Volúmenes de sólidos en [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_488.gif]

Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones en [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_489.gif]integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos a uno dado. Este resultado es un caso particular del teorema de Fubini.
Cálculo de volúmenes por secciones planas. El volumen de una región en [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_490.gif]es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.
Para justificar esta afirmación, sea Ω una región en [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_491.gif]como la de la figura.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_492.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_493.gif]

Representemos por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_494.gif] la sección de Ω por el plano perpendicular al eje OX en el punto [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_495.gif]. Sea  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_496.gif] el volumen de la parte de Ω que queda a la izquierda de dicho plano y sea [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_497.gif] el área de la sección [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_498.gif]. Observa que la situación es totalmente análoga a la considerada en el Teorema Fundemental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya derivada era la longitud de la sección. No debe sorprenderte por ello que ahora resulte que la derivada de la función volumen, [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_499.gif], sea el área de la sección. En efecto, sea [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_500.gif]. Suponiendo, naturalmente, que la función [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_501.gif] es continua, tenemos que
        [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_502.gif],
de donde se deduce que [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_503.gif][Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_504.gif]. Análogamente se procede si [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_505.gif]. Hemos obtenido así que [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_506.gif]. Deducimos que el volumen de Ω viene dado por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_507.gif].
Podemos llegar también a este resultado considerando sumas de Riemann. Para ello aproximamos la región Ω por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_508.gif] de [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_509.gif]; la parte de Ω comprendida entre los planos perpendiculares al eje OX por los puntos [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_510.gif] y [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_511.gif] puede aproximarse por un cilindro de altura [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_512.gif] y base [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_513.gif] cuyo volumen es igual a [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_514.gif]. Observa la figura.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_515.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_516.gif]

La suma de los volúmenes de todos estos cilindros, [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_517.gif] es por tanto una aproximación del volumen de Ω, pero dicha suma es una suma de Riemann de la función [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_518.gif]  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_519.gif], por lo que el volumen de Ω es igual a [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_520.gif].
Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular el área de las secciones de Ω.

Volumen de un cuerpo de revolución

Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones de [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_521.gif]que se obtienen girando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro. La orden "SurfaceOfRevolution[f[x],{x,a,b},opts]"  representa la superficie de revolución obtenida girando la gráfica de f en el plano YZ. Este comando tiene muchas opciones, búscalas en la ayuda de Mathematica. Aquí tienes el sólido de revolución engendrado al girar alrededor del eje OX la gráfica de la función seno entre 0 y π.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_522.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_523.gif]

Método de los discos: secciones perpendiculares al eje de giro

Sea [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_524.gif] una función continua. Girando la región del plano comprendida entre la curva [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_525.gif], el eje de abscisas y las rectas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_526.gif] e [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_527.gif],  alrededor del eje OX obtenemos un sólido de revolución [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_528.gif]. Es evidente que la sección, [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_529.gif], de [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_530.gif] por el plano perpendicular al eje OX en el punto [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_531.gif], [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_532.gif], es un disco contenido en dicho plano de centro[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_533.gif] y radio [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_534.gif]. Por tanto el área de [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_535.gif] es [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_536.gif]; en consecuencia el volumen de Ω es igual a [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_537.gif].
El volumen del sólido de revolución, Ω, obtenido girando alrededor del eje OX una región de tipo I definida por dos funciones continuas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_538.gif] tales que [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_539.gif] para todo [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_540.gif], viene dado por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_541.gif]. Una expresión similar se obtiene para el volumen de un sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje OY una región de tipo II.

Ejemplos

•  El volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_542.gif] alrededor del eje OX es igual a  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_543.gif].
•  Un cono circular recto de altura [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_544.gif] y radio de la base [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_545.gif] se obtiene girando la recta [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_546.gif] entre 0 y [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_547.gif]. Su volumen es igual a [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_548.gif].

Ejercicios

16  Calcular el  volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la parte de la curva [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_549.gif] comprendida entre [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_550.gif] y [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_551.gif].
17  Calcular el  volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la gráfica de la función [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_552.gif][[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_553.gif][[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_554.gif] dada por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_555.gif].
18  Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_556.gif] y la recta [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_557.gif] alrededor de dicha recta.
19  Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_558.gif] alrededor del eje OX.
En los siguientes ejercicios tienes que elegir un eje de giro y considerar secciones por planos perpendiculares al mismo. Puedes usar los comandos de Mathematica "Plot3D[f,{x, a, b}, {y,c, d}]" y "ParametricPlot3D[{[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_559.gif], [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_560.gif], [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_561.gif]}, [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_562.gif], {u, c, d}]"  como ayuda.
20  Calcular el volumen del elipsoide [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_563.gif].
21 Calcular el volumen limitado por el paraboloide [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_564.gif] y el plano [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_565.gif].

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_566.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_567.gif]

Método de las láminas o de los tubos

Consideremos la gráfica de una función positiva [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_568.gif] [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_569.gif]. Por ejemplo

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_570.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_571.gif]

Giremos dicha gráfica alrededor del eje OY.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_572.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_573.gif]

Obtenemos así un sólido de revolución, Ω, cuyo volumen podemos aproximar considerando rectángulos verticales inscritos en la gráfica y girándolos alrededor del eje OY.  

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_574.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_575.gif]

Ejecuta la siguiente celda para ver cómo la aproximación va mejorando a medidad que aumentamos el número de puntos de división del intervalo.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_576.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_577.gif]

Esto es lo que se conoce como método de las láminas o de los tubos. Observa que, a diferencia del método de los discos en el que se consideran rectángulos perpendiculares al eje de giro, en el método de las láminas o de los tubos los rectángulos considerados son paralelos al eje de giro.
Consideremos una partición  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_587.gif] de [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_588.gif]. El volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OY un rectángulo vertical cuya base es el intervalo [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_589.gif] y altura [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_590.gif] es igual a  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_591.gif][Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_592.gif]. La suma de todos ellos es igual a
    [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_593.gif]
Como las sumas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_594.gif] y [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_595.gif] son sumas de Riemann de la función [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_596.gif], deducimos que el volumen de Ω viene dado por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_597.gif]. Puedes adaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta vertical [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_598.gif]. En general, si notamos por [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_599.gif] el radio de giro de la lámina, entonces [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_600.gif].

Ejemplos

•  Consideremos el toro T obtenido al girar el disco de centro [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_601.gif], [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_602.gif], y radio [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_603.gif] alrededor del eje OY. Puedes verlo para [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_604.gif] y [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_605.gif] ejecutando la siguiente celda.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_606.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_607.gif]

Por simetría, su volumen es el doble del volumen del sólido obtenido al girar la semicircunferencia [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_608.gif] alrededor del eje OY. Por tanto [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_609.gif].
  Calcular el volumen del sólido Ω engendrado al girar la región limitada por las parábolas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_610.gif] alrededor del eje OY.

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_611.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_612.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_613.gif]

[Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_614.gif]

El sólido de revolución engendrado es una especie de embudo acotado por dos superficies de revolución, la superior obtenida al girar la gráfica [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_615.gif]y la inferior obtenida al girar [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_616.gif]. El volumen pedido viene, por tanto, dado por  [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_617.gif].

Ejercicios

22  Calcular el  volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededor de la recta [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_618.gif].
23  Calcular el volumen del sólido Ω engendrado al girar la región limitada por las parábolas [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_619.gif] alrededor de la recta [Graphics:../Images/aplicaciones_integral_gr_620.gif].