Ecuaciones diferenciales

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Ejercicio 1 (oscilaciones libres con amortiguamiento)

Ejercicio 2 (oscilaciones forzadas)

Ejercicio 3 (respuesta impulsiva, convolución, función delta de Dirac)

impulso[
          t_, ϵ_] = (UnitStep[t] - 
              UnitStep[
                t - ϵ])/ϵ;
  
{Simplify[impulso[t, ϵ], 0 ≤ t <  ϵ], 
      Simplify[impulso[t, ϵ], t ≥ ϵ > 0], 
      Simplify[impulso[t, ϵ], 
        t < 0 && ϵ > 0]}
Plot[impulso[t, 1/1000], {t, - .02,  .02}];

Sobre la "función delta de Dirac"

Limit[impulso[t, ϵ], ϵ -> 0, 
      Assumptions -> t ≠ 0]
Limit[impulso[0, ϵ], ϵ -> 0]

impulso[t, ϵ] /. ϵ -> -ϵ // 
      Simplify

D[UnitStep[t], t]

DiracDelta[34]
DiracDelta[-2.89]
DiracDelta[0]
Plot[DiracDelta[t], {t, -1000, 1000}];

y[t] /. DSolve[{y''[t] + y'[t] + y[t] == DiracDelta[t], 
            y[0] == 0, y'[0] == 1}, y, 
          t][[1]]

y[t] /. DSolve[{y''[t] + y'[t] + y[t] == DiracDelta[t], 
            y[0] == 0, y'[0] == 0}, y, 
          t][[1]]

Ejercicio 4 (resonancia)

Ejercicio 5 (un ejemplo de linealización de una ED)

r[t_] = L {Sin[y[t]], -Cos[y[t]]};   
tgtunit[t_] = {Cos[y[t]], Sin[y[t]]};   
F[t_] = {0, -m g}   ;
(Subscript[F, T])[t_] = (F[t] . tgtunit[t] )*tgtunit[t] // Simplify  
(Subscript[a, T])[t_] = (r''[t] . tgtunit[t])*tgtunit[t] // Simplify  
Reduce[m*(Subscript[a, T])[t] == (Subscript[F, T])[t], y''[t]]

DSolve[{y''[t] + (g/L) Sin[y[t]] == 0, 
        y[0] == 0, y'[0] == 1}, y, t]

Ejercicio 6 (optativo)

(y^((n)))(
              t) + (Subscript[c, n - 1]) (y^((n - 1)))(
                t) +  ...  + (Subscript[c, 1]) y' (t) + (Subscript[c, 0]) y(t) = 
      f(t)

(y^((n)))(
              t) + (Subscript[c, n - 1]) (y^((n - 1)))(
                t) +  ...  + (Subscript[c, 1]) y' (t) + (Subscript[c, 0]) y(t) = 
      0
(y^((n - 2)))(0) =.  ..  = y' (0) = y(
            0) = 0,  (y^((n - 1)))(0) = 1

Ejercicio 7

Ejercicio 8