Guía Docente de la Asignatura:

Análisis Vectorial


Licenciatura en Matemáticas Curso 2011-2012
Créditos teóricos: 3
Créditos prácticos: 3
Anual
Primer Cuatrimestre
Segundo Cuatrimestre
Obligatoria
Troncal
Optativa
L.C.
Curso: 3º
Profesores: David Arcoya Álvarez
Prerrequisitos
Objetivos
Evaluación
Programa
Bibliografía
Incidencia


Prerrequisitos


Objetivos de la asignatura (destrezas a conseguir)


 Se pretenden asentar las nociones fundamentales del Análisis Vectorial: por una parte los operadores diferenciales básicos (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) y por otra las integrales de línea y superficie. Una vez establecidas las bases anteriores podemos proceder con el objetivo fundamenta del curso, a saber el establecimiento de los teoremas integrales clásicos (divergencia, Green y Stokes) al menos en sus versiones más elementales. El último objeto consiste en mostrar aplicaciones de esta teoría en diversos campos y adiestrar al alumno en la modelización matemática de ciertos fenómenos físicos.l


Objetivos mínimos de la asignatura (destrezas a conseguir)

Se pretenden asentar las nociones fundamentales del Análsis Vectorial: por una parte los operadores diferenciales básicos (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) y por otra las integrales de línea y superficie. Una vez establecidas las bases anteriores podemos proceder con el  objetivo fundamental del curso, a saber el establecimiento de los teoremas integrales clásicos (divergencia, Green y Stokes) al menos en sus versiones más elementales. El último objetivo consiste en mostrar aplicaciones de esta teoría en diversos campos y adiestrar al alumno en la modelización matemática de ciertos fenómenos físicos.


Sistema de evaluación

 
  • Trabajos presentados y académicamente dirigidos, teóricos o prácticos, sobre el contenido del curso y que se propondrán a lo largo de éste.
  • Participación activa en clases y otras actividades que garanticen una evaluación objetiva.
  • Si los apartados anteriores resultasen insuficientes para la evaluación se puede optar por un examen escrito.
  • Al margen de este sistema normal de evaluación, y de acuerdo con el artículo correspondiente del Reglamento de Régimen Interno del Departamento de Análisis Matemático, los alumnos podrán optar por el sistema de Evaluación por Tribunal previsto en el Artículo 137 de los Estatutos de la Universidad de Granada.

Programa de la asignatura

Tema 1. Longitudes, áreas y volúmenes.

  • Medidas k-dimensionales en RN.
  • Integración en variedades. Existencia y unicidad.

Tema 2. Integrales de línea e integrales de superficie.

  • Circulación y flujo.
  • Operadores diferenciales clásicos: interpretación.
  • Teorema de Green, teorema de Stokes y teorema de la divergencia: versiones elementales.

Tema 3. Potenciales.

  • Campos irrotacionales: potenciales escalares.
  • Campos solenoidales: potenciales vectoriales.
  • Funciones armónicas.
  • Fórmulas de Green.
Tema 4 : Aplicaciones.

(a): Campos gravitatorios newtonianos y campos electrostáticos.

  • Leyes de Kepler.
  • Análisis del campo gravitatorio terrestre.
  • Teorema de Gauss.

(b): Campos electromagnéticos.

  • Ley de Biot y Savart. Ley de Faraday. Ley de Ampère.
  • Ecuaciones de Maxwell.

(c): Estática y dinámica de fluidos.

  • Principio de Arquímedes.
  • Ecuación fundamental de la estática de fluidos.
  • Ecuación de transporte y ecuación de continuidad en el movimiento de fluidos.
  • Fluidos perfectos: ecuaciones de Euler.
  • Fluidos viscosos: ecuaciones de Navier-Stokes.

(d): Teoría analítica del calor.

  • Difusión del calor. Ley de Fourier: ecuación del calor.
  • Condiciones de contorno: ley de enfriamiento de Newton.

Bibliografía básica

1.  CONDE SÁNCHEZ, C.: Cálculo integral vectorial. Tebar Flores, 1988.
2.  DINEEN, S.: Multivariate calculus and geometry. Springer Undergraduate Mathematical Series, Springer, 1998.
3.  GALÁN GARCÍA, J.L.: Análisis vectorial para la ingeniería. Teoría y problemas. Bellisco, Ediciones técnicas y científicas, 1998.
4.  MARSDEN, J.E. Y TROMBA, A.J.: Cálculo Vectorial . Pearson Educación, 2004.
5.  MATTHEWS, P.C.: Vector Calculus. Springer, 2001.
6.  SCALA STALELLA, J.J.: Análisis vectorial. Volumen II: Campos. Editorial Reverté, S. A., 1990.
7.  SPIEGEL, M.R.: Theory and problems of vector analysis and an introduction to tensor analysis. Schum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, 1959.

Bibliografía complementaria

1.  ABRAHAM, R., MARSDEN, J.E., RATIU, T.: Manifolds, tensor analysis, and applications. Springer-Verlag, 1988.
2.  GRUNSKY, H.: The general Stokes' theorem. Pitman, 1983.
3.  JANICH, K.J.: Vector Analysis. Springer, 1993.
4.  KISELEV, S.P., VOROZHTSOV, E.V., FOMIN, V.M.: Foundations of fluid mechanics with applications. Birkhauser, 1999.

 

Incidencia o interés en otras áreas de enseñanza

1.  Física.
2.  Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos.

Convocatoria de exámen
Las fechas de los exámenes son fijadas por la Comisión Docente de Matemáticas (http://www.ugr.es/local/cdocmat).