ÁLGEBRA
Departamento de Álgebra
9 créditos
OBJETIVOS Muchos objetos geométricos se describen implícitamente como el
conjunto de puntos que son solución a un sistema de ecuaciones polinómicas
en varias variables. El análisis global y local de estos objetos se
corresponde con el de ciertas estructuras algebraicas canónicamente
asociadas a los mismos. Esta asignatura está diseñada con un doble
objetivo. De una parte, se pretende ofrecer al alumnado una formación
básica en los fundamentos de la Geometría Algebraica, mediante una
introducción a esta disciplina de corte clásico y tradicional. Esto es,
tal como quedo formulada después de Hilbert, Weil y Zariski. De otra
parte, y en relación con los objetos algebraicos involucrados en la misma,
se pretende introducir al alumno en el ámbito del Álgebra Conmutativa, y
más concretamente en los aspectos básicos de la teoría de anillos
noetherianos con el horizonte en los fundamentales resultados de Krull,
esto es, en sus aspectos pre-homológicos. El concepto central del Álgebra
Conmutativa es el de ideal primo, que proporciona una visión simultanea de
los puntos de la Geometría y de los primos de la Aritmética. La asignatura
concluirá precisamente con un estudio de los Dominios de Dedekind,
contexto cumbre en la teoría multiplicativa de ideales, que se realizará
siguiendo la clásica exposición de Noether. Hoy día son conocidos diversos
algoritmos prácticos que permiten cálculos computacionales en los tópicos
objeto de la asignatura. Un objetivo complementario de esta será que el
alumno adquiera la formación adecuada en el uso implementado de tales
algoritmos, después de un rápido, pero suficiente, estudio de la noción de
base de Groebner, en que estos se basan.
PROGRAMA DE TEORÍA
- SISTEMAS DE ECUACIONES POLINÓMICAS: VARIEDADES ALGEBRAICAS.
Ideales en anillos de polinomios: El Teorema de la Base de
Hilbert. Operaciones con variedades y con ideales: La correspondencia de
Zariski. Ideales radicales. Variedades irreducibles e ideales primos. El
álgebra de coordenadas de una variedad: Anillos cocientes. Anillos
reducidos. Álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo. Enunciado del
Teorema de los ceros de Hilbert: Significado. Ideales en anillos
cocientes. Morfismos entre variedades. Homomorfismos entre anillos
cocientes. Spec, Max, y la topología de Zariski. Dimensión de una
variedad algebraica. Dimensión de Krull de un anillo. El espectro de un
anillo cociente.
- LOCALIZACIÓN.
Funciones regulares sobre una variedad
algebraica. Los anillo de gérmenes de funciones regulares en puntos de
una variedad. Anillos locales. Anillos y módulos de fracciones.
Sucesiones exactas de módulos. Exactitud y propiedades generales del
cálculo de fracciones. Ideales de un anillo de fracciones. Teorema de
Krull sobre existencia de primos. El radical como intersección de
primos. Anillos de Hilbert-Jacobson. El radical de Jacobson. Lema de
Nakayama. N£mero mínimo de generadores de un módulo sobre un anillo
local. Localización en ideales primos. El soporte de un módulo.
Topología de Zariski y dimensión de un módulo.
- NOETHERIANIDAD, ARTINIANIDAD Y LONGITUD FINITA.
Módulos
con condiciones de cadena. Anillos Noetherianos y Artinianos. Longitud
finita: Teorema de Jordan-Holder. Aditividad de la longitud. Un anillo
es artiniano si y solo si es noetheriano y de dimensión cero. Módulos de
longitud finita sobre anillos noetherianos. Anillos noetherianos
primarios y estructura de artinianos. Primos asociados a un módulo.
Dimensión y coaltura de primos asociados. Preservación de la
noetherianidad: Teorema de Krull-Akizuki.
- DEPENDENCIA ALGEBRAICA Y EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT.
Elementos enteros en extensiones de anillos. Extensiones enteras
y extensiones finitas. Clausura entera: Dominios normales. Dependencia
entera y localización. Dependencia en extensiones de cuerpos. Bases de
trascendencia: Teorema de Steinitz. Grado de trascendencia. Cadenas de
ideales primos en extensiones enteras: Los teoremas de ascenso y
descenso. El Lema de Normalización de Noether. Consecuencias sobre la
dimensión de álgebras afines y variedades algebraicas. El Teorema de los
ceros. Forma débil: Puntos de una variedad y el espectro maximal de su
anillo de coordenadas. Dimensión de subvariedades. Catenaridad.
Proyecciones paralelas de fibra finita.
- NÚMERO MÍNIMO DE ECUACIONES. REGULARIDAD.
El Teorema de
la Altura de Krull. Dimensión de una variedad y n£mero de ecuaciones que
la definen. Sobre la dimensión de una intersección de variedades. El
espacio tangente a una variedad en un punto. Puntos regulares y puntos
singulares de una variedad. Sistemas de parámetros regulares: Anillos
locales regulares. El criterio Jacobiano de regularidad. Sistemas de
parámetros: La dimensión de Chevalley. Coincidencia de las dimensiones
de Krull y Chevalley: significado geométrico. Anillos locales regulares
son dominios íntegros. Sucesiones regulares. Sucesiones regulares y
sistemas de parámetros.
- DOMINIOS DE DEDEKIND: CURVAS LISAS Y ANILLOS DE ENTEROS
ALGEBRAICOS.
El problema de la factorización £única de ideales.
Ideales fraccionarios. Inversibilidad de ideales: Dominios de Dedekind.
Carácter local de los Dominios de Dedekind. Valoraciones discretas y
Anillos de valoración discreta. Caracterizaciones de los anillos de
valoración discreta: equivalencia con la regularidad en dimensión uno.
Caracterización de los Dominios de Dedekind como dominios noetherianos
normales de dimensión uno. Caracterización de los Dominios de Dedekind
como dominios con la propiedad de factorización única de ideales. El
Teorema Chino del resto en Dominios de Dedekind. Todo ideal de un
Dominio de Dedekind puede ser generado por dos elementos. Extensiones
enteras de Dominios de Dedekind: Anillos de enteros algebraicos. Bases
enteras. El espectro de un anillo de enteros algebraicos: Teorema de
Kummer. Caso de enteros cuadráticos y ciclotómicos.
- Contenidos transversales
Uso de bases de Groebner Ordenes
monomiales. Algoritmo de división en anillos de polinomios en varias
variables. Bases de Groebner. Criterio y algoritmo de Buchberger. Bases
reducidas. Usando paquetes de cálculo simbólico.
BIBLIOGRAFÍA
- M. Atiyah, I. MacDonald, Intoduccción al µlgebra Conmutativa.
Reverté, 1989.
- Cox-Little-O'Shea, Ideals, Varieties and Algoritms. UTM Springer,
1996.
- D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward Algebraic
Geometry. GTM Springer, 1994.
- E. Kunz, Introduction to Coommutative Algebra and Algebraic
Geometry. Birkhauser, 1985.
- H. Matsumura, Commutative algebra. Benjamin, 1980.
- M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical
Society Student Texts 29, Cambridge University Press, 1995.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La calificación final resultará de los siguientes criterios
ponderados:
- Valoración del trabajo de casa: 20%
- Pruebas escritas no presenciales: 20%
- Examen final presencial: 60%
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