Superficies minimales de R3 Francisco Martín & Joaquín Pérez Programa Referencias Apuntes del curso Prácticas con ordenador

El objetivo de este curso de 30 horas es el estudio de algunos aspectos interesantes de la teoría de superficies minimales en el espacio. 

El punto de partida de dicho estudio es el problema de determinar un grafo,  z = f(x,y), sobre un abierto U del plano R², con la menor área posible de entre todas las superficies que toman unos valores determinados a lo largo de la frontera de U. Haciendo uso de las ecuaciones de Euler Lagrange, podemos ver que f debe de ser solución de la siguiente ecuación diferencial:

Como ya comprobaron matemáticos de enorme talla en el pasado, no sólo se trata de un problema de extraordinaria dificultad, sino también de posibilidades casi ilimitadas. 

Este primer contacto con la teoría es analítico, pero también podemos proporcionar una interpretación geométrica la ecuación (1): La curvatura media de la superficie, H, es constantemente cero. Es por ello que se ha convertido en costumbre usar el término "superficie minimal", para todas aquellas superficies verificando H=0, sin tener en cuenta que muchas de ellas no representan mínimos del área.

En 1847, el físico belga J. Plateau observó que las superficies minimales se pueden obtener sumergiendo un alambre curvado en una disolución jabonosa. De esta forma, el problema de determinar una superficie minimal con topología fijada y bordeada por una curva de Jordan prescrita, se conoce en la literatura como problema de Plateau. Desgraciadamente, Plateau carecía del bagaje matemático para abordar los aspectos teóricos de este problema. Las primeras formulaciones precisas, así como las primeras soluciones parciales de dicho problema se debieron a Schwarz, Riemann y Weierstrass. Este problema no sería resuelto satisfactoriamente hasta 1931 por J. Douglas y T. Radó. Conviene destacar que Douglas ganó una de las dos primeras medallas Fields por este trabajo (la otra fue a parar al no menos insigne analista L. V. Ahlfors).

Para acabar esta pequeña lista de caracterizaciones de las superficies minimales, nos gustaría decir que, ya en 1863, Christoffel observó que la aplicación de Gauss de las superficies minimales es conforme, y que este hecho las caracteriza, junto con las esferas. Esto ha resultado ser trascendental en el estudio de las superficies minimales completas, pues una de las líneas de investigación más fructíferas en el estudio de esta familia ha sido la obtención de teoremas de tipo Liouville para la aplicación de Gauss. 

Por otra parte, las superficies minimales no son sólo interesantes desde un punto de vista teórico, también juegan un papel importante en Física, Química, Biología e Ingeniería. Por poner algunos ejemplos, las superficies minimales han sido usadas para modelar las interfases en ciertas microemulsiones de bloques de co-polímeros, y han servido de modelo en la construcción de diversos tipos de cubiertas de grandes espacios lúdicos, como es el caso del estadio olímpico de Munich.

Este curso se dedicará a algunos aspectos específicos de la teoría de superficies minimales. Como veremos, la ecuación (1) tiene una enorme influencia en la topología, la estructura conforme y otras propiedades geométricas de la superficie. El hecho de  que toda minimal sea, al menos localmente, una solución de (1) nos permitirá obtener un Principio del Máximo  para superficies minimales que resultará ser una poderosa herramienta para obtener una larga lista de resultados. Entre otros destacamos los siguientes:

• La propiedad de la envolvente convexa (P.E.C.). Diremos que una superficie verifica la P.E.C. si toda región compacta y conexa está contenida en la envolvente convexa de su frontera. Nosotros probaremos un teorema de R. Osserman (J. Differential Geom., 1971) que asegura:
  
  Una superficie M en R³ verifica la P.E.C. si, y sólo si, la curvatura de Gauss de M es no positiva.
  
  Además, demostraremos algunas generalizaciones recientes de este resultado.
• El teorema fuerte del semi-espacio. Una de las más elegantes aplicaciones del Principio de Máximo es el siguiente resultado de Hoffman y Meeks (Invent. mathe. 1990):
  
  Una superficie minimal completa, propia y no llana del espacio no puede estar contenida en un semi-espacio.
  
  
• El teorema de Alexandrov. El año 1956, Alexandrov probó que la esfera es la única superficie compacta y embebida en R³ con curvatura media constante. Este resultado había sido conjeturado por Hilbert y su demostración fue la primera aplicación del Principio del Máximo de Hopf en Geometría.

1. Preliminares.
   • Resultados básicos de la teoría de superficies.
   • Resultados básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
2. Aplicaciones del Principio del Máximo en la teoría de supeficies minimales y de curvatura media constante.
   • La propiedad de la envolvente convexa.
   • El teorema fuerte del semi-espacio.
   • El problema de Plateau.
   • El teorema de Alexandrov.
   • La desigualdad isoperimétrica para superficies minimales.