio la parte relativa a la ingeniería didáctica llevada a cabo en el Cours Moyen 2 de l'Ecole Michelet de Talence relativa a la enseñanza del área, y que se desarrolló durante tres meses.

En la primera parte del trabajo se hace un análisis de la situación escolar actual en torno a la enseñanza de la medida, tratando de determinar los aspectos más conflictivos, tanto para los profesores como para los alumnos, y algunos efectos interesantes didácticamente hablando.

En la segunda parte se esbozan algunas hipótesis macrodidácticas.

  PRIMERA PARTE. Entre los efectos didácticos más notables y las dificultades encontradas por profesores y alumnos en la enseñanza-aprendizaje de la medida, pueden citarse los que siguen:

a) Como consecuencia de una metodología inadecuada, el aprendizaje se va a retrasar para determinados alumnos, hasta el extremo de hacerse imposible para otros.

b) Ignorancia de los métodos usuales de medición. Desconocimiento del funcionamiento de los instrumentos de medida. Defectuosa elección de los instrumentos a utilizar en una situación de medición concreta.

c) Estatuto inexistente del orden de magnitud. Como consecuencia, el niño no dispone de medios de control ni de la medición realizada prácticamente ni del resultado obtenido por cálculo en un problema.

d) La dialéctica medida aproximada/medida exacta no se presenta en ningún momento en la concepción que los niños tienen de la medida.

e) El papel y la categoría de los errores no son examinados.

f) Existencia de un vocabulario flotante que pone de manifiesto la confusión entre los distintos planos que intervienen en la medida.

g) La aritmetización de la medida, consistente en que el acceso a la misma se hace a través de instrumentos numerizados, remplazándose las magnitudes por los números.

El campo de investigación es, por tanto, inmenso, de ahí la dificultad de delimitar de forma precisa el objeto de la investigación.

Nos interesa, sobre todo, conocer qué tipo de actividades pueden ser preparatorias de la medida y cómo deben ser concebidas para ayudar a la conceptualización de la noción de medida.

  SEGUNDA PARTE. En esta segunda parte se hace una exposición de hipótesis ingenuas, esto es, no perfiladas completamente y sometidas, por tanto, a reformulaciones de forma que el trabajo de verificación posterior no se referirá a todas ellas. Se pretende hacer una exposición a nivel macrodidáctico antes de descender a nivel microdidáctico, que de una idea de la dirección tomada por nuestro trabajo.

  Hipótesis ingenuas:

HIPOTESIS 1:

* La medida es una construcción intelectual que se apoya en parte en las prácticas de medición.

* La medida es también una construcción social, que se apoya sobre las prácticas sociales, el lenguaje, y la función social de la medida.

* La medida es, en suma, una construcción intelectual y cultural que se apoya en formulaciones, pruebas y cuestiones culturales.

HIPOTESIS 2:

La idea de aproximación es esencial para comprender la medida.

HIPOTESIS 3:

El error es inherente a la naturaleza de la medida.

HIPOTESIS 4:

Los sistemas de medida, así como la elección de unidades, constitución de sistemas de unidades, etc, serán comprendidos y conceptualizados, a medida que el alumno los encuentre como la solución optimal a un problema planteado.

HIPOTESIS 5:

El estado actual de la didáctica, priva a los alumnos y al maestro de la posibilidad de aprender situaciones de conmensuración.

HIPOTESIS 6:

La dimensión de una magnitud constituye una dificultad.

 RESUMEN:

El objetivo de este trabajo, publicado como un capítulo del libro "Area de conocimiento: didáctica de la matemáticva" (Madrid: Síntesis, 1991), es analizar el estado actual de la Didáctica de la Matemática como disciplina académica y como campo de investigación. Se trata de dar una respuesta a preguntas como las siguientes: ¿Existen teorías específicas acerca de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, o son apropiadas y suficientes las teorías más generales de tipo psico-pedagógico?; ¿cuáles son las características principales de los distintos programas de investigación que se identifican en el área de conocimiento?; ¿los conocimientos didácticos son de naturaleza científica, tecnológica o técnica?.

Dada la naturaleza epistemológica de estas cuestiones se incluye una sección introductoria en la que se presentan, de modo sintético, algunas ideas básicas sobre las teorías científicas y sus tipos, corrientes epistemológicas (Kuhn, Lakatos, Bunge), el concepto de Educación Matemática y sus relaciones con otras disciplinas y sistemas.

En la sección dedicada a los principales programas de investigación en Didáctica de la Matemática se incluyen de modo particular los siguientes:

- el programa de investigación del grupo TME (Theory of Mathematics Education)

- el enfoque psicológico de la Didáctica de la Matemática, con especial referencia a las actividades del denominado Grupo PME (Pschology of Mathematics Education)

- la concepción matemática (o fundamental) de la Didáctica de la Matemática, esto es, la problemática de investigación y enfoque metodológico surgida en Francia para el área de conocimie La descripción de las principales nociones desarrolladas por la escuela francesa de didáctica concluye con la apreciación de que estas nociones están en camino de constituir un "núcleo firme" de conceptos teóricos que sirvan de soporte de un programa de investigación en el sentido de Lakatos, y que puede significar una ruptura epistemológica para esta disciplina científica.

La modalidad de presentación y discusión de este trabajo en el Seminario fué catalogada como "preguntas al autor", al tratarse de un trabajo ya publicado y accesible a todos los miembros del mismo. Las personas encargadas de plantear cuestiones para el debate fueron: E. Cid, J. Gascón y J. L. Rodriguez. Entre las preguntas planteadas figuran las siguientes:

- ¿Podemos considerar la Didáctica de la Matemática como un saber tecnológico fundamentado en una teoría psicológica del aprendizaje?

- ¿Por qué el análisis didáctico presupone el desarrollo de modelos del conocimiento matemático? ¿Cuál es la relación entre Didáctica de la Matemática y Epistemología de las Matemáticas?

- ¿Por qué la escuela francesa de didáctica está mayoritariamente rechazada o ignorada?

También se planteó y debatió el problema del uso trivial de conceptos teóricos como transposición didáctica, contrato didáctico, ... y la dificultad de identificar claramente una agenda de investigación.

Se propuso continuar con el debate de las cuestiones suscitadas por este trabajo en la próxima reunión del Seminario.