Ferdinand Georg Frobenius
Matemático (1849 Berlin-Charlottenburg, Prusia, 1917 Berlin, Alemania)
Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Berlin-Charlottenburg, antigua Prusia (ahora Alemania) y murió el 3 de agosto de 1917 en Berlín, ya Alemania. su padre fue Christian Ferdinand Frobenius, un pastor protestante, su madre fue Christine Elizabeth Friedrich. Georg había nacido en Charlottenburg que no fue incorporado como barrio de Berlín hasta 1920. Entró en la escuela Joachimsthal Gymnasium en 1860 con once años de edad y se graduó en 1867. Ese mismo mismo año, entró en la universidad de Göttingen, pero solo estudió allí un semestre volviendo a continuación a Berlín. En la universidad de Berlín asistió a clases de Kronecker, Kummer y Weierstrass. Allí preparó su doctorado, asistiendo a los seminarios de Kummer y Weierstrass, que presentó en 1870, supervisado por Weierstrass. En 1874, después de un tiempo enseñando en la escuela secundaria, primero en el Joachimsthal Gymnasium y después en la Sophienrealschule, fue aceptado en la universidad de Berlín como profesor extraordinario de matemáticas.
En realidad Frobenius no hizo su segunda tesis (tesis de habilitación) antes de ser nombrado profesor en la universidad, eso fue debido a la influencia de Weierstrass que consideraba a Frobenius el mejor de sus alumnos. Frobenius estuvo en Berlin solo un año, antes de irse a Zürich como profesor ordinario de la Eidgenössische Polytechnikum. Durante 17 años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zürich. Se casó allí, tuvo familia y realizó un importante trabajo de investigación en diferentes áreas de matemáticas.
En diciembre de 1891 Kronecker murió y su cátedra de Berlin quedó vacante. De nuevo, Weierstrass usó su notable influencia pensando que Frobenius era la persona ideal para ocupar dicha plaza. Por sus notables contribuciones a la teoría de representaciones de grupos, en particular su desarrollo de la teoría de caracteres, y su posición como uno de los matemáticos líderes de la época. Sin embargo, su personalidad ocasionalmente colérico, irritante, y dado a las invectivas, hicieron que afectaran al éxito de la educación matemática en la universidad. La relación con sus colegas de Berlín tampoco fue buena. Exigía un nivel muy alto, sospechaba a cada oportunidad que el gobierno trataba de bajar el nivel académico. Durante 25 años Frobenius fue la figura líder, la que dirigió la enseñanza universitaria de la matemática en Berlín. Poco a poco el número de doctorados, habilitaciones y docentes de matemáticas fue bajando, aunque el número de alumnos se había incrementado considerablemente.
Pero no pudo prever esos cambios. Los tiempos de Weierstrass, Kummer y Kronecker en los que había un número importante de alumnos que se incorporaban a la investigación parece que habían terminado. Eso fue muy duro para la actitud idealista de Frobenius. Se consideraba un escolar cuya obligación era contribuir al conocimiento de las matemáticas puras. La matemática aplicada, en su opinión pertenecía a las escuelas técnicas. El punto de vista de la universidad de Göttingen era muy diferente. Hubo un tiempo en que había competición entre los matemáticos de Berlín y los de la universidad de Göttingen, pero fue una competición que Göttingen ganó, porque allí se formaron muchos matemáticos bajo la dirección de Klein, no así bajo Frobenius. La aversión de Frobenius hacia Klein y Sophus Lie no tuvo límites. Frobenius odiaba el estilo de matemáticos que Göttingen representaba. Fue un cambio en el estilo tradicional de las universidades alemanas.
En 1892, Frobenius fue elegido para la Academia Prusiana de Ciencias, por sus contribuciones a la teoría de funciones analíticas, a la solución algebráica de ecuaciones, cuyos coeficientes son funciones racionales de una variable, a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, al problema de Pfaff, a las formas lineales con coeficientes enteros, a las sustituciones lineales y formas bilineales, a los operadores diferenciales lineales adjuntos, a la teoría de funciones elípticas y de Jacobi, a las geometrías finitas, a los teoremas de Sylow, a los clases adjuntas dobles asociadas a dos subgrupos, a los covariantes de Jacobi, a las funciones de Jacobi de tres variables, a la teoría de formas bicuadráticas y a la teoría de superficies con un parámetro diferencial.
Para su trabajo en teoría de grupos, Frobenius combinó resultados de la teoría de ecuaciones algebráicas, geometría, y teoría de números, que le condujeron al estudio de los grupos abstractos. En 1879, conjuntamente con Stickelberger (un colega de Zurich), publicó Über Gruppen von vertauschbaren Elementen, donde da una demostración del teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. En 1884, publicó su segundo artículo sobre grupos finitos en el que prueba los teoremas de Sylow para grupos abstractos (Sylow originalmente los había demostrado para grupos de permutaciones). La demostración de Frobenius basada en clases de conjugación todavía aparece en algún libro sobre el tema. En 1887, Frobenius continuó su investigación de las clases de conjugación de grupos que posteriormente utilizó en su trabajo sobre caracteres.
En 1896, ya en Berlín publicó 5 artículos sobre teoría de grupos, uno de ellos Über die Gruppencharactere es fundamental en la teoría de caracteres. Ideas de Dedekind de 1885 fueron la base y sobre ellas Frobenius fue capaz de construir un conjunto completo de representaciones complejas. Frobenius de hecho introdujo las representaciones de grupos en este trabajo sin hacerlas explícitas. Al año siguiente en 1897, publicó el concepto tal como lo conocemos hoy. Entre 1897-1899 Frobenius publicó dos artículos sobre representaciones, uno sobre caracteres inducidos y otro sobre producto tensorial de caracteres. En 1898, demostró el teorema de reciprocidad de Frobenius. En 1896, Frobenius dió los caracteres irreducibles de los grupos alternados A4 y A5, de los grupos simétricos S4 y S5 y del grupo PSL(2,7) de orden 168. Detreminó completamente los caracteres de los simétricos en 1900 y los de los alternados en 1901, publicando artículos definitivos sobre ellos. Continuó con las aplicaciones de la teoría de caracteres con el estudio de la estructura de los hoy día conocidos como grupos de Frobenius. La teoría de caracteres de Frobenius fue usada con éxito por Burnside y apareció en la edición de 1911 de su famoso libro Theory of Groups of Finite Order.
Frobenius tuvo algunos estudiantes de doctorado que hicieron importantes contribuciones a la matemática. Edmund Landau que defendió su tesis en 1899, Issai Schur en 1901, y Robert Remak que la leyó en 1910. Frobenius colaboró con Schur en teoría de representaciones de grupos y teoría de caracteres. La teoría de representaciones de grupos finitos de Frobenius tuvo mas tarde importantes aplicaciones a la mecánica cuántica y la física teórica, en contra de la visión de una matemática pura que tenía Frobenius. Al final de su carrera, Frobenius estudió matrices positivas y no negativas. Introdujo el concepto de irreducibilidad de matrices y sus artículos de 1910 continuan siendo resultados fundamentales en esa disciplina. Muchos de sus artículos han sido reproducidos en libros y convertidos en estandard en el estudio de la matemática, en muchas áreas diferentes. Sin embargo, siempre hizo contribuciones fundamentales en áreas que ya habían sido introducidas anteriormente por otros matemáticos.