3. Límites, derivadas e integrales

Antes de comenzar la práctica es conveniente recordar algunos detalles. 
1) La primera letra de los comandos se escribe siempre en mayúscula. 
2) Los comandos siempre tienen opciones que se escriben entre corchetes o llaves. Al escribir, si abres un corchete o una llave, siempre hay que cerrarlos.
3) Al definir una función, no olvides escribir el guión "_" a continuación del nombre de la variable y usar corchetes en vez de paréntesis.
4) Para evaluar una celda, pon el cursor dentro de ella o señála en el borde con el ratón. Pulsa entonces las teclas "mayúsculas y retorno".

Teoría

Con el Mathematica  es posible calcular límites de funciones no sólo cuando la variable se aproxima a un punto cualquiera del dominio de la función sino también cuando tiende a más infinito o menos infinito. También calcula derivadas e integrales.

Límites

Para calcular los límites se usa la expresión:

Limit[ función[x], x->a ]

Ejemplo:	1) Limit[((Tan[x])/x), x->0]
			2) Limit[Exp[x],x->Infinity]

Si se quiera calcular un límite lateral entonces se escribirá:

Limit[ función[x], x->a, Direction->1 ] (para el límite por la izquierda)
Limit[ función[x], x->a, Direction->-1 ] (para el límite por la derecha)

Ejemplo:	1) Limit[((Sin[x])/(Sqrt[(x^2)])), x->0,Direction->1]
			2) Limit[((Sin[x])/(Sqrt[(x^2)])), x->0,Direction->-1]

DERIVADAS DE FUNCIONES

Mathematica incorpora distintos formatos para el cálculo de derivadas. Así el comando "D[función,variable]" permite calcular la derivada de "función" respecto de "variable". También puede calcularse la derivada escribiendo una ( ' ) detrás del nombre de la función. La derivada de orden "n" de una función dada puede calcularse con el comando "D[función,{variable,n}]"

Ejemplos:	
1) Elimina la función f con el comando Clear[f]. 
Define la función f(x)=sen(exp((x^2))). Cuidado con la 
notación de Mathematica.  
Evalua f'[x], D[f[x],x], f''[x], D[f[x],{x,2}] en varias celdas.
2) Define la función g(x)=	(((x^2)+2 a x-3)/((x^4)-2 a (x^3)-3 a (x^2)+(a^3)))	y calcula 
la deriva segunda.

Podemos usar el comando "Simplify" para obtener una expresión más reducida de la derivada anterior.

Simplify[%]

Simplify[D[f[x],x]]

Simplify[D[f[x],{x,5}]]

Cabe observar que las órdenes anteriores realizan el cálculo formal de las derivadas de la función pero ello no asegura la derivabilidad de esta función.

Integración

Para calcular la integral de una función se pulsa en la paleta el signo integral. Nota que en la paleta hay un botón para las integrales indefinidas (o primitivas) y para las integrales definidas. Sólo hay que rellenar los datos y evaluar las celdas.
Si no quieres usar la paleta, puedes escribir el comando Integrate del Mathematica.
Equivalen:
		∫f[x]dx≡Integrate[f[x],x]
(∫_a^b)f[x]dx≡Integrate[f[x],{x,a,b}]

Ejemplos

∫(Sin[x]-Exp[x])dx
(∫_0^(Sqrt[8]))((x^5)-5(x^3)+3)dx

Puede ser que Mathematica no sepa calcular la primitiva de una función. Por ejemplo: ∫Exp[(x^3)+x]dx

Por último, también está el comando NIntegrate que te da el valor numérico aproximado de la integral definida. Ejemplo:
 NIntegrate[(x^5)-5(x^3)+3,{x,0,(Sqrt[8])}]
(Compara el resultado con el obtenido anteriormente).

Ejercicios.

Cuidado con la notación. Deliberadamente, están bien o mal escritos, y tienes que escribirlos bien.

1) Calcula algunos límites de la relación de ejercicios.
2) Calcula algunas derivadas de la relación de ejercicios.
3) Calcula algunas integrales de la relación de ejercicios.