Objetivos del proyecto
Un problema isoperimétrico es un problema de minimización que consiste en encontrar una configuración de regiones con el menor perímetro posible cuyos volúmenes están prefijados. La forma habitual de enfrentarse a estos problemas ha sido por medio de desigualdades isoperimétricas, que no son más que relaciones entre el perímetro de una configuración y los volúmenes que encierra ésta. Los problemas isoperimétricos han sido objeto de un estudio muy intenso en los espacios Euclídeo, hiperbólico y en la esfera, y en variedades Riemannianas generales. Se han considerado también en espacios de probabilidad como los espacios de Gauss y, recientemente, en determinadas variedades pseudo-Riemannianas como el grupo de Heisenberg y, más generalmente, en los espacios de Carnot-Carathéodory, en los que existen nociones adecuadas de perímetro y volumen. La dificultad de las técnicas empleadas para estudiarlos, así como las numerosas aplicaciones que se derivan de su estudio, hacen de este grupo de problemas uno de los más interesantes de la Geometría Riemanniana actual.
En este proyecto se pretenden desarrollar técnicas adecuadas para enfrentarse a este tipo de cuestiones por medio del estudio de determinados problemas seleccionados, tales como la caracterización de las regiones isoperimétricas en el grupo de Heisenberg, el estudio de la desigualdad isoperimétrica en el exterior de un conjunto convexo en una variedad de Cartan-Hadamard, la investigación de las configuraciones isoperimétricas planas que encierran múltiples áreas, y el estudio del tipo topológico y geométrico de las soluciones isoperimétricas en el interior de un cuerpo convexo.
Lineas de investigación
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Desigualdades isoperimétricas en espacios de medida métricos
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Superficies con curvatura media constante, superficies minimales
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Grupo de Heisenberg, grupos de Carnot-Carathéodory